Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos

1. Notas aclaratorias antes de comenzar

Exposición de la axiomática

Principios básicos

Conjunto, pertenencia, elemento

Nuestro punto de partida son los conceptos primitivos de conjunto, pertenencia a un conjunto y elemento de un conjunto. Como hemos advertido, no supondremos significado alguno a esas palabras. Sólo diremos que los elementos de un conjunto han de ser también conjuntos, y que un conjunto es elemento de otro conjunto si pertenece a ese conjunto, signifique eso lo que signifique. Es decir, un conjunto es un tipo de objeto abstracto (sin mayor descripción) que se puede relacionar o no con otros conjuntos mediante la relación de pertenencia. Esto es todo lo que necesitamos para comenzar.

Cuando un conjunto $a$ pertenece a otro conjunto $b$, lo denotaremos por $a\in b$, y, según hemos dicho, diremos que $a$ es un elemento de $b$.

Inclusión de conjuntos

Antes incluso de introducir los axiomas que nos permitirán construir conjuntos, podemos definir otra relación entre conjuntos, basándonos en la relación de pertenencia. Es la relación de inclusión de conjuntos.

Dados dos conjuntos $a$ y $b$, diremos que $a$ es un subconjunto de $b$, o que $a$ está incluido en $b$ si todo elemento de $a$ es un elemento de $b$, es decir, si se cumple que $c\in a\Rightarrow c\in b$ ("$\Rightarrow$" se lee como "implica"). Esto suele denotarse por $a\subset b$ o también como $a\subseteq b$.

La axiomática de Zermelo-Fraenkel

La Historia de la Matemática nos ha mostrado que el uso intuitivo del concepto de conjunto lleva a contradicciones. Para evitarlas, los matemáticos usan una serie de axiomas para trabajar con conjuntos. Son los siguientes:

1. Axioma de Extensión
2. Esquema Axiomático de Separación
3. Axioma de la Unión
4. Axioma de las Partes
5. Axioma de Formación de Pares
6. Esquema Axiomático de Sustitución
7. Axioma del Infinito
8. Axioma de Regularidad
9. Axioma de Elección