Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Eclipse Solar/Teoría de los Eclipses Solares y Cálculo de los Elementos Besselianos

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Teoría de los Eclipses Solares y Cálculo de los Elementos Besselianos

Plano Fundamental o Principal de Referencia según Friedrich Wilhelm Bessel

Plano Fundamental o de Referencia según Friedrich Wilhelm Bessel

Ocurrencia de un Eclipse Solar

Habiendo hallado, por interpolación, el instante de la mínima distancia angular del centro de la Luna con el centro del Sol en la Sizigia (fase lunar nueva) , se procede al cálculo de la distancia siendo perpendicular al Eje del Cono de la Sombra Lunar hacia el centro de la Tierra que corre por el Plano Fundamental o de Referencia, esto es, el valor de γ (gamma) en [Radios Terrestres], siendo positivo (+) hacia el Norte del centro de la Tierra y negativo (-) hacia el Sur:

γ = (((ΔTL * Seno(ΔLS)) / Seno((90 - (ΔLS))) / 6.378,14     (1)

Donde ΔLS es la mínima distancia angular en [°] entre la Luna y el Sol y ΔTL es la distancia en [kms] entre la Tierra y la Luna en ese mismo instante.

También en ese instante e interpolando en la tabla de más abajo (Ángulo y Radio del Cono de la Umbra (Contactos Interiores)) se tiene l₂, el Radio de la Umbra (Sombra) sobre el Plano Fundamental o de Referencia, y con γ se determina si ocurre o no un Eclipse Solar, según las siguientes condiciones:

Si -0,9972 < γ < 0,9972 entonces hay un Eclipse Solar y será Central, es decir el Eje del Cono de la Sombra Lunar dibuja una ruta sobre la superficie de la Tierra, pudiendo el cono tocar la superficie de la Tierra (Total) o encima (Anular).

Si l₂ < 0 entonces hay un Eclipse Solar y será Total (Central), es decir el cono de sombra dibuja una ruta del mismo tocando la superficie de la Tierra.

Si l₂ < 0,00464 * (1 - γ^2)^0,5 entonces hay un Eclipse Solar y será Anular-Total (Central), es decir un Eclipse Solar Híbrido, el cono de sombra en parte toca y en parte no toca la superficie de la Tierra.

Si l₂ >= 0,00464 * (1 - γ^2)^0,5 entonces hay un Eclipse Solar y será Anular (Central), es decir el cono de sombra nunca toca la superficie de la Tierra.

Si 0,9972 <= |γ| <= 1,5433 + l₂ entonces hay un Eclipse Solar y será No Central, es decir el Eje del Cono de la Sombra Lunar nunca toca la superficie de la Tierra, pero sí parte del cono, siendo entonces un Eclipse Solar Parcial visible desde la Tierra, siendo en el espacio exterior uno Total o Anular.

Si 1,5433 + l₂ < |γ| entonces No hay Eclipse Solar sobre la superficie de la Tierra, es decir el Eje del Cono de la Sombra Lunar nunca toca la superficie de la Tierra ni tampoco parte del cono.

Contactos Exteriores e Interiores de la Luna con el Sol

Contactos Exteriores e Interiores de la Luna con el Sol

Tanto en un Eclipse Solar Anular o Total:
Contactos Interiores de la Luna con el Sol si el observador está en H (DB) o en F (CA).
Contactos Exteriores de la Luna con el Sol si el observador está en E (CB) o en I (DA).
El Eclipse Máximo ocurrirá si el observador está en G.
Vp es el vértice del Cono Penumbral Lunar.
Vu es el vértice del Cono de la Sombra (Umbra) Lunar.

Ecuaciones Fundamentales y Cálculos de los Elementos Besselianos. Ejemplos prácticos según el Eclipse Solar Total del 02.07.2019

Plano Fundamental o Principal de Referencia según Bessel

En la primer figura se describe el Plano Fundamental o Principal de Referencia según Bessel que pasa por el centro de la Tierra y siendo siempre perpendicular al Eje del Cono de la Sombra Lunar. La línea OZ es paralela a tal Eje y tiene su origen también en el centro de la Tierra, y apunta hacia la esfera celeste, a una Coordenada Ecuatorial Geocéntrica: Ascensión Recta y Declinación del punto Z.

Con el fin de determinar las Coordenadas Rectangulares de la Luna y del Sol, el eje de las x va desde el centro de la Tierra hacia el Punto Equinoccial Vernal (Marzo), el eje de las y a 90° del eje de las x y es positivo (+) hacia el punto del Ecuador cuya Ascensión Recta es igual a 90°. El eje de las z es positivo (+) si apunta hacia el hemisferio Norte Celeste.

Efemérides de la Luna y del Sol

Sabiendo que la Conjunción Sol-Luna, en Ascensión Recta, ocurre a las 19:21:36 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time) tomamos 7 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 19 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±3 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 16 hs., 17 hs., 18 hs., 19 hs., 20 hs., 21 hs. y 22 hs. (GMT).

Ambos astros están en Coordenadas Ecuatoriales Geocéntricas tomadas de las Efemérides diarias (00:00 GMT), y publicadas, por ejemplo, por The Astonomical Almanac donde las Ascensiones Rectas (α) de la Luna y las del Sol están en el formato Hora, Minutos y Segundos, y las Declinaciones (δ) de la Luna y las del Sol en el formato °, ' y ". También desde estas efemérides se toman la Paralaje Ecuatorial Horizontal de la Luna π en [°] y la distancia r' Tierra-Sol en [U.A.].

Coordenadas Ecuatoriales Geocéntricas del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z

Según la siguiente tabla se tienen las Constantes:

Calcular

b = Seno(π₀) / (r' * Seno(π))     (2)

luego g y G siendo esta última la distancia Luna-Sol (Centro a Centro) en [U.A.]

g = 1 - b     (3)

G = r' * g     (4)

después calcular la Ascensión Recta del punto Z o del Eje del Cono de la Sombra Lunar

a = α' - (b / ((1 - b) * Seno(δ'))) * Coseno(δ) * (α - α')     (5)

y la Declinación del punto Z o del Eje del Cono de la Sombra Lunar

d = δ' - (b / (1 - b)) * (δ - δ')     (6)

Coordenadas Rectangulares de la Luna x,y,z

Calcular primero r la distancia Tierra-Luna (Centro a Centro) en [Radios Terrestres]

r = 1 / Seno(π)     (7)

luego las Coordenadas Rectangulares Geocéntricas Lunares x,y,z

x = r * Coseno(δ) * Seno(α - a)     (8)

y = r * Seno(δ - d) * Coseno((α - a) / 2)^2 + r * Seno(δ + d) * Seno((α - a) / 2)^2     (9)

z = r * Coseno(δ - d) * Coseno((α - a) / 2)^2 - r * Coseno(δ + d) * Seno((α - a) / 2)^2     (10)

Ángulo y Radio del Cono de la Penumbra Lunar (Contactos Exteriores)

Calcular el ángulo f₁ con vértice en Vp

f₁ = Aseno((Seno(H) + k * Seno(π₀)) / (r' * g))     (11)

luego c₁ u OVp que es la distancia desde el vértice del Cono de la Penumbra Lunar Vp hasta el Plano Fundamental o Principal de Referencia (O), por lo tanto siendo siempre positiva (+).

c₁ = z + k / Seno(f₁)     (12)

después el valor de i₁

i₁ = Tan(f₁)     (13)

y por último el Radio del Cono de la Penumbra Lunar l₁ (JO) sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia

l₁ = i₁ * c₁     (14)

Ángulo y Radio del Cono de la Sombra (Umbra - Contactos Interiores)

Calcular el Ángulo f₂ con vértice en Vu

f₂ = Aseno((Seno(H) - k * Seno(π₀)) / (r' * g))     (15)

luego c₂ u OVu que es la distancia desde el vértice del Cono de la Sombra (Umbra) Vu hasta el Plano Fundamental o Principal de Referencia (O), por lo tanto siendo siempre positiva (+) si Vu se ubica por encima de tal plano y negativa (-) si se ubica por debajo.

c₂ = z - k / Seno(f₂)     (16)

después el valor de i₂

i₂ = Tan(f₂)     (17)

y por último el Radio del Cono de la Sombra (Umbra) l₂ (KO) sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia

l₂ = i₂ * c₂     (18)

Hora Sidérea Aparente y Ángulo Horario de Z en Greenwich (ω = 0)

Primero tomar de las Efemérides, por ejemplo del The Astonomical Almanac, la Hora Sidérea Aparente μ (00:00 GMT) y en [hms], luego calcularlas en [°] multiplicándolas por 15 (μ⁰). Después hallar el Ángulo Horario μ₁ siendo el ángulo horario del punto Z o Eje del Cono de la Sombra Lunar también en Greenwich (ω = 0)

μ₁ = μ⁰ - a     (19)

Coordenadas Rectangulares del Observador ξ,η,ζ

Calcular primero φ' en [°], ρ en [Radios Terrestres], θ en [°], B en [°] y A

φ' es la Latitud Geocéntrica según la siguiente fórmula

φ' = Atan((Seno(φ) * (1 - e^2)) / Coseno(φ))     (20)

donde φ es la Latitud Geográfica y e es la Excentricidad Terrestre según la tabla de las Constantes mencionada más arriba, o bien

e = (1 - b^2 / a^2)^0,5     (21)

siendo a el Radio Ecuatorial Terrestre y b el Radio Polar Terrestre, ambos ejes de la Elipsoide Terrestre también dados en la tabla de las Constantes mencionada más arriba.

ρ es la distancia en [Radios Terrestres] desde el Centro de la Tierra hasta la Latitud del Observador, siendo prácticamente constante en todo el eclipse

ρ = 0,99833132881 + 0,0007271 * Coseno(2 * φ) - 0,0000018 * Coseno(4 * φ)     (22)

θ = μ₁ - ω     (23)

donde ω es la Longitud del Observador hacia el Oeste (W) desde Greenwich (0° - 360°) y θ el Ángulo Horario del punto Z o del Eje del Cono de la Sombra Lunar.

B = Atan(Seno(φ') / (Coseno(φ') * Coseno(θ)))     (24)

A = ρ * Seno(φ') / Seno(B)     (25)

por último, calcular las Coordenadas Rectangulares del Observador ξ,η,ζ

ξ = ρ * Coseno(φ') * Seno(θ)     (26)

η = A * Seno(B - d)     (27)

ζ = A * Coseno(B - d)     (28)

donde ξ,η corresponden al Plano Fundamental o Principal de Referencia (equivalentes a las x,y de la Luna).

Los valores de los cambios horarios para ξ,η,ζ están dados por

ξ' = μ' * Seno(1) * ρ * Coseno(φ') * Coseno(θ)     (29)

η' = μ' * Seno(1) * ξ * Seno(d) - d' * Seno(1) * ζ     (30)

ζ' = -μ' * Seno(1) * ξ * Coseno(d) + d' * Seno(1) * η     (31)

Los valores μ', d y d' los podemos encontrar en las tablas correspondientes (más arriba)

Radio del Cono de la Penumbra y de la Sombra (Umbra) Lunar sobre el Plano Tangencial del Observador

Primero, calcular el Radio del Cono de la Penumbra Lunar L₁ (EG) sobre el Plano Tangencial del Observador paralelo al Plano Fundamental o Principal de Referencia

L₁ = (c₁ - ζ) * Tan(f₁) = l₁ - ζ * Tan(f₁)     (32)

luego el Radio del Cono de la Sombra (Umbra) L₂ (FG) sobre el Plano Tangencial del Observador paralelo al Plano Fundamental o Principal de Referencia

L₂ = (c₂ - ζ) * Tan(f₂) = l₂ - ζ * Tan(f₂)     (33)

• Para el Cono de la Penumbra Lunar (c₁ - ζ) es siempre es positivo (+) y por lo tanto también para L₁.
• Para el Cono de la Sombra (Umbra) Lunar (c₂ - ζ) es negativo (-) cuando el vértice del cono se ubica por debajo del Plano Tangencial del Observador y en este caso se da un Eclipse Solar Total: por lo tanto L₂ será negativo (-). Usualmente se considera positivo (+) el Radio de la Sombra (Umbra) y en consecuencia se cambia su signo para este caso; aunque para un estudio analítico de nuestras ecuaciones, generalmente será mejor si preservamos el signo negativo (-) de L₂ como una característica del Eclipse Solar Total.
• Cuando el vértice del Cono de Sombra (Umbra) Lunar se ubica por encima del Plano Tangencial del Observador, L₂ será positivo (+), y tendremos el caso de un Eclipse Solar Anular.

Ecuación Fundamental de los Eclipses de Sol

Calcular la distancia Δ en [Radios Terrestres] medida desde el Observador hasta el Eje del Cono de la Sombra Lunar sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia, siendo la Ecuación Fundamental de los Eclipses Solares

Δ = ((x - ξ)^2 + (y - η)^2)^ 0,5    (34)

Otros Cálculos de Elementos Besselianos

Cálculo de: d₁, ρ₁, d₂ y ρ₂

Calcular la declinación d₁ en [°] del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z según e

d₁ = Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5))     (35)

luego calcular el radio de la Tierra ρ₁ en [Radios Terrestres] en el lugar del instante correspondiente

ρ₁ = Seno(d) / Seno(d₁)     (36)

Después calcular la declinación d₂ en [°] del Eje del Cono de la Sombra Lunar o del punto Z según e

d₂ = Atan(Seno(d) * (1 - e^2)^0,5 / Coseno(d))     (37)

luego calcular el radio de la Tierra ρ₂ en [Radios Terrestres] en el lugar del instante correspondiente

ρ₂ = Coseno(d) / Coseno(d₂)     (38)

Los valores ρ₁ y ρ₂ se mantienen prácticamente constantes en todo el Eclipse. e lo podemos hallar en la tabla de las Constantes (más arriba)

Cálculo de: a₁', a₂', b', c₁' y c₂'

a₁' = -l₁' - μ' * Seno(1) * i₁ * x * Coseno(d)     (39)

a₂' = -l₂' - μ' * Seno(1) * i₂ * x * Coseno(d)     (40)

b' = -y' + μ' * Seno(1) * x * Seno(d)     (41)

c₁' = x' + μ' * Seno(1) * (y * Seno(d) + i₁ * l₁ * Coseno(d))     (42)

c₂' = x' + μ' * Seno(1) * (y * Seno(d) + i₂ * l₂ * Coseno(d))     (43)

Los valores μ', d, lᵢ, iᵢ, x, y, x' e y' los podemos encontrar en las tablas correspondientes (más arriba)

Cálculo de: E, e, F y f

E = Atan(b' / c₁')     (44)

e = b' / Seno(E)     (45)

F = Atan(d' / (μ' * Coseno(d))     (46)

f = (d' * Seno(1)) / Seno(F)     (47)

Los valores μ', d y d' los podemos encontrar en las tablas correspondientes (más arriba)

Cálculo de y₁

y₁ = y / ρ₁     (48)

Los valores y y ρ₁ los podemos encontrar en las tablas correspondientes (más arriba)

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Notas de referencia