Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Métodos Especiales de División

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Introducción[editar]

Se presentan a continuación algunos métodos especiales de división que nos permitirán ahorrar cierta cantidad de trabajo en determinadas circunstancias.

También presentamos un método general, el de división con cociente excesivo, válido en todos los casos y que usaremos en conjunción con los métodos elementales de división (moderno o tradicional). En realidad, este método, más que un método de división en sí mismo, puede considerarse como la imagen especular de los métodos habituales en el otro lado del ábaco, donde podremos entrar y salir a voluntad para trabajar con restos negativos si encontramos alguna ventaja en ello. En todo caso, será un buen banco de prueba para nuestra comprensión del proceso de división.

Divisor ligeramente mayor que la unidad[editar]

Al igual que hicimos en el caso de la multiplicación por un número ligeramente mayor que la unidad, aclaremos antes de empezar que por divisor ligeramente mayor que la unidad queremos decir que éste es de la forma: , con una cantidad pequeña positiva y cualquier entero. Es decir, que en el ejemplo que sigue, 1.03 podría ser igualmente 103, 10300 o 0.00000103 ya que el término afecta sólo a la posición del punto decimal en el resultado de la división y no a la secuencia de dígitos que obtendremos en el proceso.

El punto clave de esta división es que, en la mayoría de los casos, el primer dígito del dividendo se corresponde con el dígito del cociente por ser el divisor próximo a la unidad[1], y que dicho dígito desaparecerá del dividendo cuando restemos el producto de la cifra del cociente por el divisor para establecer el resto. Por lo tanto, ahorraremos trabajo si en lugar de borrar ese dígito del dividendo y escribir el mismo en otra parte como cociente, lo reciclamos y lo consideramos convertido en cociente; por ejemplo: 7416÷103

7416÷103, división especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJK
  3   7416 7 como dígito del cociente
      -21 Restar 7x3 de HI
  3   7206 2 como dígito del cociente
       -06 Restar 2x3 de IJ
  3   72 Resto nulo, resultado en GH

donde hemos abreviado la escritura del divisor omitiendo el 1 por no intervenir en los cálculos. Nótese que, con la posición del cociente relativa a la posición del dividendo, esta división no se ha realizado ni con la disposición moderna de la división (MDA) ni con la tradicional (TDA), sino con una nueva disposición que es la inversa abacística de la multiplicación con multiplicador ligeramente mayor que la unidad:

72×103, multiplicación especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJK
  3   72
       +06 Sumar 2x3 en IJ
  3   7206
      +21 Sumar 7x3 en HI
  3   7416 Resultado en G-J


Nótese también que la cantidad no tiene por qué limitarse a un dígito:

3696÷112, división especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJK
 12   3696 3 como dígito del cociente
      -3 Restar 3x1 de H
      -06 Restar 3x2 de HI
 12   3336 3 como dígito del cociente
       -3 Restar 3x1 de I
       -06 Restar 3x2 de IJ
 12   33 Resto nulo, resultado en GH

Pero sí tiene un límite borroso en cuanto al mayor valor que puede tomar; es difícil seguir este procedimiento abreviado de dividir si .

Por otro lado, no siempre se cumplirá lo dicho arriba de que el primer dígito del dividendo se corresponda con el dígito del cociente como ha ocurrido en los ejemplos anteriores, con frecuencia necesitaremos revisar a la baja dicho cociente. Por ejemplo: 8034÷103, inicialmente supondríamos que la cifra del cociente es 8, pero rápidamente veremos que 8 es excesivo y que la cifra del cociente a emplear es 7. Para tratar con esta situación, supondremos que el 1 que nos sobra del primer dígito del dividendo forma parte de la columna siguiente como desbordamiento y lo trataremos como tal; por ejemplo, con un ábaco tradicional con cuentas adicionales podríamos cambiar el planteamiento inicial:

8034÷103, disposición inicial
A B C D E F G H I K J
Suanpan-lw.png Suanpan-0.png Suanpan-0.png Suanpan-3.png Suanpan-0.png Suanpan-0.png Suanpan-0.png Suanpan-8.png Suanpan-0.png Suanpan-3.png Suanpan-4.png Suanpan-0.png Suanpan-rw.png
0 0 3 0 0 0 8 0 3 4 0

por este otro

8034÷103, disposición modificada
A B C D E F G H I K J
Suanpan-lw.png Suanpan-0.png Suanpan-0.png Suanpan-3.png Suanpan-0.png Suanpan-0.png Suanpan-0.png Suanpan-7.png Suanpan-T.png Suanpan-3.png Suanpan-4.png Suanpan-0.png Suanpan-rw.png
0 0 3 0 0 0 7 T 3 4 0

y proceder:

8034÷103, división especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJK
  3   8034 8 como dígito del cociente
      -24 Restar 8x3 de HI ¡Excesivo!
  3   7T34 Transformamos el dividendo, 7 como dígito del cociente
      -21 Restar 7x3 de HI
  3   7824 8 como dígito del cociente
       -24 Restar 8x3 de IJ
  3   78 Resto nulo, resultado en GH

Otra forma de tratar con el desbordamiento sería:

8034÷103, división especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJK
  3   8034 8 como dígito del cociente
      -24 Restar 8x3 de HI ¡Excesivo!
  3   7794 no importa, restamos de todos modos (Nota)
       +3 devolvemos lo restado en exceso
  3   7824 8 como dígito del cociente
       -24 Restar 8x3 de IJ
  3   78 Resto nulo, resultado en GH
Nota:
Al tomar el 8 inicial como cociente (y considerarlo suprimido del dividendo) hemos restado 8×103 de la cabecera del dividendo, pero esto es excesivo ya que el verdadero cociente es 7 y deberíamos haber restado 7×103; es decir 103 menos, por lo que habrá que devolver esta cantidad. En realidad, el 103 restado en exceso lo hemos restado tomando prestado de la nada (ver capítulo sobre números negativos, el 79 que aparece en las columnas HI representa a -21); por lo que al sumar el 100 de 103, restituimos (a la nada) el uno que hemos tomado prestado y sólo nos falta devolver el 3 (-21+103=82 en HI). Consulte también los apartados: Revisión a la baja desde el otro lado y División con cociente excesivo.

Para terminar este apartado añadimos un ejemplo extremo, en el que , para mostrar la clase de dificultades que surgen si no es pequeño. Es interesante comprenderlo bien porque en ocasiones también pueden surgir estas dificultades con valores más moderados de y conviene saber salir del paso. Para tener más claro qué es lo que se va a hacer, conviene tener presente la división resuelta por el método moderno:

10257/13 = 789, método moderno
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ
13   10257
13  710257 Probar 7 como cociente
    -07 Restar 7x1 de FG
     -21 Restar 7x3 de GH
13  7 1157
13  781157 Probar 8 como cociente
     -08 Restar 8x1 de GH
      -24 Restar 8x3 de HI
13  78 117
13  789117 Probar 9 como cociente
      -09 Restar 9x1 de HI
       -27 Restar 9x3 de IJ
13  789 Resto nulo. Cociente:789

A continuación sigue la división hecha por este método especial. Lo que hacemos es, fundamentalmente, lo mismo que con la división moderna pero los cocientes son anotados dos columnas a la derecha, lo que resultará confuso al principio.

10257/13 = 789, división especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJ
 3   10257 Considerar 1 en F como desbordamiento (nota 1)
 3   00257 Probamos 9 como cociente
     -27 Restar 9x3 de GH
 3    7557 Excesivo, queda 7 en G
----------
 3   00257 Probamos 8 como cociente
     -24 Restar 8x3 de GH
 3    7857 Excesivo, queda 7 en G
----------
 3   00257 Probamos 7 como cociente
     -21 Restar 7x3 de GH
 3    8157 Cabe, columna H desbordada (nota 2), seguimos
 3    7157 Probamos 9 como cociente
      -27 Restar 9x3 de HI
 3    7887 Excesivo, queda 8 en H
----------
 3    7157 Probamos 8 como cociente
      -24 Restar 8x3 de HI
 3    7917 Cabe, columna I desbordada (nota 3), seguimos
----------
 3    7817 Probamos 9 como cociente
       -27 Restar 9x3 de IJ
 3    789 Cabe, resto nulo, hecho.
Nota 1:
Según la técnica que estamos tratando, la primera cifra del dividendo es una pista a la cifra del cociente que tenemos que intentar, pero en este caso no sirve porque 10 entre 13 no cabe y tenemos que pensar en 102/13 que nos lleva a una cifra alta. Por eso conviene pensar que el 1 inicial es el desbordamiento de la columna de la derecha; o lo que es lo mismo, que el primer dígito del dividendo es 10 en G. En un ábaco tradicional sería más sencillo entender el proceso ya que cambiaríamos el dividendo de esto:
F G H I J
Suanpan-1.png Suanpan-0.png Suanpan-2.png Suanpan-5.png Suanpan-7.png
1 0 2 5 7
a esto otro:
F G H I J
Suanpan-0.png Suanpan-T.png Suanpan-2.png Suanpan-5.png Suanpan-7.png
0 10 2 5 7

Ahora, el primer dígito del dividendo (10 en G) debería guiarnos a la cifra de cociente que debemos intentar; pero, no sirviendo 10 por lo que acabamos de decir, ensayamos 9. Pero 9 resulta excesivo ya que al sustraer 9×3 de GH nos quedaría 7 en lugar de 9 en G; por lo que pasamos a intentar 8 como cociente, que tampoco nos sirve por idéntico motivo, y luego 7.

Nota 2:
Nos sirve 7 como cociente porque, tras restar 7×3 de GH, nos quedaría 8 en G que puede ser interpretado como 7 (la cifra del cociente) más el desbordamiento de la columna H. En un ábaco tradicional tendríamos:
F G H I J
Suanpan-0.png Suanpan-7.png Suanpan-11.png Suanpan-5.png Suanpan-7.png
0 7 11 5 7
Nota 3:
Aquí ocurre lo mismo que en el caso anterior. Nos sirve 8 como cociente porque, tras restar 8×3 de HI, nos quedaría 9 en H que puede ser interpretado como 8 (la cifra del cociente) más el desbordamiento de la columna I.En un ábaco tradicional tendríamos:


F G H I J
Suanpan-0.png Suanpan-7.png Suanpan-8.png Suanpan-11.png Suanpan-7.png
0 7 8 11 7
La clave:
Al probar un cociente y restar el producto de esa cifra del cociente por pueden ocurrir tres cosas:
  • En la columna del cociente aparece una cifra menor que la del cociente que estamos probando. La cifra del cociente es excesiva y tenemos que probar otra más baja.
  • En la columna del cociente aparece la cifra que estamos probando. Entonces, todo ha ido bien y podemos continuar la división.
  • En la columna del cociente aparece la cifra que estamos probando más 1. Todo ha ido bien, la cifra probada del cociente era correcta, pero la unidad de más indica que la columna de la derecha (resto) está desbordada y deberemos ensayar cifras altas para el siguiente dígito del cociente. En un ábaco tradicional quitaríamos el uno que sobra de la cifra del cociente y sumaríamos 10 a la columna de la derecha (como en los diagramas anteriores); en un ábaco moderno tenemos que hacerlo mentalmente.

Como puede verse, lo que se pierde en este método cuando no es pequeño es la simplicidad de que la primera cifra del resto sea un buen indicador de la cifra del cociente a ensayar.

Divisor ligeramente menor que la unidad[editar]

Al igual que en la sección anterior y por idéntico motivo, como divisor ligeramente menor que la unidad queremos decir que es de la forma: , con una cantidad pequeña positiva y un entero arbitrario. También, como en el método anterior, al ser el divisor próximo a la unidad se tendrá que en la mayoría de los casos la primera cifra del dividendo coincidirá con la del cociente que deberemos probar; por lo que el principal trabajo a realizar en éste método será la determinación del resto o siguiente dividendo.

Si es el dividendo, el divisor y un cociente, se cumplirá:

donde es el resto asociado al cociente . Introduzcamos ahora

por lo que

Ejemplo , cociente entonces:

y, como puede verse, el efecto de en es el de cancelar el primer dígito del dividendo, por lo que bastará sumar a lo que queda del dividendo para obtener el resto (o nuevo dividendo) y poder continuar con la división si procede.

403÷97=4.03÷(1-0.03)
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMN Como divisor sólo anotamos la parte negativa
  3  403 4 como cociente
     +12 Sumar 4x3 en GH
  3  415 1 como cociente
      +03 Sumar 3x3 en HI
  3  4153 5 como cociente
       +15 Sumar 5x3 en IJ
  3  41545 4 como cociente
        +12 Sumar 4x3 en JK
  3  415462 6 como cociente
         +18 Sumar 6x3 en KL
  3  4154638 3 como cociente
          +09 Sumar 3x3 en LM
  3  41546389 8 como cociente
           +24 Sumar 8x3 en LM
  3  415463814 Desbordamiento!
          +1 Revisar L al alza
           -97
  3  415463917 Etc. cociente en F-L, resto en MN

Este método es llamado también: División por números complementarios[2]. Al igual que el método anterior, este método es difícil de seguir si es grande, el límite (borroso) es . Por supuesto, no está limitado a un dígito.

1056÷88=1056/(100-12)
Ábaco Comentario
ABCDEFGHI
 12  1056 1 como cociente
     +12 Sumar 1x12 a GH
 12  1176 1 como cociente
      +12 Sumar 1x12 a HI
 12  1188
     +1 Revisar G al alza
      -88
 12  1200 Resto nulo, resultado en FG

División redondeando el divisor a múltiplo de 10[editar]

La presente técnica, que puede considerarse una extensión de la anterior, se usará en conjunción con la división normal, moderna o tradicional, con divisores ligeramente inferiores a una múltiplo de 10; por ejemplo 4997 que puede ponerse como 5000-3. Al escribirlo e esta forma, con una parte positiva y otra negativa, reducimos el número de cifras diferentes de cero por las que multiplicar y restar; reduciéndose el número de operaciones a efectuar.

164901÷4997=164901÷(5000-3), división moderna especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Divisor en A-D. A es positivo, D es negativo!
5  3   164901 16÷5 -> 3
5  3  3164901
      -15 Restar 3x5 de HI
         +09 Sumar 3x3 en KL
5  3  3 14991 14÷5 -> 2
5  3  3214991
       -10 Restar 2x5 de IJ
          +06 Sumar 2x3 en LM
5  3  32 4997 Revisar al alza H
      +1
        -4997
5  3  33 Resto nulo, resultado en GH

o bien, con la división tradicional:

164901÷4997=164901÷(5000-3), división tradicional especial
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM Divisor en A-D. A es positivo, D es negativo!
5  3   164901 Regla 1/5>2+0
5  3   264901
         +06 Sumar 2x3 en KL
5  3   264961 Revisar H al alza
      +1
       -4997
5  3   314991 Regla 1/5>2+0
5  3   324991
          +06 Sumar 2x3 en LM
5  3   324997 Revisar I al alza
       +1
        -4997
5  3   33 Resto nulo, resultado en HI

En ambos casos, se ha reducido el número de dígitos no nulos del divisor de 4 a dos, por lo que la división nos cuesta sólo la mitad de trabajo. Por supuesto, la parte negativa del divisor no está restringida a un dígito... ¡ni la positiva tampoco!

1077736÷48988=1077736÷(49000-12)
División tradicional
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNOP
49 12    1077736 Regla: 1/4>2+2
49 12    2277736
         -18 Restar 2x9 de KL
            +24 Sumar 2x12 en NO
49 12    2 97976
49 12    2297976 Revisar K al alza dos veces
             +24 Sumar 2x12 en OP (Nota)
          -98 Restar 2x49 de LM
49 12    22 Resto nulo, resultado en JK
Nota:
Aquí se procesa primero la parte negativa para evitar que el dividendo se haga temporalmente negativo; pero no hay ningún inconveniente en seguir el orden habitual y usar el otro lado del ábaco.
1077736÷48988=1077736÷(49000-12)
División tradicional y números negativos
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMNOP
... Terminación alternativa
49 12    2297976 Revisar K al alza dos veces
          -98 Restar 2x49 de LM
49 12    2199976 En el otro lado!
          >>>-24 Lectura: -24
             +24 Sumar 2x12 en OP
49 12    22 De vuelta a este lado. Resto nulo, resultado en JK

Revisión a la baja desde el otro lado[editar]

Revisar a la baja un cociente provisional cuando estamos trabajando la obtención del nuevo dividendo (resto) es siempre algo un tanto molesto por requerir una atención extra. Tenemos que

  1. disminuir en una unidad la cifra del cociente,
  2. devolver al resto lo que hemos restado en exceso por haber adoptado un cociente excesivo y
  3. continuar normalmente a partir de ahí.

Una secuencia de operaciones que se presta fácilmente a que cometamos algún error. Por ejemplo, en el caso de la división 1479889÷37, que también veremos en el apartado siguiente, suponiendo que por error de apreciación usamos 4 como cifra del cociente a probar en lugar de la correcta (3):

1479889÷37, revisión a la baja normal
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889 14/3->4
37  41479889
    -12 Restar 4x3 de FG
37  4 279889
     -28 ¡Excesivo!
   -1 Revisar E a la baja
37  3 279889
     +3 Devolver lo restado de más
37  3 579889
     -21 Continuar normalmente, restar 3x7 de GH
37  3 369889
... Etc.

Una alternativa conceptualmente más sencilla, aunque quizás algo más larga, es no interrumpir la obtención del resto, forzar la sustracción aunque nos lleve transitoriamente al otro lado o reverso del ábaco (números negativos); esto no será un problema ya que volveremos a este lado o anverso del ábaco (números positivos) inmediatamente. Por ejemplo, en la división anterior:

1479889÷37, revisión a la baja desde el otro lado
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889 14/3->4
37  41479889
    -12 Restar 4x3 de FG
37  4 279889
     -28 ¡Excesivo!, forzamos al otro lado
37  49999889 -1 en F-H (!)
   -1 Revisar E a la baja
37  39999889
     +37 Sumar el divisor (omitir acarreo)
37  3 369889 ¡Hemos salido del otro lado!
... Continuar división

Como puede verse, al permitirnos entrar al otro lado no hemos interrumpido la secuencia normal de operaciones, aunque normalmente moveremos más cuentas por este camino. Según los gustos personales esto podría resultarnos más cómodo. Pruébelo y decida.

División con cociente excesivo[editar]

Fundamento[editar]

Reflexionemos de nuevo sobre la división. Cuando tratamos de resolver una división , buscamos un cociente tal que

Exp. 1
.

Para ello, en los métodos elementales del cálculo escrito o todos los que hemos desarrollado hasta ahora para el ábaco, seguimos una técnica iterativa basada en la división con resto que nos permite acceder a un nuevo dígito de en cada paso. La división con resto nos dice que es un cociente de si

Exp. 2

donde

Exp. 3

es el resto de la división. Sin duda el lector habrá notado que con estas definiciones cualquier número arbitrario sirve como cociente de ya que siempre podemos calcular el resto usando la expresión 3 de forma que la expresión 2 se satisfaga. Por tanto, un método de división paso a paso basado en la división con resto dependerá de una juiciosa elección de una serie de cocientes tal que los correspondientes restos sean progresivamente más pequeño; que tiendan a cero

Exp. 4
,

con lo que los cocientes tenderán a

Exp. 5

La forma de actuar en un método paso a paso para ir obteniendo sucesivamente los dígitos de será elegir el de entre unos candidatos adecuados que haga mínimo el resto

sin hacerlo negativo. Los candidatos a serán de la forma un dígito del 1 al 9 multiplicado por una potencia de 10 (lo veremos en el ejemplo que sigue). Tras esto, repetimos el proceso con el nuevo dividendo (el resto) obteniendo y un nuevo resto:

con lo que será:

si repetimos ahora para , obtenemos y

y así hasta que el resto sea nulo y

o decidamos terminar con cierta aproximación

Veamos un ejemplo para aclarar lo anterior, la división : Como valor de elegiremos de entre los valores el que haga mínimo el resto sin entrar en la zona negativa; de acuerdo a la tabla :

q1 d1
10000 1109889
20000 739889
30000 369889
40000 -111
50000 -370111
60000 -740111
70000 -1110111
80000 -1480111
90000 -1850111

la elección corresponde a y el nuevo dividendo . A continuación repetiremos el proceso partiendo de para obtener , teniéndose:

Cocientes Restos
q1:  30000 q1:  30000 d1: 369889
qd1:  9000 q2:  39000 d2:  36889
qd2:   900 q3:  39900 d3:   3589
qd3:    90 q4:  39990 d4:    259
qd4:     7 q5:  39997 d5:      0

por lo que el número era divisible por y el cociente exacto es:

Esto es básicamente lo que hacemos con cualquiera de los métodos de división vistos hasta ahora como la división moderna o la tradicional.

Ahora tratamos de lo fundamental en relación al nuevo método de división con cociente excesivo[3] que vamos a introducir. En lo anterior, la restricción de elegir el mínimo resto positivo es artificial e innecesaria. Que el resto sea mínimo sí es esencial para que podamos acercarnos a , pero que sea positivo es consecuencia únicamente de que, normalmente, nos enseñan a dividir antes de hablarnos de números negativos, y de la larga tradición que procede de los tiempos en que los números negativos eran mal comprendidos y poco usados. Si quitamos esta restricción y en su lugar elegimos el mínimo en valor absoluto de los restos, admitiendo que tanto estos como los cocientes puedan ser negativos, podemos llevarnos una agradable sorpresa. En el caso del ejemplo, tomando nos lleva a:

Cocientes Restos
q1:  40000 q1:  40000 d1: -111
qd1:    -3 q2:  39997 d2:    0

Podemos llevar esta forma de trabajar al ábaco si nos permitimos entrar y salir del Otro Lado; es decir, usar restos y cocientes negativos. Podemos entrar y salir del otro lado a voluntad, simplemente eligiendo un cociente excesivo (una unidad mayor que el requerido) positivo o negativo.

Entraremos al otro lado:
cada vez que al forzar la sustracción necesitemos tomar prestado de la última cifra del cociente
Saldremos del otro lado:
cada vez que al forzar la sustracción de cantidades negativas (adición, por ser los cocientes negativos) necesitemos acarrear a la última cifra del cociente

Ejemplos[editar]

1479889÷37, división con cociente excesivo
(División moderna)
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKL
37   1479889 14/3->4
37  41479889
    -12 Restar 4x3 de FG
37  4 279889
     -28 Restar 4x7 de GH
37  39999889
     >>>-111 Otro lado, -11/3->(-3)
       -3
37  39996889
        +09 Restar -3x3 de JK (sumar 3x3)
37  39996979
         +21 Restar -3x7 de KL (sumar 3x7)
37  39997000 Este lado, resto nulo, cociente en E-I

Podemos también usar la división tradicional, pero tengamos en cuenta que una regla de división a/b>c+d, en el otro lado, se transforma en -a/b>(9-c)-d, es decir, sustituimos el primer dígito del dividendo por el complemento a nueve de c y restamos d del siguiente dígito (en el ejemplo de abajo 1/3>3+1 se convierte en -1/3>6-1). Podríamos hablar por tanto de reglas de división negativas.

1479889÷37, división con cociente excesivo
(División tradicional)
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37   1479889 Regla: 1/3>3+1
37   3579889
     -12 Restar 3x3 de FG
37   3369889
    +1 Forzamos la entrada al otro lado
     -37
37   3999889
     >>>-111 Regla: -1/3>6-1 (otro lado)
37   3999679
         +21 Sumar 3x7 a KL
37   3999700 ¡Hemos salido del otro lado!
Resto nulo, cociente en F-J

¿Cuándo usar el método?[editar]

El método de división por cociente excesivo no es un método especial en el sentido de que sólo sea aplicable bajo determinadas circunstancias; se trata de un método general, avanzado, aplicable en todos los casos. Que sea práctico o no, eso ya es otra cuestión que quizás tenga algo de personal; lo que está claro es que, con su práctica, se puede alcanzar un grado de comprensión de la operación de división que no sería posible practicando sólo los métodos elementales moderno o tradicional.

De los ejemplos anteriores, se deduce que el método será práctico cuando el dividendo sea sólo ligeramente menor que el divisor, lo que permite augurar algunos nueves seguidos en el cociente y un cálculo más breve. Por ejemplo: 998001÷999, el primer dividendo 998 es casi igual al divisor 999, una buena oportunidad de entrar al otro lado:

998001÷999, usando cociente excesivo
División moderna
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLM
999    998001 Dividendo casi igual al divisor!
999   T998001 Cociente excesivo T (10)
      -9990 Restar Tx999 de H-K
999   9999001 Otro lado!
      >>>-999 Lectura: -999
       -1 -999/999 =-1, revisar al alza I (negativo!)
999   9989001
         +999 Restar -1x999 (sumar +999) de K-M
999   999 Este lado! resto nulo, resultado en G-I

y ahora con división tradicional: 9998001÷9999

9998001÷9999, usando cociente excesivo
División tradicional
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
9999  99980001 Regla: 9/9>9+9
9999  9898   1
      -8991 Restar 9x999 de H-K
9999  99989001 Forzar entrada al otro lado
     +1 revisando G al alza
9999  T9989001
      -9999 restar 9999 de H-K
9999  99990001 En el otro lado!
      >>>-9999 Lectura: -9999
        -1 Revisar J al alza (negativo!)
9999  99980001
         +9999 Restar -1x9999 (sumar +9999) de K-N
9999  99990000 De vuelta en este lado!
9999  9999 Resto nulo, resultado en G-J

Pero insistiendo una vez más, se trata de un método general y podemos entrar y salir del otro lado cuando queramos.

7÷37=0.189189189..., usando cociente excesivo
División moderna
Ábaco Comentario
ABCDEFGHIJKLMN
37    7
37  2 7 Cociente excesivo 2
     -74 Restar 2x37 de GH
37  1996 En el otro lado!
   >>>-4 Lectura: -4;
    -1 Revisar F al alza (negativo!)
      +37
37  18997
    >>>-3 Lectura: -3; -30/37 -> -8
      -8
37  18917
       +296 Restar -8x37 de I-K
37  1891996
      >>>-4 Lectura: -4; (repetición)
       -1 Revisar I al alza (negativo!)
         +37
37  18918997
       -1 Revisar I al alza otra vez
         +37 para salir del otro lado
37  18918 34 De vuelta en este lado!
... Etc.

Referencias[editar]

  1. Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN 978-0-8048-0003-7. 
  2. *Murakami, Masaaki (2019). «帰一法除法 (Division by Complementary Numbers)» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.
  3. Murakami, Masaaki (2019). «Division with Excessive Quotient» (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archivado desde el original, el 1 de Agosto de 2021.

Otras lecturas[editar]