Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Ocultación/Primer y Último contacto de la Luna con Júpiter

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Cálculo del Primer y Último contacto de la Luna con Júpiter - Contactos Exteriores e Interiores[editar]

Antes de hallar los límites o curvas del Comienzo o Fin de la Ocultación en la Salida o en la Puesta de Júpiter, encontraremos los tiempos extremos y sus coordenadas de los contactos exteriores e interiores, siendo cuatro los casos posibles: dos exteriores, uno justo cuando la Ocultación comienza en la salida de Júpiter y el otro cuando la Ocultación finaliza en la puesta, y dos interiores, cuando la Ocultación finaliza en la salida de Júpiter y el otro cuando la Ocultación comienza en la puesta.

En el caso del primer y último contacto exterior el Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter está fuera de la superficie de la Tierra y sólo la "Sombra Penumbral" Lunar (la Generatriz del Cono Penumbral) es tangente en el horizonte, es decir el limbo de Júpiter toca el limbo de la Luna (ambos contactos exteriores). Se tiene entonces:

m = (x^2 + y^2)^0,5 = p + l₁    (49)

Donde x e y son las Coordenadas Rectangulares de la Luna, donde p en [Radios Terrestres], en la primer aproximación será igual a 1.

En el caso del primer y último contacto interior ocurre cuando la totalidad de la "Sombra Penumbral" Lunar se ubica dentro de la Tierra, es decir toda la "Sombra Penumbral" Lunar sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia, por lo tanto:

m = p - l₁    (50)

Para la Ocultación de Júpiter por la Luna del 22.01.2013 y sabiendo que la Conjunción Júpiter-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 03:07:40 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time), tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 3 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 0 hs., 1 hs., 2 hs., 3 hs., 4 hs., 5 hs. y 6 hs. (GMT).

Comenzamos entonces calculando M₀ en [°] donde x e y para T₀ = 3 hs.

M₀ = Atan(x / y)    (51)

el ángulo M₀ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si y es negativo sumar 180° a M₀ para que luego m₀ sea positivo (+).

Luego m₀

m₀ = x / Seno(M₀)    (52)

Calculamos después N en [°] donde x' e y' son las diferencias derivadas de las Coordenadas Rectangulares de la Luna también para T₀ = 3 hs.

N = Atan(x' / y')    (53)

el ángulo N debe estar comprendido entre 0° y 180°. Si y' es negativo sumar 180° a N para que luego n sea positivo (+).

Luego n

n = x' / Seno(N)    (54)

Los contactos interiores no ocurren cuando

(p - l₁) < m₀ * Seno(M₀ - N)    (55)

donde l₁ para T₀ = 3 hs.

Entonces, en este ejemplo con la Ocultación de Júpiter por la Luna del 22.01.2013 la condición no se cumple, es decir los contactos interiores ocurren, aunque sólo son de interés los contactos exteriores, que a continuación calcularemos.

Como primera aproximación, calcular con p = 1

p + l₁    (56)

después calcular ψ en [°]

ψ = Aseno(m₀ * Seno(M₀ - N) / (p + l₁))    (57)

Luego Δ en [hms]

Δ = -m₀ * Coseno(M₀ - N) / n    (58)

Por lo tanto, en la primera aproximación, los Tiempos en [hms (GMT)] del Comienzo y Fin de la Ocultación tanto en la Salida como en la Puesta de Júpiter (contactos exteriores) serán:

Comienzo T₁ = T₀ + Δ - (p + l₁) * Coseno(ψ) / n     (59)
Fin T₂ = T₀ + Δ + (p + l₁) * Coseno(ψ) / n     (60)

donde Coseno(ψ) puede ser tomado con signo tanto (+) como (-), siendo el primero para el comienzo y el segundo para el fin de la Ocultación (contactos exteriores).

En el caso de haber contactos interiores (que en este ejemplo si los hay, pero como expresé anteriormente, no los calcularemos), reemplazar (p + l₁) con (p - l₁) en (57), (59) y en (60).

Tomamos luego ψ para el comienzo de la Ocultación, es decir el primer contacto exterior

ψ = 180 - ψ    (61)

y 360 + ψ para el fin de la Ocultación, es decir el último contacto exterior.

Seguido calculamos γ en [°], para el comienzo y el fin de la Ocultación con sus correspondientes ψ, entonces

γ = N + ψ    (62)

el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°.

Hallamos el correspondiente d, siendo la Declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z, y calcularlo para el comienzo y fin interpolando [1] en la tabla "Coordenada Eje "Cilindro de Luz" de Júpiter o punto Z" (más abajo) con el siguiente argumento τ.

Para el comienzo:

τ = Δ - (p + l₁) * Coseno(ψ) / n    (63)

Para el fin:

τ = Δ + (p + l₁) * Coseno(ψ) / n    (64)

Luego calcular ρ₁ en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según d, anteriormente hallado para cada uno, y con la siguiente fórmula

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (65)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo)

Seguido calculamos γ' en [°] para el comienzo y fin según γ y ρ₁, anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

γ' = Atan(ρ₁ * Tan(γ))    (66)

γ y γ' deben ser ángulos comprendidos entre 0° y 360° con cantidades similares entre sí, por lo tanto llevar γ' al cuadrante correspondiente como lo está γ.

El nuevo p en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según γ y γ' , anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

p = Seno(γ') / Seno(γ)    (67)

luego hallamos los nuevos l₁, x' e y' para el comienzo y fin interpolando [1] en cada tabla correspondiente (más abajo) y con el argumento τ de las fórmulas (63) y (64).

Comenzamos con una segunda aproximación nuevamente desde la fórmula (53) hasta la (66) tanto para el comienzo como para el fin de la Ocultación. En el transcurso del cálculo nos dará los tiempos T₁ y T₂ ya ajustados. Recordar que las nuevas interpolaciones se realizarán también con el nuevo argumento de τ actualizado con los nuevos valores recientemente hallados en esta segunda aproximación.

Por último, calculamos las Coordenadas Geográficas para cada T₁ y T₂, pero primero d₁ con los correspondientes d interpolados anteriormente para el comienzo y fin, entonces

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))    (68)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo)

Luego hallamos μ₁, siendo el ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en Greenwich, ángulo comprendido entre 0° y 360°, para el comienzo y fin interpolando [1] en la tabla correspondiente (más abajo) y con el nuevo argumento τ. Seguido calculamos θ que es ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en el lugar o bien en la Longitud ω, que es aproximadamente el Ángulo Horario de Júpiter, y correspondiente al comienzo o fin de la Ocultación, entonces

θ = Atan(Seno(γ') / (-Coseno(γ') * Seno(d₁)))    (69)

el ángulo θ debe estar comprendido entre 0° y 360°. En caso de ser negativo (-Coseno(γ') * Seno(d₁)) sumar 180° a θ.

Para el Tiempo Aparente Local que es aproximadamente la Hora Solar Verdadera, dividir θ por 15.

Finalmente, para el comienzo y fin de la Ocultación tenemos:

Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(Aseno(Coseno(γ') * Coseno(d₁))) / (1 - e^2)^0,5)    (70)
Longitud ω (al W) = μ₁ - θ    (71)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo). La Longitud ω debe estar comprendida entre 0° y 360°, desde Greenwich hacia el Oeste.

Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y si la Longitud ω se encuentra entre más de 180° y menos de 360°, calcular 360° - Longitud ω.

Ejemplo práctico:[editar]

Ocultación de Júpiter por la Luna 22.01.2013

Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valores[editar]

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de una Ocultación Planetaria o Estelar y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel[1] Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

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Notas de referencia[editar]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel