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Matemáticas/Teoría de conjuntos
por es.wikibooks.org
Teoría intuitiva de conjuntos
En la introducción, o en algún lugar especial, de los libros de la teoría axiomática de conjuntos suele darse una explicación de por qué es necesario fundamentar la teoría de conjuntos y dejarla construida a partir de unos cuantos axiomas. Estos axiomas son, en su mayoría, principios evidentes de por sí una vez que se ha comprendido previamente como deben comportarse los conjuntos o, por lo menos, cuando ya se tiene una idea de esto. Por esa razón, es más que justificable la revisión de una exposición intuitiva de la teoría de conjuntos, como el que incluimos aquí, en donde se expongan unas cuantas cosas, de forma rápida e intuitiva, que familiaricen al lector con los conjuntos, sus relaciones y operaciones; de esta manera el lector no encontrará (esperamos) dificultades mayores a la hora de enfrentarse a la teoría axiomática de conjuntos, donde los principios de los que se parte son formalizaciones y restricciones ad hoc de las propiedades que uno ya le suponía a los conjuntos.
Capítulo siguiente: Conjuntos
Conjuntos
Lo principal para nuestro desarrollo de la teoría (intuitiva) de conjuntos es aceptar que es posible ‘comprimir’ o ‘substancializar’ una colección o conjunto (que para este caso son lo mismo) de cualesquiera objetos diferentes y, así, poder considerarla como un todo o, mejor dicho, como una única cosa que tratar. Los objetos de un conjunto se llaman elementos de dicho conjunto.
1.1.1. Desde luego, la relación más básica de la teoría de conjuntos es la que existe entre los elementos y su conjunto: la relación de pertenencia. Como es la regla hoy en día, escribiremos
para indicar que el objeto
es uno de los elementos del conjunto
. Es decir, el símbolo "
", una versión de la letra griega
(épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia[1]. Los argumentos de una relación son los objetos que acompañan a esa relación. En el ejemplo
, los argumentos de la relación
son
(primer argumento) y
(segundo argumento). Así, puede decirse que los primeros argumentos de la relación
pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de conjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de
pertenecen al mismo universo.
La negación de
la escribiremos
.
Ejemplo:
Consideremos el conjunto
. Con esto lo que estamos haciendo es denominar por
al conjunto
. Pues bien, podemos decir entonces que
y que
.
1.1.2. Diremos que dos conjuntos
e
son iguales, lo que se representa por
, si y solo si
e
consisten de los mismos elementos. Así pues,
siempre que
si y solo si
para todo elemento
(i.e. si todo elemento de
es elemento de
y, recíprocamente, si todo elemento de
es elemento de
).
Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo, según nuestro criterio vemos que
. En efecto, cada uno de los elementos del conjunto de la izquierda es un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. Podemos pues considerar que ambos conjuntos son iguales, y, como hicimos antes, podemos identificar entonces como
a cualquiera de ambos.
1.1.3. Por otra parte, como un hecho más general que la igualdad, un conjunto
es subconjunto de otro
, lo que se representa por
,
siempre que
implica
para cualquiera que sea el elemento
(i.e., si todo elemento de
es elemento de
). Claramente
para todo conjunto
, por lo que se dice que la relación
es reflexiva. También tenemos que
y
si y solo si
,
y que
y
implica
para cualesquiera conjuntos
,
y
. Estos dos hechos muestran, respectivamente, que la relación
es antisimétrica y transitiva (véase más adelante relaciones).
1.1.4. Si
y
(i.e. si
tiene por lo menos un elemento más que
) se dice que
es subconjunto propio de
, lo cual se representa por
.
^ Peano fue el primero en representar la relación de pertenencia por la letra
en sus Arithmetices Principia (1889), por ser la primera letra de la palabra griega
, que significa "está".
Capítulo anterior: Introducción
Capítulo siguiente: Notación de conjuntos y el conjunto vacío
Notación de conjuntos y el conjunto vacío
1.2.1. Si
es un conjunto cuyos elementos son
y solo ellos, es común representar a este conjunto
por extensión
,
si
(al que llamaremos cardinalidad) no es un número muy grande.
Por ejemplo
representa por extensión el conjunto de las vocales del español y su cardinalidad es 5.
Tenga en cuenta que en un conjunto no hay elementos repetidos, por ejemplo el conjunto
es el mismo conjunto
1.2.2. Nótese que, de acuerdo con esa notación,
es equivalente a
.
1.2.3. Existe otra forma común de representar conjuntos, llamada por comprensión. Si
es el conjunto de todos aquellos elementos
que verifican una propiedad
, entonces
se representa también por
.
1.2.4. Así, si
es la propiedad
, entonces el conjunto
claramente contiene cualquier cosa.
1.2.5. Mientras tanto, si
es la propiedad
, entonces el conjunto
no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por
. Tenemos que
para cualquiera que sea el conjunto
(pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en
que no estuviera en el conjunto
, lo cual es absurdo pues
no contiene nada).
Por otro lado,
implica
para cualquier conjunto
. Efectivamente, pues si fuera
y
, entonces
tendría por lo menos un elemento que no está en
, lo que es imposible.
Capítulo anterior: Conjuntos
Capítulo siguiente: Unión e intersección de conjuntos
Unión e intersección de conjuntos
1.3.1. Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si
e
son dos conjuntos, la unión de
e
es el conjunto
o
.
Esto es,
consiste de todos los elementos que están ya sea en
, ya sea en
, ya sea en ambos
e
. La unión se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente:

Sean
,
y
conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:
( U-1 )
(idempotencia)
( U-2 )
(identidad)
( U-3 )
(conmutatividad)
( U-4 )
(asociatividad)
( U-5 ) 
( U-6 )
si y solo si
Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de ( U-2 ) y ( U-6 ):
( U-2 ) Hay que demostrar que todo elemento de
es elemento de
(demostrar que
) y que, recíprocamente, todo elemento de
es elemento de
(demostrar que
). Si
, entonces
o
, de lo que solo puede ser
. Recíprocamente, si
, entonces
. Por tanto
.
( U-6 ) Supóngase que
pero que
. Entonces, en particular, existe
tal que
, pero si esto es cierto,
, lo que contradice el hecho de que
. Recíprocamente, si
, entonces de ( U-5 ) se sigue el resultado deseado.
1.3.2. La intersección de dos conjuntos
e
se define como el conjunto
.
Es decir,
es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en
como en
. La intersección se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente :

Sean
,
y
conjuntos cualesquiera
( I-1 )
(idempotencia)
( I-2 ) 
( I-3 )
(conmutatividad)
( I-4 )
(asociatividad)
( I-5 ) 
( I-6 )
si y solo si
Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:
( UI-1 ) 
( UI-2 ) 
1.3.3. Si
e
son dos conjuntos tales que
(i.e. si
e
no tienen elementos en común) se dice que
e
son conjuntos disjuntos.
1.3.4. Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si
es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de
puede definirse como el conjunto
.
Así,
si y solo si existe por lo menos un conjunto
en
que contenga al elemento
. Como caso particular, tenemos
.
1.3.5. De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección
se define por
.
Por tanto,
si
para todo conjunto
de
(i.e.
consiste de los elementos que están en todo conjunto de
). Como caso particular, tenemos
.
1.3.6. Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si
, entonces, puesto que en ese caso
implica
para cualquiera que sea el conjunto
y el elemento
, el conjunto
lo contiene todo.
Capítulo anterior: Notación de conjuntos y el conjunto vacío
Capítulo siguiente: Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios
Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios
1.4.1 Si
e
son dos conjuntos cualesquiera, la diferencia de
e
es el conjunto
(también simbolizado por
) definido por
y
.
Es decir,
consiste de todos los elementos que están en
pero no en
. Este conjunto se representa por el área sombreada en el siguiente diagrama:
Diferencia de
e
, o entre A y B en este caso
Ejercicio: Probar que
e
son conjuntos disjuntos si y solo si
.
Sean
,
y
conjuntos cualesquiera. Entonces
( D-1 ) 
( D-2 ) 
( D-3 ) 
( D-4 ) 
( D-5 )
( D-6 ) 
( D-7 ) 
( D-8 )
si y solo si
1.4.2. Si
es un subconjunto de
, entonces el subconjunto de
,
,
se dice conjunto complementario de
en
. En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:
Complemento de
en
, o de A en U en este caso
Sean
e
subconjuntos de un conjunto
. Se cumplen
( C-1 ) 
( C-2 ) 
( C-3 )
(conmutatividad)
( C-4 ) 
( C-5 ) 
( C-6 ) 
( C-7 ) 
( C-8 ) 
( C-9 ) 
Los enunciados ( C-7 ) y ( C-8 ) se conocen como leyes de De Morgan.
1.4.3. En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos
en lugar de
cuando del contexto se sobreentienda cual es el conjunto
.
Capítulo anterior: Unión e intersección de conjuntos
Capítulo siguiente: Conjuntos potencia
Conjuntos potencia
1.5.1. Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto
cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto
. Un conjunto así se llama conjunto potencia. Más exactamente, si
es un conjunto, entonces el conjunto potencia de
es el conjunto
dado por
.
1.5.2. Puesto que
,
, y por tanto
contiene un solo elemento, y por ello
. Sea
un conjunto con
elementos. Entonces, existen
subconjuntos de
con un solo elemento,
subconjuntos de
con dos elementos,
subconjuntos de
con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los
subconjuntos de
con
elementos. De este modo,
tiene
elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia
de un conjunto
contiene en general muchos más elementos que el conjunto
, razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.
1.5.3. Nótese que
equivale a
.
1.5.4. Algo más interesante y conveniente de notar es que
para cualquier conjunto
. En efecto, pues de
, se sigue
para algún
, es decir, para algún
, por lo que
. Recíprocamente, si
, entonces
para algún conjunto
(e.g. el conjunto
), luego
.
1.5.5. Como hecho más general, si
es una colección de subconjuntos de un conjunto
, es decir si
, entonces
.
1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado
, y luego considérese una colección
de subconjuntos de
. Fórmese la unión
,
un subconjunto de
. El complemento
,
es un subconjunto de
. Si
, entonces
, por lo que
para todo
, y puesto que
, el complemento
existe y
para todo
. Así,
. El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber
y
.
Sea
un conjunto y
una colección de subconjuntos de
. El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:


Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.
Capítulo anterior: Diferencia de conjuntos y conjuntos complementarios
Capítulo siguiente: Producto cartesiano
Producto cartesiano
1.6.1. En matemáticas, un par ordenado es un par
de objetos
y
tal que si
es otro par ordenado,
y
serán iguales si y solo si
y
. La idea de esta descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado importe. Sin embargo, no es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidad existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos, aunque la más común, y la que usaremos aquí, es aquella donde el par ordenado
se define por
para todo
e
Para ver que esta definición de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que
si y solo si
y
.
para cualesquiera
,
,
,
. Sea pues
. Entonces
y
o
y
.
Si
, todo se reduce fácilmente a
considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si
, entonces no puede ser
y
, pues si
resulta
por definición de la igualdad de conjuntos, lo que contradice
, y por tanto ha de ser
y
, con lo que claramente
, además de que
, pues suponer que
nos lleva de nuevo a
cuando la hipótesis dice lo contrario.
La definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.
Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por
para todo
e
mostrando que en ese caso también se cumple
si y solo si
y
.
para cualesquiera
,
,
y
. Esta definición de par ordenado la dio Weiner en 1914.
Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si
y
, entonces
. Probar que, más generalmente, si
y
, entonces
1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número
de componentes, mediante la ecuación
.
1.6.3. Sean
e
dos conjuntos. El producto cartesiano de
e
es el conjunto
definido por
y
.
Es decir,
es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de
y segundo componente un elemento de
.
Dados cualesquiera dos conjuntos
,
,
, tenemos
( P-1 ) 
( P-2 ) 
( P-3 ) 
( P-4 )
si y solo si
o
( P-5 )
y
si y solo si 
Capítulo anterior: Conjuntos potencia
Capítulo siguiente: Funciones
Funciones
1.7.1. Sean
e
dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto
del producto cartesiano
que cumpla
( F-1 ) para todo
existe
tal que
y
( F-2 )
y
implica
,
se dice función de
en
. Para indicar que
es una función de un conjunto
en otro
, es común escribir
.
1.7.2. Sean dos conjuntos
e
, y sea
una función de
en
. Si
se dice que
es antecedente de
por medio de
, y que
es imagen de
por medio de
. Por definición, un elemento
no puede tener ni más ni menos que una sola imagen
, que representaremos por
(de modo que
si y solo si
). El conjunto
se dice dominio de la función
, y se representa comúnmente por
, mientras que el subconjunto
tal que para todo
existe
tal que
(i.e. el subconjunto de
que contiene solo las imágenes de los elementos de
por medio de
) se dice rango de la función
, y se representa por
.
1.7.3. Claramente dos funciones
y
son iguales si y solo si
para todo
.
1.7.4. Tenemos también que si
e
son dos conjuntos, y si
es cualquier función de
en
, entonces
, y así
. Luego, si
es el conjunto de todas las funciones
,
, de modo que
.
1.7.5. Sea
un conjunto cualquiera, y sea
. Claramente
.
1.7.6. Sea
un conjunto. La función
,
que envía un elemento
de
con un subconjunto de
, se denomina familia de subconjuntos de
indicada por
. El conjunto
se denomina en este caso conjunto de índices (por lo que cada
se dice un índice), y la imagen de cualquier
por medio de esta función se representa por
.
Por ejemplo, considérese el conjunto
,
y el conjunto de índices
. Existen varias familias de subconjuntos de
indicadas por
. Una de estas puede ser la función
,
dada por
.
Otra puede ser la que viene dada por
.
1.7.7. Sea la función
de un conjunto
en otro
;
Si
(F-3) para cualesquiera
y
implica
,
es decir, si cualesquiera distintos elementos de
tienen distintas imágenes en
, se dice que
es una función inyectiva o que es una inyección.
Si
(F-4) para todo
existe
tal que
,
es decir, si
(i.e. si todo
es imagen), se dice que
es una función sobreyectiva (o suprayectiva), que es una función de
sobre
, o que es una sobreyección.
(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o biyección.
1.7.8. Sea
, y sea
un subconjunto de
(i.e. un elemento de
). El conjunto
dado por
existe
tal que
,
se dice imagen del subconjunto
por
. Es decir,
es el conjunto de todos los
que son imagen de algún elemento de
. Así pues,
y, en particular,
.
Nótese que, si
, entonces
es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de
por
.
1.7.9. Por otra parte, si
, entonces se define el conjunto
por
,
y se llama a este conjunto imagen recíproca de
por
. Así pues,
.
Puesto que todo elemento de
tiene una imagen en
, tenemos que, como caso particular,
.
Sin embargo, debemos tener presente que, si bien
, donde
, siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto
con
puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de
tenga un antecedente en
. Sin embargo esto si esta garantizado cuando
es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto
contiene cualquier elemento de
cuya imagen sea
. Si
es además inyectiva, entonces
es biyectiva, de modo que
es la imagen de solo un elemento
de
, y así
contiene solo a tal elemento
.
1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función
y dos familias
e
de subconjuntos de
e
respectivamente. Convenimos también en que
,
e
,
representan, respectivamente, subconjuntos de
y subconjuntos de
.
Tenemos que
(a)
implica
.
Demostración: Sea pues
. Si
, entonces, por definición (véase ¿?), existe
tal que
, pero en tal caso
, pues
, de modo que
. QED
(b)
implica
.
Demosracón: Si
, entonces
, puesto que
, se tiene
, luego
, y así
. QED
(c)
.
Demostración: Sea
. La imagen de
por
,
, está en el conjunto
, y así
. QED
Si, en particular, la función
es inyectiva, entonces
(d)
.
(e)
.
Demostración: Si
, entonces
es la imagen de algún
, y así
. QED
Si, en particular,
es sobreyectiva, entonces
(f)
.
(g)
implica
.
Demostración: En vista de (d), solo queda demostrar que, si
, entonces
. Esto es fácil considerando que
solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para
, de modo que si
,
, luego
, con lo que la prueba termina. QED
(h)]
.
Demostración: Sea
. Así, existe
tal que
, pero en ese caso
, de modo que
, y con esto
. Solo falta demostrar que
, lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED
Si, en particular,
es inyectiva, se cumple
(i)
.
Demostración: Sea
. Entonces, puesto que
es inyectiva, existe un único
tal que
. Luego,
, de modo que
, y así
. QED
Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función
a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si
no es inyectiva, puede ser
, pero esto no es suficiente para garantizar que
, por que al no ser
inyectiva, podría existir un
tal que
, caso en el cual la imagen de
está en
por que es la misma imagen de un elemento que si esta en
.
Si, en particular, la función
es sobreyectiva, tenemos
(j)
.
Demostración: Si
, tenemos que
, por lo que
no tiene ningún antecedente en
. Notemos que, por ser
una sobreyección,
tiene por lo menos un antecedente en
. Sea
cualquiera de estos antecedentes de
, es decir, sea
. Tenemos que
, por lo que
, lo que demuestra lo que se quería. QED
Si la función
es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente
(k)
.
1.7.11. Sea
una familia de subconjuntos de un conjunto
. Es común llamar simplemente unión de
a la unión de los conjuntos del rango de
, que se representa por
y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por
.
1.7.12. Sea una función
. Se cumplen:
(a)
.
Demostración: Si
, entonces existe al menos un
tal que
, y de esta manera
, y con ello
, para almenos un
. Así,
, lo que demuestra
. Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que
se deja como ejercicio para el lector. QED
(b)
.
La demostración se deja como ejercicio para el lector.
1.7.13. Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia
, que se representa por
, se dice simplemente intersección de
. Así pues (véase 1.3.5),
.
1.7.14. Sea una función
. Se cumplen
(a)
.
Demostración: Sea
. Entonces existe
tal que
, con
para todo índice
. Por esta razón,
para todo
, con lo que
. QED
(b)
.
Demostración: Si
,
es el antecedente de un único
, es decir,
. Pero si
, entonces
para todo índice
. Así
para todo
, luego
. Esto demuestra que
. Demostrar que
se deja como ejercicio al lector. QED
Si la función
es además inyectiva, se cumple
(c)
.
Demostración: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que
sea inyectiva,
. Para esto, sea
, de manera que
para todo índice
. Puesto que
es inyectiva,
no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser
para todo índice
, cumple con
para todo
, con lo que
. Así
, lo que demuestra lo que se quería. QED
Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función
sea inyectiva. La razón es que un elemento
puede no estar en
para todo
, y sin embargo, puede que su imagen
si esté en todos los conjuntos
debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos
que no tienen a
. Por ejemplo, supóngase
, cuya imagen es
, no está en
para algún
, pero que este conjunto
contiene otro elemento
cuya imagen es también
, de tal manera que
para cualquiera que sea el índice
sin necesidad de que
para todo
. En ese caso (cuando
es no inyectiva) tenemos
.
1.7.15. La función
dada por
para todo
, y que por tanto envía cada elemento de
consigo mismo, se llama función identidad.
Es claro que, siendo
,
y
.
Si
, esto se reduce a
.
1.7.16. Sean
e
dos conjuntos y considérese una función
. Sea
un subconjunto de
. La función
dada por
,
se dice restricción de
a
. Esto es,
,
por lo que la restricción de
a
es una función que resulta de 'recortar' el dominio de
. Es claro que
.
1.7.17. Sea
un conjunto y
un subconjunto de
. La aplicación
dada por
,
e.i. la restricción
, se llama inyección canónica de
en x.
1.7.18. Sea
una aplicación de un conjunto
en otro
, y sea
una aplicación de
en un conjunto
. La aplicación
dada por
se dice composición de
y
. Esto es,
resulta de aplicar
seguida de
, por lo que si
envía un elemento
con un elemento
y
envía a
con un elemento
, entonces
envía directamente el elemento
con el elemento
(Refiérase a la figura de abajo).

1.7.19. Sean las funciones
,
y
. Tenemos que
. Para convencernos de ello es suficiente ver que
y que
.
1.7.20 Si
es una función biyectiva, puede definirse la función
, llamada función inversa de
, por
si y solo si
.
Es decir,
si y solo si
.
1.7.21 Es inmediato que
.
1.7.22. Además, se observa que
y
,
por lo que
y
.
Si
, esto se simplifica a
.
1.7.23. Nótese también que, siendo
,
.
1.7.24. Es claro que
existe cuando
es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que
y
son dos funciones inversas de una función
. Entonces
,
y
,
y por tanto
.
1.7.25. Sean las funciones
y
. Entonces
.
En efecto, pues
es función inversa de
, y
con lo que
es también función inversa de
, y así
y
han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que
es el argumento siguiente: Sea
. Se sigue que
, y de esto que
para un
tal que
, o sea que
y
, de modo que
y
, y por tanto
. Esto prueba que
, y probar que
resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.
Capítulo anterior: Producto cartesiano
Capítulo siguiente: Relaciones
Relaciones
1.8.1. Sean los conjuntos
e
. Cualquier subconjunto
se dice relación de
sobre
. Por tanto, una relación es un conjunto de pares ordenados, de modo que toda función
es una relación, si bien lo recíproco no es necesariamente cierto, pues puede una relación no cumplir (f-1) o (f-2) (o ambas) de 1.7.1 . De ésto, resulta conveniente adoptar una notación diferente a la que se usó con las funciones para expresar el hecho de que
. Así pues, escribiremos
,
y
cuando
. Para el caso particular en que
es una relación que es a su vez es función, tenemos
.
Sin embargo, emplearemos la notación
para representar
cuando sepamos que
es una función.
1.8.2. Las relaciones pueden definirse entre más de dos conjuntos. Así, una relación entre los conjuntos
,
y
, puede ser cualquier subconjunto del producto cartesiano
, y consistiría por tanto de ternas ordenadas. Una relación
así se dice relación ternaria, para distinguirse de las relaciones que se aplican solo entre dos conjuntos (que naturalmente se llaman relaciones binarias). En términos más generales, una función
-aria entre cuales quiera
conjuntos
, es un conjunto cualquiera
.
1.8.3. En este libro solo trataremos las relaciones binarias, por lo que cuando se hable de relación se entenderá que se trata de una de éstas.
1.8.4. En particular, una relación sobre un conjunto
es un subconjunto
. Al igual que las funciones, las relaciones sobre un conjunto
pueden tener, de forma particular, ciertas propiedades que permiten clasificarlas. Más exactamente: Sea
una relación sobre un conjunto
.
La relación
es reflexiva siempre que
( R-1 )
para toda
.
La relación
es irreflexiva si
( R-2 )
para ningún
.
La relación
es simétrica siempre que
(R-3)
y
a para cualesquiera
.
La relación
es antisimétrica siempre que
(R-4)
y
implica
para cualesquiera
.
La relación
es asimétrica siempre que
(R-5)
implica que
a es falso para cualesquiera
.
La relación
es transitiva siempre que
(R-6)
y
implica
para cualesquiera
.
La relación
es conexa siempre que
(R-7)
o
para cualesquiera
.
1.8.5. Una relación
que es reflexiva, simétrica y transitiva se dice relación de equivalencia. Si
es una relación de equivalencia sobre un conjunto
y si
, entonces el conjunto
dado por
se dice clase de equivalencia de
por
. Si se sabe cual es la relación
y si no se presta a confusión, es común escribir simplemente
en lugar de
. Así pues
.
1.8.6. La aplicación identidad en un conjunto
,
,
es claramente una relación de equivalencia sobre
, y dentro del contexto de la teoría de relaciones suele hacerse referencia a ella mediante el término relación trivial.
1.8.7. Otra relación de equivalencia sobre un conjunto
es el mismo producto cartesiano
, que en este caso se llama comúnmente relación grosera.
1.8.8. Puesto que una relación de equivalencia
sobre un conjunto
es reflexiva, tenemos
para todo
. Además,
es simétrica, de donde
.
Se tiene también que
.
Efectivamente, pues si
, entonces
y
, y por simetría,
, luego por transitividad
. Otra cosa más es que
.
La razón es que si
, entonces existe un
tal que
y
o sea que
y
, y con esto
, que como ya vimos significa que
.
1.8.9. Otra forma de expresear este resultado es que
![{\displaystyle \left[a\right]_{\mathrm {R} }\neq \left[b\right]_{\mathrm {R} }\quad \mathrm {implica} \quad \left[a\right]_{\mathrm {R} }\cap \left[b\right]_{\mathrm {R} }=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c706ff66cc1632a101828f828eefbf8d4660ac4)
.
1.8.10. Sea
una relación de equivalencia sobre un conjunto
. El conjunto cociente de
por la relación
, que se representa por
, se define por
.
Es decir,
contiene todas las clases de equivalencia por la relación
.
1.8.11. Puesto que cada uno de los elementos de
está en alguna clase de equivalencia (pues por ejemplo si
se tiene
), resulta que
,
o, para mayor claridad,
,
y como cualesquiera dos clases de equivalencia distintas de
son disjuntas (véase 1.8.9),
es una partición de
(véase 1.5.6).
1.8.12. Sea
una partición de un conjunto
. Luego defínase la relación
mediante
para algún
. Puesto que
,
cada uno de los elementos de
está contenido en algún conjunto
de
, por lo que
para todo
, y así
es reflexiva. Claramente
implica
para todo
, por lo que
es simétrica. Además, si
y
, existen
tales que
y
, y estos han de cumplir
(pues si
, ha de ser
, lo que es contradictorio en vista de que
y
), y entonces concluimos que
. Esto hace que
sea también transitiva, y entonces termina siendo esta una relación de equivalencia sobre
inducida por la partición
.
1.8.13. El resultado de 1.8.11 y el resultado de 1.8.12 se resumen en el enunciado siguiente:
Si
es una relación de equivalencia sobre un conjunto
, entonces el conjunto cociente
es una partición de
y, recíprocamente, si
es una partición del conjunto
, entonces existe una relación
tal que
.
1.8.14. Una relación
sobre un conjunto
reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice relación de orden parcial (o simplemente un orden) sobre el conjunto
, y el par
se dice entonces un conjunto parcialmente ordenado, o simplemente que es un conjunto ordenado.
1.8.15. Aquí usaremos el símbolo
para representar un orden parcial cualquiera (diferente según el contexto) y no solo para el familiar orden sobre el conjunto de números reales.
En particular, la relación de inclusión
sobre el conjunto potencia
de un conjunto
es una relación de orden parcial.
1.8.16. Se dice que
es una relación de orden (parcial) estricto, o simplemente que es un orden estricto, sobre un conjunto
, si
es irreflexiva, antisimétrica y transitiva. Para representar ordenes estrictos, cualesquiera que sean estos, usaremos el símbolo

.
Un orden que no sea estricto será llamado simplemente orden no estricto.
1.8.17. Si
es una relación de orden no estricto sobre un conjunto
, entonces la relación
es claramente un orden estricto sobre
. Por otro lado, si
es una relación de orden estricto sobre
, entonces
es una relación de orden no estricto sobre
.
1.8.18. Sea
un conjunto ordenado. Un elemento
tal que
para todo
se dice elemento mínimo (o primer elemento) de
. El elemento mínimo de un conjunto, si existe, es único. En efecto, pues si
y
fueran dos elementos mínimos de
, por definición
,
y por antisimetría,
.
1.8.19. Sea
un conjunto ordenado. Un elemento
tal que
para todo
se dice elemento máximo (o último elemento) de
. También el elemento máximo de un conjunto, si existe, es único.
1.8.20. En un conjunto ordenado
es posible que existan elementos que, pudiendo no ser un máximo o un mínimo de
, tienen cierta distinción sobre otros elementos de
por medio de el orden
. Nos referimos a los minimales y los maximales. Un elemento
es un minimal en
si no existe ningún elemento en
estrictamente menor que
. (por medio del orden estricto
dado por
si y solo si
y
, por supuesto) ; un elemento
se dice máximal de
si no existe ningún elemento en
estrictamente mayor que
. Es posible que los minimales de un conjunto, si existen, sean más de uno. Lo mismo aplica para los maximales de un conjunto.
Notemos pues que un conjunto puede no contener ni mínimos (máximos) ni minimales (maximales), o bien, contener uno o más minimales (maximales) y ningún mínimo (máximo). Si un conjunto tiene mínimo (máximo), éste es a su vez el único minimal (maximal) del conjunto.
1.8.21. Sea
un conjunto ordenado, y sea
. Un elemento
tal que
para todo
se dice cota inferior (o minorante) de
. Por otro lado, un elemento
tal que
para todo
se dice cota superior (o mayorante) de
. Una cota inferior o superior de
puede o no estar en
. Además, si
es el conjunto de cotas inferiores de
, entonces
solo puede ser vacío o ser un conjunto con un solo elemento. Si
, entonces el único elemento de
es claramente un mínimo de
. Si
contiene un elemento máximo, entonces este se dice ínfimo de
, y lo representaremos por
. Análogamente, si
es el conjunto de todas las cotas superiores de
,
o
contiene a lo más un elemento, el cual sería entonces un máximo de
. Si
tiene un mínimo, entonces este se dice supremo de
, y lo representaremos por
.
1.8.22. Un conjunto que tiene cotas inferiores se dice inferiormente acotado, mientras que un conjunto que tiene cotas superiores se dice superiormente acotado. Si un conjunto esta acotado inferior y superiormente, se dice simplemente que es acotado.
1.8.23. Sea
un conjunto parcialmente ordenado. Si todo subconjunto de
admite un minimal respecto de
, se dice que
es una relación de orden bien fundada sobre 