Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Versión para imprimir

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Matemáticas/Teoría de conjuntos
por es.wikibooks.org




Teoría intuitiva de conjuntos

En la introducción, o en algún lugar especial, de los libros de la teoría axiomática de conjuntos suele darse una explicación de por qué es necesario fundamentar la teoría de conjuntos y dejarla construida a partir de unos cuantos axiomas. Estos axiomas son, en su mayoría, principios evidentes de por sí una vez que se ha comprendido previamente como deben comportarse los conjuntos o, por lo menos, cuando ya se tiene una idea de esto. Por esa razón, es más que justificable la revisión de una exposición intuitiva de la teoría de conjuntos, como el que incluimos aquí, en donde se expongan unas cuantas cosas, de forma rápida e intuitiva, que familiaricen al lector con los conjuntos, sus relaciones y operaciones; de esta manera el lector no encontrará (esperamos) dificultades mayores a la hora de enfrentarse a la teoría axiomática de conjuntos, donde los principios de los que se parte son formalizaciones y restricciones ad hoc de las propiedades que uno ya le suponía a los conjuntos.



Capítulo siguiente: Conjuntos

Conjuntos

Lo principal para nuestro desarrollo de la teoría (intuitiva) de conjuntos es aceptar que es posible ‘comprimir’ o ‘substancializar’ una colección o conjunto (que para este caso son lo mismo) de cualesquiera objetos diferentes y, así, poder considerarla como un todo o, mejor dicho, como una única cosa que tratar. Los objetos de un conjunto se llaman elementos de dicho conjunto.

1.1.1. Desde luego, la relación más básica de la teoría de conjuntos es la que existe entre los elementos y su conjunto: la relación de pertenencia. Como es la regla hoy en día, escribiremos

para indicar que el objeto es uno de los elementos del conjunto . Es decir, el símbolo "", una versión de la letra griega (épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia[1]. Los argumentos de una relación son los objetos que acompañan a esa relación. En el ejemplo , los argumentos de la relación son (primer argumento) y (segundo argumento). Así, puede decirse que los primeros argumentos de la relación pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de conjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de pertenecen al mismo universo.

La negación de la escribiremos

.

Ejemplo: Consideremos el conjunto . Con esto lo que estamos haciendo es denominar por al conjunto . Pues bien, podemos decir entonces que y que .


1.1.2. Diremos que dos conjuntos e son iguales, lo que se representa por , si y solo si e consisten de los mismos elementos. Así pues, siempre que

si y solo si

para todo elemento (i.e. si todo elemento de es elemento de y, recíprocamente, si todo elemento de es elemento de ).

Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo, según nuestro criterio vemos que . En efecto, cada uno de los elementos del conjunto de la izquierda es un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. Podemos pues considerar que ambos conjuntos son iguales, y, como hicimos antes, podemos identificar entonces como a cualquiera de ambos.

1.1.3. Por otra parte, como un hecho más general que la igualdad, un conjunto es subconjunto de otro , lo que se representa por

,

siempre que

implica

para cualquiera que sea el elemento (i.e., si todo elemento de es elemento de ). Claramente

para todo conjunto , por lo que se dice que la relación es reflexiva. También tenemos que

y si y solo si ,

y que

y implica

para cualesquiera conjuntos , y . Estos dos hechos muestran, respectivamente, que la relación es antisimétrica y transitiva (véase más adelante relaciones).


1.1.4. Si y (i.e. si tiene por lo menos un elemento más que ) se dice que es subconjunto propio de , lo cual se representa por

.



^ Peano fue el primero en representar la relación de pertenencia por la letra en sus Arithmetices Principia (1889), por ser la primera letra de la palabra griega , que significa "está".



Capítulo anterior: Introducción Capítulo siguiente: Notación de conjuntos y el conjunto vacío

Notación de conjuntos y el conjunto vacío

1.2.1. Si es un conjunto cuyos elementos son y solo ellos, es común representar a este conjunto por extensión

,

si (al que llamaremos cardinalidad) no es un número muy grande.

Por ejemplo representa por extensión el conjunto de las vocales del español y su cardinalidad es 5.

Tenga en cuenta que en un conjunto no hay elementos repetidos, por ejemplo el conjunto es el mismo conjunto

1.2.2. Nótese que, de acuerdo con esa notación,

es equivalente a .


1.2.3. Existe otra forma común de representar conjuntos, llamada por comprensión. Si es el conjunto de todos aquellos elementos que verifican una propiedad , entonces se representa también por

.


1.2.4. Así, si es la propiedad , entonces el conjunto

claramente contiene cualquier cosa.


1.2.5. Mientras tanto, si es la propiedad , entonces el conjunto

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por . Tenemos que para cualquiera que sea el conjunto (pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en que no estuviera en el conjunto , lo cual es absurdo pues no contiene nada).

Por otro lado,

implica

para cualquier conjunto . Efectivamente, pues si fuera y , entonces tendría por lo menos un elemento que no está en , lo que es imposible.



Capítulo anterior: Conjuntos Capítulo siguiente: Unión e intersección de conjuntos

Unión e intersección de conjuntos

1.3.1. Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si e son dos conjuntos, la unión de e es el conjunto


o .


Esto es, consiste de todos los elementos que están ya sea en , ya sea en , ya sea en ambos e . La unión se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente:



Sean , y conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:

( U-1 ) (idempotencia)

( U-2 ) (identidad)

( U-3 ) (conmutatividad)

( U-4 ) (asociatividad)

( U-5 )

( U-6 ) si y solo si

Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de ( U-2 ) y ( U-6 ):


( U-2 ) Hay que demostrar que todo elemento de es elemento de (demostrar que ) y que, recíprocamente, todo elemento de es elemento de (demostrar que ). Si , entonces o , de lo que solo puede ser . Recíprocamente, si , entonces . Por tanto .


( U-6 ) Supóngase que pero que . Entonces, en particular, existe tal que , pero si esto es cierto, , lo que contradice el hecho de que . Recíprocamente, si , entonces de ( U-5 ) se sigue el resultado deseado.


1.3.2. La intersección de dos conjuntos e se define como el conjunto


.


Es decir, es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en como en . La intersección se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente :


Sean , y conjuntos cualesquiera

( I-1 ) (idempotencia)

( I-2 )

( I-3 ) (conmutatividad)

( I-4 ) (asociatividad)

( I-5 )

( I-6 ) si y solo si


Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

( UI-1 )

( UI-2 )


1.3.3. Si e son dos conjuntos tales que (i.e. si e no tienen elementos en común) se dice que e son conjuntos disjuntos.


1.3.4. Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de puede definirse como el conjunto


.


Así, si y solo si existe por lo menos un conjunto en que contenga al elemento . Como caso particular, tenemos


.


1.3.5. De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección se define por


.


Por tanto, si para todo conjunto de (i.e. consiste de los elementos que están en todo conjunto de ). Como caso particular, tenemos


.


1.3.6. Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si , entonces, puesto que en ese caso implica para cualquiera que sea el conjunto y el elemento , el conjunto lo contiene todo.



Capítulo anterior: Notación de conjuntos y el conjunto vacío Capítulo siguiente: Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios

Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios

1.4.1 Si e son dos conjuntos cualesquiera, la diferencia de e es el conjunto (también simbolizado por ) definido por


y .


Es decir, consiste de todos los elementos que están en pero no en . Este conjunto se representa por el área sombreada en el siguiente diagrama:


Diferencia de e , o entre A y B en este caso


Ejercicio: Probar que e son conjuntos disjuntos si y solo si .


Sean , y conjuntos cualesquiera. Entonces

( D-1 )

( D-2 )

( D-3 )

( D-4 )

( D-5 )

( D-6 )

( D-7 )

( D-8 ) si y solo si


Ver diagrama

1.4.2. Si es un subconjunto de , entonces el subconjunto de ,


,


se dice conjunto complementario de en . En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:

Complemento de en , o de A en U en este caso


Sean e subconjuntos de un conjunto . Se cumplen


( C-1 )

( C-2 )

( C-3 ) (conmutatividad)

( C-4 )

( C-5 )

( C-6 )

( C-7 )

( C-8 )

( C-9 )


Los enunciados ( C-7 ) y ( C-8 ) se conocen como leyes de De Morgan.


1.4.3. En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos en lugar de cuando del contexto se sobreentienda cual es el conjunto .



Capítulo anterior: Unión e intersección de conjuntos Capítulo siguiente: Conjuntos potencia

Conjuntos potencia

1.5.1. Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto . Un conjunto así se llama conjunto potencia. Más exactamente, si es un conjunto, entonces el conjunto potencia de es el conjunto dado por


.

1.5.2. Puesto que , , y por tanto contiene un solo elemento, y por ello . Sea un conjunto con elementos. Entonces, existen subconjuntos de con un solo elemento, subconjuntos de con dos elementos, subconjuntos de con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los subconjuntos de con elementos. De este modo, tiene



elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia de un conjunto contiene en general muchos más elementos que el conjunto , razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.


1.5.3. Nótese que equivale a .


1.5.4. Algo más interesante y conveniente de notar es que



para cualquier conjunto . En efecto, pues de , se sigue para algún , es decir, para algún , por lo que . Recíprocamente, si , entonces para algún conjunto (e.g. el conjunto ), luego .


1.5.5. Como hecho más general, si es una colección de subconjuntos de un conjunto , es decir si , entonces .


1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado , y luego considérese una colección de subconjuntos de . Fórmese la unión


,


un subconjunto de . El complemento


,


es un subconjunto de . Si , entonces , por lo que para todo , y puesto que , el complemento existe y para todo . Así, . El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber


y .


Sea un conjunto y una colección de subconjuntos de . El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:

Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.



Capítulo anterior: Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios Capítulo siguiente: Producto cartesiano

Producto cartesiano

1.6.1. En matemáticas, un par ordenado es un par de objetos y tal que si es otro par ordenado, y serán iguales si y solo si y . La idea de esta descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado importe. Sin embargo, no es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidad existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos, aunque la más común, y la que usaremos aquí, es aquella donde el par ordenado se define por



para todo e Para ver que esta definición de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que


si y solo si y .


para cualesquiera , , , . Sea pues . Entonces


y o y .


Si , todo se reduce fácilmente a considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si , entonces no puede ser y , pues si resulta por definición de la igualdad de conjuntos, lo que contradice , y por tanto ha de ser y , con lo que claramente , además de que , pues suponer que nos lleva de nuevo a cuando la hipótesis dice lo contrario.

La definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.


Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por



para todo e mostrando que en ese caso también se cumple


si y solo si y .


para cualesquiera , , y . Esta definición de par ordenado la dio Weiner en 1914.


Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si y , entonces . Probar que, más generalmente, si y , entonces


1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número de componentes, mediante la ecuación

.


1.6.3. Sean e dos conjuntos. El producto cartesiano de e es el conjunto definido por


y .


Es decir, es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de y segundo componente un elemento de .


Dados cualesquiera dos conjuntos , , , tenemos

( P-1 )

( P-2 )

( P-3 )

( P-4 ) si y solo si o

( P-5 ) y si y solo si



Capítulo anterior: Conjuntos potencia Capítulo siguiente: Funciones

Funciones

1.7.1. Sean e dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto del producto cartesiano que cumpla

( F-1 ) para todo existe tal que y

( F-2 ) y implica ,

se dice función de en . Para indicar que es una función de un conjunto en otro , es común escribir .


1.7.2. Sean dos conjuntos e , y sea una función de en . Si se dice que es antecedente de por medio de , y que es imagen de por medio de . Por definición, un elemento no puede tener ni más ni menos que una sola imagen , que representaremos por (de modo que si y solo si ). El conjunto se dice dominio de la función , y se representa comúnmente por , mientras que el subconjunto tal que para todo existe tal que (i.e. el subconjunto de que contiene solo las imágenes de los elementos de por medio de ) se dice rango de la función , y se representa por .


1.7.3. Claramente dos funciones y son iguales si y solo si



para todo .


1.7.4. Tenemos también que si e son dos conjuntos, y si es cualquier función de en , entonces , y así . Luego, si es el conjunto de todas las funciones , , de modo que .


1.7.5. Sea un conjunto cualquiera, y sea . Claramente .


1.7.6. Sea un conjunto. La función


,


que envía un elemento de con un subconjunto de , se denomina familia de subconjuntos de indicada por . El conjunto se denomina en este caso conjunto de índices (por lo que cada se dice un índice), y la imagen de cualquier por medio de esta función se representa por .


Por ejemplo, considérese el conjunto


,


y el conjunto de índices . Existen varias familias de subconjuntos de indicadas por . Una de estas puede ser la función


,


dada por


.


Otra puede ser la que viene dada por


.


1.7.7. Sea la función de un conjunto en otro ; Si

(F-3) para cualesquiera y implica ,

es decir, si cualesquiera distintos elementos de tienen distintas imágenes en , se dice que es una función inyectiva o que es una inyección.

Si

(F-4) para todo existe tal que ,

es decir, si (i.e. si todo es imagen), se dice que es una función sobreyectiva (o suprayectiva), que es una función de sobre , o que es una sobreyección.

(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o biyección.


1.7.8. Sea , y sea un subconjunto de (i.e. un elemento de ). El conjunto dado por


existe tal que ,


se dice imagen del subconjunto por . Es decir, es el conjunto de todos los que son imagen de algún elemento de . Así pues,



y, en particular,


.


Nótese que, si , entonces



es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de por .


1.7.9. Por otra parte, si , entonces se define el conjunto por


,


y se llama a este conjunto imagen recíproca de por . Así pues,


.


Puesto que todo elemento de tiene una imagen en , tenemos que, como caso particular,


.


Sin embargo, debemos tener presente que, si bien , donde , siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto con puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de tenga un antecedente en . Sin embargo esto si esta garantizado cuando es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto



contiene cualquier elemento de cuya imagen sea . Si es además inyectiva, entonces es biyectiva, de modo que es la imagen de solo un elemento de , y así contiene solo a tal elemento .


1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función y dos familias e de subconjuntos de e respectivamente. Convenimos también en que , e , representan, respectivamente, subconjuntos de y subconjuntos de .

Tenemos que

(a) implica .

Demostración: Sea pues . Si , entonces, por definición (véase ¿?), existe tal que , pero en tal caso , pues , de modo que . QED

(b) implica .

Demosracón: Si , entonces , puesto que , se tiene , luego , y así . QED


(c) .

Demostración: Sea . La imagen de por , , está en el conjunto , y así . QED


Si, en particular, la función es inyectiva, entonces

(d) .



(e) .


Demostración: Si , entonces es la imagen de algún , y así . QED


Si, en particular, es sobreyectiva, entonces

(f) .

(g) implica .

Demostración: En vista de (d), solo queda demostrar que, si , entonces . Esto es fácil considerando que solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para , de modo que si , , luego , con lo que la prueba termina. QED

(h)] .

Demostración: Sea . Así, existe tal que , pero en ese caso , de modo que , y con esto . Solo falta demostrar que , lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED


Si, en particular, es inyectiva, se cumple

(i) .

Demostración: Sea . Entonces, puesto que es inyectiva, existe un único tal que . Luego, , de modo que , y así . QED

Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si no es inyectiva, puede ser , pero esto no es suficiente para garantizar que , por que al no ser inyectiva, podría existir un tal que , caso en el cual la imagen de está en por que es la misma imagen de un elemento que si esta en .


Si, en particular, la función es sobreyectiva, tenemos

(j) .

Demostración: Si , tenemos que , por lo que no tiene ningún antecedente en . Notemos que, por ser una sobreyección, tiene por lo menos un antecedente en . Sea cualquiera de estos antecedentes de , es decir, sea . Tenemos que , por lo que , lo que demuestra lo que se quería. QED


Si la función es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente

(k) .


1.7.11. Sea una familia de subconjuntos de un conjunto . Es común llamar simplemente unión de a la unión de los conjuntos del rango de , que se representa por y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por


.


1.7.12. Sea una función . Se cumplen:

(a) .

Demostración: Si , entonces existe al menos un tal que , y de esta manera , y con ello , para almenos un . Así, , lo que demuestra . Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que se deja como ejercicio para el lector. QED

(b) .

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

1.7.13. Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia , que se representa por , se dice simplemente intersección de . Así pues (véase 1.3.5),


.


1.7.14. Sea una función . Se cumplen

(a) .

Demostración: Sea . Entonces existe tal que , con para todo índice . Por esta razón, para todo , con lo que . QED

(b) .

Demostración: Si , es el antecedente de un único , es decir, . Pero si , entonces para todo índice . Así para todo , luego . Esto demuestra que . Demostrar que se deja como ejercicio al lector. QED


Si la función es además inyectiva, se cumple

(c) .

Demostración: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que sea inyectiva, . Para esto, sea , de manera que para todo índice . Puesto que es inyectiva, no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser para todo índice , cumple con para todo , con lo que . Así , lo que demuestra lo que se quería. QED


Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función sea inyectiva. La razón es que un elemento puede no estar en para todo , y sin embargo, puede que su imagen si esté en todos los conjuntos debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos que no tienen a . Por ejemplo, supóngase , cuya imagen es , no está en para algún , pero que este conjunto contiene otro elemento cuya imagen es también , de tal manera que para cualquiera que sea el índice sin necesidad de que para todo . En ese caso (cuando es no inyectiva) tenemos


.


1.7.15. La función dada por



para todo , y que por tanto envía cada elemento de consigo mismo, se llama función identidad.


Es claro que, siendo ,


y .


Si , esto se reduce a


.


1.7.16. Sean e dos conjuntos y considérese una función . Sea un subconjunto de . La función dada por


,


se dice restricción de a . Esto es,


,


por lo que la restricción de a es una función que resulta de 'recortar' el dominio de . Es claro que .


1.7.17. Sea un conjunto y un subconjunto de . La aplicación



dada por


,


e.i. la restricción , se llama inyección canónica de en x.


1.7.18. Sea una aplicación de un conjunto en otro , y sea una aplicación de en un conjunto . La aplicación



dada por



se dice composición de y . Esto es, resulta de aplicar seguida de , por lo que si envía un elemento con un elemento y envía a con un elemento , entonces envía directamente el elemento con el elemento (Refiérase a la figura de abajo).


1.7.19. Sean las funciones , y . Tenemos que . Para convencernos de ello es suficiente ver que



y que


.


1.7.20 Si es una función biyectiva, puede definirse la función , llamada función inversa de , por


si y solo si .


Es decir,


si y solo si .

1.7.21 Es inmediato que

.


1.7.22. Además, se observa que



y


,


por lo que


y .


Si , esto se simplifica a


.


1.7.23. Nótese también que, siendo ,


.


1.7.24. Es claro que existe cuando es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que y son dos funciones inversas de una función . Entonces

,

y

,

y por tanto .

1.7.25. Sean las funciones y . Entonces


.


En efecto, pues es función inversa de , y


                                  
                                  
                                  
                                  

con lo que es también función inversa de , y así y han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que es el argumento siguiente: Sea . Se sigue que , y de esto que para un tal que , o sea que y , de modo que y , y por tanto . Esto prueba que , y probar que resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.


Capítulo anterior: Producto cartesiano Capítulo siguiente: Relaciones

Relaciones

1.8.1. Sean los conjuntos e . Cualquier subconjunto se dice relación de sobre . Por tanto, una relación es un conjunto de pares ordenados, de modo que toda función es una relación, si bien lo recíproco no es necesariamente cierto, pues puede una relación no cumplir (f-1) o (f-2) (o ambas) de 1.7.1 . De ésto, resulta conveniente adoptar una notación diferente a la que se usó con las funciones para expresar el hecho de que . Así pues, escribiremos


,


y cuando . Para el caso particular en que es una relación que es a su vez es función, tenemos


.


Sin embargo, emplearemos la notación para representar cuando sepamos que es una función.


1.8.2. Las relaciones pueden definirse entre más de dos conjuntos. Así, una relación entre los conjuntos , y , puede ser cualquier subconjunto del producto cartesiano , y consistiría por tanto de ternas ordenadas. Una relación así se dice relación ternaria, para distinguirse de las relaciones que se aplican solo entre dos conjuntos (que naturalmente se llaman relaciones binarias). En términos más generales, una función -aria entre cuales quiera conjuntos , es un conjunto cualquiera .


1.8.3. En este libro solo trataremos las relaciones binarias, por lo que cuando se hable de relación se entenderá que se trata de una de éstas.


1.8.4. En particular, una relación sobre un conjunto es un subconjunto . Al igual que las funciones, las relaciones sobre un conjunto pueden tener, de forma particular, ciertas propiedades que permiten clasificarlas. Más exactamente: Sea una relación sobre un conjunto .

La relación es reflexiva siempre que

( R-1 ) para toda .

La relación es irreflexiva si

( R-2 ) para ningún .

La relación es simétrica siempre que

(R-3) y a para cualesquiera .

La relación es antisimétrica siempre que

(R-4) y implica para cualesquiera .

La relación es asimétrica siempre que

(R-5) implica que a es falso para cualesquiera .

La relación es transitiva siempre que

(R-6) y implica para cualesquiera .

La relación es conexa siempre que

(R-7) o para cualesquiera .


1.8.5. Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se dice relación de equivalencia. Si es una relación de equivalencia sobre un conjunto y si , entonces el conjunto dado por



se dice clase de equivalencia de por . Si se sabe cual es la relación y si no se presta a confusión, es común escribir simplemente en lugar de . Así pues


.


1.8.6. La aplicación identidad en un conjunto ,


,


es claramente una relación de equivalencia sobre , y dentro del contexto de la teoría de relaciones suele hacerse referencia a ella mediante el término relación trivial.

1.8.7. Otra relación de equivalencia sobre un conjunto es el mismo producto cartesiano , que en este caso se llama comúnmente relación grosera.


1.8.8. Puesto que una relación de equivalencia sobre un conjunto es reflexiva, tenemos



para todo . Además, es simétrica, de donde


.


Se tiene también que


.


Efectivamente, pues si , entonces y , y por simetría, , luego por transitividad . Otra cosa más es que


.


La razón es que si , entonces existe un tal que y o sea que y , y con esto , que como ya vimos significa que .

1.8.9. Otra forma de expresear este resultado es que


.


1.8.10. Sea una relación de equivalencia sobre un conjunto . El conjunto cociente de por la relación , que se representa por , se define por


.


Es decir, contiene todas las clases de equivalencia por la relación .


1.8.11. Puesto que cada uno de los elementos de está en alguna clase de equivalencia (pues por ejemplo si se tiene ), resulta que


,


o, para mayor claridad,


,


y como cualesquiera dos clases de equivalencia distintas de son disjuntas (véase 1.8.9), es una partición de (véase 1.5.6).


1.8.12. Sea una partición de un conjunto . Luego defínase la relación mediante



para algún . Puesto que


,


cada uno de los elementos de está contenido en algún conjunto de , por lo que para todo , y así es reflexiva. Claramente implica para todo , por lo que es simétrica. Además, si y , existen tales que y , y estos han de cumplir (pues si , ha de ser , lo que es contradictorio en vista de que y ), y entonces concluimos que . Esto hace que sea también transitiva, y entonces termina siendo esta una relación de equivalencia sobre inducida por la partición .


1.8.13. El resultado de 1.8.11 y el resultado de 1.8.12 se resumen en el enunciado siguiente:


Si es una relación de equivalencia sobre un conjunto , entonces el conjunto cociente es una partición de y, recíprocamente, si es una partición del conjunto , entonces existe una relación tal que .


1.8.14. Una relación sobre un conjunto reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice relación de orden parcial (o simplemente un orden) sobre el conjunto , y el par se dice entonces un conjunto parcialmente ordenado, o simplemente que es un conjunto ordenado.


1.8.15. Aquí usaremos el símbolo



para representar un orden parcial cualquiera (diferente según el contexto) y no solo para el familiar orden sobre el conjunto de números reales.


En particular, la relación de inclusión sobre el conjunto potencia de un conjunto es una relación de orden parcial.

1.8.16. Se dice que es una relación de orden (parcial) estricto, o simplemente que es un orden estricto, sobre un conjunto , si es irreflexiva, antisimétrica y transitiva. Para representar ordenes estrictos, cualesquiera que sean estos, usaremos el símbolo


.


Un orden que no sea estricto será llamado simplemente orden no estricto.


1.8.17. Si es una relación de orden no estricto sobre un conjunto , entonces la relación



es claramente un orden estricto sobre . Por otro lado, si es una relación de orden estricto sobre , entonces



es una relación de orden no estricto sobre .


1.8.18. Sea un conjunto ordenado. Un elemento tal que para todo se dice elemento mínimo (o primer elemento) de . El elemento mínimo de un conjunto, si existe, es único. En efecto, pues si y fueran dos elementos mínimos de , por definición


,


y por antisimetría, .


1.8.19. Sea un conjunto ordenado. Un elemento tal que para todo se dice elemento máximo (o último elemento) de . También el elemento máximo de un conjunto, si existe, es único.


1.8.20. En un conjunto ordenado es posible que existan elementos que, pudiendo no ser un máximo o un mínimo de , tienen cierta distinción sobre otros elementos de por medio de el orden . Nos referimos a los minimales y los maximales. Un elemento es un minimal en si no existe ningún elemento en estrictamente menor que . (por medio del orden estricto dado por si y solo si y , por supuesto) ; un elemento se dice máximal de si no existe ningún elemento en estrictamente mayor que . Es posible que los minimales de un conjunto, si existen, sean más de uno. Lo mismo aplica para los maximales de un conjunto.


Notemos pues que un conjunto puede no contener ni mínimos (máximos) ni minimales (maximales), o bien, contener uno o más minimales (maximales) y ningún mínimo (máximo). Si un conjunto tiene mínimo (máximo), éste es a su vez el único minimal (maximal) del conjunto.


1.8.21. Sea un conjunto ordenado, y sea . Un elemento tal que para todo se dice cota inferior (o minorante) de . Por otro lado, un elemento tal que para todo se dice cota superior (o mayorante) de . Una cota inferior o superior de puede o no estar en . Además, si es el conjunto de cotas inferiores de , entonces solo puede ser vacío o ser un conjunto con un solo elemento. Si , entonces el único elemento de es claramente un mínimo de . Si contiene un elemento máximo, entonces este se dice ínfimo de , y lo representaremos por . Análogamente, si es el conjunto de todas las cotas superiores de , o contiene a lo más un elemento, el cual sería entonces un máximo de . Si tiene un mínimo, entonces este se dice supremo de , y lo representaremos por .


1.8.22. Un conjunto que tiene cotas inferiores se dice inferiormente acotado, mientras que un conjunto que tiene cotas superiores se dice superiormente acotado. Si un conjunto esta acotado inferior y superiormente, se dice simplemente que es acotado.


1.8.23. Sea un conjunto parcialmente ordenado. Si todo subconjunto de admite un minimal respecto de , se dice que es una relación de orden bien fundada sobre , o que es un orden bien fundado sobre