Ábaco Oriental/Métodos del Ábaco Moderno/Adición y Sustracción

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Introducción[editar]

Como ya se ha dicho en el capítulo Conceptos Básicos de este libro, la suma y la resta son las dos únicas operaciones que se pueden realizar en el ábaco; todo lo demás debe reducirse a una secuencia de tales sumas y restas, por lo que aprender estas dos operaciones es el paso más fundamental en el estudio del ábaco.

Aprender a sumar y restar con el ábaco es otro caso de aprendizaje psicomotor, similar a aprender a bailar, montar en bicicleta, conducir o aprender un instrumento musical.

  • En una primera fase se necesita un esfuerzo cognitivo continuo tratando de determinar cuál es el siguiente movimiento que se tiene que hacer.
  • Posteriormente, se tiende a pensar menos mientras los movimientos van surgiendo de una forma cada vez más automática.
  • Finalmente, los movimientos surgirán espontáneamente, se tendrán definitivamente programados en la corteza cerebral motora y no habrá que volver a pensar en ellos. No obstante, se podrán perfeccionar a lo largo de toda la vida.

Sí, estudiar el ábaco es como aprender a tocar un instrumento musical, pero aprender el ábaco es mucho más fácil y rápido que aprender a tocar la viola y el progreso se puede notar día a día.

En lo que sigue nos ocuparemos de la suma y la resta conjuntamente; en efecto, sería muy difícil separar el aprendizaje de una de estas operaciones de la otra ya que, como veremos, cuando estamos sumando pasamos la mitad del tiempo restando números complementarios y viceversa, cuando estamos restando pasamos la mitad del tiempo sumando dichos números complementarios.

También se ha anticipado en el capítulo citado de este libro que no es necesario saber sumar y restar para usar un ábaco, solo saber manipular las cuentas o contadores. De hecho, durante siglos se enseñó el ábaco a personas que no tenían conocimientos previos de aritmética, y que el único conocimiento que tendrían de ella a lo largo de su vida sería el uso del propio ábaco. Aprendieron a sumar y restar memorizando una larga serie de, llamémoslo, versos, rimas o reglas destinadas a ser cantadas o recitadas a medida que se practicaban. Por ejemplo, tomándolas del Pánzhū Suànfǎ de Xú Xīnlǔ[1], el primer libro completamente dedicado al ábaco publicado en 1573 (finales de la dinastía Ming), y traducido libremente del chino:

Las dos primeras páginas del Pánzhū Suànfǎ 盤珠算法 (1573)
Reglas para la suma de un dígito (Xú Xīnlǔ, 1573)
1 activar 1, 1 activar 5 desactivar 4, 1 restar 9 llevar 1
2 activar 2, 2 activar 5 desactivar 3, 2 restar 8 llevar 1
3 activar 3, 3 activar 5 desactivar 2, 3 restar 7 llevar 1
4 activar 4, 4 activar 5 desactivar 1, 4 restar 6 llevar 1
5 activar 5, 5 desactivar 5 llevar 1
6 activar 6, 6 activar 1 desactivar 5 llevar 1, 6 restar 4 llevar 1
7 activar 7, 7 activar 2 desactivar 5 llevar 1, 7 restar 3 llevar 1
8 activar 8, 8 activar 3 desactivar 5 llevar 1, 8 restar 2 llevar 1
9 activar 9, 9 activar 4 desactivar 5 llevar 1, 9 restar 1 llevar 1
Reglas para la resta de un dígito (Xú Xīnlǔ, 1573)
1 desactivar 1, 1 tomar 1 sumar 9, 1 activar 4 desactivar 5
2 desactivar 2, 2 tomar 1 sumar 8, 2 activar 3 desactivar 5
3 desactivar 3, 3 tomar 1 sumar 7, 3 activar 2 desactivar 5
4 desactivar 4, 4 tomar 1 sumar 6, 4 activar 1 desactivar 5
5 desactivar 5, 5 tomar 1 sumar 5
6 desactivar 6, 6 tomar 1 sumar 4
7 desactivar 7, 7 tomar 1 sumar 3
8 desactivar 8, 8 tomar 1 sumar 2
9 desactivar 9, 9 tomar 1 sumar 1

Lo cual, obviamente, nos informa de qué cuentas tenemos que mover para sumar o restar un dígito. Por ejemplo, la tercera línea de la tabla de suma contiene tres reglas para intentar sumar un 3:

  • 3 activar 3, es decir, simplemente activar tres cuentas inferiores.
  • 3 activar 5 desactivar 2, es decir, activar una cuenta superior y desactivar dos inferiores.
  • 3 restar 7 lleva 1, es decir, restar 7 y acarrear (sumar) 1 a la columna de la izquierda.

que se aplican, por ejemplo, a los siguientes casos:

1+3
A A
Soroban-1.png 3 activar 3 Soroban-4.png
1 4
3+3
A A
Soroban-3.png 3 activar 5 desactivar 2 Soroban-6.png
3 6
9+3
A B A B
Soroban-0.png Soroban-9.png 3 restar 7 acarrear 1 Soroban-1.png Soroban-2.png
0 9 1 2

Comprenderá mejor estas reglas más adelante, pero no se preocupe de todos modos, no tendrá que seguir estas 48 reglas, ya que irá por un camino más fácil memorizando solo seis reglas que, además, se pueden resumir en sólo tres.

Suma y resta de un dígito[editar]

El primer paso para aprender a sumar y restar con un ábaco es aprender a sumar o restar uno de los 9 dígitos 1, 2,..., 9 a/de cualquier otro 0, 1, 2,..., 9; en total 180 casos que recorreremos en nuestra práctica diaria hasta que los tengamos integrados en nuestra memoria motora. Después de esto, sumar o restar números de varios dígitos será tan simple como iterar este proceso de manera ordenada para todos los dígitos del sumando o sustraendo.

Lo que necesita saber[editar]

Para tratar los 180 casos mencionados anteriormente sin memorizar las 48 reglas del Panzhu Suanfa, necesitamos memorizar algunos datos casi triviales:

  • las cuentas necesarias para formar un dígito.
  • los complementos a 5 de los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5
  • los complementos a 10 de los dígitos 1, 2, ..., 10

Cuentas necesarias para formar un dígito[editar]

Recuerde lo que se dijo en los Conceptos Básicos de este libro: "La suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan a los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan al minuendo un conjunto de contadores que representan al sustraendo" . Por lo tanto, necesitamos saber las cuentas que componen cada dígito para poder sumarlas o restarlas, pero esto ya lo sabemos por la figura:

Representación de números en un ábaco moderno 4+1
Soroban-lw.png Soroban-0.png Soroban-1.png Soroban-2.png Soroban-3.png Soroban-4.png Soroban-5.png Soroban-6.png Soroban-7.png Soroban-8.png Soroban-9.png Soroban-rw.png
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

o en forma de tabla:

Cuentas necesarias para formar un dígito
Dígito Superiores inferiores
1 0 1
2 0 2
3 0 3
4 0 4
5 1 0
6 1 1
7 1 2
8 1 3
9 1 4


Números complementarios[editar]

También necesitamos memorizar dos tipos de parejas de dígitos:

  • Números complementarios a 5
  • Números complementarios a 10

Estos son las parejas de dígitos que juntos suman 5 o 10. Siempre los podemos encontrar mentalmente con nuestro conocimiento de suma y resta, pero con la práctica terminarán sólidamente instalados en nuestra memoria sin la necesidad de "calcularlos" mentalmente. Son la base de la mecánica del ábaco.

Números complementarios a 5
0 - 5 1 - 4 2 - 3
Números complementarios a 10
0 - 10 1 - 9 2 - 8 3 - 7 4 - 6 5 - 5

En una etapa posterior, para tratar con números negativos, también necesitará manejar números complementarios a 9:

Números complementarios a 9
0 - 9 1 - 8 2 - 7 3 - 6 4 - 5

Pero por ahora puede olvidarse de ellos sin problemas.

Las reglas a utilizar[editar]

La mecánica de la suma y la resta se basa en tres reglas que se probarán en secuencia tomando en cuenta lo siguiente:

  • Sólo si una regla fracasa (porque no dispongamos de las cuentas necesarias para completar la operación) procederemos a probar con la siguiente regla.
  • La segunda de las reglas solo funciona para los dígitos 1, 2, 3 y 4.
  • La tercera regla descompone la operación en otras dos "más simples" : un acarreo a la columna directamente a la izquierda, sea llevar (sumar 1) o tomar prestado (restar 1) de esa columna, más una operación del tipo opuesto (es decir, una resta si estamos sumando o una suma si estamos restando). En este caso:
    • La primera operación, con la columna de la izquierda (llevar o tomar prestado), es trivial la mayor parte de las veces, pero no siempre.
    • La segunda operación (la opuesta a la inicial) culminará usando las reglas 1 o 2 (nunca 3) de la operación contraria; es decir, la operación acabará aquí.
    • Necesitaremos decidir en qué orden haremos estas dos operaciones.

Reglas para la suma[editar]

Estas son las reglas para la suma de un dígito:

1 Trate de añadir las cuentas necesarias
2 Trate de añadir 5 (una cuenta superior) y retirar el complementario a 5 (cuentas inferiores)
3 Lleve 1 a la izquierda y reste el complementario a 10

Reglas para la resta[editar]

Y estas son las reglas para su sustracción:

1 Trate de retirar las cuentas necesarias
2 Trate de retirar 5 (cuenta superior) y añadir el complementario a 5 (cuentas inferiores)
3 Tome prestado 1 de la izquierda y sume el complementario a 10

Reglas conjuntas de suma y resta[editar]

Las reglas anteriores para la suma y la resta son de estructura idéntica, por lo que podemos fusionarlas en:

1 Trate de añadir/retirar las cuentas necesarias
2 Trate de añadir/retirar 5 (cuenta superior) y retirar/añadir el complementario a 5 (cuentas inferiores)
3 Lleve/tome prestado 1 de la izquierda y reste/sume el complementario a 10

¡y así sólo tendremos tres reglas que memorizar! Estas reglas nos ayudarán en la fase inicial de nuestra práctica a decidir qué cuentas hemos de mover, pero con el tiempo las iremos necesitando cada vez menos, conforme vayamos integrando en nuestra memoria motora cada uno de los 180 casos de suma y resta de un dígito y, con la práctica, llegaremos a prescindir totalmente de ellas. Entonces podremos decir que hemos aprendido a sumar y restar con el ábaco.

Las reglas anteriores nos muestran la absoluta simetría de las operaciones de suma y resta con el ábaco y justifican que tratemos ambas operaciones conjuntamente.

Orden de las operaciones[editar]

Antes de pasar a algunos ejemplos preliminares tenemos que decidir qué orden de operación usar en caso de llegar a la regla 3, lo que sucederá la mitad de las veces. Esta regla nos lleva a dividir el problema original en dos partes, con suerte más simples: un acarreo (llevada o préstamo) y una operación del tipo opuesto a la que estamos realizando. ¿Qué hacemos primero?

El método estándar japonés que se enseña actualmente y desde finales del siglo XIX propone realizar primero el préstamo y luego la suma del número complementario en el caso de la resta (lo cual recibe el nombre de sakidama 先珠 en japonés), mientras que en el caso de la suma, la resta del número complementario se hace primero y luego se lleva 1 a la columna de la izquierda (atodama 後珠)[2]. Esto parece inspirado en la estructura de las reglas / versos / rimas chinas utilizadas para enseñar el ábaco desde la antigüedad, pero no parece haber ninguna razón lógica convincente para hacerlo y no todos están de acuerdo.[3].

Como veremos, con el ábaco se trabaja de izquierda a derecha durante la suma y resta de números de varios dígitos, por lo que parece natural intentar respetar este movimiento de izquierda a derecha de la mano sin molestarla con continuas idas y venidas a la columna de la izquierda. Usar siempre sakidama (llevar y tomar prestado primero), tanto para la suma como para la esta, parece lo más natural.

No hace falta decir que si tiene un profesor o un entrenador debe seguir escrupulosamente sus instrucciones, pero si es autodidacta no dude en experimentar hasta encontrar su camino.

Por cierto, en algunos países asiáticos se enseña a usar la mano izquierda para llevar y tomar prestado.

Algunos ejemplos preliminares[editar]

Ejemplo
Ponga un 1 en una columna de su ábaco y súmele 3:
  1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas al 1 de nuestro ábaco? ¡Sí!
  2. * entonces, las activamos y hemos completado la operación con la primera regla.
1+3
A A
Soroban-1.png Regla 1 Soroban-4.png
1 4

Ejemplo
Entre 3 en una columna de su ábaco y súmele otro 3:
  1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas a las 3 de nuestro ábaco? ¡No!
  2. * entonces, pasamos a la segunda regla.
  3. Como el sumando 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (inactiva) una cuenta superior? ¡Sí!
  4. * entonces, aplicamos la segunda regla: activamos la cuenta superior y retiramos dos cuentas inferiores (el complemento a 5 del sumando 3).
3+3
A A
Soroban-3.png Regla 2 Soroban-6.png
3 6

Ejemplo
Ponga 9 en una columna de su ábaco y sume 3:
  1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para sumarlas a las 3 de nuestro ábaco? ¡No!
  2. * entonces, pasamos a la segunda regla.
  3. Como el sumando 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (inactiva) una cuenta superior? ¡No!
  4. * Entonces procedemos a la tercera regla:
  5. Sume 1 a la columna A y reste 7 (el complemento a 10 de 3) de B
    1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas, estamos restando ahora de la columna B) las cuentas necesarias (una cuenta superior y 2 inferiores) para retirarlas del 9 de nuestro ábaco? ¡Sí!
    2. * entonces, retírelas y habremos completado esta parte de la operación con la primera regla.
9+3
A B A B
Soroban-0.png Soroban-9.png Regla 3 Soroban-1.png Soroban-2.png
0 9 1 2

Como puede ver, las reglas utilizadas aquí son las mismas que aparecieron en el Panzhu Suanfa de Xu Xinlu, ¡pero condensadas en sólo tres reglas gracias al concepto de números complementarios!

Veamos ahora los movimientos inversos para la resta:


Ejemplo
Ingrese 4 en una columna de su ábaco y reste 3 de la misma:
  1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para retirarlas de las 4 en nuestro ábaco? ¡Sí!
  2. * entonces, las desactivamos y habremos completado la operación con la primera regla.
4-3
A A
Soroban-4.png Regla 1 Soroban-1.png
4 1

Ejemplo
Entre 6 en una columna de su ábaco y reste 3 de ella:
  1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para restarlas a las 6 de nuestro ábaco? ¡No!
  2. * entonces, pasamos a la segunda regla.
  3. Como el sustraendo 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (activa) una cuenta superior? ¡Sí!
  4. * Entonces aplicamos la segunda regla: desactivamos la cuenta superior y agregamos dos cuentas inferiores (el complemento a 5 del sustraendo 3).
6-3
A A
Soroban-6.png Regla 2 Soroban-3.png
6 3

Ejemplo
Entre 12 en un par de columnas de su ábaco (AB) y reste 3 de B:
  1. ¿Tenemos a nuestra disposición (activas) las cuentas necesarias (3 inferiores) para retirarlas de B? ¡No!
  2. * Entonces, intentamos la segunda regla.
  3. Como el sustraendo 3 es menor que 5 podemos probar la segunda regla: ¿Tenemos a nuestra disposición (activa) una cuenta superior? ¡No!
  4. * Entonces, pasamos a la tercera regla:
  5. Tome prestado (reste) 1 de A y sume 7 (el complemento a 10 de 3) a B
    1. ¿Tenemos a nuestra disposición (inactivas, estamos sumando ahora) Las cuentas necesarias (una cuenta superior y 2 inferiores) para agregarlas a las 2 en B? ¡Sí!
    2. * entonces, actívelas y habremos completado esta parte de la operación con la primera regla.
12-3
A B A B
Soroban-1.png Soroban-2.png Regla 3 Soroban-0.png Soroban-9.png
1 2 0 9

Tipos de suma y resta de un solo dígito[editar]

La siguiente tabla muestra para cada una de las 180 operaciones elementales de suma y resta qué regla nos resuelve el problema. Puede serle útil durante sus primeras prácticas, para elegir qué dígitos sumar o restar.

Tipos de suma y resta de un solo dígito
Suma Resta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
+1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 -1 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1
+2 1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 -2 3 3 1 1 1 2 2 1 1 1
+3 1 1 2 2 2 1 1 3 3 3 -3 3 3 3 1 1 2 2 2 1 1
+4 1 2 2 2 2 1 3 3 3 3 -4 3 3 3 3 1 2 2 2 2 1
+5 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 -5 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1
+6 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 -6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1
+7 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 -7 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1
+8 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 -8 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1
+9 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 -9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1

Como puede ver, las tablas anteriores para la suma y la resta son imágenes especulares entre sí. Observe también cómo la mitad de los casos corresponden a la regla tres, es decir, requieren acarreos, y de ellos, los marcados en negrita, terminan con una operación de tipo 2 opuesta. Verifique también cómo la regla 2 solo afecta la suma o resta de dígitos menores que 5.

Ejemplos[editar]

Estudie detenidamente los siguientes ejemplos.


Ejemplo
Ponga 5 en una columna de su ábaco y sume 7:

En este ejemplo, que requiere un acarreo (regla 3), la resta del número complementario a su vez requiere el uso de la regla 2, que afecta a la cuenta superior.

5+7
A B A B
Soroban-0.png Soroban-5.png Regla 3 seguida de regla 2 Soroban-1.png Soroban-2.png
0 5 1 2


Ejemplo
Entre 95 en el ábaco y súmele 7:

Ahora el acarreo conduce a otra operación de tipo 3, que requiere a su vez un nuevo acarreo. En esta operación se ven afectadas tres columnas del ábaco.

95+7
A B C A B C
Soroban-0.png Soroban-9.png Soroban-5.png Regla 3 + regla 3 Soroban-1.png Soroban-0.png Soroban-2.png
0 9 5 1 0 2
Ejemplo
Entre 999995 en el ábaco y súmele 7:

Se trata de una situación extrema, extrapolación del caso anterior, que conviene estudiar detenidamente. ¡El acarreo se extiende o corre a través de las columnas de la izquierda hasta que encuentra un hueco para alojarse!

999995+7
A B C D E F G A B C D E F G
Soroban-0.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-5.png Regla 3 + Regla 3 +... Soroban-1.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-2.png
0 9 9 9 9 9 5 1 0 0 0 0 0 2

Piense que, si tuviéramos a nuestra disposición una quinta cuenta inferior, como en el caso del ábaco tradicional, podríamos haber evitado este "acarreo" al menos temporalmente.

999995+7 en un ábaco tipo 5+2
A B C D E F A B C D E F
Suanpan-9.png Suanpan-9.png Suanpan-9.png Suanpan-9.png Suanpan-9.png Suanpan-5.png Regla 3 Suanpan-9.png Suanpan-9.png Suanpan-9.png Suanpan-9.png Suanpan-T.png Suanpan-2.png
9 9 9 9 9 5 9 9 9 9 10 2

Para obtener detalles sobre el uso de la quinta bola inferior, puede consultar el capítulo correspondiente una vez que haya adquirido suficiente práctica.

Ejemplo
Entre 50 en su ábaco y reste 3:

En este caso de una operación de tipo 3, el acarreo (préstamo) a su vez requiere una operación de tipo 2 (que afecta a la cuenta superior).

50-3
A B A B
Soroban-5.png Soroban-0.png ... Soroban-4.png Soroban-7.png
5 0 4 7
Ejemplo
Introduzca 10006 en su ábaco y reste 7:

Finalmente, este es un caso de "pedir prestado" donde tenemos que viajar lejos hacia la izquierda para encontrar algo de lo que poder restar. Estudie también este caso detenidamente.

10006-7
A B C D E A B C D
Soroban-1.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-6.png ... Soroban-0.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-9.png
1 0 0 0 6 0 9 9 9 9

Se trata también de una situación que se intenta paliar con el uso de una quinta cuenta inferior en los ábacos tradicionales.

Dos consejos[editar]

Hasta aquí nuestras explicaciones teóricas o intelectuales sobre el ábaco. Ahora ya sabe lo que "es" el ábaco oriental y está en camino. Este conocimiento intelectual será su guía durante sus primeros pasos, pero con la práctica, los movimientos de las cuentas se convertirán en una segunda naturaleza para usted y nunca volverá a pensar en todas estas reglas (al menos, hasta que escriba su primer libro sobre el ábaco). Para lograr esto necesitará practicar y practicar y te ofrecemos un par de consejos importantes que le ayudarán a completar el camino que está tomando ahora.

  • Nunca lea los resultados intermedios. Este es un mal hábito que no conduce a nada, sólo a perder tiempo y energía mental, y lo que quiere es adquirir rapidez y confort en el uso del ábaco. Su ábaco está ahí para mantener sus números seguros sin que tenga que preocuparse de ellos. Debería limitarse a "reaccionar" a la disposición de las cuentas sin ser consciente del número que estas representan.
  • Olvídese de las tablas de sumar y restar, salvo lo que hemos extraído de ellas en forma de números complementarios a 5 y 10. En particular, nunca piense: "Tengo que sumar 7+8, esto da 15, luego tiene que aparecer un quince en el ábaco". Si hace esto, estará "pensando" mientras suma y resta, y eso lo cansará y lo frenará. Si tiene que pensar en algo, piense en las reglas de movimiento de las cuentas y no en los números, ...hasta que sea capaz de sumar y restar mecánicamente mientras piensa en cualquier otra cosa.

Si no sigue estos consejos, probablemente desarrollará un mal hábito que puede ser muy difícil de corregir posteriormente, como ocurre con los malos hábitos que se adquieren, por ejemplo, al estudiar un instrumento musical.

Y ahora la práctica[editar]

Sus primeros ejercicios deben ser lo más simples posible y nada parece más fácil que elegir aleatoriamente dos dígitos, por ejemplo: 6 y 8, y tratar de sumarlos o restarlos (quizás agregando un uno delante del primer número si al restar el segundo necesita tomar prestado). Puede utilizar la tabla de tipos de operaciones explicada anteriormente en este capítulo para conocer de antemano el tipo de operación a realizar.

Posteriormente, se debe proceder a una práctica sistemática de los 180 casos de suma y resta de un solo dígito, para lo cual se propone el siguiente ejercicio que también servirá como introducción a la suma y resta de números de varios dígitos.

Comience con el ábaco en el siguiente estado, con el número 123456789, y agregue el mismo dígito a cada una de las nueve columnas B - J procediendo de izquierda a derecha

Ejercicio de suma: inicio
A B C D E F G H I J
Soroban-0.png Soroban-1.png Soroban-2.png Soroban-3.png Soroban-4.png Soroban-5.png Soroban-6.png Soroban-7.png Soroban-8.png Soroban-9.png
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Por ejemplo, para sumar 1 a cada uno de los dígito de 123456789; es decir, para sumar 111111111 a 123456798, siga los pasos indicados en la siguiente tabla

111111111 + 123456798
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ
 123456789 Empezar con esto
+1 Sumar 1 a B (Tipo 1)
 +1 Sumar 1 a C (Tipo 1)
  +1 Sumar 1 a D (Tipo 1)
   +1 Sumar 1 a E (Tipo 1)
    +1 Sumar 1 a F (Tipo 1)
     +1 Sumar 1 a G (Tipo 1)
      +1 Sumar 1 a H (Tipo 1)
       +1 Sumar 1 a I (Tipo 1)
        +1 Sumar 1 a J (Tipo 3 con doble acarreo)
 234567900 Resultado
ABCDEFGHIJ

y debería llegar al resultado indicado: 123456789 + 111111111 =234567900. La siguiente tabla muestra los resultados de sumar 111111111, 222222222, ... 999999999 a 1234568789.

 123456789 +ddddddddd
d Resultado
1  234567900
2  345679011
3  456790122
4  567901233
5  679012344
6  790123455
7  901234566
8 1012345677
9 1123456788

En cuanto a la resta, añadiremos un 1 adicional a la columna A para futuros acarreos:

Ejercicio de resta: inicio
A B C D E F G H I K
Soroban-1.png Soroban-1.png Soroban-2.png Soroban-3.png Soroban-4.png Soroban-5.png Soroban-6.png Soroban-7.png Soroban-8.png Soroban-9.png
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y procederemos de forma similar

Subtracting digit 1 from B-J
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ
1123456789 Inicio
-1 Restar 1 de B (Tipo 1)
 -1 Restar 1 de C (Tipo 1)
  -1 Restar 1 de D (Tipo 1)
   -1 Restar 1 de E (Tipo 1)
    -1 Restar 1 de F (Tipo 2)
     -1 Restar 1 de G (Tipo 1)
      -1 Restar 1 de H (Tipo 1)
       -1 Restar 1 de I (Tipo 1)
        -1 Restar 1 de J (Tipo 3)
1012345678 Resultado
ABCDEFGHIJ

y deberiamos obtener: 1012345678 = 1123456789-111111111. Para el resto de dígitos, la siguiente tabla muestra los resultados de restar 111111111, 222222222, ... 999999999 de 1123456789.

1123456789
-ddddddddd
d Resultado
1 1012345678
2  901234567
3  790123456
4  679012345
5  567901234
6  456790123
7  345679012
8  234567901
9  123456790

Durante un tiempo debería practicar estos ejercicios a diario hasta que note que poco a poco va sustituyendo su trabajo intelectual (pensando en las reglas a utilizar) por una respuesta mecánica instintiva.

Sumas y restas de varios dígitos[editar]

Trabajar siempre de izquierda a derecha[editar]

En castellano, los números se nombran comenzando con la potencia más alta de diez; 327 es "trescientos veintisiete" y no "siete veinte trescientos". Este es el caso de muchos otros idiomas, incluidos el chino y el japonés, pero no de otros como los de la familia semítica. Esta es la razón principal por la que en el ábaco la suma o resta de números de varios dígitos se trabaja de izquierda a derecha; esto hará las cosas más sencillas, tanto si tenemos que leer los números de una lista como si alguien nos los dicta.

Por ejemplo, obtengamos 44 + 78. Comencemos con un ábaco puesto a cero e introduzcamos el primer sumando 44 en cualquier lugar del mismo (alineado con una marca de varilla unitaria si lo desea, esto es conveniente pero no esencial)

Ponga a cero el ábaco
A B C
Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0d.png
0 0 0

ponga 4 (40) en B

Entre 40
A B C
Soroban-0.png Soroban-4.png Soroban-0d.png
0 4 0

ahora 4 en C

Entre 4
A B C
Soroban-0.png Soroban-4.png Soroban-4d.png
0 4 4

ahora sume 7 (70) a B

+70 70
A B C
Soroban-1.png Soroban-1.png Soroban-4d.png
1 1 4

por último sume 8 a C

+8
A B C
Soroban-1.png Soroban-2.png Soroban-2d.png
1 2 2

El resultado: 122 aparece en ABC.

En una forma más compacta:

44 + 78
Abacus Comment
ABC
  . Marca unidad en C
 4 Entre 4 en B (40)
 44 Entre 4 en C
+7 Sume 7 a B (70)
114
 +8 Sume 8 a C
122 Resultado
  . Marca unidad en C

Otro ejemplo. Supongamos que tenemos que obtener el total de estas cantidades en euros:

Suma
  7.77 €
 11.99 €
 69.62 €
 54.43 €
-96.99 €
Total
 46.82 €

Comience poniendo a cero su ábaco e introduzca el primer número (de izquierda a derecha). Puede alinearlo con algunos de los marcadores de puntos unitarios si lo desea.

Tras introducir el primer sumando
A B C D E F
Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-7d.png Soroban-7.png Soroban-7.png Soroban-0d.png
0 0 7 7 7 0
Caption text
Ábaco Comentario
ABCDEF
  .  . Marca unidad
  777 Entre 7.77 €
+1 Sumar 11.99 €
 +1
  +9
   +9
 1976 Resultado intermedio
+6 Sumar 69.62 €
 +9
  +6
   +2
 8938 Resultado intermedio
+5 Sumar 54.43 €
 +4
  +4
   +3
14381 Resultado intermedio
-9 Restar 96.99 #
 -6
  -9
   -9
 4682 Total: 46.82 €
  .  . Marca unidad
Resultado final
A B C D E F
Soroban-0.png Soroban-4.png Soroban-6d.png Soroban-8.png Soroban-2.png Soroban-0d.png
0 4 6 8 2 0

Formas de practicar la suma y la resta[editar]

Con hojas de ejercicios[editar]

Debería comenzar su práctica sumando y restando series cortas de números enteros pequeños; por ejemplo, de 3 a 5 números de 2 o 3 dígitos. Por ejemplo:

594

807

-660

-466


  275
880

343

-181

-580


  462
480

879

-472

19


  906
336

309

450

-335


  760
480

-269

-122

780


  869
963

744

-154

-811


  742
29

261

909

186


  1385
373

-163

423

-445


  188

Aumente progresivamente el tamaño de estas series hasta llegar a 10 números y, a partir de aquí, aumente progresivamente el tamaño de los números a sumar / restar a 5 o 6 dígitos. Por ejemplo:

514299

127127

774517

-895449

907858

67913

-918061

930513

-582082

-722266


  204369
375287

611780

-312229

618415

-78719

-467463

-406146

481087

958663

216295


  1996970
351129

806691

600755

-368489

815758

573731

51556

668536

-609796

713031


  3602902
882678

876701

-365479

-157706

17497

999762

-262868

-910991

-56430

-333692


  689472
758320

769094

991286

-49973

74914

-590317

644711

-900673

-449638

-380293


  867431
562337

315480

-540643

513724

-651332

359925

285750

883744

-591941

75119


  1212163
388730

-287030

-11891

323483

212117

373242

118641

-693301

442672

-370874


  495789
798306

-483827

572862

840450

452414

-298427

503089

175358

918199

315118


  3793542

Por lo tanto, necesitará colecciones de problemas de este tipo que puede generar con algunas utilidades gratuitas en Internet[4] [5] [6].

Con este tipo de práctica desarrollarás dos habilidades diferentes

  • Sumar y restar eficientemente con el ábaco.
  • leer números de un vistazo y guardarlos en la memoria el tiempo suficiente para trabajarlos en el ábaco.

Esto último es fundamental para, por ejemplo, hacer uso del ábaco en contabilidad.


Sin hojas de ejercicios[editar]

El ejercicio 123456789[editar]

En los libros antiguos sobre el ábaco era común demostrar la suma y la resta mediante un conocido ejercicio que consiste en sumar el número 123456789 nueve veces a un ábaco puesto a cero hasta llegar al número 1111111101, y luego borrarlo nuevamente restando el mismo número otras nueve veces. Este es un ejercicio conveniente porque usa muchos de los 180 casos de suma y resta de 1 dígito (pero no todos) y permite practicar la suma y resta con el ábaco solo, sin hojas de ejercicios en papel, pero no es un ejercicio elemental dada su longitud. Necesitará, por lo tanto, algo de tiempo de práctica para completarlo sin errores.

A lo largo de este ejercicio se obtienen los siguientes resultados parciales:

000000000
123456789
246913578
370370367
493827156
617283945
740740734
864197523
987654312
1111111101

Para más detalles, consulte el capítulo: Variantes del Ejercicio 123456789.

Sumas y restas con otros ábacos[editar]

Todo lo que aprenda sobre el ábaco oriental funcionará bien con otros tipos de ábaco o al menos simplificará su aprendizaje. Recuerde que las operaciones básicas del ábaco son la suma y la resta y todo lo demás debe reducirse a una secuencia de estas dos operaciones y al problema de cómo organizar tal secuencia de operaciones en el ábaco.

Varillas de cálculo[editar]

Las varillas de cálculo son otro ejemplo de un ábaco bi-quinario, por lo que se aplican las mismas tres reglas de suma y resta estudiadas aquí. Solo tiene que tener en cuenta que los conceptos de activar/desactivar cuentas se traducen en colocar/retirar varillas de la mesa y que "tener a nuestra disposición" varillas para añadir no se refiere al montón de varillas listas para usar que tenemos en la caja, sino a "encajar" dentro de los límites de representación de los números (una varillas de valor 5 y 5 varillas de valor 1 como máximo).

Ábaco ruso[editar]

El ábaco ruso (Schoty) no es un ábaco bi-quinario; por lo que la segunda de las reglas de suma y resta que se dan aquí no funciona. todo se resuelve con la ayuda de la primera y la tercera reglas exclusivamente.

Recursos externos[editar]

Referencias[editar]

  1. Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573] (en Chino). Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). 
  2. Kojima Takashi (1954). The Japanese Abacus: its Use and Theory. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0278-9. https://archive.org/details/japaneseabacus00taka. 
  3. Abraham, Ralph (2011). «Smart Moves». The Soroban Site of the Visual Math Institute. Archivado desde el original, el 18 de Enero de 2020. Consultado el 20 de Septiembre de 2021.
  4. Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Addition and subtraction)». Soroban.
  5. Uitti, Stephen. «Soroban Sheets (Multiplication)». Soroban.
  6. «The generator». Practicing the soroban.