Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de Formación de Pares

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El Axioma de Formación de Pares dice lo siguiente: dados dos conjuntos y , existe un conjunto de forma que y .

Ahora, de nuevo gracias al Esquema Axiomático de Separación, creamos el conjunto . Como de costumbre, este conjunto es único, y no depende del conjunto del enunciado del axioma.

Consecuencias[editar]

Unión e intersección de dos conjuntos[editar]

La primera consecuencia es que ya podemos asegurar que existe la unión de dos conjuntos cualesquiera. Efectivamente, ahora que sabemos que dados dos conjuntos y existe el conjunto , podemos ahora aplicar a el Axioma de la Unión, y obtener así . También podemos aplicarle la construcción de la intersección de conjuntos y obtener

Conjuntos finitos[editar]

Sean conjuntos. Podemos obtener el conjunto cuyos elementos son de la siguiente manera: aplicamos el Axioma de Formación de Pares al par de conjuntos y , de forma que obtenemos el conjunto . Ahora definimos por recurrencia el conjunto como la unión de los conjuntos y , cualquiera que sea el entre y . El último conjunto obtenido es el conjunto .

Pares ordenados y producto cartesiano[editar]

Sean y dos conjuntos. Con los conjuntos y podemos crear el conjunto . Con los conjuntos y podemos crear el conjunto . Ahora, con los conjuntos y podemos crear el conjunto . A este conjunto lo denominamos par ordenado . Es sencillo probar que dos pares ordenados y son iguales si y solamente si y .

Sean y . Entonces es , y , luego , y . Así, el par , y ya tenemos al par ordenado como elemento de un conjunto. Podemos aplicar el Esquema Axiomático de Separación a la propiedad "ser par ordenado", obteniendo el conjunto producto cartesiano .

Relaciones entre conjuntos y aplicaciones entre conjuntos[editar]

Dados dos conjuntos y , cada subconjunto se denomina relación o correspondencia entre . Es decir, una relación entre y es un elemento de . Si se dice que es una relación en . Una relación en un conjunto se dice que es:

  • reflexiva si se cumple que si entonces ;
  • simétrica si se cumple que implica que ;
  • antisimétrica si cumple que e implican que ;
  • transitiva si se tiene que si e implican que .

Relaciones de equivalencia[editar]

Una relación de equivalencia en es una relación en que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Relaciones de orden[editar]

Una relación de orden en es un relación en reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación de orden en es un orden total en si se cumple que cuando entonces o bien es o bien es . Un orden parcial en es una relación de orden en que no es orden total.

Mínimal, mínimo, maximal, máximo, cadena, buen orden[editar]

Sean un conjunto y una relación de orden en . Se dirá que un elemento es:

  • minimal si cuando se tiene que , entonces es ;
  • mínimo (o primer elemento de ) si se cumple que , cualquiera que sea el ;
  • maximal si cuando se tiene que , entonces es ;
  • máximo si se cumple que , cualquiera que sea el .

Sea . Decimos que se restringe a un orden en si se cumple que es una relación de orden en .

Una cadena en es un subconjunto de forma que es un orden total en .

Se dice que es un buen orden en si cualquiera que sea el , , se tiene que es un orden en con elemento mínimo. Es sencillo demostrar que todo buen orden es un orden total.

Cota inferior, cota superior[editar]

Sea un conjunto y una relación de orden en . Si además es , se dice que es:

  • cota inferior de si , cualquiera que sea el ;
  • cota superior de si , cualquiera que sea el .

Aplicaciones[editar]

Dados dos conjuntos y , una aplicación de en es un (es decir, una relación) de manera que se cumplan las siguientes dos condiciones:

  1. si , entonces existe un de forma que ;
  2. si , entonces es .

Al conjunto se le llama también dominio de , y se le denota por .

Al conjunto se le llama conjunto final de .

Mediante el Esquema Axiomático de Separación podemos definir el conjunto , es decir, existe el conjunto de todas las aplicacione de en .

Aplicaciones inyectivas[editar]

Sea , diremos que es inyectiva si se cumple que siempre que , entonces es .


Notación[editar]

Sean y dos conjuntos, una relación entre y que no sea una aplicación, y sea . Se suele denotar , en lugar de escribir .

Sean y dos conjuntos, una aplicación de en , y sea . Se suele denotar , en lugar de escribir . Además, se denota también en lugar de escribir .

En lugar de escribir "sea un conjunto y es una relación de orden en " suele escribirse "sea un conjunto ordenado". A veces también se usa la misma notación con relaciones de equivalencia.