Matemáticas/Geometría/Coordenadas/Cartesianas

Sistemas de coordenadas en general

Un sistema de coordenadas permite "etiquetar" los puntos de una variedad diferenciable mediante un conjunto de n-tuplas. Los casos más sencillos de sistemas de coordenadas se definen sobre el espacio euclídeo o "espacio plano, aunque también es posible construirlos sobre variedades con curvaturas.

Sistema de coordenadas lineal

En un sistema de coordenadas lineal, un punto cualquiera de una recta puede asociarse y puede ser representado por un numero real (positivo si esta a la derecha de un punto llamado O (letra o) y negativo si esta a su izquierda). Dicho punto O se llama centro de coordenadas y se asocia al valor cero.

Avanzado

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a los espacios vectoriales.
Este eje también se le llama recta real.
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un centro de coordenadas, simbolizado con la letra O (de origen) y un vector unitario en el sentido positivo de las equis.

Sistema de coordenadas cartesianas:

Este sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional. Es un sistema de referencia respecto a un eje (una recta) ,dos ejes (un plano) o tres ejes (en el espacio), pedicular entre si y que se cortan en un punto denominado origen de coordenadas. Al conjunto de estas dos rectas perpendiculares le llamamos sistema de coordenadas cartesianas. A la recta horizontal la llamamos eje de las abscisas o eje de las X. A la recta perpendicular a la anterior la denominaremos eje de las ordenadas o eje de las Y. La intersección de ambos ejes es el origen de coordenadas, O.

Estos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se ordenan:
Primer cuadrante: sobre el eje x, a la derecha del eje y. Abscisa positiva, ordenada positiva.( + ; + )
Segundo cuadrante: sobre el eje x, a la izquierda del eje y. Abscisa negativa, ordenada positiva. ( – ; + )
Tercer cuadrante: bajo el eje x, a la izquierda del eje y. Abscisa negativa, ordenada negativa.( – ; – )
Cuarto cuadrante: bajo el eje x, a la derecha del eje y. Abscisa positiva, ordenada negativa.( + ; – )

A partir del origen de coordenadas, se consideran las X positivas hacia la derecha y negativas hacia la izquierda. De igual forma se consideran las Y positivas desde el origen de coordenadas hacia arriba, y negativas desde este origen hacia abajo. El valor de cada una de las coordenadas de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posicion de dicho punto sobre un eje determinado. Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas.

Origen del nombre

El sistema cartesiano tiene su nombre en honor al filosofo, cientifico y matemático René Descartes (1596-1650),quien buscó fundamentar su pensamiento filosófico a partir de un punto de partida sobre el cual edificar todo el conocimiento. Descartes como creador de la geometria analítica, también comenzó tomando un punto de partida en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto denominado origen de coordenadas.

Más avanzado

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas, x e y se denominan abscisa y ordenada. Es muy útil para representar gráficamente una gran cantidad de relaciones y funciones, análisis de proporcionalidad de cantidades, etc.

Sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones

En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados. En la Figura adjunta, se pueden observar los tres planos coordenados que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados. Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posición del punto dado.