Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Eclipse Solar/Curva del Límite Norte

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Cálculo de la Curva del Límite Norte - Contactos Exteriores o Penumbrales

Los puntos de contacto de la Luna con el Sol no son los correctos, es a manera ilustrativa

Primero, como lo hemos hecho en el capítulo anterior, se determinará si hay dos límites del Eclipse, es decir el límite Norte y el Límite Sur. La condición para que ocurran ambos es que el Cono de la Penumbra "pase" enteramente dentro de la Tierra, es decir que llegue totalmente al Plano Fundamental o Principal de Referencia. En este ejemplo práctico del Eclipse Solar Total del 02.07.2019 sólo se cumple para un límite siendo el Norte.

Por lo tanto, en este capítulo vamos a encontrar todos los puntos del límite Norte.

Sabiendo que la Conjunción Sol-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 19:21:36 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time), tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 19 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 16 hs., 17 hs., 18 hs., 19 hs., 20 hs., 21 hs. y 22 hs. (GMT).

Según los tiempos del primer y último contacto exterior se comienzan los cálculos desde las 18 hs. y se repiten (iteración) cada 12 minutos y así sucesivamente hasta las 20,8 hs. Para todas las horas enteras y con fracción se interpolará el valor en la tabla correspondiente descrita más abajo y con el argumento según el método de Interpolación por Diferencias ^[1].

Comenzamos entonces calculando ν en [°] donde f y e para Tᵢ = 18 hs., hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)

ν = Atan(f / e) (127)

el ángulo ν debe estar comprendido entre 0° y 180°. Si e es negativo sumar 180° a ν.

Luego calculamos E en [°]

E = E / 2 (128)

E lo encontramos interpolando en la tabla correspondiente (más abajo).

Seguido hallamos ψ en [°]

ψ = Atan(Tan(45 + ν) * Tan(E)) (129)

Luego, según las siguientes condiciones, calculamos Qᵢ en [°]

Para la curva del límite Sur, Q "cae" entre E y E/2 + ψ (que en este caso del Eclipse del 02.07.2019 no la hay) y
Para la curva del límite Norte, Q "cae" entre 180° + E y 180° + E/2 + ψ (que en este caso si la hay), entonces

calculamos los límites inferior Q₁ y superior Q₂ para tal límite Norte, por lo tanto

Q₁ = 180 + E (130)

Q₂ = 180 + E/2 + ψ (131)

los ángulos Q₁ y Q₂ deben estar comprendido entre 0° y 360°. Luego hallar el Q inicial (asumido) en [°] hallando el promedio entre Q₁ y Q₂, entonces

Q = Entero((Q₁ + Q₂) / 2) (132)

el ángulo Q debe estar comprendido entre 0° y 360°. Calculamos luego γ en [°] donde x, y y l₁ para el Tᵢ, hallando estos valores en las tablas correspondientes (más abajo)

γ = Atan((x - l₁ * Seno(Q)) / (y - l₁ * Coseno(Q))) (133)

el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si (y - l₁ * Coseno(Q)) es negativo (-) sumar 180° a γ.

Luego β en [°]

β = Aseno((x - l₁ * Seno(Q)) / Seno(γ)) (134)

el ángulo β debe estar comprendido entre 0° y 360°. Seguido, calculamos el valor de ν' en [°]

ν' = Atan(f * Coseno(β) / e) (135)

los valores de e y f son los hallados anteriormente por interpolación (más arriba). Si e es negativo sumar 180° a ν' .

Con todas estas formulas anteriores encontraremos ahora el valor final de Q para el punto indicado del límite Norte, entonces

Q = Entero(Atan(Tan(45 + ν') * Tan(180 + E / 2)) + 180 + E / 2) (136)

En caso del cálculo de la curva del límite Sur la expresión queda

Q = Entero(Atan(Tan(45 + ν') * Tan(E / 2)) + E / 2)

el ángulo Q debe estar comprendido entre 0° y 360°.

Hallar luego el valor de d en [°], siendo la declinación del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z, e interpolando en la tabla correspondiente (más abajo) y también d₁ en [°] siendo la declinación del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z según e la excentricidad terrestre

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)) (137)

el valor de e lo podemos hallar en la tabla de las Constantes (más abajo)

Luego hallamos el valor de ρ₁ en [Radios Terrestres] también en función de e, la excentricidad terrestre

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))) (138)

después los valores de a y b, primero interpolando en las tablas de más abajo, los valores x, y y l₁ para el instante en cuestión y según las siguientes fórmulas se tiene

a = x - l₁ * Seno(Q) (139)

b = y - l₁ * Coseno(Q) (140)

Luego γ en [°] según

γ = Atan(a / b) (141)

el ángulo γ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si b es negativo (-) sumar 180° a γ.

Seguido, calculamos β en [°]

β = Aseno(a / Seno(γ)) (142)

el ángulo β debe estar comprendido entre 0° y 360°. Ahora calculamos ε en [°]

ε = i₁ * Coseno(Q - γ) / Seno(1) (143)

Luego calcular ζ₁, ξ y η₁ en [Radios Terrestres]

ζ₁ = Coseno(β) - Seno(β) * Seno(ε) (144)

ξ = Seno(β) * Seno(γ) + i₁ * ζ₁ * Seno(Q) (145)

η₁ = Seno(β) * Coseno(γ) + i₁ * ζ₁ * Coseno(Q) (146)

Ahora calcular C en [°] y c

C = Atan(η₁ / ζ₁) (147)

el ángulo C debe estar comprendido entre 0° y 360°, en el caso ζ₁ sea negativo (-) sumar 180° a C, luego calcular c según C

c = η₁ / Seno (C) (148)

Por último, hallaremos las coordenadas terrestres para el instante Tᵢ, pero primero μ₁, siendo el ángulo horario del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z en Greenwich, ángulo comprendido entre 0° y 360°, para el instante Tᵢ interpolando ^[1] en la tabla correspondiente (más abajo). Seguido calculamos θ que es ángulo horario del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z en el lugar o bien en la Longitud ω, que es aproximadamente el Ángulo Horario del Sol, y correspondiente también a ese instante Tᵢ, entonces

θ = Atan(ξ / (c * Coseno(C + d₁))) (149)

el ángulo θ debe estar comprendido entre 0° y 360°, si (c * Coseno(C + d₁)) es negativo (-) sumar 180° a θ.

Para el Tiempo Aparente Local que es aproximadamente la Hora Solar Verdadera, dividir θ por 15.

Luego calculamos φ₁ en [°] para hallar después la latitud geográfica φ también en [°]

φ₁ = Acoseno(ξ / Seno(θ)) (150)

Finalmente, para ese instante Tᵢ del cálculo del Eclipse tenemos:

Latitud Geográfica φ = Atan(Tan(φ₁) / (1 - e^2)^0,5) (151)
Longitud ω (al W) = μ₁ - θ (152)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo). La Longitud ω debe estar comprendida entre 0° y 360°, desde Greenwich hacia el Oeste.

Para representar en un mapa la Longitud ω se multiplica por -1 si se encuentra entre 0° y 180°, y si la Longitud ω se encuentra entre más de 180° y menos de 360°, calcular 360° - Longitud ω.