Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Ocultación/Curva del Límite Sur

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Cálculo de la Curva del Límite Sur - Contactos Exteriores o Penumbrales[editar]

La condición para que ocurran ambos límites, el Norte y el Sur, es que el "Cono de la Penumbra" Lunar "pase" enteramente dentro de la Tierra, es decir que llegue totalmente al Plano Fundamental o Principal de Referencia. En este ejemplo práctico de la Ocultación de Júpiter por la Luna del 22.01.2013 se cumple para ambos límites, el Norte y el Sur.

Por lo tanto, en este capítulo vamos a encontrar todos los puntos del límite Sur.

Sabiendo que la Conjunción Júpiter-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 03:07:40 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time), tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 3 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 0 hs., 1 hs., 2 hs., 3 hs., 4 hs., 5 hs. y 6 hs. (GMT).

Según los tiempos del primer y último contacto exterior se comienzan los cálculos desde las 2,2 hs. y se repiten (iteración) cada 12 minutos y así sucesivamente hasta las 4 hs. Para todas las horas enteras y con fracción se interpolará el valor en la tabla correspondiente descrita más abajo y con el argumento según el método de Interpolación por Diferencias [1].

Comenzamos entonces calculando ν en [°] donde f y e para Tᵢ = 2,2 hs., hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)

ν = Atan(f / e)    (151)

en el caso que el denominador sea negativo (-) sumar 180° a ν.

Luego calculamos E en [°]

E = E / 2    (152)

E lo encontramos interpolando en la tabla correspondiente (más abajo).

Seguido hallamos ψ en [°]

ψ = Atan(Tan(45 + ν) * Tan(E))    (153)

Luego, según las siguientes condiciones, calculamos Qᵢ en [°]

  • Para la curva del límite Sur, Q "cae" entre E y E/2 + ψ y
  • Para la curva del límite Norte, Q "cae" entre 180° + E y 180° + E/2 + ψ, entonces

calculamos los límites inferior Q₁ y superior Q₂ para tal límite Sur, por lo tanto

Q₁ = E    (154)
Q₂ = E/2 + ψ    (155)

Luego hallar el Q inicial (asumido) en [°] hallando el promedio entre Q₁ y Q₂, entonces

Q = Entero((Q₁ + Q₂) / 2)    (156)

calculamos luego γ en [°] donde x, y y l₁ para el Tᵢ, hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)

γ = Atan((x - l₁ * Seno(Q)) / (y - l₁ * Coseno(Q)))    (157)

en el caso que el denominador sea negativo (-) sumar 180° a γ.

Luego β en [°]

β = Aseno((x - l₁ * Seno(Q)) / Seno(γ))    (158)

seguido, calculamos el valor de ν' en [°]

ν' = Atan(f * Coseno(β) / e)    (159)

los valores de e y f son los hallados anteriormente por interpolación (más arriba).

Con todas estas formulas anteriores encontraremos ahora el valor final de Q para el punto indicado del límite Sur, entonces

Q = Atan(Tan(45 + ν') * Tan(E / 2)) + E / 2    (160)

Hallar luego el valor de d en [°], siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z, e interpolando en la tabla correspondiente (más abajo) y también d₁ en [°] siendo la declinación del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z según e la excentricidad terrestre

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))    (161)

el valor de e lo podemos hallar en la tabla de las Constantes (más abajo)

Luego hallamos el valor de ρ₁ en [Radios Terrestres] también en función de e, la excentricidad terrestre

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (162)

después los valores de a y b, primero interpolando los valores x, y y l₁ para el instante en cuestión y según las siguientes fórmulas se tiene

a = x - l₁ * Seno(Q)    (163)
b = y - l₁ * Coseno(Q)    (164)

Luego γ en [°] según

γ = Atan(a / b)    (165)

en el caso que el denominador sea negativo (-) sumar 180° a γ.

Seguido, calculamos β en [°]

β = Aseno(a / Seno(γ))    (166)

ahora calculamos ε en [°]

ε = i₁ * Coseno(Q - γ) / Seno(1)     (167)

Luego calcular ζ₁, ξ y η₁ en [Radios Terrestres]

ζ₁ = Coseno(β) - Seno(β) * Seno(ε)    (168)
ξ = Seno(β) * Seno(γ) + i₁ * ζ₁ * Seno(Q)    (169)
η₁ = Seno(β) * Coseno(γ) + i₁ * ζ₁ * Coseno(Q)    (170)

Ahora calcular C en [°] y c

C = Atan(η₁ / ζ₁)    (171)

en el caso que el denominador sea negativo (-) sumar 180° a C, luego calcular c según C

c = η₁ / Seno (C)    (172)

Por último, hallaremos las coordenadas terrestres para el instante Tᵢ, pero primero μ₁, siendo el ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en Greenwich, para el instante Tᵢ interpolando [1] en la tabla correspondiente (más abajo). Seguido calculamos θ que es ángulo horario del Eje del "Cilindro de Luz" de Júpiter o del punto Z en el lugar o bien en la Longitud ω, que es aproximadamente el Ángulo Horario de Júpiter, y correspondiente también a ese instante Tᵢ, entonces

θ = Atan(ξ / (c * Coseno(C + d₁)))    (173)

en el caso que el denominador sea negativo (-) sumar 180° a θ.

Para el Tiempo Aparente Local que es aproximadamente la Hora Solar Verdadera, dividir θ por 15.

Luego calculamos φ₁ en [°] para hallar después la latitud geográfica φ también en [°]

φ₁ = Acoseno(ξ / Seno(θ))    (174)

Finalmente, para a ese instante Tᵢ de Eclipse tenemos:

Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(φ₁) / (1 - e^2)^0,5)    (175)
Longitud ω (al W) = μ₁ - θ    (176)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo).

Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y dejarla positiva (+) si la Longitud ω se encuentra entre más de los 180° y menos de los 360°.

Ejemplo práctico:[editar]

Ocultación de Júpiter por la Luna 22.01.2013

Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valores[editar]

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de una Ocultación Planetaria o Estelar y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel[1] Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

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Notas de referencia[editar]

  1. 1,0 1,1 1,2 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel