Matemáticas/Geometría/Texto completo

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Geometría[editar]

La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio idealizado de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).

Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, astronomía, arquitectura, cartografía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

Tipos de geometría[editar]

Entre los tipos de geometría se encuentran: geometría plana y del espacio.

Geometría euclidiana[editar]

La geometría euclidiana (o geometría parabólica) es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y de geometría clásica. Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Egipto). Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—. Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»). Según el programa de Erlangen, la geometría euclidiana sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar).

Geometría plana[editar]

La geometría plana es una parte de la geometría euclidiana que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Geometría espacial[editar]

La geometría espacial o geometría del espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.

La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio.

Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.

La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X,Y,Z):

  • Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)
  • Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales)
  • Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros 2)

Geometría No euclidiana[editar]

Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un sólo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

  • La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
  • La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
  • La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

Geometría Riemanniana[editar]

En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometría elíptica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.

Geometría Analítica[editar]

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

  1. Introducción
  2. Coordenadas cartesianas
    1. Orden en rectas
    2. Función distancia
    3. Rectas y números
    4. Abscisa de un punto
    5. Teorema de Chasles
    6. Sistema cartesiano de ejes
    7. Coordenadas del punto medio
    8. Distancia entre dos puntos
    9. Baricentro
  3. La Recta
    1. Rectas paralelas a los ejes
    2. Teorema de Thales
    3. Tres puntos alineados
    4. Ecuación general de la recta
    5. Intersección de dos rectas
    6. Paralelismo
    7. Perpendicularidad
    8. Ecuaciones de la recta
      1. Ecuación general
      2. Ecuación explícita
      3. Conociendo un punto y la pendiente
      4. Recta que contiene al origen
      5. Conociendo dos puntos
      6. Ecuación segmentaria
      7. Ecuación normal
    9. Haces de rectas
    10. Ángulo entre dos rectas
    11. Ecuación de la bisectriz
    12. Área de un triángulo
  4. La Circunferencia
    1. Definición
    2. Ecuación
    3. Teoremas
    4. Particularidades de la ecuación
    5. Casos particulares
    6. Circunferencia y ejes coordenados
    7. Circunferencia y rectas cualesquiera
    8. Ecuación de la tangente
    9. Potencia de un punto
    10. Regiones del plano
    11. Intersecciones de circunferencias
    12. Circunferencias ortogonales
  5. La Parábola
    1. Definición
    2. Ecuación
    3. Teoremas
    4. Particularidades de la ecuación
    5. Casos particulares
    6. Parábola y otros grados
    7. Parábola y rectas cualesquiera
  6. La Elipse
    1. Definición
    2. Ecuación
    3. Teoremas
    4. Particularidades de la ecuación
    5. Casos particulares
  7. La Hipérbola
    1. Definición
    2. Ecuación
    3. Teoremas
    4. Particularidades de la ecuación
    5. Casos particulares
Proyección de un hipercubo, figura de cuatro dimensiones.

Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos. La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.


Adimensional (sin dimensiones)
  • Punto
Unidimensional (lineales)
  • Recta
    • Semirrecta
    • Segmento
  • Curva
Bidimensional (superficiales)
  • Plano

Delimitan superficies (figuras geométricas en sentido estricto):

  • Polígono
    • Triángulo
    • Cuadrilátero
  • Sección cónica
    • Elipse
      • Circunferencia
    • Parábola
    • Hipérbola

Describen superficies:

  • Superficie de revolución
  • Superficie reglada
Tridimensional (volumétricas)

Delimitan volúmenes (cuerpos geométricos):

  • Poliedro

Describen volúmenes:

  • Sólido de revolución
    • Cilindro
    • Cono
    • Esfera


N-dimensional (n dimensiones)
  • Politopo


Ideas previas[editar]

Cateto[editar]

Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Cada uno de los dos lados menores de un triángulo rectángulo.
El nombre de cateto solamente aparece en los triángulos rectángulos.

Hipotenusa[editar]

Lado mayor de un triángulo rectángulo, es opuesto al ángulo recto.
La medida de la hipotenusa puede ser calculada si se conoce la medida de ambos catetos, utilizando el teorema de Pitágoras.
El nombre de Hipotenusa solamente aparece en los triángulos rectángulos.

Ángulo recto[editar]

Dos líneas que se cortan perpendicularmente determinan cuatro ángulos iguales, que llamamos rectos.
El ángulo recto es la cuarta parte del ángulo completo.
El ángulo recto mide la mitad de un ángulo llano.
En el sistema sexagesimal mide 90º.
Sus lados son semirrectas perpendiculares con el origen en el mismo punto, el vértice del ángulo En otros sistemas mide: π/2 radianes y 100g

Teorema de Pitágoras[editar]

El matemático Pitágoras, basándose en los conocimientos egipcios, descubrió una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Dicha relación es lo que conocemos comúnmente como Teorema de Pitágoras.

Enunciado[editar]

El enunciado del teorema establece que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2

cuadrado de la hipotenusa a = cuadrado del cateto b + cuadrado del cateto c

El teorema de Pitágoras solamente es aplicable a triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo denominado recto o de 90°. Se le nombra catetos a los dos lados que forman el ángulo de 90° y la hipotenusa es el segmento restante opuesto al ángulo recto. Pero con dominio de la geometría se puede extender a otros triángulos e incluso a otras figuras, por ejemplo en un rectángulo, al trazar una de sus diagonales quedan determinados dos triángulos rectángulos.

Otras formas del teorema de Pitágoras[editar]

Se puede obtener una fórmula para obtener el valor de uno de los catetos al despejar la ecuación. Las otras formas del teorema son las siguientes:

  • b2 = a2 – c2
  • c2 = a2 – b2