Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Raíces Cuadradas

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Teoría[editar]

Sea el número del que queremos obtener la raíz cuadrada ; Consideremos su expansión decimal, por ejemplo: y separemos sus dígitos en grupos de dos alrededor del punto decimal de la siguiente manera

o, en otras palabras, definamos la secuencia de números enteros :

y construyamos la secuencia recursivamente desde

y sea la parte entera de la raíz cuadrada de

es decir, es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que . Finalmente, llamemos restos a las diferencias.

Para nuestro ejemplo tenemos:

0 0 0 0
1 4 4 2 0
2 56 456 21 15
3 78 45678 213 309
4 90 4567890 2137 1121
5 12 456789012 21372 26628
etc.

Vemos que, por construcción, crece como (dos dígitos más en cada paso), de hecho, la secuencia ; es decir: (0, 400, 456, 456.78, 456.7890, etc.) tiende a o . Por comparación, , como la parte entera de la raíz cuadrada de , crece sólo como (un dígito más en cada paso). Como es el entero más grande cuyo cuadrado no es mayor que tenemos como arriba pero

por definición de , o

Multiplicando por tenemos:

pero como crece sólo como , el segundo término tiende a cero como . Con lo cual

y con lo que tenemos:

Para otros números, los factores anteriores son: y , donde es el número de grupos de dos dígitos a la izquierda del punto decimal, negativo si el punto decimal precede grupos nulos antes de encontrar el primer grupo no nulo (por ejemplo, para , para , etc.).

Ésta es la base de los métodos manuales tradicionales de obtener raíces cuadradas; sea con papel y lápiz o con ábaco.

Procedimiento[editar]

Comenzamos con , , , .

Primer dígito[editar]

Tabla de cuadrados
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81

Para y , es trivial encontrar tal que su cuadrado no exceda mediante el uso de la tabla de cuadrados de la derecha que ya tenemos memorizada, dado que es solo un subconjunto de la tabla de multiplicar. En el caso del ejemplo, encontramos .

Dígitos siguientes[editar]

Para , tenemos , como definimos arriba, y tratamos de construir en la forma:

donde es un entero de un dígito de 0 a 9. Para obtenerlo, tenemos que elegir el mayor entero de 0 a 9 tal que:

o

si escribimos: . Desarrollando el binomio anterior tendremos:

o lo que es lo mismo

El lado izquierdo de la expresión anterior puede verse simplemente como el resto anterior con el siguiente grupo de dos dígitos agregado a su derecha, y el paréntesis del último término como el doble de la raíz anterior con el dígito b agregado a su derecha. En nuestro ejemplo, para tenemos 56 a la izquierda y la expresión anterior es

lo cual sólo es cierto para o por lo tanto, 1 es la siguiente cifra de nuestra raíz, pero ¿Cómo podemos proceder en el caso general sin tener que explorar sistemáticamente todas las posibilidades ()?

Aquí Knott[1] distingue dos enfoques diferentes:

  • Preparar el divisor
  • Preparar el dividendo

que exploramos a continuación.

Preparar el divisor[editar]

Esto se corresponde con la expresión anterior:

y es la estrategia que se suele utilizar con papel y lápiz y también se puede implementar, por supuesto, sobre el ábaco. En la expresión anterior, si vemos la parte izquierda como dividendo y la expresión entre paréntesis de la derecha como divisor, es el primer dígito de la división:

pero como aún no conocemos , aproximamos la división usando sólo la parte principal del divisor

lo cual nos da una pista de cuál podría ser el valor de , pero necesitamos:

  1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
  2. Obtener el nuevo resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Ambos pasos requieren restar ; es decir, y , de ; comprobando que el resultado no es negativo y es menor que (de lo contrario, tendríamos que revisar al alza o a la baja). Tras sustraer estas dos cantidades en las condiciones indicadas, lo que nos queda es el nuevo resto . Cabe señalar que, a medida que avanzamos en los cálculos ( aumentando) es una contribución cada vez más pequeña al divisor ; por lo que el proceso indicado arriba se parecerá cada vez más a una mera división.

Este es el método propuesto por Takashi Kojima en su segundo libro: Advanced Abacus - Theory and Practice[2], y que puede ver descrito en Square roots as solved by Kojima[3] en la web de Totton heffelfinger, Obras a las que remito al lector para explicaciones y ejemplos prácticos. Veamos aquí cómo se podría iniciar el cálculo en nuestro ejemplo:

Ábaco neperiano dispuesto para ayudar con el tercer dígito de la raíz del ejemplo
Preparando el divisor; primeros tres dígitos de ;
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
   4567890123 El radicando empieza en CD (primer grupo)
 2 Primer dígito de la raíz en B
  -4 Restar el cuadrado de B del primer grupo
 2  567890123 Resto nulo
 4  567890123 Doblar B. Agregar el siguiente grupo (56) al resto
 41 567890123 5/4≈1, probar 1 como siguiente dígito de la raíz
   -4 Continuar la división por 41, restar 1✕41 de EF
    -1
 41 157890123 15 nuevo resto
 42 157890123 Doblar el segundo dígito de la raíz
 42 157890123 Unir el siguiente grupo (78) al resto
 423157890123 157/42≈3, probar 3 como siguiente dígito de la raíz
   -12 Continuar la división por 423, restar 3✕423 de E-H
    -06
     -09
 423 30990123 309 nuevo resto
 426 30990123 Doblar el tercer dígito de la raíz
 426 30990123 Añadir el siguiente grupo (90) al resto
    etc.

Como puede verse, el doble de la raíz va apareciendo a la izquierda del ábaco en sustitución del radicando/resto y los grupos de dos dígitos sin usar. Esto es contrario a lo que ocurre con el resto de operaciones elementales sobre el ábaco, donde el resultado buscado —no su doble— reemplaza al operando (o a uno de ellos). Esto puede haber sido una razón para que el método tradicionalmente preferido para obtener raíces cuadradas haya sido el de preparar el dividendo, donde veremos que la raíz aparece directamente sobre el ábaco y no su doble; pero en realidad existe otro motivo, de índole práctica, mucho más poderoso y que comentaremos más abajo, en la Conclusión de este capítulo.

Cabe mencionar aquí que el ábaco neperiano contaba con una tablilla especial rotulada N2 para ayudar en el cálculo escrito de raíces cuadradas. En la figura de la derecha podemos ver el ábaco configurado para obtener la tercera cifra de la raíz del ejemplo, donde las varillas 4 y 2 representan el doble de la raíz obtenida previamente. Podemos ver que para N = 3, la cantidad a sustraer del resto es 1269 que "cabe" en el resto 1578; pero que para N = 4, la cantidad 1696 no cabría, lo cual indica que la siguiente cifra de la raíz es efectivamente un 3.

Preparar el dividendo[editar]

Tabla de semi cuadrados
1 0.5
2 2   
3 4.5
4 8   
5 12.5
6 18   
7 24.5
8 32   
9 40.5

Partimos de nuevo de la expresión:

dividiéndola por 2

Esta expresión modificada nos permitirá obtener directamente en el ábaco la raíz cuadrada (no su doble) siguiendo prácticamente el mismo procedimiento anterior, sin más que mantener en nuestro instrumento los restos y grupos de dos dígitos sin usar divididos por 2. Como se puede ver en la expresión anterior, despreciando el término obtenemos una estimación de simplemente dividiendo el semi resto extendido: por la raíz anterior (de hecho, ); tras lo cual, necesitamos nuevamente:

  1. Verificar que el valor así obtenido sea correcto o, en su caso, corregirlo al alza o a la baja según sea necesario.
  2. Obtener el siguiente semi resto para preparar el cálculo del siguiente dígito de la raíz.

Esto se hace restando así como del semi resto, para lo cual es conveniente memorizar la tabla de semi cuadrados de la derecha, comprobando que no obtenemos resultados negativos y que no podríamos revisar al alza.

Afortunadamente, dado que 2 es un divisor de nuestra base (10), las fracciones decimales de la tabla de semi cuadrados tienen una expresión finita; lo que no sucederá cuando intentemos extender este procedimiento a raíces cúbicas y tengamos que tratar con tercios de cubos. Según Knott, esto hace que las raíces cúbicas sean un problema que no se adapta bien al tratamiento con ábaco.

Ejemplos[editar]

Aquí se presentan tres ejemplos; para ver ejemplos adicionales consulte el apartado Otras lecturas y especialmente el de Recursos externos a continuación.

Raíz cuadrada de 961[editar]

En este ejemplo tenemos dos grupos de dos cifras: 09 y 61. El primer grupo nos informa que el primer dígito de la raíz es 3.

Hay dos formas de comenzar en el ábaco con las raíces cuadradas:

  • Alineando los grupos a la izquierda desde la columna B y usando la división tradicional para obtener el semi-resto.
A B C D E
Suanpan-lw.png Suanpan-0.png Suanpan-0.png Suanpan-9.png Suanpan-6.png Suanpan-1.png ...
0 9 6 1
Esta es la forma que aparece en libros antiguos y también la utilizada en el Tutor de raíz cuadrada de Murakami con Kijoho (véase Recursos externos más abajo).
Usando división tradicional para obtener el semi resto
Ábaco Comentario
ABCDE
 0961 Alinear el radicando con B
30961 Poner el primer dígito de la raíz en A
 -9 restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
30061
30305 Dividir el resto B-E por 2 (división tradicional)
  • Alinear los grupos a la izquierda del ábaco desde la columna A y usar la división in situ para obtener el semi resto.
A B C D E
Suanpan-lw.png Suanpan-0.png Suanpan-9.png Suanpan-6.png Suanpan-1.png Suanpan-0.png ...
0 9 6 1
Esta forma es algo más rápida
Usando división in situ
Ábaco Comentario
ABCDE
0961 Alinear el radicando con A
-9 Restar el cuadrado del primer dígito de la raíz (9)
0061
 0305 División in situ por 2 del resto
30305 Anotar el primer dígito de la raíz en A

A partir de aquí coincide el estado del ábaco y podemos continuar:

Continuación
Ábaco Comentario
ABCDE
30305
+1 Dividir el semi resto B-E por 3. (revisar B al alza)
 -3
31005
  -05 restar b^2/2 =0.5 de D
31000 Semi resto nulo, ¡Hecho! La raíz es 31
31 La raíz es 31

Raíz cuadrada de 998001[editar]

Ábaco Comentario
 ABCDEFG
 998001 Radicando en A-F
-81 Restar 9^2=81 de primer grupo en AB
 188001
  940005 Dividir el resto por 2 in situ in situ
 9940005 Entrar el primer dígito de la raíz (9) en A
 9930005 B: Regla: 9/9>9+9
  -405 Restar 9^2/2=40.5 de D
 9989505
 9987505 C: Regla: 8/9>8+8
   -72 Restar CxB=72 de DE
 998T305 Revisar C al alza
  +1
   -99
 9990405
    -405 Restar 9^2/2=40.5 from F
 9990000 El resto es 0. ¡Hecho!
 999 Raíz: 999

Raíz de 456.7890123[editar]

Nuestro ejemplo anterior ...

Primeros 4 dígitos de
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKL
04567890123 Radicando con los pares de dígitos alineados en AB, CD, etc.
-4 Restar 2^2 del primer grupo
  567890123
  2839450615 Dividir por 2 el resto y los demás pares de dígitos
2 2839450615 Escribir la primera cifra de la raíz en A
+1 Dividir BCD por A (revisar al alza B)
 -2
  -05 Restar B^2/2=0.5 de D
21 789450615
 +3 Dividir CDEF por AB (revisar al alza C tres veces)
  -6
   -3
    -45 Restar C^2/2=4.5 de F
213154950615
213554950615 Dividir DEFGH por ABC. D: Rule 1/2>5+0
    -5 Restar DxB=5 de EF
    -15 Restar DxC=15 de FG
213548450615
  +2 revisar al alza D dos veces
   -426
213705850615
     -245 Restar 7^2/2=24.5 de H
21370560F615 Raíz hasta ahora: 21.37
    etc.     etc.


La raíz 2137… ( de hecho, 21.37…) va apareciendo a la izquierda. En este punto, si divide E-L (semi resto y demás dígitos) por A-D (la raíz hasta ahora) obteniendo 4 cifras del cociente (tantas como actualmente tiene la raíz) tendrá los dígitos: 2623; es decir, aproximadamente las siguientes cuatro cifras de la raíz (21.372623). Vea el capítulo: Operaciones abreviadas para detalles

Usando el método moderno[editar]

Por supuesto es posible obtener las raíces cuadradas siguiendo la estrategia de preparar el dividendo haciendo uso de la división moderna (MD) y de la disposición moderna de la división (MDA)[4]; sólo hay que dejar una columna adicional a la izquierda del radicando para ello. Por ejemplo:

A B C D E F G H I
Soroban-lw.png Soroban-0.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-8.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-1.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
0 9 9 8 0 0 1 0 0


Raíz cuadrada de 998001; división moderna con MDA
Ábaco Comentario
ABCDEFGH
 998001 Radicando alineado en B-G
-81 Restar 9^2 del primer grupo en BC
 188001
9188001 Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005 Dividir in situ B-G por 2
99940005 Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
 -81 Restar B×A=9×9=81 de CD
99130005
  -405 Restar B^2/2=9^2/2=40.5 de DE
99 89505
99989505 Probar 9 como tercera cifra de la raíz
  -81 Restar C×A=9×9=81 de DE
   -81 Restar C×B=9×9=81 de EF
999  405
    -405 Restar C^2/2=9^2/2=40.5 de FG
999 (semi)resto nulo. ¡Hecho! la raíz es 999

También podemos usar la división normal por 2 en lugar de in situ; observe el nuevo alineamiento del radicando:

A B C D E F G H I J
Soroban-lw.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-9.png Soroban-9.png Soroban-8.png Soroban-0.png Soroban-0.png Soroban-1.png Soroban-0.png Soroban-rw.png
0 0 0 9 9 8 0 0 1 0


Ábaco Comentario
ABCDEFGHI
   998001 Radicando alineado en D-I
  -81 Restar 9^2 del primer grupo en DE
   188001
9  188001 Inscribir primer dígito de la raíz en A
9 940005 Dividir normalmente D-I por 2
99940005 Probar 9 como segunda cifra de la raíz (inscribir en B)
 ... etc.

Conclusión[editar]

El método explicado como: Preparar el dividendo se conoce como 半九九法 ( Hankukuhou en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino) lo que podemos traducir libremente aquí como Método del semi resto y es, con mucho, el más conveniente, al menos por dos razones:

  1. La raíz, y no su doble, reemplaza al operando (radicando) como en el resto de operaciones básicas con el ábaco.
  2. (La más importante) Dado que dividir por números que comienzan con 1 es incómodo, pensemos en lo siguiente:
El primer grupo de dos dígitos tendrá un valor entre 1 y 99 y determinará la primera cifra de la raíz cuadrada. Para valores del primer par entre 25 y 99 (75% de los casos), el primer dígito de la raíz estará comprendido entre 5 y 9 y su doble empezará por uno. Por lo tanto, si usamos el método preparar el divisor, estaremos dividiendo por números que comienzan con 1 en el 75% de los casos. Por el contrario, si utilizamos el método preparando el dividendo, sólo en el caso de que el primer grupo sea 1, 2 o 3 (3% de los casos) tendremos que dividir por números que empiecen por uno.

Por lo que no hay duda de que el método del “medio resto” o de “preparación del dividendo” nos será más confortable en la mayoría de casos.

Referencias[editar]

  1. Knott, Cargill G. (1886). «The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects». Transactions of the Asiatic Society of Japan 14:  pp. 18-73. https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up. 
  2. Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. 1963. ISBN 978-0-8048-0003-7. 
  3. Heffelfinger, Totton (2003). «Square Roots as Solved by Kojima». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.
  4. Siqueira, Edvaldo. «Kato Fukutaro's Square Roots». 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el August 1, 2021.

Otras lecturas[editar]

Recursos externos[editar]

  • Tutor de raíz cuadrada con Kijoho (división tradicional) de M. Murakami, una aplicación de JavaScript que puede ejecutar directamente en su navegador o descargar a su computadora desde su repositorio en GitHub. Sólo hay que ingresar el radicando en el pequeño cuadro de entrada de la izquierda y presionar repetidamente el botón "Next" en la pantalla para asistir al desarrollo del proceso paso a paso. Con esto se pueden generar tantos ejemplos o ejercicios como se desee.