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Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Ocultación/Curva del Límite Norte

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Cálculo de la Curva del Límite Norte - Contactos Exteriores

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Ocultación de Júpiter por la Luna 22.01.2013
Ocultación de Júpiter por la Luna 22.01.2013

Primero, como lo hemos hecho en el capítulo anterior, se determinará si hay dos límites en la Ocultación, es decir el límite Norte y el Límite Sur. La condición para que ocurran ambos es que el "Cono de la Penumbra" Lunar "pase" enteramente dentro de la Tierra, es decir que llegue totalmente al Plano Fundamental o Principal de Referencia. En este ejemplo práctico de la Ocultación de Júpiter por la Luna del 22.01.2013 se cumple para ambos límites, el Norte y el Sur.

Por lo tanto, en este capítulo vamos a encontrar todos los puntos del límite Norte.

Sabiendo que la Conjunción Júpiter-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 03:07:40 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time), tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 3 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 0 hs., 1 hs., 2 hs., 3 hs., 4 hs., 5 hs. y 6 hs. (GMT).

Según los tiempos del primer y último contacto exterior se comienzan los cálculos desde las 1,6 hs. y se repiten (iteración) cada 12 minutos y así sucesivamente hasta las 4,6 hs. Para todas las horas enteras y con fracción se interpolará el valor en la tabla correspondiente descrita más abajo y con el argumento según el método de Interpolación por Diferencias [1].

Comenzamos entonces calculando ν en [°] donde f y e para Tᵢ = 1,6 hs., hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)

ν = Atan(f / e)    (109)

el ángulo ν debe estar comprendido entre 0° y 180°. Si e es negativo sumar 180° a ν.

Luego calculamos E en [°]

E = E / 2    (110)

E lo encontramos interpolando en la tabla correspondiente (más abajo).

Seguido hallamos ψ en [°]

ψ = Atan(Tan(45 + ν) * Tan(E))    (111)

Luego, según las siguientes condiciones, calculamos Qᵢ en [°]

  • Para la curva del límite Sur, Q "cae" entre E y E/2 + ψ y
  • Para la curva del límite Norte, cálculo en este capítulo, Q "cae" entre 180° + E y 180° + E/2 + ψ, entonces

calculamos los límites inferior Q₁ y superior Q₂ para tal límite Norte, por lo tanto

Q₁ = 180 + E    (112)
Q₂ = 180 + E/2 + ψ    (113)

los ángulos Q₁ y Q₂ deben estar comprendido entre 0° y 360°. Luego hallar el Q inicial (asumido) en [°] hallando el promedio entre Q₁ y Q₂, entonces

Q = Entero((Q₁ + Q₂) / 2)    (114)

el ángulo Q debe estar comprendido entre 0° y 360°. Calculamos luego γ en [°] donde x, y y l₁ para el Tᵢ, hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)

γ = Atan((x - l₁ * Seno(Q)) / (y - l₁ * Coseno(Q)))    (115)

el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si (y - l₁ * Coseno(Q)) es negativo (-) sumar 180° a γ.

Luego β en [°]

β = Aseno((x - l₁ * Seno(Q)) / Seno(γ))    (116)

el ángulo β debe estar comprendido entre 0° y 360°. Seguido, calculamos el valor de ν' en [°]

ν' = Atan(f * Coseno(β) / e)    (117)

los valores de e y f son los hallados anteriormente por interpolación (más arriba). Si e es negativo sumar 180° a ν' .

Con todas estas formulas anteriores encontraremos ahora el valor final de Q para el punto indicado del límite Norte, entonces

Q = Atan(Tan(45 + ν') * Tan(180 + E / 2)) + 180 + E / 2    (118)

Hallar luego el valor de d en [°], siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z, e interpolando en la tabla correspondiente (más abajo) y también d₁ en [°] siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z según e la excentricidad terrestre

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))    (119)

el valor de e lo podemos hallar en la tabla de las Constantes (más abajo)

Luego hallamos el valor de ρ₁ en [Radios Terrestres] también en función de e, la excentricidad terrestre

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (120)

después los valores de a y b, primero interpolando los valores x, y y l₁ para el instante en cuestión y según las siguientes fórmulas se tiene

a = x - l₁ * Seno(Q)    (121)
b = y - l₁ * Coseno(Q)    (122)

Luego γ en [°] según

γ = Atan(a / b)    (123)

el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si b es negativo (-) sumar 180° a γ.

Seguido, calculamos β en [°]

β = Aseno(a / Seno(γ))    (124)

el ángulo β debe estar comprendido entre 0° y 360°. Ahora calculamos ε en [°]

ε = i₁ * Coseno(Q - γ) / Seno(1)     (125)

Luego calcular ζ₁, ξ y η₁ en [Radios Terrestres]

ζ₁ = Coseno(β) - Seno(β) * Seno(ε)    (126)
ξ = Seno(β) * Seno(γ) + i₁ * ζ₁ * Seno(Q)    (127)
η₁ = Seno(β) * Coseno(γ) + i₁ * ζ₁ * Coseno(Q)    (128)

Ahora calcular C en [°] y c

C = Atan(η₁ / ζ₁)    (129)

el ángulo C debe estar comprendido entre 0° y 360°, en el caso ζ₁ sea negativo (-) sumar 180° a C, luego calcular c según C

c = η₁ / Seno (C)    (130)

Por último, hallaremos las coordenadas terrestres para el instante Tᵢ, pero primero μ₁, siendo el ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en Greenwich, ángulo comprendido entre 0° y 360°, para el instante Tᵢ interpolando [1] en la tabla correspondiente (más abajo). Seguido calculamos θ que es ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en el lugar o bien en la Longitud ω, que es aproximadamente el Ángulo Horario de Júpiter, y correspondiente también a ese instante Tᵢ, entonces

θ = Atan(ξ / (c * Coseno(C + d₁)))    (131)

el ángulo θ debe estar comprendido entre 0° y 360°, si (c * Coseno(C + d₁)) es negativo (-) sumar 180° a θ.

Para el Tiempo Aparente Local que es aproximadamente la Hora Solar Verdadera, dividir θ por 15.

Luego calculamos φ₁ en [°] para hallar después la latitud geográfica φ también en [°]

φ₁ = Acoseno(ξ / Seno(θ))    (132)

Finalmente, para a ese instante Tᵢ de Eclipse tenemos:

Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(φ₁) / (1 - e^2)^0,5)    (133)
Longitud ω (al W) = μ₁ - θ    (134)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo). La Longitud ω debe estar comprendida entre 0° y 360°, desde Greenwich hacia el Oeste.

Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y si la Longitud ω se encuentra entre más de 180° y menos de 360°, calcular 360° - Longitud ω.

Ejemplo práctico:

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Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valores

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Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de una Ocultación Planetaria o Estelar y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel[1] Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

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Notas de referencia

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  1. 1,0 1,1 1,2 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel