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Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Relaciones

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1.8.1. Sean los conjuntos e . Cualquier subconjunto se dice relación de sobre . Por tanto, una relación es un conjunto de pares ordenados, de modo que toda función es una relación, si bien lo recíproco no es necesariamente cierto, pues puede una relación no cumplir (f-1) o (f-2) (o ambas) de 1.7.1 . De ésto, resulta conveniente adoptar una notación diferente a la que se usó con las funciones para expresar el hecho de que . Así pues, escribiremos


,


y cuando . Para el caso particular en que es una relación que es a su vez es función, tenemos


.


Sin embargo, emplearemos la notación para representar cuando sepamos que es una función.


1.8.2. Las relaciones pueden definirse entre más de dos conjuntos. Así, una relación entre los conjuntos , y , puede ser cualquier subconjunto del producto cartesiano , y consistiría por tanto de ternas ordenadas. Una relación así se dice relación ternaria, para distinguirse de las relaciones que se aplican solo entre dos conjuntos (que naturalmente se llaman relaciones binarias). En términos más generales, una función -aria entre cuales quiera conjuntos , es un conjunto cualquiera .


1.8.3. En este libro solo trataremos las relaciones binarias, por lo que cuando se hable de relación se entenderá que se trata de una de éstas.


1.8.4. En particular, una relación sobre un conjunto es un subconjunto . Al igual que las funciones, las relaciones sobre un conjunto pueden tener, de forma particular, ciertas propiedades que permiten clasificarlas. Más exactamente: Sea una relación sobre un conjunto .

La relación es reflexiva siempre que

( R-1 ) para toda .

La relación es irreflexiva si

( R-2 ) para ningún .

La relación es simétrica siempre que

(R-3) y a para cualesquiera .

La relación es antisimétrica siempre que

(R-4) y implica para cualesquiera .

La relación es asimétrica siempre que

(R-5) implica que a es falso para cualesquiera .

La relación es transitiva siempre que

(R-6) y implica para cualesquiera .

La relación es conexa siempre que

(R-7) o para cualesquiera .


1.8.5. Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se dice relación de equivalencia. Si es una relación de equivalencia sobre un conjunto y si , entonces el conjunto dado por



se dice clase de equivalencia de por . Si se sabe cual es la relación y si no se presta a confusión, es común escribir simplemente en lugar de . Así pues


.


1.8.6. La aplicación identidad en un conjunto ,


,


es claramente una relación de equivalencia sobre , y dentro del contexto de la teoría de relaciones suele hacerse referencia a ella mediante el término relación trivial.

1.8.7. Otra relación de equivalencia sobre un conjunto es el mismo producto cartesiano , que en este caso se llama comúnmente relación grosera.


1.8.8. Puesto que una relación de equivalencia sobre un conjunto es reflexiva, tenemos



para todo . Además, es simétrica, de donde


.


Se tiene también que


.


Efectivamente, pues si , entonces y , y por simetría, , luego por transitividad . Otra cosa más es que


.


La razón es que si , entonces existe un tal que y o sea que y , y con esto , que como ya vimos significa que .

1.8.9. Otra forma de expresear este resultado es que


.


1.8.10. Sea una relación de equivalencia sobre un conjunto . El conjunto cociente de por la relación , que se representa por , se define por


.


Es decir, contiene todas las clases de equivalencia por la relación .


1.8.11. Puesto que cada uno de los elementos de está en alguna clase de equivalencia (pues por ejemplo si se tiene ), resulta que


,


o, para mayor claridad,


,


y como cualesquiera dos clases de equivalencia distintas de son disjuntas (véase 1.8.9), es una partición de (véase 1.5.6).


1.8.12. Sea una partición de un conjunto . Luego defínase la relación mediante



para algún . Puesto que


,


cada uno de los elementos de está contenido en algún conjunto de , por lo que para todo , y así es reflexiva. Claramente implica para todo , por lo que es simétrica. Además, si y , existen tales que y , y estos han de cumplir (pues si , ha de ser , lo que es contradictorio en vista de que y ), y entonces concluimos que . Esto hace que sea también transitiva, y entonces termina siendo esta una relación de equivalencia sobre inducida por la partición .


1.8.13. El resultado de 1.8.11 y el resultado de 1.8.12 se resumen en el enunciado siguiente:


Si es una relación de equivalencia sobre un conjunto , entonces el conjunto cociente es una partición de y, recíprocamente, si es una partición del conjunto , entonces existe una relación tal que .


1.8.14. Una relación sobre un conjunto reflexiva, antisimétrica y transitiva se dice relación de orden parcial (o simplemente un orden) sobre el conjunto , y el par se dice entonces un conjunto parcialmente ordenado, o simplemente que es un conjunto ordenado.


1.8.15. Aquí usaremos el símbolo



para representar un orden parcial cualquiera (diferente según el contexto) y no solo para el familiar orden sobre el conjunto de números reales.


En particular, la relación de inclusión sobre el conjunto potencia de un conjunto es una relación de orden parcial.

1.8.16. Se dice que es una relación de orden (parcial) estricto, o simplemente que es un orden estricto, sobre un conjunto , si es irreflexiva, antisimétrica y transitiva. Para representar ordenes estrictos, cualesquiera que sean estos, usaremos el símbolo


.


Un orden que no sea estricto será llamado simplemente orden no estricto.


1.8.17. Si es una relación de orden no estricto sobre un conjunto , entonces la relación



es claramente un orden estricto sobre . Por otro lado, si es una relación de orden estricto sobre , entonces



es una relación de orden no estricto sobre .


1.8.18. Sea un conjunto ordenado. Un elemento tal que para todo se dice elemento mínimo (o primer elemento) de . El elemento mínimo de un conjunto, si existe, es único. En efecto, pues si y fueran dos elementos mínimos de , por definición


,


y por antisimetría, .


1.8.19. Sea un conjunto ordenado. Un elemento tal que para todo se dice elemento máximo (o último elemento) de . También el elemento máximo de un conjunto, si existe, es único.


1.8.20. En un conjunto ordenado es posible que existan elementos que, pudiendo no ser un máximo o un mínimo de , tienen cierta distinción sobre otros elementos de por medio de el orden . Nos referimos a los minimales y los maximales. Un elemento es un minimal en si no existe ningún elemento en estrictamente menor que . (por medio del orden estricto dado por si y solo si y , por supuesto) ; un elemento se dice máximal de si no existe ningún elemento en estrictamente mayor que . Es posible que los minimales de un conjunto, si existen, sean más de uno. Lo mismo aplica para los maximales de un conjunto.


Notemos pues que un conjunto puede no contener ni mínimos (máximos) ni minimales (maximales), o bien, contener uno o más minimales (maximales) y ningún mínimo (máximo). Si un conjunto tiene mínimo (máximo), éste es a su vez el único minimal (maximal) del conjunto.


1.8.21. Sea un conjunto ordenado, y sea . Un elemento tal que para todo se dice cota inferior (o minorante) de . Por otro lado, un elemento tal que para todo se dice cota superior (o mayorante) de . Una cota inferior o superior de puede o no estar en . Además, si es el conjunto de cotas inferiores de , entonces solo puede ser vacío o ser un conjunto con un solo elemento. Si , entonces el único elemento de es claramente un mínimo de . Si contiene un elemento máximo, entonces este se dice ínfimo de , y lo representaremos por . Análogamente, si es el conjunto de todas las cotas superiores de , o contiene a lo más un elemento, el cual sería entonces un máximo de . Si tiene un mínimo, entonces este se dice supremo de , y lo representaremos por .


1.8.22. Un conjunto que tiene cotas inferiores se dice inferiormente acotado, mientras que un conjunto que tiene cotas superiores se dice superiormente acotado. Si un conjunto esta acotado inferior y superiormente, se dice simplemente que es acotado.


1.8.23. Sea un conjunto parcialmente ordenado. Si todo subconjunto de admite un minimal respecto de , se dice que es una relación de orden bien fundada sobre , o que es un orden bien fundado sobre . Dado ese caso, se dice que el par es bien fundado.


1.8.24. Un hecho apreciable a cerca de órdenes bien fundados es el siguiente:


Si es un conjunto parcialmente ordenado, entonces es bien fundado si y solo si no existe una secuencia infinita tal que .


En efecto, pues si no fuera un conjunto bien fundado, entonces, si , no es un minimal, y por lo tanto existe otro elemento tal que . Este argumento es claramente válido para cualquiera que sea el número natural , por lo que se concluye que si es no bien fundado, existe una secuencia infinita descendiente . Recíprocamente, si es un conjunto ordenado tal que existe una secuencia descendiente infinita , entonces, para cualquiera que sea el elemento , existe otro tal que , de modo que no es minimal de , y con ello es no bien fundado.


1.8.25. Una relación de orden que es conexa en , se dice relación de orden total, u orden total, sobre , y se dice que el par es un conjunto totalmente ordenado.


1.8.25. Un conjunto totalmente ordenado y bien fundado se dice conjunto bien ordenado, y su relación de orden se dice por tanto un buen orden. Supóngase que es un conjunto bien ordenado. Entonces es, en particular, bien fundado, por lo que todo subconjunto tiene por lo menos un minimal. Supóngase que y son dos minimales de . Puesto que es totalmente ordenado,


.


Cualquiera que sea el caso, debe de ser , pues si no, o , lo que no puede ser por que un minimal no tiene un elemento estrictamente menor que él (ni siquiera siendo este otro minimal). Vemos entonces que el elemento minimal es un mínimo de . Por conclusión, un conjunto ordenado es bien ordenado si todo subconjunto de tiene mínimo.


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