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Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Operaciones Abreviadas

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Introducción[editar]

Este capítulo es un tanto especial en el sentido de que su contenido no es específico del ábaco, sino que se trata de un recurso para acortar operaciones aritméticas tanto en el cálculo escrito como con ábaco. Lo incluimos en este libro porque, a lo largo del mismo, hacemos un uso esporádico de estas operaciones abreviadas.

Esta cuestión puede encontrarse en algunos libros de aritmética de la era anterior a la informática[1]. La motivación es la siguiente. Supongamos que medimos el lado de un cuadrado y obtenemos y queremos calcular su área

un resultado con 6 dígitos, pero si hemos medido el lado del cuadrado con una cinta métrica que solo aprecia milímetros, lo que podemos decir es que el valor del lado está entre y , es decir:

De modo que será un valor entre y . Esto significa que solo conocemos con certeza los dos primeros dígitos del resultado S (74) y que el tercer dígito probablemente sea un 6; el resto de los dígitos de la multiplicación no tienen sentido (decimos que no son significativos) y no debemos incluirlos en nuestro resultado. Deberíamos escribir:

siendo las cifras significativas de nuestro resultado. Entonces, si sólo tres de las seis cifras del producto son significativas, ¿por qué calcular las seis?

Para eso están las operaciones abreviadas.

Cabe decir que el razonamiento anterior se extiende a la división, raíces etc. En líneas generales, un resultado no tiene más cifras significativas que el menor número de ellas entre los operandos; por ejemplo, si dividimos un número con 8 cifras significativas por otro que sólo tiene 2, el resultado tiene sólo 2 dígitos significativos y sería un trabajo estéril obtener 8 dígitos del cociente.

En este capítulo seguiremos los ejemplos que aparecen en Matemáticas de Antonino Goded Mur[1] (en adelante simplemente Matemáticas ), un pequeño manual que formaba parte de la colección: Compendios CHOP, que tan popular fue durante parte del siglo XX en España. Veremos cómo se pueden hacer estas operaciones abreviadas con el ábaco.

Multiplicación[editar]

En Matemáticas se propone el siguiente procedimiento para la multiplicación:

Multiplicación
Se escribe el producto del multiplicando por la primera cifra del multiplicador,
se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de su última cifra por la segunda del multiplicador,
se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de sus dos últimas cifras por la tercera del multiplicador
y así sucesivamente

Proponiendo el ejemplo 6665x1375 y la siguiente forma escrita de realizarlo por comparación a la multiplicación normal:

Ejemplo
    6665
  x 1375
 ———————
   33325
  46655 
 19995     
 6665   
 ———————

 9164375
  6665
x 1375
  ————
  6665
  1999
   466
    33
  ————
  9163
Operación
normal
Operación
abreviada

Lo importante a considerar aquí es que, de todos los productos parciales que hemos de sumar para obtener el producto:

Productos parciales de 6665x1375

debemos tomar en consideración aquellos que tienen potencias de 10 elevadas, los situados por encima de la diagonal en gris, retener sólo el primer dígito de los de dicha diagonal y olvidarnos de los que están por debajo. De esta forma, ahorraremos cierto trabajo.

En el ábaco, este problema se puede resolver de varias maneras; por ejemplo, adaptando la multiplicación moderna:

6666x1375 Multiplicación moderna
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
6665  1375 Planteamiento
         +330 Sumar 5✕66 a K-M
        -5 Borrar J
6665  137 330
        +4662 Sumar 7✕666=4662 a J-M
       -7 Borrar I
6665  13 4992
       +19995 Sumar 3✕6665=19995 a I-M
      -3 Borrar H
6665  1 24987
       +6665 Sumar 1✕6665=6665 a H-L
     -1 Borrar G
6665    91637 Resultado
6665    9164 Resultado redondeado a 4 cifras

e incluso la multiplicación tradicional, borrando primero el dígito del multiplicando y luego sumando los productos parciales desplazados una columna a la izquierda respecto al caso anterior

6666x1375 Multiplicación tradicional
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKL
6665  1375 Planteamiento
        -5 Borrar J
        +330 Sumar 5✕66 a J-L
6665  137330
       -7 Borrar I
       +4662 Sumar 7✕666=4662 a I-L
6665  134992
      -3 Borrar H
      +19995 Sumar 3✕6665=19995 a H-L
6665  124987
     -1 Borrar G
      +6665 Sumar 1✕6665=6665 a G-K
6665   91637 Resultado
6665   9164 Resultado redondeado a 4 cifras

En todos los casos, tendremos que ser cuidadosos con la posición de la varilla unidad; no olvidemos que y que el resultado obtenido en el ábaco: es en realidad: .

También podemos hacer lo mismo usando métodos de multiplicación que comienzen trabajando con las cifras de la izquierda del multiplicando (vease el capítulo Métodos Especiales de Multiplicación); por ejemplo, utilizando la "Multiplicación que comienza con los dígitos más altos del multiplicador y el multiplicando" de Kojima, explicada en su segundo libro.[2], donde dice: "Como la operación comienza multiplicando los primeros dígitos del multiplicador y el multiplicando, es conveniente para las aproximaciones"; es decir, justamente se adapta a nuestro problema. También podemos probar la multiplicación multifactorial[3] o similar; por ejemplo:

6666x1375 Multiplicación comenzando por la izquierda
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
6665     1375 Planteamiento
   .        . Varilla unidad
        -1 Borrar J
     +6665 Sumar 1✕6665 a G-J
6665  6665375
     +18 Sumar 3✕6 a GH
      +18 Sumar 3✕6 a HI
       +18 Sumar 3✕6 a IJ
         -3 Borrar K
        +15 Sumar 3✕5 a JK
6665  8664575
666   8664575 Borrar D
      +42 Sumar 7✕6 a HI
       +42 Sumar 7✕6 a IJ
        +42 Sumar 7✕6 a JK
          -7 Borrar L
666   91307 5
66    91307 5 Borrar C
       +30 Sumar 5✕6 a IJ
        +30 Sumar 5✕6 a JK
           -5 Borrar M
66    91637 Resultado
   .        . Varilla unidad
      9164 Resultado redondeado a 4 cifras

División[editar]

En Matemáticas se propone el siguiente procedimiento para la división:

División
El primer dígito del cociente se encuentra como de costumbre,
el resto se divide por el divisor sin su último dígito,
el nuevo resto por el divisor sin sus dos últimos dígitos
y así sucesivamente.


Ejemplo
4567.8     |95.62
 743.00    ——————
  73.660    47.77
   6.7250        
    .0326
       
4567.8   |95.62                  
 743.0   ——————   |95.6          
  73.8    4       —————  |95     
   7.3             7     ———   |9
    .1                    7    ——
                                8
Operación normal Operación abreviada

Como puede verse, la secuencia potencialmente infinita de pasos de división larga, en los que en cada uno se obtiene una nueva cifra del cociente, se reemplaza por una secuencia finita de divisiones por un divisor que se reduce en un dígito de cada vez y en la que obtenemos un solo dígito del cociente. Podemos llevar a cabo esta secuencia de divisiones usando el método de dividir que prefiramos; por ejemplo, usando la división tradicional (TD) y la disposición tradicional de la división (TDA):

4567.8/95.62
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ
9562 45678
 .      . Columna unidad
    -4 Regla: 4/9>4+4
    +44
9562 49678
     -20 Restar 4x5 de GH
      -24 Restar 4x6 de HI
        -8 Restar 4x2 de IJ
9562 47430
     -7 Regla: 7/9>7+7
     +77
9562 47130
      -35 Restar 7x5 de HI
       -42 Restar 7x6 de IJ
9562 47738
      -7 Regla: 7/9>7+7
      +77
9562 47708
       -35 Restar 7x5 de IJ
9562 47773
       -7 Regla: 7/9>7+7
       +77
9562 47770
       +1 Revisar al alza
        -7
9562 47783
 .    . Columna unidad

Raíz cuadrada[editar]

Matematicas
Se sigue el método corriente hasta haber rebasado la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no empleados por el duplo de la raíz hallada, seguida de tantos ceros como periodos se han agregado


Ejemplo
Raíz cuadrada de 123456789
  __________      
\/123456789| 11111 
           |-------
 -1        |              
 --        |       
  023      | 21x1  
  -21      |       
  ---      |       
   0245    | 221x1 
   -221    |       
   ----    |       
    02467  | 2221x1
    -2221  |       
    -----  |       
     024689| 22221x1 
     -22221|         
     ------|        
      02468|
  ______
\/12345 |111
        |---
 -1     |              
 --     |
  023   |21x1
  -21   |
  ---   |
   0245 |221x1
   -221 |
   ---- |
    024 |  -->   246789|22200
                       ------
                  24789 11
                   2589
         _________
 ==>   \/123456789 = 11111
Operación normal Operación abreviada


Quizás la forma más sencilla de justificar esta forma de abreviar la raíz cuadrada sea la siguiente:

Si es un valor aproximado de la raíz de , entonces podemos escribir

donde es una pequeña corrección a y el cociente será una cantidad mucho menor que : . Entonces podemos escribir:

pero si , entonces y despreciando este término podemos escribir:

o bien

donde es el residuo que nos queda tras calcular ; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

Si consideramos que, por ejemplo, hemos determinado con cinco cifras, entonces y , lo que justifica que al despreciar este último termino podamos calcular con cinco cifras; es decir que el método abreviado nos permita doblar la precisión de la raíz ya obtenida con una simple división.

Lo anterior también puede justificarse de varias otras formas, por ejemplo, utilizando el desarrollo en serie de Taylor o el método de Newton de resolución de ecuaciones; lo cual es quizás interesante de mencionar por lo que comentaremos después sobre las raíces cúbicas.

A continuación ilustramos el proceso utilizando el método del medio resto (半九九法,hankukuhou en japonés) como se explica en el capítulo: Raíz Cuadrada, que requiere cambiar el resto a su mitad y doble de la raíz a simplemente la raíz en el párrafo de Matemáticas anterior. Tenga en cuenta que la segunda fase, la división, se puede hacer en forma de división abreviada ya que solo tiene sentido obtener un número limitado de cifras de su cociente. Como consecuencia, obtener las últimas cifras de la raíz cuesta cada vez menos trabajo y tiempo por lo que podemos llamar a esta división la fase acelerada de la extracción de raíces.

Ejemplo
Raíz cuadrada de 123456789 usando 半九九法 (hankukuhou) y división moderna
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ
 123456789 Problema planteado como de costumbre
  23456789 Restar el cuadrado de 1 del primer grupo
  117283945 Dividir el resto por 2 in situ
1 117283945 Anotar 1 como primer dígito de la raíz en A
11 17283945 Nuevo dígito de la raíz 1 en B (revisión al alza)
  -1
   -5 Restar la mitad del cuadrado de 1 de D
11 12283945
111 2283945 Nuevo dígito de la raíz 1 en C (revising up)
   -11
     -5 Restar la mitad del cuadrado de 1 de F
111 1233945 Ahora comienza la segunda fase o fase acelerada
  +1 Dividir 123 por 111
   -111
1111 123945
   +1 Dividir 12 into 11
    -11
11111 13945 Listo ¡ahora tenemos 5 dígitos de la raíz!

Raíz cúbica[editar]

Matemáticas
Se sigue el método corriente hasta rebasar la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no usados por el triplo del cuadrado de la raíz seguido de tantos ceros como periodos se han agregado.


Ejemplo
 3_____________
\/1234567890123|10727
               ------
 3_____________
\/1234567890123|107  
     9524      ----     

9524890123 |3434700
           --------
2655490      27
 2512001
Operación normal Operación abreviada

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, la aproximación utilizada aquí se puede justificar del siguiente modo:

Si es un valor aproximado de la raíz cúbica de , entonces podemos escribir

donde es una pequeña corrección a y el cociente será una cantidad mucho menor que : . Entonces podemos escribir:

pero si , entonces y despreciando estos dos términos podemos escribir:

o bien

donde es el residuo que nos queda tras calcular ; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

que también nos permite doblar la precisión de la raíz cúbica ya obtenida con una división.

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, esta operación abreviada también se puede justificar de varias maneras, incluyendo el método de Newton que, por cierto y con mucho, es la mejor forma de obtener raíces cúbicas con el ábaco.[4]; si bien no es una técnica tradicional, es mucho más eficiente que cualquier método tradicional y, si lo usamos, podemos decir que en cierto sentido estamos usando un método abreviado desde el principio (véase el capítulo: Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas. Pero veamos un ejemplo utilizando un método tradicional: la raíz cúbica de 666. Seguimos aquí el método explicado por Cargill G. Knott[5] (capítulo: Raíces Cúbicas).

Obviamente, la raíz cúbica de 666 está entre 8 y 9 por estar en el rango 512-728.

Raíz cúbica de 666
Ábaco Comentario
ABCDEFG
 666 Entrar 666 en BCD
   + (Columna unidad)
-512 Restar 83=512 de BCD
 154
8154 Entrar 8 en A. Dividir B-F por 8 (A)
8192500 Dividir B-F por 3
8641662 Dividir B por 8 (A)
8781662 Restar B2=49 de CD
8732662 Multiplicar C-F por 3 en C-G
87 9800 Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
87 7840 Restar B3=343 de EFG
87 7497 Raíz: 8.7, Resto: 7.497


Así que hemos obtenido 8.7 como raíz hasta ahora, dejando un resto de 7.497. Para aplicar el atajo necesitamos formar el divisor ; Usaremos el binomio de Newton para formar el cuadrado y lo multiplicaremos por tres sumando el doble del valor obtenido.

Uso del método abreviado
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
87 7497 Elevando al cuadrado 8.7
          +49
        -112
        +64
87 7497  7569 Multiplicarlo por 3
       +14
        +10
         +12
          +18
87 7497 22707 Dividir 7.497 por 227.07 (¡La división puede ser abreviada!)
8733----22707 obteniendo sólo dos cifras del cociente


Alternativamente, también se puede dividir dos veces por 8.7 y luego por 3 para obtener el mismo resultado. Compare el resultado 8.733 con

Otras abreviaturas útiles[editar]

Lo que sigue es otro tipo de cálculo abreviado o aproximaciones completamente diferentes de lo anterior pero que pueden resultar útiles en la práctica. Todas estas expresiones son consecuencia del teorema de Taylor.

Para

  •  
    • ej:
    • ej:
    • ej:
    • ej:

Referencias[editar]

  1. 1,0 1,1 Goded Mur, Antonino (1945) (en Español). Matemáticas. Zaragoza (Spain): Compendios CHOP. pp. 20-26. 
  2. Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7. 
  3. Tejón, Fernando (2005). «Multifactorial Multiplication». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.
  4. Cabrera, Jesús (2021). «Newton's method for abacus; square, cubic and fifth roots». jccAbacus.
  5. Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14:  pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up.