El Axioma de Formación de Pares dice lo siguiente: dados dos conjuntos
y
, existe un conjunto
de forma que
y
.
Ahora, de nuevo gracias al Esquema Axiomático de Separación, creamos el conjunto
. Como de costumbre, este conjunto es único, y no depende del conjunto
del enunciado del axioma.
Unión e intersección de dos conjuntos
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La primera consecuencia es que ya podemos asegurar que existe la unión de dos conjuntos cualesquiera. Efectivamente, ahora que sabemos que dados dos conjuntos
y
existe el conjunto
, podemos ahora aplicar a
el Axioma de la Unión, y obtener así
. También podemos aplicarle la construcción de la intersección de conjuntos y obtener
Sean
conjuntos. Podemos obtener el conjunto cuyos elementos son
de la siguiente manera: aplicamos el Axioma de Formación de Pares al par de conjuntos
y
, de forma que obtenemos el conjunto
. Ahora definimos por recurrencia el conjunto
como la unión de los conjuntos
y
, cualquiera que sea el
entre
y
. El último conjunto obtenido es el conjunto
.
Pares ordenados y producto cartesiano
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Sean
y
dos conjuntos. Con los conjuntos
y
podemos crear el conjunto
. Con los conjuntos
y
podemos crear el conjunto
. Ahora, con los conjuntos
y
podemos crear el conjunto
. A este conjunto lo denominamos par ordenado
. Es sencillo probar que dos pares ordenados
y
son iguales si y solamente si
y
.
Sean
y
. Entonces es
, y
, luego
, y
. Así, el par
, y ya tenemos al par ordenado como elemento de un conjunto. Podemos aplicar el Esquema Axiomático de Separación a la propiedad "ser par ordenado", obteniendo el conjunto producto cartesiano
.
Relaciones entre conjuntos y aplicaciones entre conjuntos
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Dados dos conjuntos
y
, cada subconjunto
se denomina relación o correspondencia entre
. Es decir, una relación entre
y
es un elemento de
. Si
se dice que
es una relación en
. Una relación en un conjunto
se dice que es:
- reflexiva si se cumple que si
entonces
;
- simétrica si se cumple que
implica que
;
- antisimétrica si cumple que
e
implican que
;
- transitiva si se tiene que si
e
implican que
.
Relaciones de equivalencia
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Una relación de equivalencia en
es una relación en
que es reflexiva, simétrica y transitiva.
Una relación de orden en
es un relación en
reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación de orden
en
es un orden total en
si se cumple que cuando
entonces o bien es
o bien es
. Un orden parcial en
es una relación de orden en
que no es orden total.
Mínimal, mínimo, maximal, máximo, cadena, buen orden
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Sean
un conjunto y
una relación de orden en
. Se dirá que un elemento
es:
- minimal si cuando se tiene que
, entonces es
;
- mínimo (o primer elemento de
) si se cumple que
, cualquiera que sea el
;
- maximal si cuando se tiene que
, entonces es
;
- máximo si se cumple que
, cualquiera que sea el
.
Sea
. Decimos que
se restringe a un orden en
si se cumple que
es una relación de orden en
.
Una cadena en
es un subconjunto
de forma que
es un orden total en
.
Se dice que
es un buen orden en
si cualquiera que sea el
,
, se tiene que
es un orden en
con elemento mínimo. Es sencillo demostrar que todo buen orden es un orden total.
Cota inferior, cota superior
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Sea
un conjunto y
una relación de orden en
. Si además es
, se dice que
es:
- cota inferior de
si
, cualquiera que sea el
;
- cota superior de
si
, cualquiera que sea el
.
Dados dos conjuntos
y
, una aplicación de
en
es un
(es decir, una relación) de manera que se cumplan las siguientes dos condiciones:
- si
, entonces existe un
de forma que
;
- si
, entonces es
.
Al conjunto
se le llama también dominio de
, y se le denota por
.
Al conjunto
se le llama conjunto final de
.
Mediante el Esquema Axiomático de Separación podemos definir el conjunto
, es decir, existe el conjunto de todas las aplicacione de
en
.
Aplicaciones inyectivas
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Sea
, diremos que
es inyectiva si se cumple que siempre que
, entonces es
.
Sean
y
dos conjuntos,
una relación entre
y
que no sea una aplicación, y sea
. Se suele denotar
, en lugar de escribir
.
Sean
y
dos conjuntos,
una aplicación de
en
, y sea
. Se suele denotar
, en lugar de escribir
. Además, se denota también
en lugar de escribir
.
En lugar de escribir "sea
un conjunto y
es una relación de orden en
" suele escribirse "sea
un conjunto ordenado". A veces también se usa la misma notación con relaciones de equivalencia.