Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de la Unión

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El Axioma de la Unión nos dice lo siguiente: dado un conjunto , existe un conjunto de manera que si y , entonces .

Consideremos ahora el conjunto . Si existiera otro conjunto con la propiedad que dice el axioma (es decir, tal que si y , entonces ), podríamos construir el conjunto .

Si , entonces y además existe un de manera que . Pero por el Axioma de la Unión, eso significa que , y como además existe tal que , concluimos que . Hemos demostrado que . De manera análoga se demuestra que , con lo que resulta ser , y el conjunto entonces es único. Denominamos unión de los elementos de al conjunto .