Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Ocultación/Curva del Comienzo o Fin de la Ocultación en la Salida o en la Puesta de Júpiter

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Cálculo de la Curva del Comienzo o Fin de la Ocultación en la Salida o en la Puesta de Júpiter - Contactos Exteriores o Penumbrales[editar]

Antes de hallar los límites o curvas del Comienzo o Fin de la Ocultación en la Salida o en la Puesta de Júpiter, repasaremos los conceptos descritos en el capítulo anterior acerca de los contactos exteriores e interiores siendo cuatro los casos posibles: dos exteriores, uno justo cuando la Ocultación comienza en la salida de Júpiter y el otro cuando la Ocultación finaliza en la puesta, y dos interiores, cuando la Ocultación finaliza en la salida de Júpiter y el otro cuando la Ocultación comienza en la puesta.

En el caso del primer y último contacto exterior el Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter está fuera de la superficie de la Tierra y sólo la "Sombra Penumbral" Lunar (limbo Joviano) es tangente en el horizonte. El caso del primer y último contacto interior ocurre cuando la totalidad de la "Sombra Penumbral" Lunar sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia se ubica dentro de la Tierra.

Cuando los contactos interiores existen, los límites de la salida y los de la puesta tienen la forma de curvas cerradas sobre la superficie terrestre, semejantes a elipses alargadas distorsionadas con su eje mayor en sentido latitudinal. Cuando los contactos interiores no ocurren, los límites de la salida y de la puesta se encuentran y forman una única curva extendiéndose a través de toda la Tierra. La forma de esta curva puede ser comparada a la de un distorsionado.

Como ejemplo práctico tomamos la Ocultación de Júpiter por la Luna del 22.01.2013 y sabiendo que la Conjunción Júpiter-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 03:07:40 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time) tomamos también 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 3 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción.

Se comienzan los cálculos desde las 0 hs. y se repiten (iteración) cada 12 minutos y así sucesivamente hasta las 6 hs. Para todas las horas enteras y con fracción se interpolará el valor en la tabla correspondiente descrita más abajo y con el argumento según el método de Interpolación por Diferencias [1].

Comenzamos entonces calculando M en [°] y Tᵢ = 0 hs.

M = Atan(x / y)    (72)

Donde x e y son las Coordenadas Rectangulares de la Luna, el ángulo M debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si y es negativo sumar 180° a M para que luego m sea positivo (+).

Luego m

m = x / Seno(M)    (73)

Después calcular λ en [°] con l₁ interpolado, m y p, éste último en [Radios Terrestres] igual a 1 en la primera aproximación, entonces

λ = Aseno((l₁ + m - p) * (l₁ - m + p) / (4 * m * p))^0,5) * 2    (74)

Ahora calcular el valor de γ₁ en [°] para el punto 1

γ₁ = M + λ    (75)

después calcular el valor de γ₂ en [°] para el punto 2

γ₂ = M - λ    (76)

Hallar luego el valor de d en [°], siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z, e interpolando en la tabla correspondiente (más abajo) y también ρ₁ en [Radios Terrestres]

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (77)

el valor de e lo podemos hallar en la tabla de las Constantes (más abajo)

Luego calcular γ₁' en [°] para el punto 1

γ₁' = Atan(ρ₁ * Tan(γ₁))    (78)

y γ₂' en [°] para el punto 2

γ₂' = Atan(ρ₁ * Tan(γ₂))    (79)

recordar que tanto γ₁' como γ₂' son valores en [°] muy similares a γ₁ y a γ₂, por lo tanto tienen que estar los primeros en el mismo cuadrante que los segundos

Después calcular los nuevos valores de p [en Radios Terrestres] para los respectivos puntos 1 y 2, entonces para el punto 1

p₁ = ρ₁ * Coseno(γ₁') / Coseno(γ₁)    (80)

y para el punto 2

p₂ = ρ₁ * Coseno(γ₂') / Coseno(γ₂)    (81)

Con estos nuevos p₁ y p₂ calculamos nuevamente, para una segunda aproximación, las fórmulas desde la (74) a la (79), excepto d y ρ₁.

Luego hallamos, con estos nuevos valores, las coordenadas terrestres para cada instante, pero primero el d₁ en [°] siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z según e la excentricidad terrestre

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))    (82)

este d₁ tiene un valor similar a d, luego θ₁ que es el Ángulo Horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en el lugar (Ángulo Horario de Júpiter) y según el punto 1

θ₁ = Atan(Seno(γ₁') / (-Coseno(γ₁') * Seno(d₁)))    (83)

luego θ₂ que es el Ángulo Horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en el lugar (Ángulo Horario de Júpiter) y según el punto 2

θ₂ = Atan(Seno(γ₂') / (-Coseno(γ₂') * Seno(d₁)))    (84)

Donde θ₁ y θ₂ deben estar comprendidos entre 0° y 360°. Si (-Coseno(γ₁') * Seno(d₁)) es negativo (-) sumar 180° a θ₁ y si (-Coseno(γ₂') * Seno(d₁)) es negativo (-) sumar 180° a θ₂.

Si dividimos tanto a θ₁ y a θ₂ por 15 nos dará la Hora Local Aparente en cada punto 1 y 2, hora similar a la verdadera solar, entonces

Hora Local Aparente₁ = θ₁ / 15    (85)
Hora Local Aparente₂ = θ₂ / 15    (86)

Después calculamos E en [°] que nos servirá para determinar si la Ocultación está comenzando o finalizando

E = Atan(b' / c₁')    (87)

donde b' y c₁' los hallamos interpolando en las tablas correspondientes (más abajo), si c₁ es negativo (-) sumar 108° a E.

La Latitud Geográfica φ y la Longitud ω, ésta última al Oeste (W) de Greenwich, y en cada punto (ᵢ) 1 y 2 serán

Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(Aseno(Coseno(γᵢ') * Coseno(d₁))) / (1 - e^2)^0,5)    (88)
Longitud ω (al W) = μ₁ - θᵢ    (89)

La Longitud ω debe estar comprendida entre 0° y 360°, desde Greenwich hacia el Oeste. El valor de μ₁ lo hallamos interpolando para ese instante y en la tabla correspondiente (más abajo) y e en la tabla de las Constantes (más abajo).

Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y si la Longitud ω se encuentra entre más de 180° y menos de 360°, calcular 360° - Longitud ω.

Por último, para cada instante y punto (ᵢ) 1 y 2, averiguar si la Ocultación Comienza o Finaliza en la Salida o en la Puesta según las siguientes condiciones (MS-Excel "Si")

Si(m * Seno(M - E) < pᵢ * Seno(γᵢ - E); "Comienza en la "; "Finaliza en la ") & Si(θᵢ >= 180; "Salida"; "Puesta")    (90)

Es decir, el explicativo según estas dos últimas condiciones:

  • En un instante dado Júpiter está saliendo o poniéndose en un lugar determinado de acuerdo a θᵢ siendo el Ángulo Horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z, que comprendido entre más de los 180° y menos de los 360° es para la salida de Júpiter y entre 0° y 180° es para la puesta.
  • Y para determinar si la Ocultación está comenzando o finalizando
Comenzando = Si(m * Seno(M - E) < pᵢ * Seno(γᵢ - E))    (91)
Finalizando = Si(m * Seno(M - E) >= pᵢ * Seno(γᵢ - E))    (92)
  • Conclusión: los cálculos precedentes y del capítulo anterior fueron realizados con l₁ para la "Penumbra" (Contactos Exteriores), es decir cuando la Luna "toca" ínfimamente el limbo de Júpiter. Si se desea hacerlo para determinar los límites de la salida y de la puesta de una Ocultación lo debemos hacer con l₂ para la "Sombra" ("Umbra" - Contactos Interiores) cambiándolo donde fuere.

Ejemplo práctico:[editar]

Ocultación de Júpiter por la Luna 22.01.2013

Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valores[editar]

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de una Ocultación Planetaria o Estelar y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel[1] Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

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Notas de referencia[editar]

  1. 1,0 1,1 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel