Ábaco Oriental/Métodos del Ábaco Moderno/Multiplicación Moderna

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Debería lograr algunas habilidades básicas de suma y resta antes de intentar la multiplicación.

Introducción[editar]

El concepto básico de multiplicación de números naturales es el de una suma repetida.

Por ejemplo, para multiplicar 47 por 23 solo es necesario sumar 23 47 veces o sumar 47 23 veces; lo podemos hacer con nuestro ábaco:

Multiplicación como suma repetida
Ábaco Comentario
ABCDEFHIJ
  .  .  . Marcas de unidad
 +1   +47 Sumar 1 a C y 47 a IJ
  1    47
 +1   +47 Sumar 1 a C y 47 a IJ
  2    94
 +1   +47 Sumar 1 a C y 47 a IJ
  3   141
   ... Continuar del mismo modo

19 veces...!

 22  1034
 +1   +47 Sumar 1 a C y 47 a IJ
 23  1081 Fin. 23×47=1081
  .  .  . Marcas de unidad

Donde repetimos 23 veces la suma de 47 a las columnas IJ mientras sumamos 1 a C para tener un "contador" a nuestra disposición. ¡Pero esto es tremendamente lento! Una forma más eficiente de hacer lo mismo puede ser la siguiente:

Las calculadoras mecánicas del pasado empleaban el procedimiento de la izquierda para multiplicar
Una forma más conveniente
Ábaco Comentario
ABCDEFHIJ
  .  .  . Marcas unidad
 +1   +47 Sumar 1 a C y 47 a IJ
  1    47
 +1   +47 Sumar 1 a C y 47 a IJ
  2    94
 +1   +47 Sumar 1 a C y 47 a IJ
  3   141
+1   +47 Sumar 1 a B y 47 a HI
 13   511
+1   +47 Sumar 1 a B y 47 a HI
 23  1081 Fin. 23×47=1081
  .  .  . Marcas unidad

Donde esta vez, después de agregar 47 tres veces a IJ (y 1 a C), nos hemos desplazado una columna a la izquierda y hemos comenzado a agregar 47 a las columnas HI (y 1 a B). Sumar 47 en HI equivale a sumar 470 = 10 × 47 a HIJ (10 a BC) reduciendo drásticamente el número de operaciones a realizar, porque después de hacerlo solo dos veces llegamos a 23 en el contador BC y 1081 en GHIJ, el resultado final. Esta forma de multiplicar fue la habitual en las calculadoras mecánicas que aparecieron a finales del siglo XIX y que se siguieron utilizando hasta la década de los 70. Pero esto sigue siendo excesivamente lento.

Piense que el ábaco tal como lo conocemos ahora permite sumar muy rápido, pero que antes de su invención se usaban varillas de cálculo que son extraordinariamente lentas de manejar. Por lo tanto, no es sorprendente que los matemáticos chinos, buscando abreviar los cálculos, finalmente inventaran la tabla de multiplicar decimal, tal como la conocemos nosotros, unos siglos antes de nuestra era.

La tabla de multiplicar[editar]

Tiras de bambú conteniendo la tabla de multiplicar decimal más antigua conocida, datada por radiocarbono en el 305±30 antes de nuestra era

Esta es la tabla de multiplicar decimal como la aprendemos en la escuela:

Tabla de multiplicar decimal
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Pero viviendo en la era de las computadoras, lo más probable es que pronto comencemos a usar una calculadora electrónica y en la edad adulta hagamos pocas multiplicaciones a mano. A menudo, muchos de nosotros, incluso los matemáticos, no tenemos la tabla de multiplicar "fresca" en la memoria y esto puede ser una mala noticia para quien se inicia: si se quiere multiplicar (y dividir) de manera eficiente con un ábaco, es necesario "refrescar" la tabla de multiplicar en la memoria y esto puede requerir un cierto tiempo de práctica.

Usando la tabla de multiplicar podemos resolver el problema de multiplicación en la forma:

es decir, solo tenemos que recuperar los productos parciales: de la tabla de multiplicar y sumarlos en los lugares correctos, como hacemos con papel y lápiz

   47
  ×23
-----
   21
  12   (×10)
  14   (×10)
+ 8    (×100)
-----
 1081

Esto es absolutamente paralelo al método de multiplicación que vamos a seguir con el ábaco.

El método de multiplicación moderno[editar]

Cuando multiplicamos dos números y , llamamos a ambos números factores y producto al resultado , pero también es común llamar multiplicando a uno de los factores y multiplicador al otro. Sin embargo, a la hora de multiplicar con el ábaco:

Multiplicando
Es el factor que vamos a manipular sobre el ábaco y que nos guiará para obtener los productos parciales de forma ordenada y alinearlos correctamente para su suma en las posiciones correctas.
Multiplicador
Es el factor que no vamos a manipular sobre el ábaco. de hecho no es obligatorio ni siquiera ingresarlo (pero es conveniente). Por lo general, será el factor con menos dígitos de los dos.

Disposición de multiplicación[editar]

Hay dos formas de introducir ambos factores en el ábaco que pueden considerarse prácticamente equivalentes; Cada uno de ellos tiene sus propias ventajas y desventajas. Lo mismo puede decirse de la división que estudiaremos en el próximo capítulo. Siéntase libre de experimentar con ambos arreglos.

Disposición china tradicional[editar]

El multiplicando se pone a la izquierda en el ábaco y el multiplicador lo suficientemente alejado del mismo. Al menos tantas columnas como dígitos tenga el multiplicador más dos, o mejor tres, deben dejarse libres a la derecha del multiplicando.

Ejemplo
Disposición china tradicional
multiplicando: 345, multiplicador: 67
A B C D E F G H I K J L M
Soroban-lw.png Soroban-3.png Soroban-4.png Soroban-5.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-6.png Soroban-7.png Soroban-rw.png
3 4 5 6 7

o en forma de tabla:

Disposición china tradicional
multiplicando: 345, multiplicador: 67
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
345        67

Disposición tradicional japonesa[editar]

Esta es la forma inversa. El multiplicador se sitúa a la izquierda y el multiplicando a la derecha, dejando al menos dos columnas vacías en el medio. Necesitamos tener al menos tantas columnas libres a la derecha del multiplicador como el número de dígitos del multiplicador más uno.

Disposición tradicional japonesa
multiplicando: 345, multiplicador: 67
A B C D E F G H I K J L M
Soroban-lw.png Soroban-6.png Soroban-7.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-3.png Soroban-4.png Soroban-5.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
6 7 3 4 5

o en forma de tabla:

Traditional Japanese arrangement
multiplicand: 345, multiplier: 67
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
67  345

Esta es la forma que ha sido más popular en Japón.[1] y terminó siendo importada también a China. También es la disposición que usaremos en este capítulo.

Multiplicación de 1 dígito × 1 dígito[editar]

Por supuesto, esto es tan trivial que no necesitamos un ábaco, pero sirve para introducir el resto de ejemplos. Supongamos que tenemos que multiplicar, tomemos 7 como multiplicador, 8 como multiplicando y adoptemos disposición japonesa que acabamos de explicar; es decir, partimos de:

7×8=56
A B C D E F G
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-8.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
7 8

y procedamos del siguiente modo:

7×8=56
Ábaco Comentario
ABCDEFG
7  8 Planteando el problema
   +56 Multiplicar D×A y sumarlo a EF
7  856
7  856 Borrar D
7   56 Resultado: 7×8=56 en EF


Resultado final
A B C D E F G
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-5.png Soroban-6.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
7 5 6

Sí, tiene razón; es usted quien hizo la multiplicación, no el ábaco. En el siguiente ejemplo sin embargo, el ábaco comienza a mostrar su utilidad.

Multiplicación de 1 dígito × 2 dígitos[editar]

Multipliquemos: , el multiplicando será 83.

7×83
A B C D E F G H
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-8.png Soroban-3.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
7 8 3


7×83
Ábaco Comentario
ABCDEFGH
7  83 Planteo
    +21 Multiplicar E × A y sumarlo a FG
7  8321
7  8321 Borrar E
7  8 21
   +56 Multiplicar D × A y sumarlo a EF
7  8581
7  8581 Borrar D
7   581 Resultado: 7×83=581
7×83 Resultado
A B C D E F G H
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-5.png Soroban-8.png Soroban-1.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
7 5 8 1

Al menos, el ábaco ha servido para sumar los dos productos parciales enFG y EF.

Multiplicación de 2 dígitos × 2 dígitos[editar]

Ahora multipliquemos .

79×83
A B C D E F G H I
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-9.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-8.png Soroban-3.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
7 9 8 3
Caption text
Ábaco Comentario
ABCDEFGHI
79  83 Planteo
     +21 Multiplicar F×A y sumarlo a GH
      +27 Multiplicar F×B y sumarlo a HI
79  83237
79  83237 Borrar F
79  8 237
    +56 Multiplicar E×A y sumarlo a FG
     +72 Multiplicar E×B y sumarlo a GH
79  86557
79  86557 Borrar E
79   6557 Resultado: 79×83=6557 en FGHI


79×83 Resultado
A B C D E F G H I
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-9.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-6.png Soroban-5.png Soroban-5.png Soroban-7.png Soroban-rw.png
7 9 6 5 5 7

Multiplicación de varios dígitos[editar]

Generalizando lo visto en los ejemplos anteriores:

Para cada dígito del multiplicando, comenzando por la derecha
  • Multiplicar el dígito actual del multiplicando por los dígitos del multiplicador (de izquierda a derecha), sumando el primer producto parcial a las dos columnas a la derecha del dígito actual del multiplicando, y el resto de los productos desplazandonos sucesivamente una columna a la derecha cada vez.
  • Borrar el dígito multiplicando actual.

Veámoslo con el siguiente ejemplo: :

799×835
A B C D E F G H I K J L
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-8.png Soroban-3.png Soroban-5.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
7 9 9 8 3 5
799×835
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKL
799  835 Planteamiento
       +35 Multiplicar H×A y sumarlo a IJ
        +45 Multiplicar H×B y sumarlo a JK
         +45 Multiplicar H×C y sumarlo a KL
799  8353995
799  8353995 Borrar H
799  83 3995
      +21 Multiplicar G×A y sumarlo a HI
       +27 Multiplicar G×B y sumarlo a IJ
        +27 Multiplicar G×C y sumarlo a JK
799  8327965
799  8327965 Borrar G
799  8 27965
     +56 Multiplicar F×A y sumarlo a GH
      +72 Multiplicar F×B y sumarlo a HI
       +72 Multiplicar F×C y sumarlo a IJ
799  8667165
799  8667165 Borrar F
799   667165 Resultado: 799×835=667165


799×835 Resultado
A B C D E F G H I K J L
Soroban-lw.png Soroban-7.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-6.png Soroban-5.png Soroban-7.png Soroban-1.png Soroban-6.png Soroban-5.png Soroban-rw.png
7 9 9 6 5 7 1 6 5

Ceros embebidos[editar]

Sea particularmente cuidadoso cuando alguno de los factores tiene ceros internos; por ejemplo:

3075×2707
A B C D E F G H I K J L M N O
Soroban-3.png Soroban-0.png Soroban-7.png Soroban-5.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-2.png Soroban-7.png Soroban-0.png Soroban-7.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png
3 0 7 5 2 7 0 7


3075×2707
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
3075  2707 Planteamiento
         +21 Multiplicar JxA, y sumarlo a KL
           +49 Multiplicar JxC, y sumarlo a MN!
            +35 Multiplicar JxD, y sumarlo a NO
3075  270721525
3075  270721525 Borrar J
3075  27  21525
       +21 Multiplicar HxA, y sumarlo a IJ
         +49 Multiplicar HxC, y sumarlo a KL!
          +35 Multiplicar HxD, y sumarlo a LM
3075  272174025
3075  272174025 Borrar H
3075  2 2174025
      +06 Multiplicar GxA, y sumarlo a HI
        +14 Multiplicar GxC, y sumarlo a JK!
         +10 Multiplicar GxD, y sumarlo a KL
3075  2 8324025
3075  2 8324025 Borrar G
3075    8324025 Resultado: 3075×2707=8324025
3075×2707 Resultado
A B C D E F G H I K J L M N O
Soroban-3.png Soroban-0.png Soroban-7.png Soroban-5.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-8.png Soroban-3.png Soroban-2.png Soroban-4.png Soroban-0.png Soroban-2.png Soroban-5.png
3 0 7 5 8 3 2 4 0 2 5

La columna de la unidad y los decimales[editar]

Por favor, revise todos los ejemplos vistos hasta ahora y compruebe que, en todos los casos:

La columna de las unidades del producto se ubica columnas a la derecha de la columna de la unidades del multiplicando; donde es el número de dígitos del multiplicador.

Esta es una regla general para la multiplicación de números naturales siguiendo el método moderno de multiplicación que estamos estudiando. Es conveniente tener en cuenta esta regla ya que el producto podría tener ceros al final, como en el caso ; lo que podría confundirle. Por ejemplo:

32×1625
A B C D E F G H I K J L
Soroban-3.png Soroban-2.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-1.png Soroban-6.png Soroban-2.png Soroban-5d.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png
3 2 1 6 2 5u

En el diagrama anterior, la barra unitaria del multiplicando es la columna H (señalada con un punto blanco en la barra). Después de la multiplicación, el ábaco muestra:

32×1625 Resultado: 52000
A B C D E F G H I K J L
Soroban-3.png Soroban-2.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-5.png Soroban-2d.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png
3 2 5 2 0 0 0u

Necesita saber que la barra unitaria del resultado es varillas a la derecha de H (es decir, en J) para leer correctamente el resultado 52000.

Podemos extender esta regla a números decimales :

La columna de las unidades del producto se encuentra columnas a la derecha de la columna de las unidades del multiplicando; donde es el número de dígitos del multiplicador a la izquierda de su punto decimal (¡que podría ser negativo!).

La siguiente tabla muestra los valores para algunos multiplicadores:

Multiplicadores n
32.7 2
3.27 1
0.327 0
0.00327 -2

Multipliquemos ; La varilla de las unidades es F.

0.0032×16.25
A B C D E F G H I K J L
Soroban-3.png Soroban-2.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-1.png Soroban-6d.png Soroban-2.png Soroban-5.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png
3 2 1 6 2 5

y para el multiplicador , tenemos

0.0032×16.25 Resultado: 0.052
A B C D E F G H I K J L
Soroban-3.png Soroban-2.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0d.png Soroban-5.png Soroban-2.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png
3 2 0 0 5 2

de modo que la barra unitaria del producto es barras a la derecha de F, es decir, una barra a su izquierda ( E ) y el resultado debe leerse como .

Referencias[editar]

  1. The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1954. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka. 

Recursos externos[editar]

Hojas de ejercicios

Otras lecturas[editar]