Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas

Introducción

El Método de Newton para obtener raíces no es un método tradicional en el contexto del ábaco, pero sí es un método muy antiguo; de hecho, es anterior a Newton en muchos siglos, recibiendo también el nombre de Método de Herón e incluso de Método Babilónico aunque no haya evidencia de su uso por parte de ningún escriba babilónico. Si esta forma de obtener raíces se llama método de Newton, es únicamente porque puede derivarse como un caso particular del método más general de Newton-Raphson para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones genéricas. En cualquier caso, este método parece ser mucho más antiguo que cualquier ábaco oriental de cuentas fijas.

Se trata de un método iterativo para obtener raíces enésimas en el que, partiendo de una aproximación inicial a la raíz $x_{0}$ , se construyen aproximaciones sucesivas a la misma de acuerdo a la expresión:

$x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left((n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)$

de forma que la secuencia de valores obtenidos: $x_{0},x_{1},\cdots x_{k},\cdots$ se aproxima continuamente al valor de la raíz $x={\sqrt[{n}]{A}}$ ; siendo cada término $x_{k}$ una mejor aproximación a ésta que el término anterior. Decimos que la secuencia $x_{0},x_{1},\cdots x_{k},\cdots$ tiende o converge a la raíz $x_{0},x_{1},\cdots \to x={\sqrt[{n}]{A}}$ o que la raíz es el límite de $x_{k}$ cuando $k$ tiende a infinito:

$\lim _{k\to \infty }x_{k}={\sqrt[{n}]{A}}$

como será más claro en un ejemplo posterior que además nos mostrará la vertiginosa velocidad a la que la secuencia $x_{k}$ se acerca a la raíz; tanto que, en el ábaco, nos bastarán dos o tres iteraciones para alcanzar 4-8 dígitos de precisión.

La expresión general anterior para la raíz enésima toma las formas particulares:

Método de Newton para $n=2,3{\text{ y }}5$
Raíz cuadrada: $x={\sqrt {A}}$	$x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{A}/{x_{k}}\right)$
Raíz cúbica: $x={\sqrt[{3}]{A}}$	$x_{k+1}={\frac {1}{3}}\left(2x_{k}+{A}/{x_{k}^{2}}\right)$
Raíz quinta: $x={\sqrt[{5}]{A}}$	$x_{k+1}={\frac {1}{5}}\left(4x_{k}+{A}/{x_{k}^{4}}\right)$

La aparición del término $x^{n-1}$ limita en la práctica la utilidad de este método para valores elevados de $n$ , ya que requiere de un algoritmo eficiente para su evaluación, lo cual no es trivial ni en el cálculo manual ni con la computadora.

Tras un poco de experimentación, el lector podrá usar cómodamente este método para obtener raíces cuadradas y cúbicas y, con un poco de esfuerzo adicional, raíces quintas. Cabe decir sin embargo, que este método no parece representar ninguna ventaja especial frente al método para raíces cuadradas explicado en la sección anterior (método del semi resto) en cuanto a cantidad de cálculo necesario para obtener las primeras cifras de la raíz. Es para raíces cúbicas donde el método se muestra claramente superior a las técnicas tradicionales por su sencillez, eficiencia y resistencia a errores. Para las raíces quintas, las cosas son un poco más complicadas y tal vez no deberían intentarse hasta que se dominen bien las raíces cúbicas.

Dado lo anterior, nos centraremos aquí principalmente en dichas raíces cúbicas.

Raíces cúbicas

Antes de empezar

Tabla de cubos
$b$	$b^{3}$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729

Como cuestión previa, si nos proponemos obtener raíces cúbicas, tengamos en cuenta que cualquier número real $A$ se puede escribir en notación de ingeniería como:

$A=A'\times 10^{3m}$

Con $1\leq A'<1000$ y $m$ un número entero (positivo o negativo); con lo que su raíz cúbica puede escribirse

${\sqrt[{3}]{A}}={\sqrt[{3}]{A'}}\times 10^{m}$

Lo que significa que podemos restringirnos a considerar sólo el problema para ${\sqrt[{3}]{A'}}$ , es decir, obtener raíces cúbicas de números comprendidos entre 0 y 1000, teniéndose que:

$1\leq {\sqrt[{3}]{A'}}<10$

Por ejemplo, el radicando $60698457$ que se cita más abajo, puede escribirse: $60.698457\times 10^{6}$ y ${\sqrt[{3}]{60698457}}={\sqrt[{3}]{60.698457}}\times 10^{2}$ , con ${\sqrt[{3}]{60.698457}}=3.93$ , es decir: ${\sqrt[{3}]{60698457}}=3.93\times 10^{2}=393$ .

Una vez que nos centramos en las raíces cúbicas de números entre 0 y 1000, conviene memorizar desde el principio la tabla de cubos de la derecha para elegir el valor inicial a utilizar.

Ejemplo usando la calculadora bc

Antes que nada, veamos un ejemplo de una raíz cúbica usando una calculadora para poner de manifiesto la “belleza oculta” de este tipo de método. En particular, aquí hemos se ha usado la utilidad de consola bc, disponible para todos los sistemas operativos, por permitir trabajar con precisión arbitraria; lo que nos permitirá seguir un ejemplo con un número exagerado de decimales. Calculemos:

$x={\sqrt[{3}]{A}}={\sqrt[{3}]{100\pi }}$

Como comienzo, evaluamos $100\pi$ con 40 decimales:

$A=100\pi =314.1592653589793238462643383279502884196800$

así como su raíz cúbica:

$x={\sqrt[{3}]{A}}={\sqrt[{3}]{100\pi }}=6.7980333511054289727967487123991688962876$

A continuación, trataremos de aproximarnos a este valor de la raíz usando el método de Newton. De acuerdo con la tabla de cubos dada arriba, elegiremos $7$ como valor inicial aproximado de la raíz $x_{0}$ ya que su cubo $343$ es el valor tabulado más próximo al radicando $100\pi$ . Con este valor $x_{0}=7.0$ inicial, usando: ${\textstyle x_{k+1}=\left(2x_{k}+{A}/{x_{k}^{2}}\right)/3}$ obtenemos con 30 decimales:

$x$	6.798033351105428972796748712399
$x_{0}$	7.0
$x_{1}$	6.803804526251560026165063526040
$x_{2}$	6.798038244991678152259576056269
$x_{3}$	6.798033351108952065196287174827
$x_{4}$	6.798033351105428972796750538247
$x_{5}$	6.798033351105428972796748712399

Donde los dígitos que aparecen repetidos en la siguiente iteración se han subrayado para revelar la “belleza oculta” de este método que mencionamos anteriormente: la convergencia es cuadrática, lo que significa que el número de dígitos correctos del resultado básicamente se duplica en cada iteración. Esto marca una gran diferencia con los métodos tradicionales o los métodos aritméticos elementales donde sólo se obtiene una nueva cifra del resultado en cada paso (convergencia lineal).

Ejemplo de cálculo manual

Las computadoras no sufren por manejar un número excesivo de decimales, nosotros sí. Por tanto, conviene decidir qué queremos obtener de un cálculo antes de realizarlo a mano, ya sea con papel y lápiz o con el ábaco, y proceder en consecuencia. En el caso de las raíces, esto tiene dos aspectos:

¿Cuántas cifras queremos que tenga nuestro resultado?
¿Cuántas cifras debemos manipular durante los cálculos intermedios para obtener lo anterior?

La mayoría de los cálculos prácticos utilizan números del mundo real obtenidos por medición, y las medidas son siempre de precisión limitada. Las medidas usuales suelen tener tres dígitos significativos, excepcionalmente cuatro, y sólo mediciones muy cuidadosas, con protocolos muy exigentes que pueden extenderse a lo largo de años, conducen a resultados con más cifras significativas. Esta es la razón por la que las tablas de logaritmos con cuatro decimales, las reglas de cálculo y las operaciones abreviadas fueron tan útiles y populares en el pasado; sólo los problemas de matemática pura, astronomía, geodesia, topografía, navegación, etc. necesitaban más precisión.

Propongámonos, por ejemplo, obtener raíces cúbicas hasta cuatro cifras significativas; lo que no significa que no podamos cambiar de opinión más adelante y continuar los cálculos hasta conseguir mayor precisión. Tomemos esto como una respuesta a la primera de las dos cuestiones anteriores.

En cuanto a la segunda cuestión, no es necesario utilizar más de uno o dos dígitos decimales adicionales en los cálculos intermedios. Así, si queremos un resultado con cuatro cifras significativas, sólo tendremos que utilizar cinco o seis dígitos en los cálculos intermedios. Es interesante recalcar esto porque con los métodos tradicionales uno se acostumbra a problemas como hallar la raíz cúbica de 60698457, un número con 8 dígitos, y se espera que, con los métodos tradicionales, se demuestre que el número dado es un cubo perfecto y que su raíz cúbica es exactamente 393, lo que requerirá usar las 8 cifras del radicando. Pero los cubos perfectos son escasos y casi todas las raíces cúbicas con las que nos podamos enfrentar en la práctica son números irracionales cuya representación consiste en una sucesión infinita de dígitos sin repetición. El método de Newton supone un cambio de paradigma respecto a los métodos tradicionales; en lugar de buscar las cifras exactas o correctas del resultado, nos limitamos a buscar una aproximación útil con un número dado de dígitos; y para esto quiźas no necesitemos trabajar con todas las cifras del radicando. Por ejemplo, para obtener una aproximación de tres dígitos a la raíz cúbica de 60698457 sólo necesitamos trabajar con cuatro cifras como podemos comprobar redondeando el número a cuatro dígitos significativos (60700000) y calculando su raíz cúbica con una calculadora electrónica; el resultado que obtenemos, 393.003330089, es correcto a tres dígitos (en realidad a cinco).

Dicho todo esto, intentemos ahora obtener manualmente la raíz cúbica de $A=100\pi$ con cuatro dígitos de precisión. Podríamos repetir los cálculos realizados anteriormente con la utilidad bc pero con un número menor de lugares decimales (usando $a=314.1592654$ como valor aproximado de $A=100\pi$ ) y seguir manualmente el mismo proceso que podríamos programar en una computadora con lo que obtendríamos:

Método de Newton Vertical
$a=314.1592654$
$x_{0}$	7
$x_{1}$	6.803805
$x_{2}$	6.798038
$x_{3}$	6.798033
$x_{4}$	6.798033

proceso que, en ausencia de otro nombre, llamaremos aquí: Método de Newton Vertical (por la disposición de la tabla anterior). Pero lo que es adecuado para una computadora no necesariamente lo es para nosotros los humanos. Fijémonos en la fila $x_{1}=6.803805$ de la tabla anterior; partiendo de una aproximación inicial (7) a la raíz, hemos obtenido una nueva aproximación (6.803805) y si ahora seguimos ciegamente el método de Newton, como lo hace la computadora, en la próxima iteración tendremos que dividir dos veces por 6.803805 o bien obtener su cuadrado y dividir por él. Pero si partimos de una aproximación de un dígito a la raíz (7), sólo podemos esperar que el nuevo valor ( $x_{1}=6.803805$ ) tenga una precisión de dos dígitos a lo sumo (por lo dicho sobre convergencia cuadrática) por lo que sería una pérdida de tiempo y esfuerzo emprender divisiones por el valor completo (6, 803805). Lo práctico para nosotros los humanos será redondear el resultado a $x_{1}\approx 6.8$ y usarlo como un nuevo valor inicial $x_{0}=x_{1}\approx 6.8$ y repetir el proceso obteniendo un nuevo valor $x_{1}$ :

Método de Newton Horizontal $a=314.16$
$x_{0}$	7	6.8	6.798
$x_{1}$	6.803810	6.798039	6.798039

Proceso que llamaremos aquí: Método de Newton Horizontal para distinguirlo del anterior. De este modo obtenemos una nueva solución $x_{1}$ que podría tener alrededor de cuatro cifras significativas. Ahora, redondeando nuevamente a estas cuatro cifras, tendremos una nueva $x_{0}$ para continuar, y así sucesivamente. Es de esperar que esta forma de proceder nos ahorre mucho trabajo y tiempo.

Vemos que, en este caso, la meta de cuatro dígitos se alcanza después de solo dos rondas o iteraciones y que nos ha bastado usar 5 dígitos del radicando ( $a=314.16$ ). En el Apéndice veremos cómo desarrollar este proceso en el ábaco.

Es de destacar que si en cualquier momento cambiamos de opinión y queremos 8 dígitos del resultado en lugar de 4, el trabajo hecho hasta ahora no se pierde, todo lo que tenemos que hacer es usar 9 o 10 dígitos en lugar de 5 para el radicando y usar la última raíz obtenida (redondeada) como el nuevo valor inicial $x_{0}$ .

Por cierto, en cada iteración debemos elegir una de las siguientes alternativas:

Dividir una vez por el cuadrado de $x_{0}$
Dividir dos veces por $x_{0}$

Normalmente, la primera opción resulta rápida para las dos primeras iteraciones, pero a partir de ahí la segunda parece más adecuada. Esto es una cuestión de gusto o preferencia personal.

Ejemplos en el ábaco

El uso del método de Newton es, básicamente, una secuencia de divisiones. El lector ya conoce su ábaco, cómo dividir y cómo organizar las operaciones según sus gustos personales, por eso no parece especialmente importante dar ejemplos concretos de aplicación con el ábaco; cada cual debería organizar los cálculos como más cómodo le resulte, empleando el método de división que prefiera. No hay, por tanto, una forma estándar de organizar estos cálculos en el ábaco; no obstante, en el Apéndice, se incluye un ejemplo usando la división tradicional (TD) y la disposición tradicional de la división (TDA) que permite demostrar que un pequeño ábaco de solo 13 varillas es suficiente para lograr un resultado bastante preciso; tenga o no cuentas adicionales. Esto marca una gran diferencia con los métodos tradicionales.

Lo que quizás es más importante con este método es que el lector se entrene y experimente con papel y una calculadora, o con una hoja de cálculo, para asegurarse de que asimila la esencia del método y lo dicho acerca de número de dígitos a usar, precisión etc. lo cual le facilitará el llevarlo a efecto en el ábaco. Aquí tiene una propuesta del tipo de ejercicio que podría intentar para este fin:

A:	123.456789	a:	123.4	123.457	123.456789
Raíz cúbica:	4.97933859218174	x0:	5	4.98	4.9793
		x1:	4.98	4.979	4.979338592
A:	234.567891	a:	234.5	234.5	234.567891
Raíz cúbica:	6.16722113576207	x0:	6	6.2	6.167
		x1:	6.17	6.167	6.167221144
A:	345.678912	a:	345.7	345.679	234.567891
Raíz cúbica:	7.01817665163704	x0:	7	7.02	6.167
		x1:	7.02	7.018	6.167221144
A:	456.789123	a:	457	456.79	456.789123
Raíz cúbica:	7.70143967570938	x0:	8	7.7	7.701
		x1:	7.71	7.701	7.701439701
A:	567.891234	a:	567.9	567.89	567.891234
Raíz cúbica:	8.28110684986205	x0:	9	8.3	8.281
		x1:	8.34	8.281	8.281106851
A:	678.912345	a:	678.9	678.91	678.912345
Raíz cúbica:	8.7889683778839	x0:	9	8.8	8.789
		x1:	8.79	8.789	8.788968378
A:	789.123456	a:	789.1	789.12	789.123456
Raíz cúbica:	9.24091518455268	x0:	9	9.3	9.241
		x1:	9.25	9.241	9.240915185
A:	891.234567	a:	891.2	891.23	891.234567
Raíz cúbica:	9.6234473398081	x0:	10	9.6	9.623
		x1:	9.64	9.623	9.623447361
A:	912.345678	a:	912.3	912.34	912.345678
Raíz cúbica:	9.69884025529398	x0:	10	9.7	9.699
		x1:	9.71	9.699	9.698840258

Extensión a otras raíces de orden primo

Raíces quintas

Tabla de potencias cuartas y quintas
$d$	$d^{4}$	$d^{5}$
1	1	1
2	16	32
3	81	243
4	256	1024
5	625	3125
6	1296	7776
7	2401	16807
8	4096	32768
9	6561	59049

Para extender el método a la raíz quinta , comencemos por considerar que cualquier número real $A$ puede escribirse como

$A=A'\times 10^{5m}$

donde $1\leq A'<100000$ y $m$ es un número entero (positivo o negativo); por lo que se puede escribir la raíz quinta:

${\sqrt[{5}]{A}}={\sqrt[{5}]{A'}}\times 10^{m}$

por lo que que podemos restringirnos a considerar sólo el problema para ${\sqrt[{5}]{A'}}$ ', es decir, obtener la raíz cúbica de números comprendidos entre 0 y 100 000 que estará comprendida en el intervalo:

$1\leq {\sqrt[{5}]{A'}}<10$

Resultará útil, si no memorizar, tener a mano la tabla de potencias cuartas y quintas de la derecha.

Recordando que para raíces quintas $x_{k+1}=\left(4x_{k}+{A}/{x_{k}^{4}}\right)/5$ , habrá que decidir en cada iteración una de las siguientes alternativas

Dividir cuatro veces por la raíz anterior $x_{k}$ .
Dividir dos veces por el cuadrado de la raíz anterior $x_{k}^{2}$ .
Dividir una vez por la cuarta potencia de la raíz anterior $x_{k}^{4}$ .

lo cual significa un grado de complicación y cantidad de trabajo mayor que en el caso de raíces cúbicas.

Veamos el ejemplo de $A=100\pi$ (cuya raíz quinta es ${\sqrt[{5}]{100\pi }}=3.15812979\cdots$ ) usando $a=314.16$ como aproximación. Por la tabla anterior vemos que la raíz quinta de $A$ es algo mayor que tres, por lo que elegimos $x_{0}=3$ . Usando $x_{0}^{4}=81$ (de la tabla), llegamos rápidamente a $x_{1}=3.1757$ , por lo que una mejor aproximación a la raíz es $3.2$

Raíz quinta de $A=100\pi$
a=314.16
x0	3	3.2	3.16
x1	3.1757	3.1592	3.1581

Si intentamos una ronda más con este nuevo valor inicial, después de un poco de trabajo tendremos 3.1592, que tiene casi cuatro dígitos correctos (es solo 0.001 de la raíz verdadera o un error de 0.03%).

Raíces séptimas

En principio, es posible extender el método a raíces de orden primo superiores (para raíces cuyo orden tiene divisores, siempre será más sencillo realizar una serie de raíces en cadena de órdenes primos más pequeños; por ejemplo, para la raíz duodécima de 2 será preferible evaluar

${\sqrt[{12}]{2}}={\sqrt {\sqrt {\sqrt[{3}]{2}}}}$

que tratar de obtener directamente la raíz duodécima). En la práctica, sin embargo, ya hemos visto la complicación que aparece con raíces quintas, complicación que se agravaría para raíces séptimas y que en el caso general procede de la presencia del término $x_{k}^{n-1}$ en la expresión de $x_{k+1}$ que es costoso de evaluar, suponiendo un límite efectivo a la aplicación del método de Newton tanto en cálculo manual (ábaco o escrito) como con las computadoras.

El lector puede convencerse por si mismo de lo anterior intentando alguna raíz séptima por su cuenta, pero si desea obtener raíces de órdenes elevados con su ábaco, lo mejor será que use el cálculo logarítmico. Aunque no expresamente recogido en los manuales sobre el ábaco, el cálculo logarítmico se extendió rápidamente por Oriente, de la mano de misioneros y embajadores científicos Jesuitas, casi inmediatamente tras su invención y se usó en conjunción con el ábaco que resultó ser un auxiliar formidable al simplificar y acelerar las sencillas transformaciones aritméticas requeridas por aquél. Si no le atrae la idea de importar a su ábaco logaritmos procedentes de una fuente externa (tablas o calculadora), puede tratar de obtenerlos directamente sobre el ábaco. En el capítulo Método RADIX para Obtener Logaritmos Decimales se explicará una técnica que, por ejemplo, le permitirá obtener una raíz séptima en pocos minutos.

Conclusiones

El método de Newton sobre el ábaco, en comparación con los métodos tradicionales, tiene una serie de ventajas y desventajas. La siguiente lista probablemente sea incompleta.

Pros

Es más fácil de recordar.
Es rápido, a menudo tres iteraciones conducen a una raíz de 7-8 dígitos.
Es compacto, para 7-8 dígitos sólo necesita un ábaco de 15-17 varillas si se usa la división moderna, tal vez 13 varillas sean suficientes usando la división tradicional (TD) en disposición tradicional (TDA). Para el mismo propósito, usando los métodos tradicionales, necesitaría un ábaco con muchas más varillas.
Pequeños errores se "planchan" con las siguientes iteraciones y desaparecen (equivalen a tomar un valor inicial $x_{0}$ distinto del óptimo), no se vuelven catastróficos como sería el caso de los métodos tradicionales.
Como este método es principalmente una secuencia de divisiones, puede utilizar su ábaco favorito, algoritmo de división y arreglo de operaciones para adaptarlo a sus gustos personales.

Contras

No es fácil saber cuántos dígitos del resultado son correctos sin una iteración adicional, pero sus habilidades numéricas le ayudarán y lo harán más interesante.
No es fácil saber si un número dado es un cuadrado, cubo, etc. perfecto o no.
El radicando debe introducirse varias veces en el ábaco; por lo que habrá que memorizarlo o tenerlo disponible por escrito, etc.
Sobre el ábaco, el resultado no sustituye al radicando como en el método tradicional y al igual que que ocurre con el resto de las operaciones aritméticas elementales donde el resultado ocupa el lugar de uno de los operandos.

Apéndice: Ejemplo del método de Newton (raíz cúbica) en un ábaco de 13 varillas

Raíz cúbica de $A=100\pi$ usando división tradicional (TD) y la disposición tradicional de la división (TDA) para lograr compacidad. Se puede usar cualquier tipo de ábaco si sabe cómo tratar con el desbordamiento. En principio, nos proponemos obtener cuatro dígitos de la raíz, por lo que nos basaremos en la aproximación $a=314.16$ al radicando $A$ . De acuerdo a la tabla de cubos, podemos tomar $x_{0}=7$ como primera versión de la raíz.

Raíz cúbica de $A=100\pi$ (4 cifras)
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM
49 31416	Radicando en F-J, para ser dividido por 7x7=49
. .	Varillas unidad
49 73416	Regla: 3/4>7+2
-1	Revisión a la baja
+4
49 67416
-54	Restar 6x9 de GH
49 62016
49 65016	Regla: 2/4>5+0
-1	Revisión a la baja
+4
49 64416
-36	Restar 4x9 de HI
49 64056	56 > 49
+1	Revisión al alza de H
-49
49 64107	Tres dígitos del cociente son suficientes
641	Borrando resto y divisor
.	Varilla unidad
+14	Sumar el doble de la raíz anterior
2041
3 2041	Dividir por 3 3
3 6241	Regla: 2/3>6+2
3 6661	Regla: 2/3>6+2
3 6801	Revisar al alza dos veces
3 6803	Regla: 1/3>3+... four quotient digits, stop
.	Varilla unidad
6803	Borrar A, Nueva raiz ≈ 6.8
36 6803	elevando al cuadrado 6.8, poner 6x6 en AB
+96	Sumar 2x6x8 a BC
+64	Sumar 8x8 a CD
46246803
46246803 68	Por conveniencia, poner nueva raíz en LM
4624 68	Borrar cosas viejas...
4624 68
4624 31416 68	poner radicando nuevamente, a dividir ahora por 46.24
. . .	Varilla unidad
4624 73416 68	Regla: 3/4>7+2
-1	Revisión a la baja
+4
4624 67416 68
ABCDEFGHIJKLM
4624 67416 68
-36	Restar 6x624 de G-J
-12
-24
4624 63672 68
4624 67872 68	Regla: 3/4>7+2
-42	Restar 7x624 de H-K
-14
-28
4624 67435268
4624 67975268	Regla: 4/4>9+4
-54	Restar 9x624 de H-K
-18
-36	No queda sitio! Seguimos con división aproximada
4624 67919068	Siguiente, Regla: 1/4>2+2, pero esto trae consigo...
4624 67921068	OverflowFlag ON! Memorícelo o use cuentas adicionales
	o suspendidas!
-12	Restar 2x624 de J-M, OverflowFlag OFF!
-04	No queda sitio! Aproximando!
-08	No queda sitio! Aproximando!
4624 67929868	Revisar al alza dos veces
+2
-9248
4624 67940568	Revisión al alza de J
+1
-4
4624 67941168
67941 68	Borrar resto y divisor
. . .	Varilla unidad
67941136	Doble la raíz antigua sumándola a si misma
+136	Sumar el resultado a E-G y borrar KLM
203941
3 203941	Dividir por 3
3 679803	Resultado de la división.
. .	Varilla unidads. Nueva raiz ≈ 6.798

A partir de aquí, si desea continuar para lograr mayor precisión, puede empezar de nuevo utilizando $a=314.15927$ y $x_{0}=6.798$ .

Raíz cúbica de $A=100\pi$ (continuación)
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJKLM	Para continuar, poner nueva raíz en A-D y el radicando en F-M
6798 31415927	8 dígitos del radicando
. .	Varilla unidad. Empiece dividiendo el radicando dos veces por
etc...	67.98 (en lugar de elevar al cuadrado este número y dividir por él) hay suficiente espacio para llegar a una raíz de 6-7 dígitos usando división abreviada cuando sea necesario.

Nota:: Para elevar un número al cuadrado en el ábaco, puede seguir el procedimiento descrito en el capítulo: Métodos Especiales de Multiplicación.

Ábaco Oriental

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La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

{{Ábaco Oriental}}/◇