Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Eclipse Solar/Primer y Último contacto de la Luna con el Sol

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Cálculo del Primer y Último contacto de la Luna con el Sol - Contactos Exteriores e Interiores[editar]

Antes de hallar los límites o curvas del Comienzo o Fin del Eclipse en la Salida o en la Puesta del Sol, encontraremos los tiempos extremos y sus coordenadas de los contactos exteriores e interiores, siendo cuatro los casos posibles: dos exteriores, uno justo cuando el Eclipse comienza en la salida del Sol y el otro cuando el Eclipse finaliza en la puesta, y dos interiores, cuando el Eclipse finaliza en la salida del Sol y el otro cuando el Eclipse comienza en la puesta.

En el caso del primer y último contacto exterior el Eje del Cono de la Sombra Lunar está fuera de la superficie de la Tierra y sólo la Sombra Penumbral (la Generatriz del Cono Penumbral) es tangente en el horizonte. Se tiene entonces:

m = (x^2 + y^2)^0,5 = p + l₁    (49)

Donde x e y son las Coordenadas Rectangulares de la Luna, p en [Radios Terrestres], en la primer aproximación será igual a 1.

En el caso del primer y último contacto interior ocurre cuando la totalidad de la Sombra Penumbral se ubica dentro de la Tierra, es decir toda la Sombra Penumbral sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia, por lo tanto:

m = p - l₁    (50)

Para el Eclipse Solar Total del 02.07.2019 y sabiendo que la Conjunción Sol-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 19:21:36 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time), tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 19 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 16 hs., 17 hs., 18 hs., 19 hs., 20 hs., 21 hs. y 22 hs. (GMT).

Comenzamos entonces calculando M₀ en [°] donde x e y para T₀ = 19 hs.

M₀ = Atan(x / y)    (51)

el ángulo M₀ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si y es negativo sumar 180° a M₀ para que luego m₀ sea positivo (+).

Entonces m₀

m₀ = x / Seno(M₀)    (52)

Calculamos después N en [°] donde x' e y' son las diferencias derivadas de las Coordenadas Rectangulares de la Luna también para T₀ = 19 hs.

N = Atan(x' / y')    (53)

el ángulo N debe estar comprendido entre 0° y 180°. Si y' es negativo sumar 180° a N para que luego n sea positivo (+).

Entonces n

n = x' / Seno(N)    (54)

Los contactos interiores no ocurren cuando

(p - l₁) < m₀ * Seno(M₀ - N)    (55)

donde l₁ para T₀ = 19 hs.

Entonces, en este ejemplo con el Eclipse Solar Total del 02.07.2019 la condición se cumple, es decir los contactos interiores no ocurren, por lo tanto sólo se calcularán seguidamente los contactos exteriores.

Como primera aproximación, calcular con p = 1

p + l₁    (56)

después calcular ψ en [°]

ψ = Aseno(m₀ * Seno(M₀ - N) / (p + l₁))    (57)

Luego Δ en [hms]

Δ = -m₀ * Coseno(M₀ - N) / n    (58)

Por lo tanto, en la primera aproximación, los Tiempos en [hms (GMT)] del Comienzo y Fin del Eclipse tanto en la Salida como en la Puesta (contactos exteriores) serán:

Comienzo T₁ = T₀ + Δ - (p + l₁) * Coseno(ψ) / n     (59)
Fin T₂ = T₀ + Δ + (p + l₁) * Coseno(ψ) / n     (60)

donde Coseno(ψ) debe ser tomado con signo tanto (-) como (+), siendo el primero para el comienzo y el segundo para el fin del Eclipse (contactos exteriores).

En el caso de haber contactos interiores (que en este ejemplo no los hay), reemplazar (p + l₁) con (p - l₁) en (57), (59) y en (60).

Tomamos luego ψ para el comienzo del Eclipse, es decir el primer contacto exterior

ψ = 180 - ψ    (61)

y 360° + ψ para el fin del Eclipse, es decir el último contacto exterior.

Seguido calculamos γ en [°], para el comienzo y el fin del Eclipse con sus correspondientes ψ, entonces

γ = N + ψ    (62)

el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°.

Hallamos después el correspondiente d, siendo la Declinación del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z, y calcularlo para el comienzo y fin interpolando [1] en la tabla "Coordenada Eje Cono de Sombra o punto Z" (más abajo) con el siguiente argumento τ.

Para el comienzo:

τ = Δ - (p + l₁) * Coseno(ψ) / n    (63)

Para el fin:

τ = Δ + (p + l₁) * Coseno(ψ) / n    (64)

Luego calcular ρ₁ en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según d, anteriormente hallado para cada uno, y con la siguiente fórmula

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (65)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo)

Seguido calculamos γ' en [°] para el comienzo y fin según γ y ρ₁, anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

γ' = Atan(ρ₁ * Tan(γ))    (66)

γ y γ' deben ser ángulos comprendidos entre 0° y 360° con cantidades similares entre sí, por lo tanto llevar γ' al cuadrante correspondiente como lo está γ.

El nuevo p en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según γ y γ' , anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

p = Seno(γ') / Seno(γ)    (67)

luego hallamos los nuevos l₁, x' e y' para el comienzo y fin interpolando [1] en cada tabla correspondiente (más abajo) y con el argumento τ de las fórmulas (63) y (64).

Comenzamos con una segunda aproximación nuevamente desde la fórmula (53) hasta la (66) tanto para el comienzo como para el fin del Eclipse. En el transcurso del cálculo nos dará los tiempos T₁ y T₂ ya ajustados. Recordar que las nuevas interpolaciones se realizarán también con el nuevo argumento de τ actualizado con los nuevos valores recientemente hallados en esta segunda aproximación.

Por último, calculamos las Coordenadas Geográficas para cada T₁ y T₂, pero primero d₁ con los correspondientes d interpolados anteriormente para el comienzo y fin, entonces

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))    (68)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo)

Luego hallamos μ₁, siendo el ángulo horario del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z en Greenwich, ángulo comprendido entre 0° y 360°, para el comienzo y fin interpolando [1] en la tabla correspondiente (más abajo) y con el nuevo argumento τ. Seguido calculamos θ que es ángulo horario del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z en el lugar o bien en la Longitud ω, que es aproximadamente el Ángulo Horario del Sol, y correspondiente al comienzo o fin del Eclipse, entonces

θ = Atan(Seno(γ') / (-Coseno(γ') * Seno(d₁)))    (69)

el ángulo θ debe estar comprendido entre 0° y 360°. En caso de ser negativo (-Coseno(γ') * Seno(d₁)) sumar 180° a θ.

Para el Tiempo Aparente Local que es aproximadamente la Hora Solar Verdadera, dividir θ por 15.

Finalmente, para el comienzo y fin de Eclipse tenemos:

Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(Aseno(Coseno(γ') * Coseno(d₁))) / (1 - e^2)^0,5)    (70)
Longitud ω (al W) = μ₁ - θ    (71)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo). La Longitud ω debe estar comprendida entre 0° y 360°, desde Greenwich hacia el Oeste.

Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y si la Longitud ω se encuentra entre más de 180° y menos de 360°, calcular 360° - Longitud ω.

Ejemplo práctico:[editar]

Los puntos de contacto de la Luna con el Sol no son los correctos, es a manera ilustrativa

Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valores[editar]

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de los Eclipses Solares y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel[1] Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

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Notas de referencia[editar]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel