Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Ocultación/Comienzo y Fin de la Ocultación Central

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Cálculo del Comienzo y Fin de la Ocultación Central[editar]

Antes de hallar todos los puntos de la curva de la Ocultación Central sobre la superficie de la Tierra, encontraremos aquellos que corresponden al comienzo (primer contacto) y fin (último contacto) de tal Ocultación Central. En esos instantes a hallar el Eje del Cilindro de Luz de Júpiter es tangente a la superficie de la Tierra.

Para la Ocultación de Júpiter por la Luna del 22.01.2013 y sabiendo que la Conjunción Júpiter-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 03:07:40 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time), tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 3 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 0 hs., 1 hs., 2 hs., 3 hs., 4 hs., 5 hs. y 6 hs. (GMT).

Comenzamos calculando M₀ en [°] donde x e y₁ para T₀ = 3 hs. buscando ambos valores en las tablas correspondientes (más abajo). Cuando los dos puntos del comienzo y fin sean hallados, la suma de los cuadrados de x e y₁ nos dará igual a 1 en esos instantes, y la distancia cenital del Eje de "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z será igual a 90°, eje tangente a la superficie de la Tierra, entonces

x^2 + y₁^2 = 1 y la Distancia Cenital de Z = 90°    (177)

Primero calculamos M₀

M₀ = Atan(x / y₁)    (178)

en el caso que y₁ sea negativo (-) sumar 180° a M₀.

Luego m₀

m₀ = x / Seno(M₀)    (179)

Calculamos después N en [°] donde x' e y' también para T₀ = 3 hs.

N = Atan(x' / y')    (180)

en el caso que y' sea negativo (-) sumar 180° a N.

Luego n

n = x' / Seno(N)    (181)

Como primera aproximación, calcular ψ en [°]

ψ = Aseno(m₀ * Seno(M₀ - N))    (182)

Luego Δ en [hms]

Δ = -m₀ * Coseno(M₀ - N) / n    (183)

Por lo tanto, los Tiempos en [hms (GMT)] del Comienzo y Fin de la Ocultación Central tanto en la Salida como en la Puesta serán:

Comienzo T₁ = T₀ + Δ + Coseno(ψ) / n     (184)
Fin T₂ = T₀ + Δ - Coseno(ψ) / n     (185)

Tomamos luego ψ para el comienzo de la Ocultación, es decir de la Ocultación Central en el horizonte Este (E) (ver mapa) y esto ocurre cuando el Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter es tangente al horizonte (primer contacto)

ψ = 180 - ψ    (186)

y solamente ψ para el fin de la Ocultación, es decir de la Ocultación Central en el horizonte Oeste (W) (ver mapa) y esto ocurre cuando el Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter es tangente al horizonte (último contacto)

Seguido calculamos γ en [°], para el primer y último contacto de la Ocultación Central con sus correspondientes ψ, entonces

γ = N + ψ    (187)

hallamos el correspondiente d, siendo la Declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z, y calcularlo para el comienzo y fin interpolando [1] en la tabla "Coordenada Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o punto Z" (más abajo) con el siguiente argumento τ.

Para el primer contacto:

τ = Δ - Coseno(ψ) / n    (188)

Para el último contacto:

τ = Δ + Coseno(ψ) / n    (189)

Luego calcular ρ₁ en [Radios Terrestres] para el primer y último contacto según d, anteriormente hallado para cada uno, y con la siguiente fórmula

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (190)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo)

Seguido calculamos γ' en [°] para el primer y último contacto según γ y ρ₁, anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

γ' = Atan(ρ₁ * Tan(γ))    (191)

γ y γ' deben ser ángulos comprendidos entre 0° y 360° con cantidades similares entre sí, por lo tanto llevar γ' al cuadrante correspondiente como lo está γ.

Luego hallamos los nuevos x' e y₁' para el primer y último contacto interpolando [1] en cada tabla correspondiente (más abajo) y con el argumento τ de las fórmulas (188) y (189).

Comenzamos con una segunda aproximación nuevamente desde la fórmula (180) hasta la (191) tanto para el primer y último contacto de la Ocultación Central. En el transcurso del cálculo nos dará los tiempos T₁ y T₂ ya ajustados. Recordar que las nuevas interpolaciones se realizarán también con el nuevo argumento de τ actualizado con los nuevos valores recientemente hallados en esta segunda aproximación.

Por último, calculamos las Coordenadas Geográficas para cada T₁ y T₂, pero primero d₁ con los correspondientes d interpolados anteriormente para el primer y último contacto, entonces

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))    (192)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo)

Luego hallamos μ₁, siendo el ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en Greenwich, para el primer y último contacto interpolando [1] en la tabla correspondiente (más abajo) y con el nuevo argumento τ. Seguido calculamos θ que es ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en el lugar o bien en la Longitud ω, que es aproximadamente el Ángulo Horario de Júpiter, y correspondiente al primer y último contacto, entonces

θ = Atan(Seno(γ') / (-Coseno(γ') * Seno(d₁)))    (193)

en el caso que el denominador sea negativo (-) sumar 180° a θ.
Para el Tiempo Aparente Local que es aproximadamente la Hora Solar Verdadera, dividir θ por 15.

Después calcular el valor de φ₁ en [°]

φ₁ = Aseno(Coseno(γ') * Coseno(d₁))    (194)

Finalmente, para el primer y último contacto de la Ocultación Central en ambos horizontes, tenemos la Latitud Geográfica φ y la Longitud ω, ésta última al Oeste (W) de Greenwich, entonces

Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(φ₁) / (1 - e^2)^0,5)    (195)
Longitud ω (al W) = μ₁ - θ    (196)

El valor de μ₁ lo hallamos interpolando para ese instante y en la tabla correspondiente (más abajo) y e en la tabla de las Constantes (más abajo).

Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y dejarla positiva (+) si la Longitud ω se encuentra entre más de los 180° y menos de los 360°.

Ejemplo práctico:[editar]

Ocultación de Júpiter por la Luna 22.01.2013

Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valores[editar]

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de una Ocultación Planetaria o Estelar y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel Elementos de Bessel[1] Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

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Notas de referencia[editar]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel