Álgebra Abstracta/Los Ideales

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Álgebra Abstracta


Ideales y Anillos Cocientes[editar]

Nos interesa construir anillos cocientes de un anillo, por lo que necesitaremos relaciones de equivalencia que sean congruencias (es decir compatibles con las operaciones).

¿Cuándo una relación de equivalencia en un anillo cualquiera define una congruencia en ? Es decir, cuándo para se cumple que implica que

  1. y

Notemos que cuando suponemos al anillo conmutativo, las condiciones (ii) y (iii) son equivalentes.

Sabemos del estudio de los grupos que las congruencias de un grupo son equivalentes a las relaciones de equivalencia definidas por subgrupos normales. En el caso de los anillos, cada subgrupo del grupo aditivo es un subgrupo normal ya que la suma es conmutativa. Por lo que si tenemos un subgrupo del grupo aditivo, la relación de equivalencia ssi, está en es una congruencia respecto a la suma, o sea que cumple la primera condición.

Sea un subanillo de y consideremos la relación de equivalencia tal que

Por lo observado arriba, esta relación satisface la condición (i) para ser congruencia. La condición (ii) es equivalente, por lo tanto, a pedir que para todo en se cumpla para que

(*


Análoga equivalencia para (iii), pero con la multiplicación del elemento del anillo por la derecha.

(**


Notemos que si pedimos que

(***


por la condición (i) tenemos que se cumplen (ii) y (iii).

Vemos entonces que una condición necesaria para que la relación indicada sea una congruencia es que el subanillo debe ser cerrado a la multiplicación (por derecha e izquierda) por elementos cualesquiera de ---y no únicamente por aquellos de como es el caso para los subanillos.

Dicha condición no se cumple, en general, para subanillos. Consideremos, por ejemplo, el subanillo de allí, la multiplicación de un racional por un entero no es necesariamente un entero.

Veremos, ahora, que la condición (***) para un subgrupo aditivo de es suficiente para proveer al grupo cociente con una estructura de anillo. Sea la clase de equivalencia de respecto a la relación de equivalencia Probaremos que tomando cualquier elemento y multiplicándolo por uno cualquiera el resultado siempre está en la clase de lo que probará que tenemos una multiplicación bien definida en Sean y donde y son elementos de Entonces,

Como se cumple la condición (*), tenemos que es un elemento de al igual que ya que es un subanillo. Lo que prueba la afirmación.

Proposición 1. (Anillos Cocientes) Sea un anillo con identidad y sea un subgrupo aditivo de tal que Entonces, la definición

provee a con una estructura de anillo con identidad que llamaremos anillo cociente de por

    Demostración: Por la discusión anterior a la definición, vemos que la multiplicación está bien definida, por lo que solamente es necesario verificar la asociatividad y la distributividad. Sean y elementos de Tenemos que

    Como en cualquier anillo, se cumple que concluimos que Es decir que la multiplicación cociente es asociativa.

    Análogamente, tenemos que

    [a]([b] + [c]) = [a][b+c] = [a(b+c)] = [ab + ac]
    [a][b] + [a][c] = [ab] + [ac] = [ab + ac].

    Lo que prueba la distributividad por la izquierda. Dejamos al cuidado del lector la demostración de la distributividad por la derecha, de la conmutatividad de la multiplicación y que es la identidad en

Se verifica fácilmente que cuando el anillo A es conmutativo, su cociente A/B tambien lo es.

Los subanillos con las propiedad indicadas merecen, por lo tanto, un nombre especial.

Definición. (Ideales) Sea un anillo conmutativo con identidad. Sea un subconjunto no vacío de Decimos que es un ideal izquierdo (resp. ideal derecho) del anillo ssi, para todo en y para todo en se cumple que: (resp, ) son elementos de

Un subanillo es un ideal bilateral o simplemente ideal ssi, es ideal izquierdo y derecho. Notación:


Sigue de la primera condición que los ideales son subgrupos del grupo aditivo del anillo. Cuando el anillo es conmutativo, los ideales izquierdos y derechos son bilaterales. Por lo que basta con que en impliquen que y estén en para que sea un ideal.

Observación. Hay ejemplos de anillos que tienen ideales laterales (izquierdos o derechos) , pero no tienen ideales bilaterales.


Ejemplos (Ejemplos de Ideales).

  1. En cualquier anillo los subanillos y son ideales (ideales triviales). Llamamos ideal propio a un ideal diferente de los triviales.
  2. Todos los subanillos de son ideales (bilaterales) en En efecto, recordemos que cada subanillo de consiste de los múltiplos de un entero fijo Como, al multiplicar cualquier entero por un múltiplo de obtenemos otro múltiplo de tenemos que se cumple la propiedad de ser ideal.
  3. Sea un anillo cualquiera con identidad y sea un elemento de Entonces, llamamos ideal principal izquierdo generado por al conjunto de todos los productos obtenidos al multiplicar un elemento del anillo por

    Análogamente, tenemos un ideal principal derecho generado por

    Naturalmente, si es conmutativo

    Veamos que efectivamente es un ideal izquierdo. Como es un elemento de por lo que se trata de un subconjunto no vacío. Además, lo que prueba que es un subgrupo aditivo del grupo aditivo de Como se tiene que es un ideal izquierdo.

    Queda de ejercicio, la verificación de que es un ideal derecho.


Sea un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) del anillo Si la identidad o una unidad está en entonces En efecto, sea una unidad tal que Entonces, como un elemento y su recíproco siempre permutan.tenemos además que Sea un ideal izquierdo (resp. derecho) que contiene a Entonces. (resp.uv) está en o sea que 1 está en Como para todo en se cumple que se tiene que cualquier elemento del anillo está en es decir que

Proposición 2. Cuando un ideal contiene a una unidad, en particular a la identidad, el ideal es igual a todo el anillo.

Usando la nomenclatura de ideales, podemos reescribir la proposición 1 de la siguiente manera.

Proposición 3. Sea un ideal de un anillo entonces tiene una estructura de anillo con las operaciones definidas por

Decimos que es al anillo cociente de por el ideal y podemos leer como " módulo ".

Cuando el anillo es conmutativo con identidad 1 y un ideal de se verifica que es conmutativo con identidad

Ejemplo.

El ideal de define al anillo cociente al que llamamos el anillo de los enteros módulo Notemos que cuando es un entero compuesto, aunque el anillo es un dominio de integridad, su anillo cociente tiene divisores de cero, ya que si con entonces


Cuerpos e Ideales[editar]

Supongamos que fuera un cuerpo e un ideal de Entonces, si tendremos un elemento no nulo en Por definición de ideal, estará entonces en o sea que será un elemento de Pero, por la última proposición, el ideal coincidirá con todo el anillo, o sea el cuerpo en este caso. Es decir que en cuerpo, solamente hay ideales triviales.

Proposición 4. Los cuerpos no contienen ideales propios no nulos.

Nomenclatura. Los anillos que no tienen ideales propios, en particular los cuerpos, se llaman anillos simples.

Ejercicios[editar]

  1. Hallar todos los ideales de Sea describir a
  2. Sea el anillo de las funciones de los Reales en si mimo. Para cada en sea la función evaluación en que asocia a cada en el número real
    1. Verificar que es un homomorfismo de anillos.
    2. Usar el resultado anterior para explicar por qué el conjunto de todas las funciones tales que es un ideal de
    3. Probar que el conjunto formado por todas las funciones cuyo valor es nulo sobre el intervalo es un ideal de


  3. Sea un anillo conmutativo y un elemento del anillo. El anulador de es Probar que es un ideal de
  4. Sea un subconjunto de un anillo conmutativo Una combinación (lineal) de elementos de con coeficientes en es un elemento de la forma

    donde los 's son elementos del anillo y los son elementos de Probar que cualquier ideal que contenga a contiene a cualquier combinación lineal de elementos de

  5. Sea un producto directo de anillos, donde (resp. ) se identifica con los elementos de cuya segunda componente (resp. primera componente) es nula. Probar que y son ideales de ¿Que podemos decir de los anillos cocientes y ?
  6. (Enteros de Einsenstein) Sea donde Sea ¿Es un ideal de ?
  7. Sea el anillo de las sucesiones reales, o sea de las funciones de en Sea el conjunto firmado por las sucesiones que tienen una cantidad finita de términos no nulos.
    1. Sea en Probar que hay un tal que implica que
    2. ¿Es un subanillo de ? ¿un ideal?
  8. Sea un anillo conmutativo con unidad y sea un elemento idempotente de () que no es un divisor de cero. Probar lo siguiente:
    1. es también un idempotente.
    2. Sean y , y son ideales,
  9. Sea un anillo. Un elemento de es nilpotente, ssi, hay un natural tal que Un ideal de es un ideal nilpotente, ssi, cada elemento de es nilpotente.
    1. Probar que unidades no pueden ser nilpotentes.
    2. Hallar los elementos nulos no nilpotentes y los ideales nilpotentes de y
    3. Sean elementos que son nilpotentes y que conmutan entre si. Probar que y son nilpotentes.
    4. Hallar los elementos nilpotentes de y
    5. Probar que es nilpotente.
  10. Sea un anillo conmutativo con unidad. Probar que todos los elementos nilpotentes del anillo (ver ejercicio anterior para las definiciones) forman un ideal de (nilradical de A). Probar que no tiene elementos nilpotentes no nulos.
  11. Sea un entero primo y sea
    1. Probar que es un subanillo de pero no es un subcuerpo de
    2. Hallar las unidades de
    3. Probar que todos los ideales de son principales y de la forma ,
    4. Describir .
  12. Dar un ejemplo de lo indicado a continuación, o decir porque es imposible.
    1. Hay cocientes de dominios de integridad que son cuerpos.
    2. Hay cocientes de dominios de integridad que no son dominios de integridad.
    3. Hay anillos con divisores de 0 que tienen cocientes que son dominios de integridad.
    4. Hay subanillos de que no son ideales.
  13. Probar que el cociente de un anillo con identidad por un ideal propio es un anillo con identidad.
  14. ¿Cierto o falso?
    1. Un anillo puede no tener ideales.
    2. Un anillo con identidad no tiene ideales.
    3. Las unidades de un anillo determinan un ideal.
    4. Los Racionales determinan un ideal de los Reales.
    5. Cada ideal de un anillo es un subanillo del anillo.
    6. Cada subanillo de un anillo es un ideal del anillo.
    7. Un ideal de un subanillo es un ideal del anillo.
    8. Un ideal de un anillo es un ideal de cada subanillo.
    9. La intersección de dos ideales puede ser vacía.
    10. Un cuerpo tiene exactamente dos ideales propios.
    11. El anillo cociente de un anillo conmutativo es conmutativo.
    12. El anillo cociente de un anillo con identidad es un anillo con identidad.
    13. El anillo cociente de un domino de integridad es un dominio de integridad.
    14. Un anillo cociente nunca es el anillo trivial.
    15. El ideal principal izquierdo es igual al ideal derecho
    16. Los ideales principales son siempre bilaterales.

Homomorfismos e Ideales[editar]

En esta sección, veremos las relaciones entre homomorfismos de anillos e ideales del dominio y codominio del homomorfismos. Los resultados son totalmente análogos a los resultados de homomorfismos de grupos y subgrupos normales vistos en el capítulo Grupos Cocientes.

Proposición 5. (Núcleos son Ideales) Sea un homomorfismo de anillos. Entonces, el núcleo de (el conjunto formado por todos los elementos de tales que ) es un ideal de

    Demostración: Sea el núcleo de Sabemos que es un subgrupo del grupo aditivo de Sea en y en entonces

    Lo que prueba que es un ideal de

Teorema de Homomorfismo Sea un homomorfismo de anillos. Sea el núcleo de Sean el supramorfismo canónico, y tal que Se cumple que es un isomorfismo de anillos. Es decir que como anillos. El siguiente diagrama de homomorfismos es conmutativo.

Centrada

    Demostración: La prueba es totalmente análoga a la prueba del teorema de Noether en el capítulo Teoremas de Homomorfismos (Revisarla). Lo único nuevo es que es un homomorfismo de anillos. Sigue de la proposición mencionada que es un homomorfismo de grupos. Veamos que es un homomorfismo para la multiplicación.

(La siguiente proposición es análoga a la proposición sobre imágenes de subgrupos.)

Proposición 6. (Homomorfismo e Ideales) Sea un homomorfismo de anillos.

  1. Sea un ideal de entonces es un ideal de
  2. Sea un ideal de entonces es un ideal de que contiene al núcleo de

    Demostración: Sigue de la teoría de grupos que es un subgrupo aditivo de y que es un subgrupo aditivo de Por lo que bastará con verificar las cerraduras respecto a la multiplicación.
    1. Sea en entonces para todo en se cumple que

      Por lo que

    2. Sea un elemento de Entonces, para todo en tenemos que

      Luego,

Corolario 6.1. Sea un homomorfismo suprayectivo. La imagen de un ideal principal de es un ideal principal de

    Demostración: Sea entonces cualquier de es de la forma para algún en Como es suprayectiva, cualquier elemento de es de la forma Luego, y como es suprayectiva, concluimos que .

Ejemplo.

Sea la inclusión canónica que es un homomorfismos de anillos. es un ideal de , pero su imagen (o sea el mismo conjunto) no es un ideal de Esto muestra que las restricciones de la parte (a) de la proposición son necesarias.


Ejemplo.

Sea el supramorfismo canónico,

Sigue del corolario, ya que es suprayectiva, que la imagen de cada ideal de es un ideal principal de Usando este resultado, podemos listar a los ideales de

  1. los ideales triviales:
  2. ;
  3. ya que y

Por lo que tiene dos ideales no triviales y


Ejercicios[editar]

  1. ¿Cierto o falso? Justificar la respuesta o dar contraejemplos.
    1. Un homomorfismo de anillos envía subanillos de en subanillos de
    2. Un homomorfismo de anillos envía ideales de en ideales de
    3. Un homomorfismo de anillos es inyectivo, ssi, su núcleo es
    4. Los anillos y son isomorfos.
    5. La imagen homomórfica de un anillo conmutativo es conmutativo.
    6. La preimagen (imagen inversa) de un anillo conmutativo es conmutativo.
  2. Sea el anillo de las funciones de los Reales en si mimo. Para cada en sea la función evaluación en que asocia a cada en el número real
    1. Verificar que es un homomorfismo de anillos.
    2. Usar el resultado anterior para explicar por qué el conjunto de todas las funciones tales que es un ideal de
    3. Probar que el conjunto formado pro todas las funciones cuyo valor es nulo sobre el intervalo es un ideal de
  3. Sea un homomorfismo suprayectivo de anillos. Probar que la imagen de un ideal principal es un ideal principal.
  4. Sean y enteros tales que la función de en es un supramorfismo de anillos con identidad. Hallar el núcleo del homomorfismo.
  5. Sean ideales de un anillo conmutativo tal que Probar que la función de en definida por es un homomorfismo de anillos. denota la clase de en
  6. Sean y enteros relativamente primos. Probar que
  7. Sea un homomorfismo de anillos. Sea un ideal de y un ideal de tales que Probar que la función es un homomorfismo de anillos de en
  8. Sean ideales de un anillo conmutativo tal que Probar que la función de en definida por es un homomorfismo de anillos. denota la clase de en

Ideales generado por una parte S[editar]

En nuestro estudio de los grupos, vimos que teníamos grupos y subgrupos generados por un subconjunto del grupo. Estudiaremos la situación análogas para ideales y subconjuntos de un anillo conmutativo y con identidad, que será el caso más relevante para nuestro estudio. Dejamos para ejercicios el caso de subanillos generados o cuando el anillo no es conmutativo.

Sean un anillo (conmutativo y con identidad) y un subconjunto de Supongamos que y que denota a un ideal que contienen a Cualquier producto de un elemento de por un elemento de debe ser elemento de en particular, sus opuestos aditivos. Además, por ser un subgrupo aditivo, la suma de esos productos deberá estar en Tales consideraciones sugieren la siguiente proposición.

Proposición 7. (Ideal generado por una parte ) Sean un anillo (conmutativo y con identidad) y un subconjunto de Sea el subconjunto de formado por todos los elementos de la forma

(*


Entonces, es un ideal que está contenido en cualquier ideal que contenga a

    Demostración: Sean y elementos de Entonces,

    Lo que prueba que es un ideal. El resto sigue de la discusión anterior.

Nomenclatura y Notación.

Sean e como en la proposición. Decimos que es el ideal generado por y lo simbolizamos por


Llamamos combinación lineal (con coeficientes en ) de los elementos de a cualquier elemento de la forma de la relación (*). Con esta nomenclatura, el ideal generado por consiste de todas las combinaciones lineales (con coeficientes en el anillo) de los elementos de

Al igual que el caso de subgrupos generados, podemos caracterizar al ideal generado por una intersección de ideales.

Proposición 8. (Intersección de Ideales) La intersección de una familia de ideales es un ideal. En particular, la intersección de ideales que contienen a un subconjunto es un ideal que es igual al ideal generado por

    Demostración: Sea una familia de ideales de un anillo y sea la intersección de todos esos ideales. El cero está en todos los ideales, por lo tanto, en Sean elementos de Como es la parte común a todos los ideales 's, tenemos que y están en cada Por ser ideal, tenemos que y (para cada de están en Es decir que y están en cada uno de los 's, por lo que están en la parte común a todos, es decir en Lo que prueba que es un ideal de En particular, la familia de ideales que contienen a tienen como intersección a un ideal que contiene a y por ser la intersección está contenido en cualquier ideal con esa propiedad. Como es uno de esos ideales, contiene a pero cada elemento de está contenido en cualquier ideal que contenga a Luego

Ideales finitamente generados[editar]

Decimos que un ideal es finitamente generado, ssi, hay un conjunto finito que lo genera. Cuando el conjunto de generadores tiene solamente un elemento, decimos que el ideal es principal.


En el anillo de los Enteros, todos los ideales son principales, ya que todos son de la forma , para algún entero

Ejemplo (Identidad de Bezout de los Enteros) .

Sea Sean y dos números enteros positivos. Consideremos el ideal generado por y Como los ideales de son principales, hay un entero positivo tal que . Luego debe ser una combinación lineal de y Es decir que habrá enteros tales que

Como y están en se tiene es un divisor de y La relación anterior implica, además, que cualquier divisor común de y será un divisor de es decir que es el máximo común divisor de y Tenemos entonces que

Identidad de Bezout.

Si entonces hay enteros tal que



Ejercicios[editar]

  1. Sea un anillo conmutativo con identidad y sean ideales de Probar que
    1. es un ideal de
    2. Sea el ideal generado por todos los productos tales que está y está en Probar que Buscar ejemplo donde
    3. Sea es un ideal de
    4. El cociente Probar que es un ideal.

    ¿Cuándo se usa la hipótesis de conmutatividad?

  2. El ideal generado por es un ideal generado por un número positivo que es igual al mínimo común múltiplo de y
  3. Sea el ideal generado por 6 en Hallar todos los ideales que contienen a
  4. Probar que si entonces
  5. (Subanillo Generado) Sea un subconjunto de un anillo (que no suponemos ni conmutativo ni con identidad. Sea un subanillo que contiene a
    1. Cualquier múltiplo entero de un elemento de es un elemento de
    2. Cualquier producto de elementos de está en
    3. La suma de elementos de la formas indicadas arriba es un elemento de
    4. Sea el subconjunto de formado por todos los elementos de de la forma

      donde los 's son enteros cualesquiera y los 's son enteros positivos o nulos. Probar que es un subanillo de que contiene a y que está contenido en cualquier otro subanillo que contenga a

  6. (Ideal Generado) Sea un subconjunto de un anillo (que no suponemos ni conmutativo ni con identidad. Sea el subconjunto de formado por todos los elementos de de la forma

    donde los 's son enteros y los 's y los s son elementos de Probar que es un ideal de que contiene a y que está contenido en cualquier otro ideal que contenga a

  7. ¿Cómo modificar los ejercicios anteriores (subanillos e ideales generados, así como la proposición 7, para incluir la posibilidad de que el conjunto de generadores sea infinito? ¿Qué pasa cuando el conjunto de generadores es vacío?
  8. Sean subanillos de un anillo Probar que es isomorfo a la suma directa de ssi,
    1. y son ideales de
    2. y
    3. está generado por y

Ideales Primos y Maximales[editar]

Antes de entrar en la materia estableceremos el siguiente convenio que usaremos en el resto del texto

CONVENIO
ANILLOS CONMUTATIVOS CON IDENTIDAD

De ahora en adelante, supondremos que nuestros anillos son conmutativos con identidad, a menos que se indique algo distinto.



Hay dos tipos de ideales que serán importantes en nuestros estudios posteriores:ideales primos e ideales maximales.

Definición. (Ideal Maximal) Sea un anillo conmutativo con identidad. Un ideal de es maximal, ssi, y cualquier otro ideal que lo contenga es igual a él o es todo el anillo. Es decir, ssi, para todo ideal :


En palabras, un ideal maximal es un ideal que no está contenido en otro ideal propio diferente de el.

Ejemplo.

Los ideales de los Enteros, con primo, son ideales maximales.

Sea un ideal que contiene al ideal Como todos los ideales de son principales, hay un número entero positivo tal que Como implica que es un múltiplo de se tiene que es divisible por Lo que implica que o es decir que o lo que prueba que es un ideal maximal.


Criterio para que un Anillo Cociente sea un Cuerpo[editar]

Sea un anillo conmutativo con identidad y sea un ideal de tal que es un cuerpo. Sea un elemento no nulo de (que debe existir ya que es un cuerpo), entonces hay un en tal que En termino del ideal lo anterior dice que para cada que no está en podemos hallar un en tal que es un elemento de

Sea un ideal que contiene a un que no está en y al ideal Observemos que contiene propiamente a Sigue de las consideraciones anteriores que hay un elemento tal que Como es un elemento de tenemos que es un elemento de luego será también un elemento de Lo que prueba que y que, en consecuencia, debe ser un ideal maximal.

Supongamos ahora que es un ideal maximal del anillo Probaremos que es un cuerpo. Como hay un elemento no nulo en lo que implica que no está en Sea el ideal generado por Cada elemento de es de la forma con en y en Claramente, contiene propiamente a por lo que es igual a En particular, esto dice que podemos hallar en y en tales que Pasando al cociente, tenemos que lo que muestra que es invertible en por lo que es un cuerpo.

Hemos probado, así, la siguiente proposición.

Proposición 9. Sea un anillo conmutativo con identidad y sea un ideal de es un cuerpo, ssi, es un ideal maximal de

Ejemplo.

Sea un número entero primo, como es un ideal maximal en tenemos que es un cuerpo.


Ejemplo.

En un cuerpo el ideal es maximal.


Ejemplo.

En un ejemplo anterior, vimos que tiene dos ideales no triviales, y Claramente esos ideales son maximales, ya ninguno de ellos contiene al otro, En consecuencia, y son cuerpos.


Criterio para que un Anillo Cociente sea un Dominio[editar]

Sea un anillo conmutativo con identidad y sea un ideal propio de Supongamos que fuera un dominio de integridad. Sean elementos del anillo tales que está en Pasando al cociente, tendremos entonces que Como es un dominio de integridad, se tiene que o Es decir que, está en o está en

En forma recíproca, sea un ideal tal que en implica que está en o está en Sean elementos de tales que Entonces, está en Por la hipótesis, se tiene que está en o está en Pasando al cociente, esto significa que o Es decir que es un dominio.

Los ideales con la propiedad anterior merecen un nombre especial.

Definición. (Ideal Primo) Sea un anillo conmutativo con identidad. Decimos que un ideal de es un ideal primo, ssi, cuando el producto de dos elementos está en el ideal, al menos uno de los factores debe estar también en el ideal. Es decir, ssi, para todo se cumple que


La discusión anterior a la definición se resume en la siguiente proposición.

Proposición 10. Sea un anillo conmutativo con identidad y un ideal de Entonces, es un dominio, ssi, es un ideal primo. Corolario 10.1. Los Ideales Maximales son Ideales Primos.


    Demostración: Si es un ideal maximal, tenemos que es un cuerpo. Como los cuerpos son dominios de integridad, tenemos que es un dominio de integridad. Por la proposición, es un ideal primo.


Ejemplo. (Ideal primo que no es maximal).

En cualquier dominio de integridad, el ideal es un ideal primo. En efecto, si esta en entonces lo que implica que o o sea que o están en Este ideal no es maximal, a menos que el dominio sea un cuerpo. Es decir que puede que haya ideales primos que no sean maximales, por ejemplo en


Observación. Sea un número primo, el ideal de es un ideal primo, ya que vimos que es un cuerpo.


Ejercicios del Capítulo[editar]

A. Hacer lo indicado}

  1. ¿Cuáles son todos los ideales del anillo de las matrices con coeficientes reales? (Sugerencia, pruebe la siguiente identidad matricial. Luego invente otra identidad, que junto con la primera permita deducir que la identidad es un elemento de cualquier ideal no nulo. Luego, los ideales no nulos serán todos iguales a \ldots ).
  2. Sea un anillo con identidad, pero no necesariamente conmutativo. Probar que si los únicos radicales izquierdos de son los triviales, y todo entonces es un anillo con división.
  3. Sea el anillo de matrices con entradas en el cuerpo Probar que el conjunto de matrices de la forma es un idea l izquierdo (cerrado con respecto a la multiplicación por la izquierda), pero no es un ideal derecho.
  4. (Cálculo) Sea el anillo de las funciones continuas del intervalo cerrado en los Reales. Probar que si es un ideal maximal de hay un número tal que
  5. Sea el anillo de las funciones de en
    1. Hallar tres unidades del anillo
    2. ¿Hay elementos nilpotentes en ?
    3. ¿Hay elementos idempotentes en ?
    4. Sean y las funciones tales que para dodo en se cumple que y Describir al subanillo generado por ambas funciones. ¿Es un ideal?
  6. Sea un entero primo y sea
    1. Probar que es un subanillo de pero no es un subcuerpo de
    2. Hallar las unidades de
    3. Probar que todos los ideales de son principales y de la forma ,
    4. Describir .
  7. Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal.
  8. ¿Cuáles son todos los ideales de cualquiera? (Sug. Probar que si es un ideal entonces es un ideal de que contiene a ) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de Buscar los ideales primos y maximales entre ellos.
  9. Sea una cadena de ideales (quizás infinita). Sea la reunión de todos esos ideales. Probar que es un ideal. (La reunión está formada pro todos los elementos que están en alguno de los ideales de la cadena.)
  10. Sea un anillo con la propiedad de que cada ideal es finitamente generado. Probar que cualquier cadena ascendente de ideales se estabiliza, es decir que existe un tal que implica que
  11. Sea un número entero y sea , Mostrar que la cadena de ideales

    no se estabiliza, o sea que es infinita.

  12. Sea un ideal de un anillo conmutativo con identidad. Llamamos radical de al conjunto denotado por y definido como el conjunto de todos los elementos de que tiene un potencia entera positiva en

    Probar que:

    1. es un ideal que contiene a
    2. Cuando es un ideal maximal (propio no contenido en otros ideal propio) entonces
  13. Sean un anillo y un subconjunto no vacío de Simbolicemos por al conjunto de elementos de tales que para todo en Probar que:
    1. es un ideal izquierdo de
    2. Si es un ideal izquierdo de entonces es un ideal (bilateral) de
  14. (Relación entre divisibilidad e ideales en los Enteros.) Sean y enteros no nulos. Decimos que es un factor de cuando hay un entero tal que Probar las afirmaciones siguientes, cuando y son enteros.
    1. Un entero es un factor de un entero ssi,
    2. y es el mínimo común múltiplo de y
    3. donde
  15. Investigar las relaciones entre subanillos e ideales de los factores de un producto directo y loa subanillos e ideales de producto. Conjeturar teoremas y probarlos.

B. Relaciones con la Teoría de Números}

    es la función de Euler, donde es la cantidad de números enteros positivos que son relativamente primos con
  1. Probar que
  2. Probar que cuando es primo,
  3. Probar que cuando se cumple que
    1. (Como anillos con Identidad)
    2. (Unidades)
  4. Probar que cuando entonces
  5. Probar que la ecuación tiene solución, ssi, es un divisor de
  6. Probar que la ecuación tiene una única solución es ssi, y son relativamente primos.
  7. Hallar una solución al sistema de congruencias:

    Probar que cuando y son soluciones, entonces

  8. Generalizar los resultados del ejercicio anterior.

Comentarios[editar]

Los ideales fueron introducidos por Richard Dedekind [1] estudiando divisibilidad en anillos de enteros algebraicos (ceros de polinomios mónicos con coeficientes enteros). Gran parte de la teoría fue desarrollada posteriormente por David Hilbert y Emmy Noether.

Notas[editar]

  1. Richard Dedekind (1831-1916)