Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de Regularidad

El Axioma de Regularidad dice lo siguiente: dado un conjunto $a\neq \varnothing$, existe un conjunto $b\in a$ de manera que si $c\in b$ entonces $c\notin a$.

Dicho de otro modo: todo conjunto no vacío tiene un elemento disjunto con él, es decir, si $a$ es no vacío, existe un conjunto $b\in a$ de forma que $a\cap b=\varnothing$. Un tal elemento $b$ se denominal elemento minimal de $a$.

Consecuencias

Proposición

Dado un conjunto $a$, entonces $a\notin a$.

Demostración:

En efecto, si $a=\varnothing$, es evidente que $a\notin a$. Sea pues un conjunto $a\neq \varnothing$ y supongamos que $a\in a$. Entonces es $\{a\}\subset a$, donde $\{a\}\neq \varnothing$. Por el Axioma de Regularidad, existe un conjunto $u\in \{a\}$ de manera que es elemento minimal de $\{a\}$, es decir, de forma que $u\cap \{a\}=\varnothing$. Pero como $\{a\}$ es un conjunto unitario, ha de ser entonces $u=a$. Así que entonces es $a\cap \{a\}=\varnothing$. Pero $a\in \{a\}$, y hemos partido de la suposición de que $a\in a$, luego es $a\in a\cap \{a\}$. Contradicción, luego la suposición $a\in a$ es falsa.

Q.E.D.