Introducción[editar]
En este capítulo, veremos el teorema fundamental de homomorfismos, usualmente atribuido a Emmy Noether (1882-1935), que relaciona de una manera brillante los grupos cocientes con las imágenes homomórficas de un grupo. Aplicaremos dichos resultados para obtener unos resultados clásicos de la teoría de números.
Teorema Fundamental de Homomorfismos[editar]
Recordemos que cuando un homomorfismo
es un supramorfismo, entonces decimos que
es una imagen homomórfica de
. El teorema fundamental establece una correspondencia biyectiva entre las imágenes homomórficas de
y los subgrupos normales de
.
Teorema de Fundamental de Homomorfismos (Teorema de Noether) [1]
Sea
un homomorfismo de grupos y sea
el núcleo de
. Entonces,
El isomorfismo está dado por la correspondencia
que a cada
de
asocia el elemento
de
.
Demostración: Primeramente, estableceremos que
es una función bien definida, es decir que su valor es independiente del representante de la clase usado para computar su valor.
Sea
en
. Entonces, hay un
en
tal que
. Luego,
|
|
|
Lo que prueba que
está bien definida. Probaremos, ahora que se trata de un homomorfismo.
|
|
|
Claramente,
es suprayectiva, por lo que basta verificar que es inyectiva, para concluir que se trata de un isomorfismo. Si
se tiene que
por lo que
está en
de donde
el neutro de
lo que prueba la inyectividad de
.
Corolario.
Sea f:G --> H un homomorfismo de grupos y sea G un grupo finito. Entonces,
|G| = |f(G)| |ker(f)|.- Demostración: Se tiene del isomorfismo anteriormente establecido que |f(G)|= |G/K|, donde K = ker(f). De donde, por el teorema de Lagrange obtendremos que |G| = |G/K||K|, lo que al sustituir en la relación anterior nos da el resultado deseado.
Notemos que el orden de la imagen de un homomorfismo es un divisor del orden del grupo.
Cómputo de Homomorfismos[editar]
Ejemplo.
Hallar todos los homomorfismos posibles desde
en
.
Resolución: Sea
un homomorfismo. Entonces,
implica que
o
. En el segundo caso, se trata de
el neutro en
. En el primer caso, se trata de un monomorfismo que envía el
en un elemento de orden 5 en
. ¿Cuáles son los elementos de orden 5 en
? La respuesta es 2, 4, 6, y 8. Por lo tanto, tenemos homomorfismos dados por
donde a = 2, 4, 6 u 8.
Ejemplo.
Hallar todos los homomorfismos posibles desde
en
.
Resolución:Sea
el homomorfismo que envía el generador
de
en el generador
de
.
Entonces,
implica que
es un divisor de 12, o sea 1, 2, 3, 4, 6 o 12. Por su
parte
o sea que se tiene que
es igual a 1 o 3 o 9 elementos.
-
corresponde al homomorfismo trivial que envía
todo en el neutro.
-
es imposible por que entonces
.
- Sea
se debe cumplir que
sea un divisor de 9. Lo que nos dice inmediatamente que
o
Es decir que tenemos la posibilidad adicional de que
Entonces,
.
Los homomorfismos son:
-
donde
es el residuo de la división de
por 4.
-
donde
es el residuo de la división de
por 4.
- (Homomorfismos y ordenes) Sea
un homomorfismo de grupos. Si
entonces
.
- Sea
el grupo lineal (las matrices
invertibles sobre los Reales). El subgrupo
de
formado por las matrices de determinante 1 es un subgrupo normal de
. Describir a su grupo cociente.
- Sea
un grupo. Para cada elemento
de
definamos la función
(conjugación por
) de
en sí mismo, por:
.
- Probar que c_g es un isomorfismo de grupos.
- Si H es un subgrupo de G, entonces c_g(H) será también un subgrupo de G, llamado el conjugado de
por c_g. Probar que
es normal en
ssi, coincide con todos sus conjugados.
- ¿Qué relación hay entre el diagrama de los subgrupos de un grupo y el correspondiente diagrama para un grupo cociente del mismo?
- (Isomorfismo de Productos)
- Sean
y
numeros enteros positivos relativamente primos entre si. Probar que el grupo
es isomorfo a
.
- Sean
enteros positivos relativamente primos entre sí. Entonces,
|
|
|
donde
.
- ¿Cuáles son todos los homomorfismos posibles de
en
y viceversa?
- Listar todos los posibles homomorfismos de
en
cuando r y s son iguales respectivamente a
(a) 4, 2. (b) 6, 2. (c) 6, 3. (d) 9, 3.
- Listar todos los posibles homomorfismos de
en
(a) r = 1, s = n. (b) r = 2, s = 3,4,5,n. (c) r = 4, s = 5,n. (d) r = 4, s = 6,9,n,2n.
- Sea
tal que
.
- Probar que f es un homomorfismo de grupos.
- Probar que
donde
es el conjunto de todos los complejos cuyo módulo es igual a 1. Geométricamente,
es la circunferencia unitaria del plano complejo.
- Hallar el núcleo
de
. (Se trata de un grupo muy conocido).
- Aplicar el teorema de Noether, para concluir que
- (Segundo Teorema de Isomorfismo) Sea
un grupo y
subgrupos normales de
tales que
. Probar las siguientes afirmaciones.
-
implica
.
-
.
- La función
tal que
es un supramorfismo de grupos.
- El núcleo de
consiste de todos las clase
tales que
está en
o sea
.
-
(Segundo Teorema).
- (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sea
un grupo y
subgrupos de
tales que
es normal en
. Probar las siguientes afirmaciones.
-
es un subgrupo de
.
-
es un subgrupo normal de
.
-
es un subgrupo de
.
-
es un subgrupo normal de
.
- Sea
la asignación a cada
de
de
es un supramorfismo de grupos.
- El kernel de
es
.
-
(Tercer Teorema).
Aplicaciones[editar]
Teorema Chino de los Residuos[editar]
Como una primera aplicación del teorema de Noether, probaremos el siguiente resultado.
Proposición 1. Si
y
son enteros relativamente primos entre si, se cumple que
Demostración: Sea
tal que
Como
tenemos que
es un homomorfismo de grupos.
Computemos ahora el núcleo de
Si
entonces
es divisible tanto por
como por
por ser
y
relativamente primos, tenemos que es divisible por
por lo que pertenece a
Observemos, además, que cualquier elemento de
es divisible tanto por
como por
por lo que su imagen por
será precisamente
Es decir que el núcleo de
es
Luego, por el teorema de Noether,
Es decir,
Pero, como
concluimos que
por lo que
La proposición anterior tiene el siguiente corolario, que aparece en la literatura matemática como el teorema Chino de los Residuos.
Corolario 1.1.
Sean
... ,
numeros enteros relativamente primos entre si. Sea
igual al producto de esos números. Entonces,

por un isomorfismo
tal que
![{\displaystyle \phi ([x]_{n})=([x]_{n_{1}},[x]_{n_{2}},\dots ,[x]_{n_{k}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f02993f2f83a036118ba794eed5276f145ef2e3)
Demostración: Inducción sobre 
Hay un teorema de igual nombre en teoría de números que enunciamos a continuación.
Corolario (Teorema Chino de los Residuos para los Números Enteros) Sean
\dots,
números enteros relativamente primos entre si y sea
el producto de esos números. El sistema de congruencias

tiene una solución entera. Dos de esas soluciones son congruentes módulo
Demostración: Sea
el isomorfismo del corolario anterior. La solución a la congruencia es cualquier
tal que
La función
de Euler[editar]
Recordemos que
es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que
que son relativamente primos con
Sabemos que las clases de congruencia de esos números determinan al grupo multiplicativo
En esta sección, probaremos un resultado que permitirá computar
para cualquier valor entero de
Necesitaremos el resultado de la siguiente proposición.
Proposición 2. Sean
y
dos enteros positivos relativamente primos. Entonces,
|
|
|
Demostración: Consideremos el grupo
y sean
y
los subgrupos definidos por
y
Probaremos que
Se tiene que
y
son normales en
porque
es un grupo abeliano. Si
y
tenemos que
es divisible por
y
lo que implica, por ser
y
relativamente primos, que
es divisible por
o sea que
Es decir que
Para probar lo anunciado, solamente nos falta probar que
está generado por
y
Como
y
son relativamente primos, hay enteros
tales que
Sean
y
Observemos que
está en
y que
está en
Además,
Lo que prueba que
Por la proposición sobre el producto de subgrupos normales, tenemos que
Probaremos ahora que
y que
lo que concluirá la demostración de la proposición.
Observemos que si
es relativamente primo con
se cumple que
es relativamente primo con
Por lo que la correspondencia
induce una función
Claramente, esta función es un homomorfismo. Si
en
es tal que
se debe cumplir que
y
Sigue del teorema Chino de los Residuos, que hay un único elemento con esa propiedad, 1. Por lo que
es un monomorfismo. Para probar que
es suprayectiva, para cada
en
debemos poder hallar un entero
en
tal que
Es decir un entero
tal que
y
Nuevamente, por el teorema Chino de los Residuos, tal
existe, Luego
es un isomorfismo de
en
De manera análoga, se verifica que
Luego,
|
|
|
Contando los elementos en la relación de la proposición anterior, tenemos el siguiente resultado.
Proposición 3. Sean m</math> y
enteros positivos relativamente primos. Entonces, se cumple que
{Eqn|
}}
Una función de los Enteros en los Enteros con la propiedad anterior, se dice que es
Veremos como la proposición anterior, junto con la fórmula para potencias de primos
permite computar
para todo número natural
Proposición 4. Sea n</math> un número entero positivo mayor que 1. Si la descomposición en factores primos de
es
entonces,
Demostración: Aplicar la proposición anterior e inducción.
Ejemplo.
Hallar
Como
- Hallar enteros
tales que
Los Grupos Simples[editar]
Los grupos simples son una familia muy importante de grupos.
Definición. (Grupo Simple) Decimos que un grupo es simple cuando no contiene subgrupos propios no nulos que sean normales.
Sigue del teorema de Noether que cuando
es simple y
es un homomorfismo, entonces
es el homomorfismo trivial
o
es un isomorfismo sobre su imagen.
Sea
cualquier grupo finito abeliano. Recordemos que cualquier subgrupo de
es normal en
Sea
un elemento no nulo de
y sea
Si
entonces el grupo es cíclico y tiene subgrupos para cada divisor positivo de
por lo que será simple, ssi,
es primo. Si
entonces
es un subgrupo propio de
y, por lo tanto, normal en
Proposición 5.
Los grupos finitos abelianos simples son los cíclicos de orden primo.
Sea G un grupo finito cualquiera. Cuando G no sea simple, deberá tener un subgrupo normal propio. Seleccionemos un subgrupo N normal maximal. Es decir tal que no haya un subgrupo normal H distinto de N y G, que contenga a N. En tal situación, tenemos el siguiente lema.
Lema.
Sea
un grupo finito cualquiera y sea
un subgrupo normal maximal de
Entonces,
es simple.
Demostración: Sea
el supramorfismo canónico,
Supongamos que
no fuera simple. Entonces, habría un subgrupo normal propio de
digamos
Sea
la imagen inversa de
es decir que
Sabemos que
es un subgrupo de
Probaremos que contiene propiamente a
que está contenido propiamente en
y que es normal en G, lo que contradice la maximalidad de
Como
es un subgrupo propio de
se tiene que
es decir que hay un
en
que es diferente de
o sea tal que
es diferente de
lo que implica que
es un elemento de
que no está en
Análogamente, como
hay un
que no está en
por lo que
no está en
Luego,
es un subgrupo propio de
que contiene propiamente a
Veamos. ahora, por qué es normal en
Sea
un elemento cualquiera de
y
un elemento de
Entonces,
como
es normal en
tenemos que
es un elemento de
lo que implica que
esta en
o sea que
Series de Composición[editar]
Sea
un grupo finito cualquiera. Veremos, ahora, como generar una cadena finita de subgrupos de
|
|
(**)
|
tal que cada
es un subgrupo normal maximal de
Sea
un subgrupo normal maximal de
Si
es simple,
En caso contrario, seleccionar un
que sea normal y maximal.
Repitamos el proceso anterior, usando como grupo inicial a
obteniendo un subgrupo
que sea normal maximal en
Repetir el proceso hasta que el subgrupo maximal normal sea
Como cada subgrupo obtenido está propiamente contenido en el subgrupo anterior, el proceso anterior tiene una cantidad finita de pasos.
En la cadena (**) de subgrupos, se tiene que
es simple. La sucesión
|
|
|
se llama una serie de composición para
Se puede probar que, seleccionando cualquier subgrupo maximal inicial como
(pueden haber varios) que la serie de composición es esencialmente la misma, excepto por una permutación de los grupos cocientes que allí aparecen (teorema de Jordan-Holder). Es decir que la serie solamente depende del grupo G, por lo que grupos isomórficos tienen esencialmente la misma serie. En ese sentido, los grupos simples son los bloques básicos para los grupos finitos generales.
Una de las tareas importantes realizadas por los matemáticos en el siglo XX, fue la construcción de un catálogo de los grupos finitos simples. La tarea envolvió a matemáticos de diferentes países y épocas. Finalmente, en 1982 se estimó que se había completado el catálogo. La demostración de los elementos del catálogo así como de su completitud ocupa varios miles de páginas, distribuidas en centenares de artículos. Una tarea, todavía en proceso (2011), es la reescritura unificada de tal demostración.
Hay otros tipos de series, por ejemplo requiriendo que los cocientes sean abelianos (no necesariamente simples), que caracterizan a familias de grupos.
Ejercicios del Capítulo[editar]
- Sea
un grupo y sea
el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de
o sea, los elementos de la forma
Probar o hacer lo indicado.
-
es un grupo abeliano.
- Si
y
es abeliano, entonces
contiene a
- Hallar el grupo de conmutadores de
y
- Sea
un grupo cuyos únicos subgrupos son los triviales:
y
Probar que
es finito y su orden es un número primo.
- Un grupo que contiene un subgrupo de orden 2 no es simple.
- Sea
todas las matrices invertibles con entradas que son elementos de
Hallar todas las matrices de ese conjunto y verificar que determinan un grupo. Hallar un grupo conocido isomorfo a ese grupo.
- Sean
y
subgrupos normales de un grupo
Probar las siguientes afirmaciones.
- Si
y
entonces
- Sea
un grupo de orden
con
impar. Probar que
tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.
- La siguiente afirmación es una proposición de la teoría de números enteros que se pueden probar aplicando la teoría de grupos a los grupos
para un
adecuado.
(Wilson) Si
es un primo,
}.
- Sea
un grupo y sea
el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de
o sea, los elementos de la forma
Probar o hacer lo indicado.
-
es un grupo abeliano.
- Si
y
es abeliano, entonces
contiene a
- Hallar el grupo de conmutadores de
y
Sea
un grupo de orden
donde
es un primo impar. Probar que
es el grupo cíclico
o el grupo dihedral
Clasificar cada una de las siguientes afirmaciones como válidas o falsas. Cuando sea válida dar una explicación o demostración de su validez. En caso contrario, proveer un contraejemplo.
- Todo grupo
contiene un subgrupo propio cíclico.
- Cuando el conjunto de generadores de un grupo es finito, entonces el grupo es finito.
- Si el orden de
es
para todo divisor
de
hay un elemento de
de orden
- Si el orden de
es
para todo divisor primo
de
hay un elemento de
de orden
- En un grupo
de orden
todos los elementos no nulo tienen orden
- Hay grupos de orden
donde para todo
en
se cumple que
para un entero positivo
- La imagen homomórfica de un grupo cíclico es un grupo cíclico.
- La imagen homomórfica de un grupo infinito es siempre un grupo infinito.
- Un subgrupo
es normal, ssi, coincide con todos sus conjugados.
- Un grupo de orden 121 contiene un elemento de orden 11.
- Un grupo de orden 100 tiene un subgrupo de orden 4, pero no un subgrupo de orden 8.
- Un subgrupo de orden 256 contiene un subgrupo de orden 16.
(Variación del Teorema de Noether) Sea
un homomorfismo de grupos. Sean
la suprayección canónica,
tal que
y
la función definida por la inclusión.
se puede factorizar como
- Verificar que
se puede factorizar como
Comparar esa factorización con la factorización de funciones del apéndice Las Funciones.
- Probar que las funciones en la factorización son homomorfismos de grupos.
Sea
un monoide. Sea
un submonoide de
(o sea un subconjunto cerrado de
que contiene al neutro).
- Definir clases laterales
e
Probar que la relación
ssi,
es un relación de equivalencia en
Denotaremos por
al conjunto formado por todas las clases de equivalencia.
- Suponer que
es tal que para todo
en
Probar que
es una operación bien definida en
que provee a
con una estructura de monoide tal que la función
de
en
es un homomorfismo suprayectivo de monoides.
- Enunciar un teorema análogo al teorema de Noether para los homomorfismo de monoides.
Comentarios[editar]
Teoremas de Isomorfismos.
El teorema de Noether es llamado el primer teorema de isomorfismos porque hay al menos otros dos. No parece haber acuerdo acerca de cuál de ellos es el segundo y cuál es el tercero. Ver enunciados de esos teoremas en los ejercicios de la sección Teorema Fundamental de Homomorfismos
Ver también Wikipedia:Teoremas de Isomorfía
- ↑ Algunas veces, en la literatura matemática, se llama al teorema, "el primer teorema de homomorfismos". Ver los comentarios.