Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Método RADIX para Logaritmos y Antilogaritmos Decimales

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Introducción[editar]

La resolución manual de ciertos problemas requiere el uso de logaritmos; por ejemplo, problemas de raíces o potencias complicadas, o de valor del dinero en el tiempo (TVM), etc. Con el ábaco, al igual que en el cálculo escrito, hay dos posibles enfoques para el uso de logaritmos:

  • Importar los logaritmos desde una tabla o calculadora externa.
  • Obtener los logaritmos directamente.

La primera opción es la práctica, la que ha sido utilizado durante siglos en el cálculo logarítmico, pero tiene el inconveniente de hacer que el trabajo con el ábaco resulte poco menos que trivial y poco atractivo para el abacista del siglo XXI.  Por otro lado, el más purista podría quejarse del uso de recursos externos a su ábaco.

La segunda opción, interesante en sí misma, representa una cantidad extraordinaria de trabajo; razón por la cual muchas personas en el pasado pasaron décadas de su vida construyendo tablas de logaritmos para simplificar el trabajo de otros. Solamente en las raras ocasiones en las que se requería mayor precisión de la que podían proporcionar las tablas de logaritmos disponibles, se procedía a la obtención directa de logaritmos de mayor precisión.

Afortunadamente, existe una tercera vía intermedia entre las dos anteriores: el método Radix[1], que permite obtener logaritmos y antilogaritmos de cualquier número utilizando una tabla de datos externos reducida y con una cantidad razonable de trabajo. Además, este método puede resultar atractivo para el abacista ya que pasará la mayor parte del tiempo practicando dos métodos especiales, a saber: multiplicación y división por números ligeramente mayores que uno, introducidos en los capítulos: Métodos Especiales de Multiplicación y Métodos Especiales de División. Justamente este método Radix era el mejor recurso para los casos indicados de necesitar mayor precisión que la ofrecida por las tablas disponibles.

A continuación, nos centraremos en la obtención de logaritmos y antilogaritmos decimales de 5 dígitos por este método. Se necesitará una pequeña tabla de datos que puede ser copiada o impresa en una tarjeta y guardada junto a su ábaco. No se desanime si la explicación es larga, el método tarda más en explicarse que en llevarse a la práctica; por ejemplo, obtener una raíz séptima sólo toma unos minutos (al menos en los días buenos). Empecemos.

Antes de empezar[editar]

Cualquier número real positivo se puede escribir (notación científica) en la forma: , donde y es un número entero, por lo tanto su logaritmo se puede escribir: . Por ejemplo, para los números y tenemos:

    

Por lo tanto, al igual que se hacía en las antiguas tablas de logaritmos, nos ocuparemos sólo de los números comprendidos entre y .

El Método Radix[editar]

Fundamento[editar]

El método radix se basa en el conocimiento de un conjunto de números especiales o rádices para los que son conocidos sus logaritmos. El origen del término es la palabra latina para raíz: radix (plural: radices), ya que el primer conjunto de números especiales usados ​​por H. Briggs, padre de los logaritmos decimales, fue el de las raíces cuadradas sucesivas del número para las cuales los logaritmos decimales son triviales :

La Tabla Radix original
Radix r
10 1
3.16227766 0.5
1.77827941 0.25
1.333521432 0.125
1.154781985 0.0625
etc. ... ...

El uso de esta tabla era el siguiente: supongamos que se pueda factorizar nuestro número en la forma

donde son algunos de los rádices de la tabla anterior, entonces:

y como los logaritmos de los rádices figuran en la tabla anterior el problema estaría resuelto. Pero esto no va a ser el caso general, lo que podemos esperar es poder escribir

como

donde es un factor residual, un último factor no incluido en la tabla y para el cual se desconoce su logaritmo. Pero si es un número muy cercano a , entonces habremos aproximado como un producto de nuestros números especiales

y si es lo suficientemente cercano a la unidad, su logaritmo será lo suficientemente cercano a cero para poder ser despreciado con una precisión dada, teniéndose finalmente:

Este tipo de aproximación es posible porque la secuencia de rádices se acercan continuamente a la unidad mientras que sus respectivos logaritmos se acercan a cero. En un ejemplo que seguirá, veremos cómo es posible obtener la factorización de arriba con un sencillo proceso que puede ser seguido con cualquier número; pero antes de seguir, es preciso decir que la tabla Radix anterior, si bien tiene valor histórico ya que permitió a Briggs obtener los primeros logaritmos decimales, no es la más adecuada para el cálculo manual. Se atribuye a William Oughtred, inventor de la regla de cálculo, la introducción de otros rádices más convenientes que, limitados a cinco cifras, son los siguientes:

Nuevos rádices
1 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001
2 1.2 1.02 1.002 1.0002 1.00002
3 1.3 1.03 1.003 1.0003 1.00003
4 1.4 1.04 1.004 1.0004 1.00004
5 1.5 1.05 1.005 1.0005 1.00005
6 1.6 1.06 1.006 1.0006 1.00006
7 1.7 1.07 1.007 1.0007 1.00007
8 1.8 1.08 1.008 1.0008 1.00008
9 1.9 1.09 1.009 1.0009 1.00009

que requirieron el laborioso cálculo de sus logaritmos decimales (limitados aquí a cinco cifras):

Tabla RADIX de cinco dígitos
0 1 2 3 4
1 0.00000 0.04139 0.00432 0.00043 0.00004 0.00000
2 0.30103 0.07918 0.00860 0.00087 0.00009 0.00001
3 0.47712 0.11394 0.01284 0.00130 0.00013 0.00001
4 0.60206 0.14613 0.01703 0.00173 0.00017 0.00002
5 0.69897 0.17609 0.02119 0.00217 0.00022 0.00002
6 0.77815 0.20412 0.02531 0.00260 0.00026 0.00003
7 0.84510 0.23045 0.02938 0.00303 0.00030 0.00003
8 0.90309 0.25527 0.03342 0.00346 0.00035 0.00003
9 0.95424 0.27875 0.03743 0.00389 0.00039 0.00004

que, después de multiplicar por 100 000, se pueden expresar en una forma más compacta como:

Tabla RADIX (condensada)
0 1 2 3 4
1 0 4139 432 43 4 0
2 30103 7918 860 87 9 1
3 47712 11394 1284 130 13 1
4 60206 14613 1703 173 17 2
5 69897 17609 2119 217 22 2
6 77815 20412 2531 260 26 3
7 84510 23045 2938 303 30 3
8 90309 25527 3342 346 35 3
9 95424 27875 3743 389 39 4

tabla que podríamos imprimir o copiar en una tarjeta para usarla junto con nuestro ábaco (La fila superior en las dos últimas tablas expresa el número de ceros tras el punto decimal en los rádices mientras que la primera columna contiene el dígito que las caracteriza). Aquí, de nuevo, la secuencia de rádices o números especiales, leídos por columnas de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha, se aproxima continuamente a mientras que la secuencia de sus respectivos logaritmos se acerca a .

Tomemos como ejemplo, este número se puede escribir:  

como puede verificarse con cualquier calculadora. El logaritmo decimal del último factor es

de modo que, si cinco cifras son suficiente precisión para nosotros, podremos despreciar dicho factor teniéndose:

Si tomamos de la tabla Radix los logaritmos de cada uno de estos factores y los sumamos:

7 84510
1.06 2531
1.003 130
1.0006 26
1.00003 1
Suma: 87198

tendremos:

que podemos comparar a y comprobar que hemos conseguido cinco cifras de precisión.

A continuación veremos cómo obtener la factorización de cualquier número.

Método[editar]

Obtención de logaritmos[editar]

La factorización anterior del número cuyo logaritmo buscamos se obtiene por división repetida. Por ejemplo, dado , como primer paso lo dividiremos por sí mismo truncado a un dígito, es decir, por

o

Ahora, como segundo paso,se debe dividir el cociente anterior por sí mismo truncado a dos dígitos, pero como este número es 1,0 no hay nada que hacer y pasamos a la tercera etapa dividiendo por el cociente truncado a tres dígitos, es decir, por

es decir:

para el cuarto paso continuamos con la división del cociente anterior por sí mismo, ahora truncado a cuatro dígitos

es decir

en el quinto paso, dividimos por sí mismo truncado a cinco dígitos:


y finalmente, un último y sexto paso

y terminamos aquí. Ahora solo tenemos que recolectar los logaritmos de los factores de la tabla Radix y sumarlos para obtener el logaritmo requerido.

Nota:
La larga secuencia de divisiones necesaria para factorizar un número se ve notablemente agilizada y facilitada en el ábaco por el método del divisor ligeramente mayor que la unidad.

Uso de los logaritmos[editar]

Usualmente, nos interesamos en el logaritmo de un número para hacer algo práctico con él; aquí, para seguir con el ejemplo, vamos a usarlo para encontrar la raíz séptima de .

quedando ahora el problema de encontrar el correspondiente antilogaritmo para conocer la raíz buscada.

Obtención de antilogaritmos[editar]

Continuando con el ejemplo, necesitamos obtener ahora el antilogaritmo del último número. Para ello, tenemos que descomponer el número como la suma de los logaritmos de algunos de los factores o números especiales de la tabla Radix. Primero vemos que el mayor logaritmo que podemos restar sin obtener un resultado negativo es (que corresponde al factor ), con lo cual obtenemos como diferencia. De esta última cantidad, a su vez, podemos restar (correspondiente al factor ) quedando , y así sucesivamente, como se ilustra en la siguiente tabla:

Log Restar Factor
0.55314 0.47712 3
0.07602 0.04139 1.1
0.03463 0.03342 1.08
0.00121 0.00087 1.002
0.00034 0.00030 1.0007
0.00004 0.00004 1.00009

Lo que nos permite escribir:

o, lo que es lo mismo,

que, una vez hechas las multiplicaciones, nos conduce al valor:

que podemos comparar con el valor de la raíz séptima , resultando ser correcto en 4 o 5 dígitos.

El método Radix sobre con el ábaco[editar]

Obtención de logaritmos[editar]

Para realizar el procedimiento anterior sobre el ábaco, cada uno podrá utilizar diferentes métodos de división, disposición de operaciones, tipo de ábaco, etc. dependiendo de sus gustos personales. La forma de organizar las operaciones que se presenta a continuación es muy compacta pero no necesariamente tiene por qué ser la mejor para todos. Como se verá, un ábaco de 15 columnas es suficiente para hacer estos cálculos y quizás también uno de sólo 13. La primera división será normal y puede hacerse por el método moderno o el tradicional, las restantes deberán hacerse utilizando el método del divisor ligeramente mayor que la unidad por su simplicidad y rapidez.

Logaritmo de 7.447 método Radix, 1ª división: tradicional
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
      7447 Anote 7 en A
7    1063857143 División normal por 7, anote 6 en C
706  1003638814 División especial por 1.06, anote 3 en D
7063 1000636903 División especial por 1.0006, anote 6 en E
706361000036881 Siguiente divisor es 1.00003...
70636 ... simplemente borre el resto F-0
706363 y anote 3 en F como último dígito

El proceso es idéntico empezando con la división moderna, sólo que habría empezar una columna más a la derecha.

Logaritmo de 7.447 método Radix, 1ª división: moderna
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
       7447 Anote 7 en A
7    1063857143 División normal por 7, anote 6 en C
706  1003638814 División especial por 1.06, anote 3 en D
7063 1000636903 División especial por 1.0006, anote 6 en E
706361000036881 Siguiente divisor es 1.00003...
70636 ... simplemente borre el resto F-0
706363 y anote 3 en F


En el lado izquierdo del ábaco, de A a F se han formado las cifras , que podemos leer como el número decimal , pero por supuesto no es un número en absoluto, es solo una escritura condensada o mnemotécnica conveniente para la expresión:

Nota:
Si llamamos entonces (la significa factorizado) se ha obtenido de mediante el proceso anterior de factorización, pero a su vez puede obtenerse (aproximadamente) de en la forma que veremos al tratar del antilogaritmo, por lo que existe cierta correspondencia entre los dos términos que podemos representar como:
En el Apéndice A, encontrará una tabla de pares de tales números que le ayudarán a practicar este proceso de factorización y su inversión.

Continuamos reuniendo los logaritmos de los factores de la tabla Radix y los sumamos en las columnas JKLMNO

Recolectando logaritmos de los factores
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
706363
         +84510 Logaritmo de 7
          +2531 Logaritmo de 1.06
           +130 Logaritmo de 1.003
            +26 Logaritmo de 1.0006
             +1 Logaritmo de 1.00003
706363    87198 Logaritmo de 7.447
+        + Columnas unidad

Ahora podemos borrar 87198 de A-F. Finalmente, tenemos que:

Nota:
En ocasiones resultará que la segunda división, la primera especial, no será fácil o realizable usando el método especial debido a que el divisor no es suficientemente cercano a uno; por ejemplo, para el número , si dividimos por nos resulta . En lugar de hacer una segunda división normal, puede intentar este camino:
  • Haga la primera división del número por sí mismo truncado a una cifra más uno y multiplique el resultado por , en el ejemplo . Este resultado ya es tratable al ser
  • Obtenga el logaritmo del nuevo número
  • Obtenga el logaritmo del número original como

Uso de los logaritmos[editar]

Si ahora seguimos con el ejemplo de cálculo de la raíz séptima de 7447, dado que

Añadimos 3 al resultado anterior y lo dividimos por 7

Caption text
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
          87198 Logaritmo de 7.447
        +3 Logaritmo de 1000
         387198 Logaritmo de 7447
         . Columna unidad
7        387198 Ponga el divisor 7 en algún lugar si lo desea
         /7 Divida J-O por 7 para obtener:
7        55314 Logaritmo de la raíz séptima de 7447
.       . Columna unidad


entonces tenemos

en JKLMN.

Obtención de antilogaritmos[editar]

Para obtener el antilogaritmo de la cantidad anterior, seguimos el proceso inverso al de calcular logaritmos. En cada etapa restamos el mayor logaritmo presente en la tabla Radix que sea menor que el valor que queda en el ábaco e ingresamos un mnemónico del factor correspondiente.

Buscando factores
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
7        55314 logaritmo de la raíz séptima de 7447
         55314 Borrar A
        . Unit rod
        -47712 Restar logaritmo de 3
3         7602 Anotar 3 en A
         -4139 Restar logaritmo de 1.1
31        3463 Anotar 1 en B
         -3342 Restar logaritmo de 1.08
318        121 Anotar 8 en C
           -87 Restar logaritmo de 1.002
3182        34 Anotar 2 en D
           -30 Restar logaritmo de 1.0007
31827        4 Anotar 7 en E
            -4 Restar logaritmo de 1.00009
318279 Anotar 9 en F


De modo que hemos recogido (o ) en A-F como abreviatura o recordatorio de:

Es decir, del último cálculo que nos resta por hacer:

Caption text
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNO
318279 3 Copiar A a H
+      + Varillas unidad
318279 33 Tras multiplicación especial por 1.1
318279 3564 Tras multiplicación especial por 1.08
318279 3571128 Tras multiplicación especial por 1.002
318279 35736278 Tras multiplicación especial por 1.0007
318279 35739494 Tras multiplicación especial por 1.00009
318279 35739 Redondeo a 5 cifras. Fin.
       + Varilla unidad del resultado

Finalmente, tenemos

Comparar con

Referencias[editar]

  1. Flower, Robert (1771). The Radix. A New Way of Making Logarithms... in five problems. Londres: J. Beecroft. https://books.google.es/books/about/The_Radix_A_New_Way_of_Making_Logarithms.html?id=mYpaAAAAcAAJ&redir_esc=y. 

Otras lecturas[editar]

Apéndice A[editar]

Pares
4.17189 4.04285 2.29060 2.14113 1.04659 1.04633 1.36943 1.35324 7.86385 7.12125
4.67685 4.16275 5.16372 5.03266 5.79831 5.15403 7.04412 7.00630 2.43038 2.21263
9.60365 9.06666 3.40265 3.13107 1.06830 1.06781 1.59324 1.56203 5.05585 5.01115
4.09355 4.02331 2.80847 2.40302 7.03101 7.00442 4.06989 4.01739 1.84582 1.82534
8.90113 8.11147 2.88304 2.42946 2.83821 2.41361 1.84988 1.82755 2.93607 2.44826
4.74550 4.17795 1.09832 1.09763 2.38007 2.18171 6.19995 6.03322 6.57473 6.09531
3.61705 3.20473 2.27024 2.13187 2.23942 2.11783 9.83595 9.09264 1.05463 1.05441
1.34184 1.33212 9.93629 9.10366 8.03035 8.00379 2.35336 2.16915 1.28182 1.26771
9.06939 9.00770 2.05286 2.02630 2.26568 2.12965 6.84595 6.13705 1.77715 1.74517
3.45179 3.14576 3.27494 3.09151 1.24866 1.24053 3.85600 3.27103 1.28472 1.27056
5.39677 5.07873 9.18344 9.02037 5.79272 5.15306 4. 36.599 4.09137 4.49722 4.12205
7.02972 7.00424 1.22332 1.21933 2.51469 2.24748 4.34138 4.08494 3.88231 3.27786
1.42789 1.41981 3.15237 3.05075 4.91375 4.22362 1.18935 1.18113 1.19216 1.18350
1.67375 1.64585 8.29751 8.03697 8.52988 8.06587 4.09687 4.02413 3.31497 3.10453
2.90368 2.43681 6.30653 6.05103 1.35283 1.34061 1.56770 1.54493 6.08271 6.01374
6.49005 6.08155 7.43773 7.06238 3.29883 3.09881 1.69325 1.65788 8.62439 8.07751
2.96800 2.46000 9.19384 9.02151 2.63768 2.31444 6.17543 6.02905 1.16747 1.16126
2.69545 2.33651 4.41406 4.10319 1.99068 1.94742 3.23954 3.07920 3.45985 3.14811
2.10857 2.05407 1.41602 1.41142 4.41893 4.10430 2.83271 2.41166 1.47162 1.45110
5.71552 5.13891 2.89104 2.43243 4.23742 4.05890 1.09177 1.09162 4.51555 4.12613
1.25023 1.24178 1.63053 1.61898 2.35108 2.16818 4.46367 4.11442 2.41599 2.20665
2.69042 2.33463 1.02298 1.02291 9.20120 9.02231 6.17930 6.02968 7.00842 7.00120
7.81141 7.11442 5.76492 5.14784 1.03009 1.03008 3.46349 3.14917 7.26571 7.03772
2.41321 2. 20.550 6.15088 6.02504 1.37315 1.35596 1.70173 1.70101 3.04836 3.01606
1.35950 1.34554 2.52705 2.25279 1.29474 1.27836 2.73273 2.35100 3.51611 3.16517
7.65032 7.09266 6.22593 6.03742 1.14929 1.14462 6.13905 6.02311 4.27147 4.06741
5.88506 5.17001 6.80772 6.13142 1.00799 1.00798 2.10955 2.05454 1.54209 1.52789
1.84159 1.82304 5.85712 5.16464 1.58256 1.55479 8.76653 8.09533 1.13953 1.13575
3.25911 3.08589 3.47696 3.15344 8.82462 8.10279 6.91399 6.14728 4.52649 4.12857
1.86741 1.83723 1.19165 1.18307 3.50688 3.16253 3.02441 3.00813 3.13302 3.04417
3.64380 3.21214 1.74269 1.72501 8.24788 8.03095 3.21964 3.07300 2.99542 2.46923
1.27878 1.26532 6.95433 6.15351 3.42022 3.13624 3.20609 3.06820 2.12522 2.06246
9.42543 9.04698 2.82294 2.40819 7.08805 7.01255 9.05484 9.00609 1.57501 1.55001
1.31738 1.31333 7.90844 7.12692 5.96431 5.18409 5.56086 5.11105 8.63572 8.07883
3.72464 3.23448 1.96017 1.93162 1.27999 1.26627 1.18029 1.17279 2.64196 2.31607
3.20983 3.06937 1.05217 1.05206 2.15875 2.07875 2. 07.870 2.03907 5.32279 5.06429
2.10760 2.05361 1.12346 1.12129 9.79080 9.08728 1.09649 1.09595 1.20539 1.20449
8.65334 8.08154 4.87294 4.21514 4.66657 4.16055 1.28452 1.27040 4.73984 4.17675
1.06697 1.06657 7.81288 7.11461 2.03967 2.01973 2.12189 2.06088 2.36093 2.17294
1.15697 1.15170 4.72064 4.17268 6.62132 6.10322 6.14115 6.02345 2.04996 2.02488
1.96287 1.93299 5.92080 5.17608 8.68776 8.08552 2.35985 2.17248 3.57533 3.18317
3.41811 3.13561 1.25009 1.24167 4.48268 4.11869 4.27201 4.06754 6.20615 6.03423
1.25262 1.24369 1.55821 1.53854 1.40506 1.40361 2.20712 2.10323 8.73994 8.09228
5.34800 5.06905 4.01149 4.00287 2.58202 2.27545 3.17669 3.05847 3.22276 3.07397
5.05718 5.01142 1.32853 1.32191 1.99776 1.95138 6.55713 6.09261 1.49243 1.46568

Apéndice B[editar]

La siguiente tabla, incluida a título de curiosidad, es una recreación con la computadora de la tabla Radix que figura en la última página de las Tablas de logaritmos de 7 cifras de Ludwig Schrön, publicada por Librería General De Victoriano Suárez en 1953. Esta tabla permitía obtener logaritmos y antilogaritmos de números con hasta 11 dígitos por el método explicado en este capítulo.

Tabla Radix para 10 dígitos
1 0.00000 00000 00000 000 1 0.00000 04342 94264 756
2 0.30102 99956 63981 194 2 0.00000 08685 88095 218
3 0.47712 12547 19662 436 3 0.00000 13028 81491 388
4 0.60205 99913 27962 389 4 0.00000 17371 74453 266
- 5 0.69897 00043 36018 803 5 5 0.00000 21714 66980 853
6 0.77815 12503 83643 630 6 0.00000 26057 59074 149
7 0.84509 80400 14256 829 7 0.00000 30400 50733 157
8 0.90308 99869 91943 584 8 0.00000 34743 41957 876
9 0.95424 25094 39324 872 9 0.00000 39086 32748 307
1 0.04139 26851 58225 040 1 0.00000 00434 29446 018
2 0.07918 12460 47624 827 2 0.00000 00868 58887 694
3 0.11394 33523 06836 769 3 0.00000 01302 88325 027
4 0.14612 80356 78238 025 4 0.00000 01737 17758 017
0 5 0.17609 12590 55681 241 6 5 0.00000 02171 47186 664
6 0.20411 99826 55924 780 6 0.00000 02605 76610 968
7 0.23044 89213 78273 928 7 0.00000 03040 06030 930
8 0.25527 25051 03306 069 8 0.00000 03474 35446 548
9 0.27875 36009 52828 960 9 0.00000 03908 64857 823
1 0.00432 13737 82642 573 1 0.00000 00043 42944 797
2 0.00860 01717 61917 561 2 0.00000 00086 85889 551
3 0.01283 72247 05172 204 3 0.00000 00130 28834 261
4 0.01703 33392 98780 354 4 0.00000 00173 71778 928
1 5 0.02118 92990 69938 072 7 5 0.00000 00217 14723 552
6 0.02530 58652 64770 240 6 0.00000 00260 57668 132
7 0.02938 37776 85209 640 7 0.00000 00304 00612 669
8 0.03342 37554 86949 701 8 0.00000 00347 43557 162
9 0.03742 64979 40623 634 9 0.00000 00390 86501 612
1 0.00043 40774 79318 640 1 0.00000 00004 34294 481
2 0.00086 77215 31226 912 2. 0.00000 00008 68588 962
3 0.00130 09330 20418 118 3 0.00000 00013 02883 443
4 0.00173 37128 09000 529 4 0.00000 00017 37177 924
2 5 0.00216 60617 56507 675 8 5 0.00000 00021 71472 403
6 0.00259 79807 19908 591 6. 0.00000 00026 05766 883
7 0.00302 94705 53618 007 7 0.00000 00030 40061 362
8 0.00346 05321 09506 485 8 0.00000 00034 74355 841
9 0.00389 11662 36910 521 9 0.00000 00039 08650 319
1 0.00004 34272 76862 669 1 0.00000 00000 43429 447
2 0.00008 68502 11648 956 2 0.00000 00000 86858 895
3 0.00013 02688 05227 060 3 0.00000 00001 30288 344
4 0.00017 36830 58464 918 4 0.00000 00001 73717 792
3 5 0.00021 70929 72230 207 9 5 0.00000 00002 17147 240
6 0.00026 04985 47390 346 6 0.00000 00002 60576 688
7 0.00030 38997 84812 491 7 0.00000 00003 04006 136
8 0.00034 72966 85363 540 8 0.00000 00003 47435 585
9 0.00039 06892 49910 131 9 0.00000 00003 90865 033
1 0.00000 43429 23104 453
2 0.00000 86858 02780 326
3 0.00001 30286 39028 488
4 0.00001 73714 31849 808
4 5 0.00002 17141 81245 155
6 0.00002 60568 87215 395
7 0.00003 03995 49761 398
8 0.00003 47421 68884 033
9 0.00003 90847 44584 167