Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de Regularidad

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El Axioma de Regularidad dice lo siguiente: dado un conjunto , existe un conjunto de manera que si entonces .

Dicho de otro modo: todo conjunto no vacío tiene un elemento disjunto con él, es decir, si es no vacío, existe un conjunto de forma que . Un tal elemento se denominal elemento minimal de .

Consecuencias[editar]

Proposición[editar]

Dado un conjunto , entonces .

Demostración:

En efecto, si , es evidente que . Sea pues un conjunto y supongamos que . Entonces es , donde . Por el Axioma de Regularidad, existe un conjunto de manera que es elemento minimal de , es decir, de forma que . Pero como es un conjunto unitario, ha de ser entonces . Así que entonces es . Pero , y hemos partido de la suposición de que , luego es . Contradicción, luego la suposición es falsa.

Q.E.D.