Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma del Infinito

Sea $a$ un conjunto. Se define el sucesor de $a$ como el conjunto $a^{+}:=a\cup \{a\}$.

Se dice que un conjunto $a$ es inductivo si verifica que $\varnothing \in a$ y para cada $b\in a$ también $b^{+}\in a$.

El Axioma del Infinito se enuncia de la siguiente manera: existe algún conjunto inductivo.

Consecuencias

El Axioma del Infinito tiene imporatantes consecuencias. Nótese que hasta ahora en ningún momento se ha dicho en ningún axioma que exista algún conjunto. En todos los enunciados se decía "si $a$ es un conjunto...", pero nunca hemos asegurado antes que existiese algún conjunto. Este axioma pues, para empezar, nos permite asegurar que existe algún conjunto, y por ende, existen todos los conjuntos que podamos construir a partir de él con los axiomas que hemos definido hasta ahora.

Conjunto vacío

La primera consecuencia importante es que existe el conjunto vacío. Con los axiomas expresados hasta el momento (en especial el Esquema Axiomático de Separación y el Axioma del Infinito) y conocimientos de Lógica Matemática, podemos concluir que efectivamente existe el conjunto vacío. La demostración de este hecho queda totalmente fuera de los objetivos de este libro, por lo que no la abordaremos aquí. El lector suspicaz puede, en cualquier caso, asumir primero la existencia del conjunto vacío como un axioma, y cuando esté en disposición de acometer la demostración, probar que efectivamente ese axioma es realmente un teorema en la Axiomática de Zermelo-Fraenkel.

Conjunto de los números naturales

Sea $a$ un conjunto inductivo (existe alguno, por el Axioma del Infinito). Definimos el conjunto de los números naturales como el conjunto $\mathbb {N} :=\{n\in a:\forall b:(\varnothing \in b)\wedge (\forall c\in b|c^{+}\in b)\Rightarrow n\in b\}$ (es decir, el conjunto formado por los elementos comunes a todos los conjuntos inductivos).

Ese conjunto es no vacío, pues $\varnothing$ es un elemento de cualquier conjunto inductivo. Además, dado $b$ un conjunto inductivo, como si $c\in b$ entonces $c^{+}\in b$, concluimos que también pertenecen a $\mathbb {N}$ los conjuntos $\{\varnothing \}$, $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$, $\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$, ...

Por comodidad, llamaremos cero al conjunto $0:=\varnothing$, uno al conjunto $1:=\{\varnothing \}$, dos al conjunto $2:=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$, tres al conjunto $3:=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$, ...

Por cierto, que a pesar de esta denominación, hay que saber distinguir al conjunto vacío como elemento del conjunto de los números naturales (es decir, como "cero") del conjunto vacío como subconjunto de cualquier conjunto. También hay que ser prudente al afirmar cosas como que $3\subset 4$ o que $3\in 4$. Estas afirmaciones, sin ser falsas, pueden ser malinterpretadas, sobretodo si se consideran bajo la óptica de la intuición. Recordamos aquí una vez más el carcter formal de esta introducción a la Teoría Axiomática de Conjuntos, en la que las palabras conjunto, elemento y pertenencia carecen de significado y sólo se relacionan entre ellas mediante una relación formal.

Nuestro primer objetivo ya está cumplido: hemos conseguido definir el conjunto de los números naturales de manera absolutamente formal y recurriendo exlusivamente a la Teoría Axiomática de Conjuntos. Ahora podríamos seguir con la Lógica Matemática y la Teoría de Conjuntos para obtener las propiedades de los números naturales, su aritmética, etc. Pero ese camino es muy largo y arduo, y nuestra intención no es hacer un tratado de Lógica Matemática. Por ello, como se avisó en la Introducción, lo que haremos será demostrar únicamente cinco propiedades básicas del conjunto de los números naturales, y a partir de esas cinco propiedades básicas, construir la aritmética del conjunto de números naturales.

No obstante, por completitud, introduciremos el resto de axiomas de la Axiomática de Zermelo-Fraenkel antes de acometer la demostración de esas cinco primeras propiedades básicas del conjunto de los números naturales.