Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones

1.7.1. Sean $x$ e $y$ dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto $f$ del producto cartesiano $x\times y$ que cumpla

( F-1 ) para todo $a\in x$ existe $b\in y$ tal que $(a,b)\in f$ y

( F-2 ) $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ implica $b=c$,

se dice función de $x$ en $y$. Para indicar que $f$ es una función de un conjunto $x$ en otro $y$, es común escribir $f:x\longrightarrow y$.

1.7.2. Sean dos conjuntos $x$ e $y$, y sea $f:x\longrightarrow y$ una función de $x$ en $y$. Si $(a,b)\in f$ se dice que $a$ es antecedente de $b$ por medio de $f$, y que $b$ es imagen de $a$ por medio de $f$. Por definición, un elemento $a\in x$ no puede tener ni más ni menos que una sola imagen $b\in y$, que representaremos por $f(a)$ (de modo que $b=f(a)$ si y solo si $(a,b)\in f$). El conjunto $x$ se dice dominio de la función $f$, y se representa comúnmente por $\mathrm {dom} (f)$, mientras que el subconjunto $y'\subseteq y$ tal que para todo $b\in y'$ existe $a\in x$ tal que $b=f(a)$ (i.e. el subconjunto de $y$ que contiene solo las imágenes de los elementos de $x$ por medio de $f$) se dice rango de la función $f$, y se representa por $\mathrm {ran} (f)$.

1.7.3. Claramente dos funciones $f:x\longrightarrow y$ y $g:x\longrightarrow y$ son iguales si y solo si

$f(a)=g(a)$

para todo $a\in x$.

1.7.4. Tenemos también que si $x$ e $y$ son dos conjuntos, y si $f:x\longrightarrow y$ es cualquier función de $x$ en $y$, entonces $f\subseteq x\times y$, y así $f\in {\mathcal {P}}(x\times y)$. Luego, si $F$ es el conjunto de todas las funciones $f:x\longrightarrow y$, $F\subseteq {\mathcal {P}}(x\times y)$, de modo que $F\in {\mathcal {PP}}(x\times y)$.

1.7.5. Sea $y$ un conjunto cualquiera, y sea $f:\varnothing \longrightarrow y$. Claramente $f=\varnothing$.

1.7.6. Sea $x$ un conjunto. La función

$\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow {\mathcal {P}}(x)$,

que envía un elemento $i$ de $I$ con un subconjunto de $x$, se denomina familia de subconjuntos de $x$ indicada por $I$. El conjunto $I$ se denomina en este caso conjunto de índices (por lo que cada $i\in I$ se dice un índice), y la imagen de cualquier $i\in I$ por medio de esta función se representa por $x_{i}$.

Por ejemplo, considérese el conjunto

$x=\{a,b,c,d\}$,

y el conjunto de índices $I=\{m,n,o,p\}$. Existen varias familias de subconjuntos de $x$ indicadas por $I$. Una de estas puede ser la función

$\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow {\mathcal {P}}(x)$,

dada por

$x_{m}=\{a\},\quad x_{n}=\{a,b\},\quad x_{o}=\{a,b,c\},\quad x_{p}=\{a,b,c,d\}$.

Otra puede ser la que viene dada por

$x_{m}\{a\},\quad x_{n}=\{b\},\quad x_{o}=\{c\},\quad x_{p}=\{d\}$.

1.7.7. Sea la función $f:x\longrightarrow y$ de un conjunto $x$ en otro $y$; Si

(F-3) para cualesquiera $a\in x$ y $b\in x,\quad f(a)=f(b)$ implica $a=b$,

es decir, si cualesquiera distintos elementos de $x$ tienen distintas imágenes en $y$, se dice que $f$ es una función inyectiva o que es una inyección.

Si

(F-4) para todo $b\in y$ existe $a\in x$ tal que $b=f(a)$,

es decir, si $\mathrm {ran} (f)=y$ (i.e. si todo $b\in y$ es imagen), se dice que $f$ es una función sobreyectiva (o suprayectiva), que es una función de $x$ sobre $y$, o que es una sobreyección.

(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o biyección.

1.7.8. Sea $f:x\longrightarrow y$, y sea $x_{1}$ un subconjunto de $x$ (i.e. un elemento de ${\mathcal {P}}(x)$). El conjunto $f(x')\subseteq y$ dado por

$f\left[x_{1}\right]=\{b\in y\mid$ existe $a\in x_{1}$ tal que $b=f(a)\}$,

se dice imagen del subconjunto $x_{1}$ por $f$. Es decir, $f\left[x_{1}\right]$ es el conjunto de todos los $b\in y$ que son imagen de algún elemento de $x_{1}$. Así pues,

$f\left[x_{1}\right]\subseteq \mathrm {ran} (f)$

y, en particular,

$f\left[x\right]=\mathrm {ran} (f)$.

Nótese que, si $a\in x$, entonces

$f\left[\{a\}\right]=\{f(a)\}$

es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de $a$ por $f$.

1.7.9. Por otra parte, si $y_{1}\subseteq y$, entonces se define el conjunto $f^{-1}\left[y_{1}\right]$ por

$f^{-1}\left[y_{1}\right]=\{a\in x\mid f(a)\in y_{1}\}$,

y se llama a este conjunto imagen recíproca de $y_{1}$ por $f$. Así pues,

$f^{-1}\left[y_{1}\right]\subseteq x$.

Puesto que todo elemento de $x$ tiene una imagen en $y$, tenemos que, como caso particular,

$f^{-1}\left[y\right]=x$.

Sin embargo, debemos tener presente que, si bien $f\left[\{a\}\right]$, donde $a\in x$, siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto $f^{-1}\left[\{b\}\right]$ con $b\in y$ puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de $y$ tenga un antecedente en $x$. Sin embargo esto si esta garantizado cuando $f$ es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto

$f^{-1}\left[\{b\}\right]$

contiene cualquier elemento de $x$ cuya imagen sea $b$. Si $f$ es además inyectiva, entonces $f$ es biyectiva, de modo que $b$ es la imagen de solo un elemento $a$ de $x$, y así $f^{-1}\left[\{b\}\right]$ contiene solo a tal elemento $a$.

1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función $f:x\longrightarrow y$ y dos familias $\{x\}_{i\in I}$ e $\{y\}_{j\in J}$ de subconjuntos de $x$ e $y$ respectivamente. Convenimos también en que $x_{1}$, $x_{2}$ e $y_{1}$, $y_{2}$ representan, respectivamente, subconjuntos de $x$ y subconjuntos de $y$.

Tenemos que

(a) $x_{1}\subseteq x_{2}$ implica $f\left[x_{1}\right]\subseteq f\left[x_{2}\right]$.

Demostración: Sea pues $x_{1}\subseteq x_{2}$. Si $b\in f\left[x_{1}\right]$, entonces, por definición (véase ¿?), existe $a\in x_{1}$ tal que $b=f(a)$, pero en tal caso $a\in x_{2}$, pues $x_{1}\subseteq x_{2}$, de modo que $b\in f\left[x_{2}\right]$. QED

(b) $y_{1}\subseteq y_{2}$ implica $f^{-1}\left[y_{1}\right]\subseteq f^{-1}\left[y_{2}\right]$.

Demosracón: Si $a\in f^{-1}\left[y_{1}\right]$, entonces $f(a)\in y_{1}$, puesto que $y_{1}\subseteq y_{2}$, se tiene $f(a)\in y_{2}$, luego $a\in f^{-1}\left[y_{2}\right]$, y así $f^{-1}\left[y_{1}\right]\subseteq f^{-1}\left[y_{2}\right]$. QED

(c) $x_{1}\subseteq f^{-1}\left[f\left[x_{1}\right]\right]$.

Demostración: Sea $a\in x_{1}$. La imagen de $a$ por $f$, $f(a)$, está en el conjunto $f\left[x_{1}\right]$, y así $a\in f^{-1}\left[f\left[x_{1}\right]\right]$. QED

Si, en particular, la función $f$ es inyectiva, entonces

(d) $x_{1}=f^{-1}\left[f\left[x_{1}\right]\right]$.

(e) $f\left[f^{-1}\left[y_{1}\right]\right]\subseteq y_{1}$.

Demostración: Si $b\in f\left[f^{-1}\left[y_{1}\right]\right]$, entonces $b$ es la imagen de algún $a\in f^{-1}\left[y_{1}\right]$, y así $b\in y_{1}$. QED

Si, en particular, $f$ es sobreyectiva, entonces

(f) $f\left[f^{-1}\left[y_{1}\right]\right]=y_{1}$.

(g) $y_{1}\subseteq f\left[x_{1}\right]$ implica $f\left[f^{-1}\left[y_{1}\right]\right]=y_{1}$.

Demostración: En vista de (d), solo queda demostrar que, si $y_{1}\subseteq f\left[x_{1}\right]$, entonces $y_{1}\subseteq f\left[f^{-1}\left[y_{1}\right]\right]$. Esto es fácil considerando que $f\left[x_{1}\right]$ solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para $y_{1}$, de modo que si $f(a)\in y_{1}$, $a\in f^{-1}\left[y_{1}\right]$, luego $f(a)\in f\left[f^{-1}\left[y_{1}\right]\right]$, con lo que la prueba termina. QED

(h)] $f^{-1}\left[{\mathcal {C}}_{y}y_{1}\right]={\mathcal {C}}_{x}f^{-1}\left[y_{1}\right]$.

Demostración: Sea $a\in f^{-1}\left[{\mathcal {C}}_{y}y_{1}\right]$. Así, existe $b\in {\mathcal {C}}_{y}y_{1}$ tal que $b=f(a)$, pero en ese caso $b\notin y_{1}$, de modo que $a\notin f^{-1}\left[y_{1}\right]$, y con esto $a\in {\mathcal {C}}_{x}f^{-1}\left[y_{1}\right]$. Solo falta demostrar que ${\mathcal {C}}_{x}f^{-1}\left[y_{1}\right]\subseteq f^{-1}\left[{\mathcal {C}}_{y}y_{1}\right]$, lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED

Si, en particular, $f$ es inyectiva, se cumple

(i) $f\left[{\mathcal {C}}_{x}x_{1}\right]\subseteq {\mathcal {C}}_{y}f\left[x_{1}\right]$.

Demostración: Sea $b\in f\left[{\mathcal {C}}_{x}x_{1}\right]$. Entonces, puesto que $f$ es inyectiva, existe un único $a\in {\mathcal {C}}_{x}x_{1}$ tal que $b=f(a)$. Luego, $a\notin x_{1}$, de modo que $b\notin f\left[x_{1}\right]$, y así $b\in {\mathcal {C}}_{y}f\left[x_{1}\right]$. QED

Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función $f$ a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si $f$ no es inyectiva, puede ser $a\notin x_{1}$, pero esto no es suficiente para garantizar que $f(a)\notin f\left[x_{1}\right]$, por que al no ser $f$ inyectiva, podría existir un $c\in x_{1}$ tal que $f(a)=f(c)$, caso en el cual la imagen de $a$ está en $f\left[x_{1}\right]$ por que es la misma imagen de un elemento que si esta en $x_{1}$.

Si, en particular, la función $f$ es sobreyectiva, tenemos

(j) ${\mathcal {C}}_{y}f\left[x_{1}\right]\subseteq f\left[{\mathcal {C}}_{x}x_{1}\right]$.

Demostración: Si $b\in {\mathcal {C}}_{y}f\left[x_{1}\right]$, tenemos que $b\notin f\left[x_{1}\right]$ , por lo que $b$ no tiene ningún antecedente en $x_{1}$. Notemos que, por ser $f$ una sobreyección, $b$ tiene por lo menos un antecedente en $x$. Sea $a$ cualquiera de estos antecedentes de $b$, es decir, sea $b=f(a)$. Tenemos que $a\in {\mathcal {C}}_{x}x_{1}$, por lo que $b\in f\left[{\mathcal {C}}_{x}x_{1}\right]$, lo que demuestra lo que se quería. QED

Si la función $f$ es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente

(k) $f\left[{\mathcal {C}}_{x}x_{1}\right]={\mathcal {C}}_{y}f\left[x_{1}\right]$.

1.7.11. Sea $\{x\}_{i\in I}$ una familia de subconjuntos de un conjunto $x$. Es común llamar simplemente unión de $\{x\}_{i\in I}$ a la unión de los conjuntos del rango de $\{x\}_{i\in I}$, que se representa por $\bigcup _{i\in I}x_{i}$ y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por

$\bigcup _{i\in I}x_{i}=\{a\mid \ \mathrm {existe} \ i\in I\ \mathrm {tal} \ \mathrm {que} \ a\in x_{i}\}$.

1.7.12. Sea una función $f:x\longrightarrow y$. Se cumplen:

(a) $f\left[\bigcup _{i\in I}x_{i}\right]=\bigcup _{i\in I}f[x_{i}]$.

Demostración: Si $b\in f\left[\bigcup _{i\in I}x_{i}\right]$, entonces existe al menos un $a\in \bigcup _{i\in I}x_{i}$ tal que $f(a)=b$, y de esta manera $a\in x_{i}$, y con ello $b\in f\left[x_{i}\right]$, para almenos un $i\in I$. Así, $b\in \bigcup _{x\in I}f\left[x_{i}\right]$, lo que demuestra $f\left[\bigcup _{i\in I}x_{i}\right]\subseteq \bigcup _{i\in I}f\left[x_{i}\right]$. Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que $\bigcup _{i\in I}f\left[x_{i}\right]\subseteq f\left[\bigcup _{i\in I}x_{i}\right]$ se deja como ejercicio para el lector. QED

(b) $f^{-1}\left[\bigcup _{i\in I}y_{i}\right]=\bigcup _{i\in I}f^{-1}[y_{i}]$.

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

1.7.13. Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia $\{x\}_{i\in I}$, que se representa por $\bigcap _{i\in I}x_{i}$, se dice simplemente intersección de $\{x\}_{i\in I}$. Así pues (véase 1.3.5),

$\bigcap _{i\in I}x_{i}=\{a\mid \mathrm {para} \ \mathrm {todo} \ i\in I,\quad a\in x_{i}\}$.

1.7.14. Sea una función $f:x\longrightarrow y$. Se cumplen

(a) $f\left[\bigcap _{i\in I}x_{i}\right]\subseteq \bigcap _{i\in I}f\left[x_{i}\right]$.

Demostración: Sea $b\in f\left[\bigcap _{i\in I}x_{i}\right]$. Entonces existe $a\in \bigcap _{i\in I}x_{i}$ tal que $f(a)=b$, con $a\in x_{i}$ para todo índice $i\in I$. Por esta razón, $b\in f\left[x_{i}\right]$ para todo $i\in I$, con lo que $b\in \bigcap _{i\in I}f\left[x_{i}\right]$. QED

(b) $f^{-1}\left[\bigcap _{i\in I}y_{i}\right]=\bigcap _{i\in I}f^{-1}\left[y_{i}\right]$.

Demostración: Si $a\in f^{-1}\left[\bigcap _{i\in I}y_{i}\right]$, $a$ es el antecedente de un único $b\in \bigcap _{i\in I}y_{i}$, es decir, $b=f(a)$. Pero si $b\in \bigcap _{i\in I}y_{i}$, entonces $b\in y_{i}$ para todo índice $i\in I$. Así $a\in f^{-1}\left[y_{i}\right]$ para todo $i\in I$, luego $a\in \bigcap _{i\in I}f^{-1}\left[y_{i}\right]$. Esto demuestra que $f^{-1}\left[\bigcap _{i\in I}y_{i}\right]\subseteq \bigcap _{i\in I}f^{-1}\left[y_{i}\right]$. Demostrar que $\bigcap _{i\in I}f^{-1}\left[y_{i}\right]\subseteq f^{-1}\left[\bigcap _{i\in I}y_{i}\right]$ se deja como ejercicio al lector. QED

Si la función $f$ es además inyectiva, se cumple

(c) $f\left[\bigcap _{i\in I}x_{i}\right]=\bigcap _{i\in I}f\left[x_{i}\right]$.

Demostración: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que $f$ sea inyectiva, $\bigcap _{i\in I}f\left[x_{i}\right]\subseteq f\left[\bigcap _{i\in I}x_{i}\right]$. Para esto, sea $b\in \bigcap _{i\in I}f\left[x_{i}\right]$, de manera que $b\in f\left[x_{i}\right]$ para todo índice $i\in I$. Puesto que $f$ es inyectiva, $b$ no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser $b\in f\left[x_{i}\right]$ para todo índice $i\in I$, cumple con $a\in x_{i}$ para todo $i\in I$, con lo que $a\in \bigcap _{i\in I}x_{i}$. Así $b\in f\left[\bigcap _{i\in I}x_{i}\right]$, lo que demuestra lo que se quería. QED

Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función $f$ sea inyectiva. La razón es que un elemento $a$ puede no estar en $x_{i}$ para todo $i\in I$, y sin embargo, puede que su imagen $b=f(a)$ si esté en todos los conjuntos $f\left[x_{i}\right]$ debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos $x_{i}$ que no tienen a $a$. Por ejemplo, supóngase $a$, cuya imagen es $b$, no está en $x_{i}$ para algún $i\in I$, pero que este conjunto $x_{i}$ contiene otro elemento $c$ cuya imagen es también $b$, de tal manera que $b\in f\left[x_{i}\right]$ para cualquiera que sea el índice $i\in I$ sin necesidad de que $a\in x_{i}$ para todo $i\in I$. En ese caso (cuando $f$ es no inyectiva) tenemos

$f\left[\bigcap _{i\in I}x_{i}\right]\subset \bigcap _{i\in I}f\left[x_{i}\right]$.

1.7.15. La función $\mathrm {id} _{x}:x\longrightarrow x$ dada por

$\mathrm {id} _{x}(a)=a$

para todo $a\in x$, y que por tanto envía cada elemento de $x$ consigo mismo, se llama función identidad.

Es claro que, siendo $f:x\longrightarrow y$,

$\mathrm {id} _{x}\circ f=f$ y $f\circ \mathrm {id} _{y}=f$.

Si $f:x\longrightarrow x$, esto se reduce a

$f\circ \mathrm {id} _{x}=\mathrm {id} _{x}\circ f=f$.

1.7.16. Sean $x$ e $y$ dos conjuntos y considérese una función $f:x\longrightarrow y$. Sea $x'$ un subconjunto de $x$. La función $f|_{x'}:x'\longrightarrow y$ dada por

$f|_{x'}(a)=f(a)$,

se dice restricción de $f$ a $x'$. Esto es,

$f|_{x'}=f\cap (x'\times y)$,

por lo que la restricción de $f$ a $x'$ es una función que resulta de 'recortar' el dominio de $f$. Es claro que $f|_{x'}\subseteq f$.

1.7.17. Sea $x$ un conjunto y $x_{1}$ un subconjunto de $x$. La aplicación

$i:x_{1}\longrightarrow x$

dada por

$i(a)=a$,

e.i. la restricción $\mathrm {id} _{x}|_{x_{1}}$, se llama inyección canónica de $x_{1}$ en x.

1.7.18. Sea $f:x\longrightarrow y$ una aplicación de un conjunto $x$ en otro $y$, y sea $g:y\longrightarrow z$ una aplicación de $y$ en un conjunto $z$. La aplicación

$f\circ g:x\longrightarrow z$

dada por

$(f\circ g)(x)=g(f(x))$

se dice composición de $f$ y $g$. Esto es, $f\circ g$ resulta de aplicar $f$ seguida de $g$, por lo que si $f$ envía un elemento $a\in x$ con un elemento $b\in y$ y $g$ envía a $b\in y$ con un elemento $c\in z$, entonces $f\circ g$ envía directamente el elemento $a\in x$ con el elemento $c\in z$ (Refiérase a la figura de abajo).

$f\circ g$

1.7.19. Sean las funciones $f:x\longrightarrow y$, $g:y\longrightarrow z$ y $h:z\longrightarrow v$. Tenemos que $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. Para convencernos de ello es suficiente ver que

$(f\circ (g\circ h))(a)=h(g(f(a)))$

y que

$((f\circ g)\circ h)(a)=h(g(f(a)))$.

1.7.20 Si $f:x\longrightarrow y$ es una función biyectiva, puede definirse la función $f^{-1}$, llamada función inversa de $f$, por

$(b,a)\in f^{-1}$ si y solo si $(a,b)\in f$.

Es decir,

$f^{-1}(b)=a$ si y solo si $f(a)=b$.

1.7.21 Es inmediato que

$(f^{-1})^{-1}=f$.

1.7.22. Además, se observa que

$(f\circ f^{-1})(a)=f^{-1}(f(a))=a$

y

$(f^{-1}\circ f)(b)=f(f^{-1}(b))=b$,

por lo que

$f\circ f^{-1}=\mathrm {id} _{x}$ y $f^{-1}\circ f=\mathrm {id} _{y}$.

Si $f:x\longrightarrow x$, esto se simplifica a

$f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\mathrm {id} _{x}$.

1.7.23. Nótese también que, siendo $f:x\longrightarrow y$,

$f^{-1}\circ \mathrm {id} _{x}=f^{-1}\quad \mathrm {y} \quad \mathrm {id} _{y}\circ f^{-1}$.

1.7.24. Es claro que $f^{-1}$ existe cuando $f$ es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que $f_{1}^{-1}$ y $f_{2}^{-1}$ son dos funciones inversas de una función $f:x\longrightarrow y$. Entonces

$f_{1}^{-1}\circ (f\circ f_{2}^{-1})=f_{1}^{-1}\circ \mathrm {id} _{x}=f_{1}^{-1}$,

y

$(f_{1}^{-1}\circ f)\circ f_{2}^{-1}=\mathrm {id} _{y}\circ f_{2}^{-1}=f_{2}^{-1}$,

y por tanto $f_{1}^{-1}=f_{2}^{-1}$.

1.7.25. Sean las funciones $f:x\longrightarrow y$ y $g:y\longrightarrow z$. Entonces

$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$.

En efecto, pues $(f\circ g)^{-1}$ es función inversa de $f\circ g$, y

$g^{-1}\circ f^{-1}\circ (f\circ g)=g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g$

                                  $=g^{-1}\circ \mathrm {id} _{y}\circ g$
                                  $=(g^{-1}\circ \mathrm {id} _{y})\circ g$
                                  $=g^{-1}\circ g$
                                  $=\mathrm {id} _{y},$

con lo que $g^{-1}\circ f^{-1}$ es también función inversa de $f\circ g$, y así $g^{-1}\circ f^{-1}$ y $(f\circ g)^{-1}$ han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ es el argumento siguiente: Sea $(c,a)\in (f\circ g)^{-1}$. Se sigue que $(a,c)\in (f\circ g)$, y de esto que $c=g(b)$ para un $b\in y$ tal que $b=f(a)$, o sea que $(b,c)\in g$ y $(a,b)\in f$, de modo que $(c,b)\in g^{-1}$ y $(b,a)\in f^{-1}$, y por tanto $(c,a)\in g^{-1}\circ f^{-1}$. Esto prueba que $(f\circ g)^{-1}\subseteq g^{-1}\circ f^{-1}$, y probar que $g^{-1}\circ f^{-1}\subseteq (f\circ g)^{-1}$ resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.

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