Matemáticas/Lógica/Texto completo

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Sección 1: Introducción[editar]

Definición breve[editar]

La lógica es la ciencia que expone las leyes, formas y modos del conocimiento científico. Es una ciencia formal que no tiene contenido, sino que se dedica al estudio de las formas válidas de inferencia, o sea que trata del estudio de los métodos y los principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.

Aristóteles[editar]

La raíz etimologica de la palabra nos remonta al latín logĭca, que a su vez proviene del término griego logikós (de logos, “razón” o “estudio”). Uno de los primeros en utilizar el término fue el filósofo griego Aristóteles, considerado el fundador de la lógica formal. Lo hizo para referirse al estudio de los argumentos los cuales consideró como manifestadores de la verdad en la ciencia, además de plantear al silogismo como el argumento que se considera totalmente válido.


Como contrapartida podemos considerar la lógica informal como el estudio metódico de los argumentos probables desde la retórica, la oratoria y la filosofía, entre otras ciencias, especializándose en la identificación de falacias y paradojas, y en la construcción correcta de los discursos.

Otras lógicas[editar]

  • La lógica natural considerada como la disposición natural para discurrir con acierto sin el auxilio de la ciencia.
  • La lógica borrosa o difusa, en cambio, es la que admite una cierta incertidumbre entre la verdad o falsedad de sus proposiciones, a semejanza del raciocinio humano.
  • La lógica matemática es aquella que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y realizando una abstracción de los contenidos.
  • Además, existen otros tipos o clases de lógica, como la lógica binaria, que trabaja con variables que sólo toman dos valores discretos.

Sección 2: Definiciones[editar]

Conjunto[editar]

Llamamos conjunto a una colección de objetos y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto.

Universo[editar]

Llamaremos Universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.

Determinación de un conjunto[editar]

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. Así los elementos del universo que sí posean los atributos requeridos forman el conjunto.

Notación[editar]

Generalmente usaremos letras mayúsculas para representar conjuntos; la letra U representa el universo. A los elementos que forman el conjunto los anotaremos con letras minúsculas.

Descripción[editar]

Un conjunto está descripto por extensión o enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos y está descripto por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una frase que los describa.

Conjunto universal[editar]

Conjunto universal o Universo es el conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer.

Igualdad de conjuntos[editar]

Sean A, B dos conjuntos cualesquiera, diremos que A = B si y solo si A ⊂ B y B ⊃ A.

Subconjuntos[editar]

Sea A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B, que escribiremos A ⊂ B si y solo si A esta incluido en B, y A es diferente de B, o sea si para toda x que pertenece a A se tiene que x también pertenece a B, y existen elementos y que sólo pertenecen a B.
Es decir que todos los elementos de A lo son también de B.

Si A no es subconjunto de B lo anotaremos A -⊂B. La proposición x ∈ D , p(x) q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q donde P es el conjunto solución de p(x) y Q es el conjunto solución de q(x).

(no encontré el formato de negar la inclusión y coloqué -⊂)

Negación[editar]

Sea p una proposición, entonces "no p" que escribiremos – p, es la proposición negativa o negación de P. -p es una proposición falsa si p es una proposición verdadera, y viceversa.

Universal y Complementario[editar]

Si consideramos a U como el conjunto universal y A ⊂ U, definimos el complemento de A, que anotaremos como AC o A' : AC = A' ={ x / x ∈ U x ∉ A }


Es decir, son todos los elementos del universo que no pertenecer al conjunto A.

Correspondencia[editar]

Diremos que hay una correspondencia biunívoca ( o uno a uno) entre los conjuntos A y B si y sólo si cada elemento del conjunto A está relacionado con uno y sólo un elemento del conjunto B. Cuando a cada elemento de un conjunto A le corresponde uno y sólo uno del conjunto B, y reciprocamente, a cada elemento del conjunto B le corresponde uno y sólo uno del conjunto A, se dice que dicho conjuntos son coordinables. Llamaremos una sección del conjunto de los números naturales que denotaremos por Sn al conjunto de los primeros n números naturales esto es

Sn = { 1 , 2 , 3 , … , n } ⊂ N Si existe una correspondencia uno a uno entre un conjunto A y una sección Sn de los naturales, diremos que n es la cardinalidad del conjunto y lo anotaremos por #(A) = n Diremos que la cardinalidad del conjunto vacío es cero; o sea:

  1. ( Ø ) = 0 ; # {} = 0

Diremos que un conjunto A es finito si existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto A y una sección de los naturales Sn . Dos conjuntos A y B serán conjuntos disjuntos o ajenos si y solo si su intersección es el conjunto vacío, ( Ø ) o sea que no tienen elementos en común.

El conjunto potencia de un conjunto cualquiera A, P(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Si A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.

Otro símbolo para usar[editar]

Sección 3: Proposición[editar]

Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición.

Proposiciones abiertas[editar]

Existen algunas afirmaciones de las cuales no podemos decir inicialmente si son falsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable; se les llaman proposiciones abiertas, son expresiones que contienen una variable y que al ser sustituidas dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición, pero sin alterar el orden. La proposición abierta es una expresión que tiene significado pero contiene por lo menos un término variable o indeterminado.

Dominio de la variable[editar]

El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).

Proposición conjuntiva[editar]

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción (), la llamaremos proposición conjuntiva; p q, teniendo un valor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p q es falsa.


Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea, los elementos que tienen en común:

A ∩ B = { x / x ∈ A x ∈ B }
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) () q(x) es P ∩ Q.
El conjunto vacío que anotaremos Ø es el conjunto que no tiene elementos.
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x ∈ A x ∉ A }
Tabla de la verdad

p q p q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Proposición disyuntiva[editar]

Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra "o" se utiliza el símbolo , llamado conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción (), la llamaremos proposición disyuntiva p q. p q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p q es verdadera.

Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A ∪ B = { x / x ∈ A x ∈ B }

Un elemento del resultado puede pertenecer a uno solo de los dos conjuntos o a los dos conjuntos dados, pero en este caso dicho elemento se considera una sola vez. Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de p(x) q(x) es P ∪ Q.

Implicación o Condicional[editar]

Para indicar que dos proposiciones están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo condicional, le llamaremos proposición condicional. p q tendrá un valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p q es verdadero. Entonces la implicacion resulta de que ambos tienen que ser iguales para que sea verdadero, de lo contrario seria falso....

Bicondicional, doble implicación[editar]

A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo bicondicional (), la llamaremos proposición bicondicional.
Recordemos que p q significa ( p q ) ( q p ) Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p q es verdadera.
Y si p y q tienen valor de verdad opuestos, entonces p q es falsa.

La proposición x, p(x) q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q y Q ⊂ P

Sección 4: Cuantificador[editar]

Los cuantificadores señalan el número de elementos del dominio cumplen la proposición,

Para todo[editar]

Se usa el símbolo llamado cuantificador universal, para reemplazar la frase para todo, dicho símbolo expresará que la proposición debe ser verdadera para todos los valores de la variable:

Para todo x de D se cumple p(x).

  • Que significa que la proposición p(x) debe ser verdadera para toda x en su dominio.
  • Esta expresión es a su vez una nueva proposición por lo cual debe poseer un valor de verdad.
  • Esta proposición será falsa si al menos un elemento x del dominio hace que p(x) sea falsa.
  • A pesar de que en la proposición interviene la variable x, esta proposición no es abierta.

Existe[editar]

El cuantificador de existencia, representado: , con el significado exise, la proposición a de ser verdadera cuando menos en un caso:

Existe x de D que cumple p(x).

  • Que significa que la proposición p(x) es verdadera cuandomenos para un valor de x del dominio.
  • Esta proposición será falsa si para ningun elemento x del dominio se cumple p(x).

Existe un unico[editar]

Existe un unico, representado: , que significa existe un unico, la proposición ha de ser cierta para un unico caso de la variable:

Existe un unico x de D que cumple p(x).

  • Esta proposición solo es cierta si uno y solo un x cumple la proposición.

(este artículo será ampliado en breve )

Sección 5: Operaciones[editar]

Diferencia[editar]

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, definimos el conjunto diferencia A-B a todos los elementos x que pertenecen al primer conjunto (A) y que no pertenecen al segundo conjunto. (B)

A - B = { x / x ∈ A x ∉ B } ( en breve se ampliará el artículo )

Sección 6: Tablas de la verdad[editar]

Equivalencia de tablas de verdad.
Dos proposiciones son equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Usaremos el símbolo de tres líneas horizontales paralelas ( ≡ ) para anotar equivalencia.

Tautología.
Una proposición será llamada una tautología si para cualquier valor de sus componentes, su valor de verdad siempre es verdadero.

Contradicción.
Una proposición será llamada una contradicción si para cualquier valor de sus componentes, su valor de verdad siempre es falso.

Sección 7: Historia[editar]

La evolución de la lógica está ligada a la evolución intelectual del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento se puede afirmar que su historia representa la historia misma del hombre. La lógica surge desde el momento en que el hombre al enfrentarse a la naturaleza empieza a observar, experimentar, deduce y razona.

El objetivo de la lógica matemática es cuestionar los conceptos y las reglas de deducción que son utilizadas en las matemáticas y esto constituye a la lógica una verdadera matemática.
Durante el periodo 600 AC hasta 300 AC se desarrollaron en Grecia los principios formales de las matemáticas, a este periodo se le llamo periodo clásico en donde sus principales representantes son: Platón que el introdujo sus ideas y abstracciones; Aristóteles que presento el razonamiento ductivo y sistemático y Euclides que fue el que tuvo mayor influencia ya que este estableció el método axiomático.

Tiempos Modernos[editar]

La Lógica Matemática se desarrolla a partir del siglo XIX con los trabajos de George Boole (1815-1868), Auguste de Morgan(1806--1871) y Lewis Carroll(1832-1898). A inicios del siglo XX, los trabajos de David Hilbert (1862-1943) y Bertrand Russell (1872--1970) dieron un gran impuso al estudio de la Lógica Matemática. Posteriormente, los trabajos de Alan Turing (1912--1954) unieron la Lógica con las Computadoras. El desarrollo de la Informática ha esta desde entonces muy ligado a la Lógica Matemática, especialmente con referencia a la Inteligencia Artificial:

Detalles biográficos en Mc_Tutor_Universidad_de_San_Andrés

Sección 8: Expresión Lógica[editar]

Expresión lógica[editar]

Definición 1 --Una expresión lógica es una tautología si es verdad para todas las asignaciones posibles.

Definición 2--Una expresión lógica es una contradicción si es falsa para todas las asignaciones posibles.

Definición 3--Una expresión lógica que no sea ni una tautología ni una contradicción se denomina contingencia (casualidad/eventualidad).

Sección 9: Leyes[editar]

Tabla de leyes[editar]

Leyes Nombre
p∨-p≡V Ley de medio Excluido
p∧-p≡F Ley de Contradicción
p∨F≡p Leyes de Indentidad
p∧V≡p Leyes de Indentidad
p∨V≡V Leyes de Dominación
p∧F≡F Leyes de Dominación
p∨p≡p Leyes de Idempotencia
p∧p≡p Leyes de Idempotencia
p∨q≡q∨p Leyes Conmutativas
p∧q≡q∧p Leyes Conmutativas
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r) Leyes Asociativas
(p∧q)∧r≡p∧(q∧r) Leyes Asociativas
(p∨q)∧(p∨r)≡p∨(q∧r) Leyes Distributivas
(p∧q)∨(p∧r)≡p∧(q∨r) Leyes Distributivas
-(p∧q)≡-p∨-q Leyes de DeMorgan
-(p∨q)≡-p∧-q Leyes de DeMorgan
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Sección 10: Pensamiento lógico[editar]

El pensamiento lógico es aquel que se desprende de las relaciones entre los objetos y procede de la propia elaboración del individuo. Surge a través de la coordinación de las relaciones que previamente ha creado entre los objetos.

Pensamiento lógico[editar]

Es importante tener en cuenta que las diferencias y semejanzas entre los objetos sólo existen en la mente de aquel que puede crearlas. Por eso el conocimiento lógico no puede enseñarse de forma directa. En cambio, se desarrolla mientras el sujeto interactúa con el medio ambiente.

Pedagogía[editar]

La pedagogía señala que los maestros deben propiciar experiencias, actividades, juegos y proyectos que permitan a los niños desarrollar su pensamiento lógico mediante la observación, la exploración, la comparación y la clasificación de los objetos.

Cabe destacar que la lógica es la ciencia que expone las leyes, los modos y las formas del conocimiento científico. Según su etimología, el concepto de lógica deriva del latín logĭca, que a su vez proviene del término griego logikós (de logos, “razón” o “estudio”).

Es una ciencia formal que no tiene contenido, ya que se dedica al estudio de las formas válidas de inferencia. Por lo tanto, la lógica se encarga del estudio de los métodos y los principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.

Utilidades[editar]

En este sentido, el pensamiento lógico sirve para analizar, argumentar, razonar, justificar o probar razonamientos. Se caracteriza por ser preciso y exacto, basándose en datos probables o en hechos. El pensamiento lógico es analítico (divide los razonamientos en partes) y racional, sigue reglas y es secuencial (lineal, va paso a paso)

Sección 11: Filosofía[editar]

La reflexión metódica que refleja la articulación del conocimiento y los límites de la existencia y de los modos de ser se denomina filosofía. El término, de origen griego, se compone de dos vocablos: philos (“amor”) y sophia (“pensamiento, sabiduría, conocimiento”). Por lo tanto, la filosofía es el “amor por el conocimiento”.

Filosofía[editar]

El filósofo, por su parte, es un individuo que busca el saber por el saber mismo, sin un fin pragmático. Se mueve por la curiosidad e indaga acerca de los últimos fundamentos de la realidad. Más allá del desarrollo de la filosofía como disciplina, el acto de filosofar es intrínseco a la condición humana. No es un saber concreto, sino una actitud natural del hombre en relación al universo y a su propio ser.

Al igual que la religión, la filosofía se centra en las cuestiones últimas de la existencia humana. En cambio, a diferencia de la religión, no se basa en una revelación divina o en la fe, sino que lo hace en la razón. De esta forma, la filosofía puede ser definida como el análisis racional del sentido de la existencia humana, tanto individual como colectiva, fundado en la comprensión del ser. Pese a ciertas semejanzas con la ciencia, la filosofía se distancia de ésta ya que muchas de sus preguntas no pueden ser respondidas mediante el empirismo experimental.

Ramas[editar]

La filosofía puede dividirse en diversas ramas. La filosofía del ser, por ejemplo, abarca a la metafísica, la ontología y la cosmología, entre otras disciplinas. La filosofía del conocimiento incluye a la lógica y la epistemología, mientras que la filosofía del obrar se relaciona con cuestiones como la ética.

Sección 12: Método[editar]

Método es una palabra que proviene del término griego methodos (“camino” o “vía”) y que se refiere al medio utilizado para llegar a un fin. Su significado original señala el camino que conduce a un lugar.

La palabra método puede referirse a diversos conceptos. Por ejemplo, a los métodos de clasificación científica. Esta es la disciplina mediante la cual los biólogos agrupan y categorizan a los organismos y a sus conjuntos.

Método científico[editar]

El método científico, por su parte, es el conjunto de pasos seguidos por una ciencia para alcanzar conocimientos válidos que puedan ser verificados por instrumentos confiables. Podría decirse que el método científico es el conjunto de pasos que permite que el investigador deje a un costado su propia subjetividad.

Según el filósofo inglés Francis Bacon, las distintas etapas del método científico son la observación (para estudiar con atención un fenómeno tal como se presenta en realidad), la inducción (a partir de determinadas observaciones, se extrae el principio particular de cada una de ellas), la hipótesis (se plantea mediante la observación y siguiendo las normas establecidas por el método científico), la prueba de la hipótesis mediante la experimentación, la demostración o refutación de la hipótesis y el establecimiento de la tesis o teoría científica (las conclusiones).

Otros métodos[editar]

Otro método conocido es el hipotético deductivo, que es una descripción del método científico. Este sistema estipula que las teorías científicas nunca pueden reputarse como verdaderas, sino como no refutadas.

El término método también se utiliza en el concepto de métodos anticonceptivos, que es la metodología que impide o reduce la posibilidad de que ocurra el embarazo al mantener relaciones sexuales. A través de acciones, dispositivos o medicamentos, permite controlar la natalidad.

Sección 13: Teoría[editar]

La palabra teoría proviene del griego theorein (“observar”). El término solía utilizarse dentro del contexto de la observación de una obra teatral, lo que puede explicar porque hoy en día el concepto de teoría permite referirse a algo provisional o que no es completamente real.

Teoría[editar]

De todas formas, la evolución histórica del término le otorgó un sentido más intelectual y comenzó a aplicarse a la capacidad para entender la realidad más allá de la experiencia sensible, a través de la comprensión de estas experiencias y su expresión mediante el lenguaje.

En la actualidad, una teoría es un sistema lógico compuesto por observaciones, axiomas y postulados, cuya función es afirmar bajo qué condiciones se desarrollarán ciertos supuestos. Para esto, se toma como contexto una explicación del medio idóneo para que se desarrollen las predicciones. A partir de estas teorías, es posible deducir o postular otros hechos mediante ciertas reglas y razonamientos.

Teoría científica[editar]

Una teoría científica, por su parte, es el planteamiento de un sistema abstracto hipotético-deductivo, que conforma una descripción científica de un conjunto de observaciones o experimentos. La teoría científica se basa en hipótesis o supuestos verificados por científicos.

Categorías[editar]

Existen dos categorías de ideas que pueden desarrollarse hasta generar una teoría: las conjeturas (suposiciones que no son respaldadas por observaciones) y las hipótesis (que sí están respaldadas). Estas ideas pueden resultar falsas, por lo que no evolucionan y no se convierten en teorías.

Por otra parte, cabe mencionar que una teoría es diferente a un teorema. Mientras que la teoría es un modelo de eventos físicos que no puede ser probado a partir de axiomas básicos, el teorema es una proposición de un hecho matemático que sigue lógicamente a un conjunto de axiomas.