Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Esquema Axiomático de Separación

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El Esquema Axiomático de Separación dice que "si es un conjunto y es una propiedad relativa a conjuntos, entonces existe un conjunto de manera que si y sólo si y verifica ".

Es decir, dado un conjunto y una propiedad relativa a conjuntos, podemos pues obtener el subconjunto de los elementos que verifican esa propiedad.


Consecuencias[editar]

Conjunto vacío[editar]

Tomemos un conjunto . Podemos considerar entonces el conjunto de los conjuntos que verifican la propiedad que dice que "", es decir, los elementos de que son distintos de sí mismos. En virtud del Esquema Axiomático de Separación, este conjunto existe. Denotemos a este conjunto por . Supongamos que existe algún . Entonces es y verifica . Es decir, y . Según sabemos, es la negación de , que por el Axioma de Extensión es la negación de que . Es decir, por la negación de la doble implicación, o bien existe un tal que , o bien existe un tal que . En cualquier caso tenemos que existiría algún de forma que , lo cual es una contradicción. Así pues, nuestra suposición de que existía algún conjunto es falsa. Concluimos que este conjunto no contiene elemento alguno, razón por la cual lo denomiamos conjunto vacío.

¿Qué ocurre si tomamos otro conjunto de partida? Sean los conjuntos y . Si fuese , en virtud del Axioma de Extensión, debería haber un tal que , o bien un tal que . En el primer caso, existiría entonces un de manera que , pero ya hemos visto que no existe ningún conjunto así. Luego no existe ningún de manera que . De manera totalmente análoga se demuestra que no existe ningún de forma que . Esto demuestra que si y sólo si , luego ha de ser . Queda demostrado que el conjunto vacío no depende del conjunto que tomemos para construirlo, luego podemos decir que existe un único conjunto vacío, al que denotaremos por .

Intersección de conjuntos[editar]

Sea un conjunto no vacío cualquiera, y sea . Podemos considerar la propiedad de conjuntos "pertenecer a cada uno de los elementos de ". Entonces cumplirá esta propiedad si es un conjunto que pertenece a , cualquiera que sea el , lo cual se expresa así: . Así, definimos la intersección de la familia de conjuntos como .

Es importante señalar que no podemos prescindir de tomar un conjunto de partida, porque de otra manera no podemos aplicar el Esqema Axiomático de Separación a nuestra propiedad. Pero el conjunto no depende del conjunto que tomemos de partida. En efecto, sean con . Consideremos el conjunto y el conjunto . Si , tenemos que , cualquiera que sea el . En particular, como , se cumple que ha de ser , pero como además , se cumple que . Es decir, . De manera análoga se cumple que , y de ahí se obtiene que , es decir, la intersección de la familia de conjuntos no depende del conjunto que tomemos de partida.