El enunciado del axioma de las partes dice: dado un conjunto , existe un conjunto de forma que si entonces .
Ahora usamos el Esquema Axiomático de Separación y creamos el conjunto . Como en las otras ocasiones, este conjunto es independiente del conjunto :
Sean conjuntos con las condiciones que afirma el enunciado del Axioma de las Partes, es decir, de manera que si , entonces , y si , entonces . Consideremos , y . Supongamos ahora que . Entonces es y . Pero si entonces (ya que lo hemos tomado de esa manera), luego es y , es decir, . Esto prueba que . La otra inclusión se demuestra de la misma manera.
