Ábaco Oriental/Métodos Tradicionales/Aprendiendo la Tabla de División
Memorización de la tabla de división.[editar]
La tabla de división contiene 45 reglas, incluidos los 9 elementos diagonales para divisores de varios dígitos.
| 1/9>1+1 | 2/9>2+2 | 3/9>3+3 | 4/9>4+4 | 5/9>5+5 | 6/9>6+6 | 7/9>7+7 | 8/9>8+8 | 9/9>9+9 |
| 1/8>1+2 | 2/8>2+4 | 3/8>3+6 | 4/8>5+0 | 5/8>6+2 | 6/8>7+4 | 7/8>8+6 | 8/8>9+8 | |
| 1/7>1+3 | 2/7>2+6 | 3/7>4+2 | 4/7>5+5 | 5/7>7+1 | 6/7>8+4 | 7/7>9+7 | ||
| 1/6>1+4 | 2/6>3+2 | 3/6>5+0 | 4/6>6+4 | 5/6>8+2 | 6/6>9+6 | |||
| 1/5>2+0 | 2/5>4+0 | 3/5>6+0 | 4/5>8+0 | 5/5>9+5 | ||||
| 1/4>2+2 | 2/4>5+0 | 3/4>7+2 | 4/4>9+4 | |||||
| 1/3>3+1 | 2/3>6+2 | 3/3>9+3 | ||||||
| 1/2>5+0 | 2/2>9+2 | |||||||
| 1/1>9+1 |
La misma cantidad de elementos independientes que encontramos en la tabla de multiplicar (dada la conmutatividad de esta operación) cuya memorización fue una de las hazañas de nuestra infancia en la escuela. Memorizar la tabla de división es, por tanto, una tarea similar a aprender la tabla de multiplicar.
Estas reglas:
- Desde un punto de vista operativo, estas reglas deben leerse o interpretarse de manera ligeramente diferente dependiendo de si usamos la disposición de división tradicional (TDA) o la moderna (MDA).
- cuando se usa MDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “poner q como dígito del cociente intermedio a la izquierda, borrar a y sumar r a la derecha ”
- Cuando se usa TDA, se debe leer la regla a / b> q + r: “cambiar a por q como dígito del cociente intermedio y sumar r a la derecha ”
- Desde un punto de vista teórico, cada regla expresa el resultado de una división euclidiana:
- (: cociente, : resto, dígitos del 1 al 9) o, de manera equivalente,
Si pensamos en este último punto, de hecho no es necesario memorizar las reglas de división ya que las podemos obtener in situ, cuando las necesitemos, mediante un simple proceso mental. Pero entonces estaríamos haciendo un esfuerzo mental similar al requerido con el método moderno de división y no estaríamos disfrutando de la gran ventaja que nos ofrece el método tradicional. Sin duda, la eficacia y bondad del método tradicional solo se logra memorizando las reglas, y sólo debemos recurrir al proceso mental mencionado cuando alguna regla se resiste a venir a la memoria durante la fase de aprendizaje.
Afortunadamente, una serie de patrones que aparecen en la tabla de división vienen en nuestra ayuda haciéndonos más fácil aprenderla, dejando solo 14 reglas duras de un total de 45.
Reglas fáciles[editar]
En el capítulo: Guía para la división tradicional ya mencionamos que las reglas de división por 9, 5 y 2, así como las reglas diagonales, tienen una estructura particularmente simple que permiten una memorización casi inmediata.
| Diagonal | División por 9 | División por 5 | División por 2 |
|---|---|---|---|
| 1/1>9+1 | 1/9>1+1 | 1/5>2+0 | 1/2>5+0 |
| 2/2>9+2 | 2/9>2+2 | 2/5>4+0 | |
| 3/3>9+3 | 3/9>3+3 | 3/5>6+0 | |
| 4/4>9+4 | 4/9>4+4 | 4/5>8+0 | |
| 5/5>9+5 | 5/9>5+5 | ||
| 6/6>9+6 | 6/9>6+6 | ||
| 7/7>9+7 | 7/9>7+7 | ||
| 8/8>9+8 | 8/9>8+8 | ||
| 9/9>9+9 |
Por esta razón, los ejemplos presentados en dicho capítulo sólo hicieron uso de divisores con 2,5 y 9 como primer dígito. Si practica varios ejemplos con tales divisores, no le será difícil memorizar estas 22 reglas (¡casi la mitad del total!); lo que supone una drástica reducción del trabajo a realizar y no la única ayuda a recibir.
Division by 8[editar]
De las reglas restantes, las de división por 8 es la serie más larga pero no la más difícil, ya que tiene una estructura interna:
| 1/8>1+2 | 5/8>6+2 |
| 2/8>2+4 | 6/8>7+4 |
| 3/8>3+6 | 7/8>8+6 |
| 4/8>5+0 | |
Dejando a un lado 4/8>5+0 (piense en esto como 8x5 = 40), las dos sub-series 1, 2, 3 y 5, 6, 7 tienen los mismos residuos y los cocientes son tan simples como 1, 2, 3 y 6, 7, 8; así que, sin duda, esta no será la serie que le resultará más difícil de aprender.
Reglas subdiagonales[editar]
Finalmente, como último recurso para aprender, observe la siguiente serie de términos adyacentes a la diagonal de la tabla.
| 4/5>8+0 |
| 5/6>8+2 |
| 6/7>8+4 |
| 7/8>8+6 |
| 8/9>8+8 |
En realidad, solo hay dos reglas nuevas aquí, pero captar la estructura de la tabla anterior también lo ayudará a memorizar las reglas para los divisores 5, 8 y 9.
Reglas "duras"[editar]
En resumen, de las 45 reglas incluidas en la tabla de división, 31 caen dentro de uno de los patrones anteriores (en gris)
| 1/9>1+1 | 2/9>2+2 | 3/9>3+3 | 4/9>4+4 | 5/9>5+5 | 6/9>6+6 | 7/9>7+7 | 8/9>8+8 | 9/9>9+9 |
| 1/8>1+2 | 2/8>2+4 | 3/8>3+6 | 4/8>5+0 | 5/8>6+2 | 6/8>7+4 | 7/8>8+6 | 8/8>9+8 | |
| 1/7>1+3 | 2/7>2+6 | 3/7>4+2 | 4/7>5+5 | 5/7>7+1 | 6/7>8+4 | 7/7>9+7 | ||
| 1/6>1+4 | 2/6>3+2 | 3/6>5+0 | 4/6>6+4 | 5/6>8+2 | 6/6>9+6 | |||
| 1/5>2+0 | 2/5>4+0 | 3/5>6+0 | 4/5>8+0 | 5/5>9+5 | ||||
| 1/4>2+2 | 2/4>5+0 | 3/4>7+2 | 4/4>9+4 | |||||
| 1/3>3+1 | 2/3>6+2 | 3/3>9+3 | ||||||
| 1/2>5+0 | 2/2>9+2 | |||||||
| 1/1>9+1 |
y nos quedamos con sólo 14 reglas "duras" o difíciles que tendremos que memorizar sin otra ayuda. Esto ya no parece un gran trabajo.
La tabla combinada de multiplicación y división[editar]
Lo que sigue es una simple nota histórica con poca o ninguna relevancia práctica.
La tabla de multiplicar estudiada por el lector probablemente contiene los 81 productos de dos dígitos en cualquier orden; es decir, incluye tanto 8x9 = 72 como 9x8 = 72, lo cual es innecesario dada la conmutatividad de la multiplicación. Por el contrario, en chino o japonés sólo contenía uno de los términos de estos pares 8x9 = 72; siempre con el primer factor menor o igual que el segundo[1][2]. Por otro lado, las reglas de división se enunciaron dando primero el divisor que siempre es mayor que el dividendo, a excepción de las reglas que hemos llamado diagonales en las que es igual. Esto permite concebir una tabla combinada de multiplicación-división que cubra todo el "espacio" de pares de dígitos como operandos:
| 9✕9 81 | 9\8 8+8 | 9\7 7+7 | 9\6 6+6 | 9\5 5+5 | 9\4 4+4 | 9\3 3+3 | 9\2 2+2 | 9\1 1+1 |
| 8✕9 72 | 8✕8 64 | 8\7 8+6 | 8\6 7+4 | 8\5 6+2 | 8\4 5+0 | 8\3 3+6 | 8\2 2+4 | 8\1 1+2 |
| 7✕9 63 | 7✕8 56 | 7✕7 49 | 7\6 8+4 | 7\5 7+1 | 7\4 5+5 | 7\3 4+2 | 7\2 2+6 | 7\1 1+3 |
| 6✕9 54 | 6✕8 48 | 6✕7 42 | 6✕6 36 | 6\5 8+2 | 6\4 6+4 | 6\3 5+0 | 6\2 3+2 | 6\1 1+4 |
| 5✕9 45 | 5✕8 40 | 5✕7 35 | 5✕6 30 | 5✕5 25 | 5\4 8+0 | 5\3 6+0 | 5\2 4+0 | 5\1 2+0 |
| 4✕9 36 | 4✕8 32 | 4✕7 28 | 4✕6 24 | 4✕5 20 | 4✕4 16 | 4\3 7+2 | 4\2 5+0 | 4\1 2+2 |
| 3✕9 27 | 3✕8 24 | 3✕7 21 | 3✕6 18 | 3✕5 15 | 3✕4 12 | 3✕3 9 | 3\2 2+6 | 3\1 3+1 |
| 2✕9 18 | 2✕8 16 | 2✕7 14 | 2✕6 12 | 2✕5 10 | 2✕4 8 | 2✕3 6 | 2✕2 4 | 2\1 5+0 |
| 1✕9 9 | 1✕8 8 | 1✕7 7 | 1✕6 6 | 1✕5 5 | 1✕4 4 | 1✕3 3 | 1✕2 2 | 1✕1 1 |
Donde hemos alterado la redacción de nuestras reglas de división para adaptarlas al orden de los argumentos utilizados en chino. Para resaltar este hecho, hemos reemplazado "/" por "\", por lo que las reglas de división tal como aparecen en la tabla anterior deben interpretarse en la forma: Lea a \ b c + d: como: a cabe en b0 c veces dejando d como resto.
La tabla combinada tiene 81 elementos o reglas, a las que debemos sumar las reglas diagonales
| Diagonal |
|---|
| 1/1>9+1 |
| 2/2>9+2 |
| 3/3>9+3 |
| 4/4>9+4 |
| 5/5>9+5 |
| 6/6>9+6 |
| 7/7>9+7 |
| 8/8>9+8 |
| 9/9>9+9 |
y las reglas de revisión dadas en el capítulo anterior.
| Mientras se divide por: | Revisar q a: | Sumar al resto: |
|---|---|---|
| 1 | q-1 | +1 |
| 2 | q-1 | +2 |
| 3 | q-1 | +3 |
| 4 | q-1 | +4 |
| 5 | q-1 | +5 |
| 6 | q-1 | +6 |
| 7 | q-1 | +7 |
| 8 | q-1 | +8 |
| 9 | q-1 | +9 |
que eran estudiadas por separado. Esto suma un total de 99 reglas a las que podemos sumar las aproximadamente 50 reglas de suma y resta. El aprendizaje tradicional del ábaco consistía fundamentalmente en la memorización y práctica de estas 150 reglas.
Reglas estadísticas[editar]
Lo que sigue es una cuestión que surge de la práctica. Las reglas de la diagonal para los divisores 1 y 2
| 2/2>9+2 |
| 1/1>9+1 |
son "excesivas" en el sentido de que a menudo nos vemos obligados a revisar el divisor a la baja varias veces. En la práctica, las siguientes dos reglas "estadísticas" (por darles un nombre) se comportan mejor permitiendo un cálculo más rápido.
| 2/2>7+6 |
| 1/1>7+3 |
Pruébelas en algún momento durante su práctica.
Referencias[editar]
- ↑ Chéng Dàwèi (程大位) (1993) [1592] (en Chino). Suànfǎ Tǒngzōng (算法統宗). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙).
- ↑ Chen Yifu (2013) (en Francés). L’étude des Différents Modes de Déplacement des Boules du Boulier et de l’Invention de la Méthode de Multiplication Kongpan Qianchengfa et son Lien avec le Calcul Mental. Université Paris-Diderot (Paris 7). http://www.theses.fr/2013PA070061.
