Matemáticas/Lógica/Definiciones

Conjunto

Llamamos conjunto a una colección de objetos y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto.

Universo

Llamaremos Universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.

Determinación de un conjunto

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. Así los elementos del universo que sí posean los atributos requeridos forman el conjunto.

Notación

Generalmente usaremos letras mayúsculas para representar conjuntos; la letra U representa el universo. A los elementos que forman el conjunto los anotaremos con letras minúsculas.

Descripción

Un conjunto está descripto por extensión o enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos y está descripto por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una frase que los describa.

Conjunto universal

Conjunto universal o Universo es el conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer.

Igualdad de conjuntos

Sean A, B dos conjuntos cualesquiera, diremos que A = B si y solo si A ⊂ B y B ⊃ A.

Subconjuntos

Sea A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B, que escribiremos A ⊂ B si y solo si A esta incluido en B, y A es diferente de B, o sea si para toda x que pertenece a A se tiene que x también pertenece a B, y existen elementos y que sólo pertenecen a B.
Es decir que todos los elementos de A lo son también de B.

Si A no es subconjunto de B lo anotaremos A -⊂B. La proposición $\forall \,$ x ∈ D , p(x) $\Rightarrow$ q(x) es verdadera si y solo si P ⊂ Q donde P es el conjunto solución de p(x) y Q es el conjunto solución de q(x).

(no encontré el formato de negar la inclusión y coloqué -⊂)

Negación

Sea p una proposición, entonces "no p" que escribiremos – p, es la proposición negativa o negación de P. -p es una proposición falsa si p es una proposición verdadera, y viceversa.

Universal y Complementario

Si consideramos a U como el conjunto universal y A ⊂ U, definimos el complemento de A, que anotaremos como A^C o A' : A^C = A' ={ x / x ∈ U $\land$ x ∉ A }

Es decir, son todos los elementos del universo que no pertenecer al conjunto A.

Correspondencia

Diremos que hay una correspondencia biunívoca ( o uno a uno) entre los conjuntos A y B si y sólo si cada elemento del conjunto A está relacionado con uno y sólo un elemento del conjunto B. Cuando a cada elemento de un conjunto A le corresponde uno y sólo uno del conjunto B, y reciprocamente, a cada elemento del conjunto B le corresponde uno y sólo uno del conjunto A, se dice que dicho conjuntos son coordinables. Llamaremos una sección del conjunto de los números naturales que denotaremos por Sn al conjunto de los primeros n números naturales esto es

Sn = { 1 , 2 , 3 , … , n } ⊂ N Si existe una correspondencia uno a uno entre un conjunto A y una sección Sn de los naturales, diremos que n es la cardinalidad del conjunto y lo anotaremos por #(A) = n Diremos que la cardinalidad del conjunto vacío es cero; o sea:

( Ø ) = 0 ; # {} = 0

Diremos que un conjunto A es finito si existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto A y una sección de los naturales Sn . Dos conjuntos A y B serán conjuntos disjuntos o ajenos si y solo si su intersección es el conjunto vacío, ( Ø ) o sea que no tienen elementos en común.

El conjunto potencia de un conjunto cualquiera A, P(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Si A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.

Otro símbolo para usar

⊆