Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/División por Potencias de 2

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«Métodos Tradicionales»

Introducción

Una fracción cuyo denominador solo contiene 2 y 5 como divisores tiene una representación decimal finita. Esto permite una división fácil por potencias de dos o cinco si tenemos las fracciones $1 / n, 2 / n, \dots 9 / n$ tabuladas (o memorizadas) donde $n$ es una de tales potencias de dos o cinco.

Por ejemplo, dado

$137 = 1 \cdot 1 0^{2} + 3 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0}$

Entonces

$\frac{137}{8} = \frac{1 \cdot 1 0^{2} + 3 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0}}{8} = \frac{1}{8} \cdot 1 0^{2} + \frac{3}{8} \cdot 1 0^{1} + \frac{7}{8} \cdot 1 0^{0} =$

$= (0.125) \cdot 1 0^{2} + (0.375) \cdot 1 0^{1} + (0.875) 1 0^{0} = 12.5 + 3.75 + 0.875 = 17.125$

Lo cual se puede hacer fácilmente en el ábaco trabajando de derecha a izquierda del siguiente modo:

Para cada dígito del numerador

Borrar el dígito
Sumar en el ábaco la fracción correspondiente al dígito de trabajo comenzando por la columna que ocupaba

137÷8 usando fracciones
Ábaco	Comentario
ABCDEF
--+---	Columna unidad
137	Dividendo 137 en A-C como guía
7	borrar 7 en C
+0875	sumar 7/8 en C-F
130875
3	borrar 3 en B
+0375	sumar 3/8 en B-E
104625
1	borrar 1 en A
+0125	sumar 1/8 en A-D
17125	¡Hecho!
--+---	Columna unidad

Solo necesitamos tener las fracciones correspondientes tabuladas o memorizadas, como en la tabla a continuación.

Potencias de dos

En el pasado, tanto en China como en Japón, se utilizaban unidades monetarias y de medida que estaban relacionadas por un factor de 16^[1]^[2]^[3], un factor que al comenzar con uno hace que la división normal resulte incómoda. Por esta razón el método presentado aquí fue popular para tales divisiones.

Tabla de fracciones

Fracciones de potencias de 2

D

D/2

D/4

D/8

D/16

D/32

D/64

1

05

025

0125

0625

03125

015625

2

10

050

0250

1250

06250

031250

3

15

075

0375

1875

09375

046875

4

20

100

0500

2500

12500

062500

5

25

125

0625

3125

15625

078125

6

30

150

0750

3750

18750

093750

7

35

175

0875

4375

21875

109375

8

40

200

1000

5000

25000

125000

9

45

225

1125

5625

28125

140625

1

1

1

Desplazamiento a la izquierda
de la columna unidad

Para las divisiones por 2, 4 y 8 la columna unidad no cambia de posición, pero para la divisiones por 16, 32 y 64 se desplaza una columna a la izquierda como vemos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos de uso

137/2
68.5
ABCD
--+-
137
7
+35
3
+15
1
+05
--+-
0685

137/4
34.25
ABCDE
--+--
137
7
+175
3
+075
1
+025
--+--
03425

137/8
17.125
ABCDEF
--+---
137
7
+0875
3
+0375
1
+0125
--+---
017125

137/16
8.5625
ABCDEF
--+---
137
7
+4375
3
+1875
1
+0625
-+----
085625

137/32
4.28125
ABCDEFG
--+----
137
7
+21875
3
+09375
1
+03125
-+-----
0428125

137/64
2.140625
ABCDEFGH
--+-----
137
7	Borrar 7 en C
+109375
3	Borrar 3 en B
+046875
1	Borrar 1 en A
+015625
-+------
02140625

"+" indica la posición de la columna unidad antes y después de la operación.

División por 2 in situ

El caso de la división por 2 es especialmente importante; ya ha sido mencionado como división in situ para transformar una división por un número que comience por uno en una división más cómoda que empiece por un dígito de 5 a 9. También le será útil a la hora de realizar raíces cuadradas por el método del semi-resto (半九九法, hankukuho en japonés, Bàn jiǔjiǔ fǎ en chino)^[4] como puede consultar en el capítulo correspondiente. Sin duda, es un método muy eficaz y rápido de dividir entre dos.

Siendo un caso particular de lo explicado en el apartado anterior, para dividir un número por dos in situ:

Procedemos dígito a dígito de derecha a izquierda en la forma

borrando el dígito
sumando su mitad comenzando con la columna que ocupaba

Por ejemplo,123456789÷2:

123456789÷2 *in situ*
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
123456789
9	borrar 9 en I
+45	sumar su mitad en IJ
1234567845
8	borrar 8 en H
+40	sumar su mitad en HI
1234567445
7	borrar 7 en G
+35	sumar su mitad en GH
1234563945
6	borrar 6 en F
+3	sumar su mitad en FG
1234533945
5	borrar 5 en E
+25	sumar su mitad en EF
1234283945
4	borrar 4 en D
+2	sumar su mitad en DE
1232283945
3	borrar 3 en C
+15	sumar su mitad en CD
1217283945
2	borrar 2 en B
+1	sumar su mitad en BC
1117283945
1	borrar 1 en A
+05	sumar su mitad en AB.
617283945	¡Hecho!

Recordemos que la varilla unidad no cambia de posición tras esta división.

Potencias de cinco y multiplicación por 2 in situ

Sin duda podríamos repetir aquí el tratamiento anterior con las potencias de 5, dado que sus fracciones son también de desarrollo decimal finito al ser 5 divisor de 10.

Fracciones de potencias de 5
D	D/5	D/25	D/125	D/625
1	0.2	0.04	0.008	0.0016
2	0.4	0.08	0.016	0.0032
3	0.6	0.12	0.024	0.0048
4	0.8	0.16	0.032	0.0064
5	1.0	0.20	0.040	0.0080
6	1.2	0.24	0.048	0.0096
7	1.4	0.28	0.056	0.0112
8	1.6	0.32	0.064	0.0128
9	1.8	0.36	0.072	0.0144

Pero tampoco hay duda de que, en lugar de memorizar nuevas fracciones, es preferible recurrir a que:

Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 4 y dividir por 100
Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 8 y dividir por 1000
etc.

o bien

Dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por 2 y dividir por 10
Dividir por 25 es lo mismo que multiplicar por 2 dos veces y dividir por 100
Dividir por 125 es lo mismo que multiplicar por 2 tres veces y dividir por 1000
etc.

y que multiplicar por 2 in situ es extraordinariamente rápido con el ábaco; sólo hay que invertir la división por 2 in situ vista arriba:

Trabajando de izquierda a derecha, para cada dígito

Borrar el dígito de trabajo
sumar su doble en el ábaco empezando en la columna de su izquierda

61728394.5×2 *in situ*
Ábaco	Comentario
ABCDEFGHIJ
617283945
6	Borrar 6 en B
+12	sumar su doble en AB
1217283945
1	Borrar 1 en C
+02	sumar su doble en BC
1227283945
7	Borrar 7 en D
+14	sumar su doble en CD
1234283945
2	Borrar 2 en E
+04	sumar su doble en DE
1234483945
8	Borrar 8 en F
+16	sumar su doble en EF
1234563945
3	Borrar 3 en G
+06	sumar su doble en FG
1234566945
9	Borrar 9 en H
+18	sumar su doble en GH
1234567845
4	Borrar 4 en I
+08	sumar su doble en HI
1234567885
5	Borrar 5 en J
+10	Sumar su doble en IJ
1234567890	¡Hecho!
123456789	61728394.5×2 = 123456789

Estas técnicas podrán serle de utilidad para transformar raíces cuadradas y cúbicas que puedan comenzar por 1 en otras más cómodas (raíces cuadradas y cúbicas dependen esencialmente de la división y esta es incómoda cuando el divisor empieza por 1).

Referencias

↑ Williams, Samuel Wells; Morrison, John Robert (1856). A Chinese commercial guide. Canton: Printed at the office of the Chinese Repository. p. 298. https://archive.org/details/chinesecommercia00willuoft/page/298/mode/2up.
↑ Murakami, Masaaki. .
↑ Kwa Tak Ming (1922) (PDF). The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus. San Francisco: Service Supply Co.. https://archive.computerhistory.org/resources/access/text/2016/12/B1671.01-05-01-acc.pdf.
↑ Siqueira, Edvaldo. .

Ábaco Oriental[+5] Índice, Introducción, Página de edición, Enlaces, Texto completo

La humanidad ha utilizado ábacos, de un tipo u otro, desde los albores de la civilización para satisfacer sus necesidades de cálculo y contabilidad. La versión moderna del ábaco oriental, originario de China, todavía se utiliza hoy en día en todo el mundo para ayudar a los niños a mejorar su comprensión y habilidades numéricas. La Aritmética con Cuentas (珠算; léase zhūsuàn en chino, shuzan en japonés), o arte del uso del ábaco oriental, ha sido inscrito en 2013 en la Lista Representativa del Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad de la UNESCO.▶

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[1] Williams, Samuel Wells; Morrison, John Robert (1856). A Chinese commercial guide. Canton: Printed at the office of the Chinese Repository. p. 298. https://archive.org/details/chinesecommercia00willuoft/page/298/mode/2up.

[2] Murakami, Masaaki. .

[3] Kwa Tak Ming (1922) (PDF). The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus. San Francisco: Service Supply Co.. https://archive.computerhistory.org/resources/access/text/2016/12/B1671.01-05-01-acc.pdf.

[4] Siqueira, Edvaldo. .

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[2]

[3]

[4]