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El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria , que se indica con la letra i ).cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a , b ) ó (Re(z ), Im(z )), en el que se definen las siguientes operaciones:
Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,}
Ejemplo de suma:
(
4
+
2
i
)
+
(
3
+
2
i
)
=
4
+
2
i
+
3
+
2
i
=
4
+
3
+
2
i
+
2
i
=
(
4
+
3
)
+
(
2
+
2
)
i
=
{\displaystyle (4+2i)+(3+2i)=4+2i+3+2i=4+3+2i+2i=(4+3)+(2+2)i=}
el resultado es 7 + 4i
Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:
(
36
+
36
i
)
−
(
11
+
11
i
)
=
(
36
−
11
)
+
(
36
i
−
11
i
)
=
25
−
25
i
{\displaystyle (36+36i)-(11+11i)=(36-11)+(36i-11i)=25-25i\,}
6
(
6
+
6
i
)
−
(
5
+
5
i
)
=
(
36
−
5
)
+
(
36
i
−
5
i
)
=
31
+
31
i
{\displaystyle 6(6+6i)-(5+5i)=(36-5)+(36i-5i)=31+31i\,}
Multiplicación [ editar ] Forma Rectangular [ editar ] La multiplicación de forma rectángular se compone de un binomio al cuadrado:
(
a
+
b
i
)
⋅
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
+
a
d
i
+
b
i
c
+
b
d
i
2
)
=
(
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
)
{\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=(ac+adi+bic+bdi^{2})=((ac-bd)+(ad+bc)i)}
Ya que
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
Forma Polar [ editar ] La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:
z
1
z
2
=
r
s
e
i
(
ϕ
+
ψ
)
⇔
z
1
z
2
=
r
e
i
ϕ
s
e
i
ψ
{\displaystyle z_{1}z_{2}=rse^{\mathrm {i} (\phi +\psi )}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=re^{\mathrm {i} \phi }se^{\mathrm {i} \psi }}
Forma Rectangular [ editar ] La división en forma rectangular se compone de una racionalización:
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
)
c
2
+
d
2
=
(
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
c
2
+
d
2
)
{\displaystyle {\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={((ac+bd)+(bc-ad)i) \over c^{2}+d^{2}}=\left({(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\right)}
Forma Polar [ editar ] La división de números complejos es recomendable con la notación polar:
z
1
z
2
=
r
s
e
i
(
ϕ
−
ψ
)
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}}
Forma Rectangular [ editar ] Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
(
6
−
3
i
)
2
=
6
2
−
2
⋅
6
⋅
3
i
+
(
3
i
)
2
=
36
−
36
i
+
9
i
2
=
36
−
36
i
+
9
(
−
1
)
=
36
−
36
i
−
9
=
27
−
36
i
.
{\displaystyle (6-3i)^{2}=6^{2}-2\cdot 6\cdot 3i+(3i)^{2}=36-36i+9i^{2}=36-36i+9(-1)=36-36i-9=27-36i\,.}
esto es para explicar el proceso de potenciacion
Forma Polar [ editar ] Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica,
z
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sen
ϕ
)
{\displaystyle z=r(\cos \phi +i\operatorname {sen} \phi )}
z
n
=
r
n
[
cos
n
ϕ
+
i
sen
n
ϕ
]
{\displaystyle z^{n}=r^{n}[\cos n\phi +i\operatorname {sen} n\phi ]}
z
−
n
=
(
1
z
n
)
{\displaystyle z^{-n}=\left({\frac {1}{z^{n}}}\right)}
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
Exponente racional. La ecuación
z
=
α
p
q
{\displaystyle z=\alpha ^{\frac {p}{q}}}
z
q
=
α
p
{\displaystyle z^{q}=\alpha ^{p}}
. Se deduce
|
z
|
q
=
|
α
|
p
{\displaystyle |z|^{q}=|\alpha |^{p}}
q
×
arg
z
=
p
×
arg
α
+
2
k
π
{\displaystyle q\times \arg z=p\times \arg \alpha +2k\pi }
. En consecuencia
|
z
|
=
|
α
|
p
q
{\displaystyle |z|=|\alpha |^{\frac {p}{q}}}
arg
z
=
p
q
×
arg
α
+
2
k
π
q
{\displaystyle \arg z={\frac {p}{q}}\times \arg \alpha +{\frac {2k\pi }{q}}}
considerando
k
=
0
,
1
,
.
.
,
q
−
1
{\displaystyle k=0,1,..,q-1}
q
{\displaystyle q}
Exponente complejo. Si z y α son números complejos entonces
z
α
=
e
α
ln
z
=
exp
(
α
×
ln
z
)
{\displaystyle z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}=\exp(\alpha \times \ln z)}
Un ejemplo sencillo:
(
−
2
)
2
=
2
2
[
cos
(
2
k
+
1
)
π
2
+
i
sen
(
2
k
+
1
)
π
2
]
{\displaystyle (-2)^{\sqrt {2}}=2^{\sqrt {2}}[\cos(2k+1)\pi {\sqrt {2}}+i\operatorname {sen}(2k+1)\pi {\sqrt {2}}]}
Para obtener las
n
{\displaystyle n}
z
1
/
n
=
[
r
(
cos
x
+
i
sin
x
)
]
1
/
n
=
r
1
/
n
[
cos
(
x
+
2
k
π
n
)
+
i
sin
(
x
+
2
k
π
n
)
]
{\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}
donde
k
{\displaystyle k}
0
{\displaystyle 0}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
{\displaystyle n}
z
{\displaystyle z}
Enlaces externos [ editar ] 
![{\displaystyle z^{n}=r^{n}[\cos n\phi +i\operatorname {sen} n\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cdca0d1577bef5244b387ae573654a60089398)
![{\displaystyle (-2)^{\sqrt {2}}=2^{\sqrt {2}}[\cos(2k+1)\pi {\sqrt {2}}+i\operatorname {sen}(2k+1)\pi {\sqrt {2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081cae68aa09270285d0c1076b25c54ccd7881d1)
![{\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64198efa0f43c6de224913b65f3e03aa2bfd579)
