Matemáticas/Aritmética/Números fraccionarios

Índice de la sección
«Aritmética»

• Introducción
• Definición de Número
• Definición de Cifra
• Definición de Dígito
• Definiciones Cortas
• Más definiciones
• Lectura de números
• Clasificación de los números
• Los números
• Introducción a las operaciones básicas
• Adición
• Adición de fracciones
• Resta
• Resta de fracciones
• Multiplicación
• Multiplicación de fracciones
• División
• Propiedades de la División
• División de fracciones
• Comparación de fracciones
• Potenciación
• Radicación
• Logaritmación
• Operaciones con números complejos
• Operaciones combinadas
• Bases Numéricas
• Números Primos
• Comprobaciones de las operaciones
• Tablas

(en breve se estará revisando y completando esta sección.)

Los números fraccionarios son aquellos números que se pueden representar generalmente como un número decimal o como una fracción

Fracción como parte de la unidad

Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ocho comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así:

${\frac {8}{8}}:4={\frac {8}{8}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {8\cdot 1}{8\cdot 4}}={\frac {8}{32}}={\frac {8:4}{32:4}}={\frac {2}{8}}$

Lo que aquí se expresa es que cada persona cogería dos octavos de tarta, es decir, dos partes de las ocho que hay. Así, la parte de arriba (2) seria el numerador, y la parte de abajo (8), el denominador.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando una de ellas al dividir o multiplicar por un mismo número el númerador y el denominador, se obtiene la otra fracción. No obstante, para saber si dos fracciones son equivalentes, solo hace falta saber si los productos cruzados son iguales:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\longrightarrow a\cdot d=b\cdot c$

Reducción de fracciones

Existen situaciones en las que una fracción puede simplificarse dividiendo ambos términos entre un mismo número y resultar ambos valores enteros,

${\frac {12}{4}}={\frac {12:2}{4:2}}={\frac {6}{2}}$

La fracción original y la reducida son equivalentes, esto quiere decir tienen el mismo valor, aunque se escriban diferentes. Si una fracción tiene términos que ya no se pueden simplificar más se denomina fracción irreducible.

Reducción a fracción irreducible

Hallando el Máximo común divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos términos por él, se llega a una fracción irreducible.

Ejemplo:

Hallar la fracción irreducible de ${\frac {12}{4}}$:

$M.C.D.(12,4)=4$; dividiendo: ${\frac {12}{4}}={\frac {12:4}{4:4}}={\frac {3}{1}}$

Expresión decimal de una fracción

Es posible expresar una fracción como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador:

Ejemplos:

${\frac {1}{2}}=1:2=0,5$

${\frac {2}{3}}=2:3=0,666...$

En las fracciones con denominador 10, 100, 1000, 10000... se recorrerá el punto hacia la izquierda tantos lugares como cifras cero haya.

${\frac {53}{1000}}=0.053$

${\frac {4}{10}}=0.4$

${\frac {4567}{100}}=45.67$

Operaciones con fracciones

En las fracciones es posible realizar distintas operaciones, a continuación se muestra como pueden realizarse.

Suma de fracciones

Para sumar dos o más fracciones, nos podemos encontrar con varios casos.

Con el mismo denominador

Como se muestra, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador:

${\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {3+2}{6}}={\frac {5}{6}}$

Con diferente denominador

Cuando tienen distinto denominador, se reduce a común denominador por medio del minimo común multiplo (m.c.m.) de los denominadores (no olvides convertir también el numerador de ambas fracciones ya que lo tengas), y resolverlas después sumando los numeradores:

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {2+3}{6}}={\frac {5}{6}}$

m.c.m (2,3) = $2\cdot 3=6$

$6:3=2\cdot 1=2$

$6:2=3\cdot 1=3$

Suma de un quebrado con un número natural

Cuando nos encontramos con la posibilidad de sumar un número entero con una fracción, lo podemos resolver mediante dos formas

Mediante m.c.m

Para resolver mediante m.c.m, procederemos así:

• a) Transformarlo en fracción

Primero, transformamos la parte entera a una fracción con denominador 1.

$3+{\frac {2}{5}}={\frac {3}{1}}+{\frac {2}{5}}$

• b) Realizar el m.c.m y resolverlo bien

m.c.m (1,5) = $1\cdot 5=5$

$5:1=5\cdot 3=15$

$5:5=1\cdot 2=2$

${\frac {3}{1}}+{\frac {2}{5}}={\frac {15}{5}}+{\frac {2}{5}}={\frac {15+2}{5}}={\frac {17}{5}}$

Directamente

Se multiplica el número por el denominador y se le suma al numerador:

$3+{\frac {2}{5}}={\frac {(3\cdot 5)+2}{5}}={\frac {15+2}{5}}={\frac {17}{5}}$

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar dos fracciones, unicamente es multiplicar el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, y hacer lo mismo con los denominadores.

${\frac {3}{6}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {3\cdot 2}{6\cdot 5}}={\frac {6}{30}}$

Multiplicación de una fraccion con un número natural

Para multiplicar una fracción con un número se multiplica el número con el numerador, y el denominador por 1, ya que el número es una fracción con denominador 1:

$6\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {6}{1}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {6\cdot 1}{1\cdot 3}}={\frac {6}{3}}=2$

Multiplicación de dos fracciones

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los denominadores y los numeradores por los denominadores y los numeradores de las fracciones restantes

${\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {4}{7}}\cdot {\frac {6}{8}}={\frac {1\cdot 2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 8}}={\frac {48}{840}}$

Multiplicación de fracciones inversas

Cuando dos fracciones inversas se multiplican, el resultado es la unidad.

${\frac {3}{6}}\cdot {\frac {6}{3}}={\frac {3\cdot 6}{6\cdot 3}}={\frac {18}{18}}=1$

Otras operaciones con fracciones

Potenciacion de fracciones

Hay que decir que una potencia es aquella multiplicación donde se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por lo que es una multiplicación de fracciones.

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Ejemplo:

a)

$\left({\frac {2}{5}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{5^{3}}}={\frac {8}{125}}$ b)$\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1^{3}}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}$

Radicación de fracciones

La radicación es el proceso inverso a la potenciación. Para radicar una fracción, se extrae la raiz enesíma al numerador y denominador.

La radicación se realiza de la misma manera, teniendo en cuenta que ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$)

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {\sqrt[{3}]{8}}{\sqrt[{3}]{27}}}={\frac {2}{3}}$

${\sqrt {\frac {16}{20}}}={\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {20}}}={\frac {4}{\sqrt {20}}}$

Racionalización

En el caso anterior, comprobamos que el denominador tenía una raiz cuadrada en su denominador. Para evitar tal situacion, se debe multiplicar la fracción con su conjugada para hacer desaparecer la raiz en el denominador.

${\frac {4\cdot {\sqrt {20}}}{{\sqrt {20}}\cdot {\sqrt {20}}}}={\frac {4{\sqrt {20}}}{20}}={\frac {\sqrt {20}}{5}}$

Existe el caso en el que el denominador tiene una suma de un número entero con un radical. Para racionalizar, la conjugada debe completar una diferencia de cuadrados.

${\frac {3-{\sqrt {2}}}{3+{\sqrt {2}}}}={\frac {(3-{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}{(3+{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}}={\frac {(3-{\sqrt {2}})^{2}}{(3+{\sqrt {2}})(3-{\sqrt {2}})}}={\frac {9+2-6{\sqrt {2}}}{9-2}}={\frac {11-6{\sqrt {2}}}{7}}$

Representación de fracciones en la recta real