Álgebra Abstracta/Teoremas de Homomorfismos

Introducción

En este capítulo, veremos el teorema fundamental de homomorfismos, usualmente atribuido a Emmy Noether (1882-1935), que relaciona de una manera brillante los grupos cocientes con las imágenes homomórficas de un grupo. Aplicaremos dichos resultados para obtener unos resultados clásicos de la teoría de números.

Teorema Fundamental de Homomorfismos

Recordemos que cuando un homomorfismo $f:G\longrightarrow H$ es un supramorfismo, entonces decimos que $H$ es una imagen homomórfica de $G$ . El teorema fundamental establece una correspondencia biyectiva entre las imágenes homomórficas de $G$ y los subgrupos normales de $G$ .

Teorema de Fundamental de Homomorfismos (Teorema de Noether)

Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y sea $K$ el núcleo de $f$ . Entonces, $f(G)\cong G/K.$

El isomorfismo está dado por la correspondencia ${\overline {f}}$ que a cada $xK$ de $G/K$ asocia el elemento $f(x)$ de $f(G)$ .

Demostración: Primeramente, estableceremos que ${\overline {f}}:xK\mapsto f(x)$ es una función bien definida, es decir que su valor es independiente del representante de la clase usado para computar su valor. Sea $y$ en $xK$ . Entonces, hay un $k$ en $K$ tal que $y=xk$ . Luego,

$f(y)=f(xk)=f(x)f(k)=f(x)e_{H}=f(x).$

Lo que prueba que $f$ está bien definida. Probaremos, ahora que se trata de un homomorfismo.

${\overline {f}}(xKyK)={\overline {f}}(xyK)=f(xy)=f(x)f(y)={\overline {f}}(xK){\overline {f}}(yK).$

Claramente, ${\overline {f}}$ es suprayectiva, por lo que basta verificar que es inyectiva, para concluir que se trata de un isomorfismo. Si ${\overline {f}}(xK)=e_{H}$ se tiene que $f(x)=e_{H},$ por lo que $x$ está en $K,$ de donde $xK=K,$ el neutro de $G/K,$ lo que prueba la inyectividad de ${\overline {f}}$ .

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Corolario.

Sea f:G --> H un homomorfismo de grupos y sea G un grupo finito. Entonces,

|G| = |f(G)| |ker(f)|.

Demostración: Se tiene del isomorfismo anteriormente establecido que |f(G)|= |G/K|, donde K = ker(f). De donde, por el teorema de Lagrange obtendremos que |G| = |G/K||K|, lo que al sustituir en la relación anterior nos da el resultado deseado.

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Notemos que el orden de la imagen de un homomorfismo es un divisor del orden del grupo.

Cómputo de Homomorfismos

Ejemplo.

Hallar todos los homomorfismos posibles desde $\mathbb {Z} _{5}$ en $\mathbb {Z} _{10}$ .

Resolución: Sea $f:\mathbb {Z} _{5}\rightarrow \mathbb {Z} _{10}$ un homomorfismo. Entonces, $\ker(f)\vartriangleleft \mathbb {Z} _{5}$ implica que $|\ker(f)|=1$ o $|\ker(f)|=5$ . En el segundo caso, se trata de $f(x)=0_{10},$ el neutro en $\mathbb {Z} _{10}$ . En el primer caso, se trata de un monomorfismo que envía el $1_{5}\in \mathbb {Z} _{5}$ en un elemento de orden 5 en $\mathbb {Z} _{10}$ . ¿Cuáles son los elementos de orden 5 en $\mathbb {Z} _{10}$ ? La respuesta es 2, 4, 6, y 8. Por lo tanto, tenemos homomorfismos dados por $f_{a}(x)=ax$ donde a = 2, 4, 6 u 8.

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Ejemplo.

Hallar todos los homomorfismos posibles desde ${\textsf {C}}_{12}$ en ${\textsf {C}}_{9}$ .

Resolución:Sea $f$ el homomorfismo que envía el generador $a$ de ${\textsf {C}}_{12}$ en el generador $b$ de ${\textsf {C}}_{9}$ . Entonces, $\ker(f)\vartriangleleft {\textsf {C}}_{12}$ implica que $|ker(f)|$ es un divisor de 12, o sea 1, 2, 3, 4, 6 o 12. Por su parte $f({\textsf {C}}_{12})<{\textsf {C}}_{9},$ o sea que se tiene que $|f({\textsf {C}}_{12})|$ es igual a 1 o 3 o 9 elementos.

• $|ker(f)|=12$ corresponde al homomorfismo trivial que envía todo en el neutro.
• $|ker(f)|=1$ es imposible por que entonces $|f(G)|=|G|$ .
• Sea $q=|ker(f)|\neq 1,12$ se debe cumplir que $12/q$ sea un divisor de 9. Lo que nos dice inmediatamente que $q=4$ o $q=12..$ Es decir que tenemos la posibilidad adicional de que $ker{f}=\langle a^{3}\rangle .$ Entonces, $G/\ker(f)=[e]=\{e,a^{3},a^{6},a^{9}\},[a]=\{a,a^{4},a^{7},a^{10}\},[a^{2}]=\{a^{2},a^{5},a^{8},a^{11}\}\}$ .

Los homomorfismos son:

• $a^{k}\mapsto (b^{3})^{r},$ donde $r$ es el residuo de la división de $k$ por 4.
• $a^{k}\mapsto (b^{6})^{r},$ donde $r$ es el residuo de la división de $k$ por 4.

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Ejercicios

1. (Homomorfismos y ordenes) Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Si $f(a)=b,$ entonces $o(b)|o(a)$ .
2. Sea $G={\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ el grupo lineal (las matrices $2\times 2$ invertibles sobre los Reales). El subgrupo ${\textsf {SL}}_{2}(\mathbb {R} )$ de $G,$ formado por las matrices de determinante 1 es un subgrupo normal de $G$ . Describir a su grupo cociente.
3. Sea $G$ un grupo. Para cada elemento $g$ de $G$ definamos la función $c_{g}$ (conjugación por $g$ ) de $G$ en sí mismo, por: $c_{g}:x\mapsto gxg^{-1}$ .
   1. Probar que c_g es un isomorfismo de grupos.
   2. Si H es un subgrupo de G, entonces c_g(H) será también un subgrupo de G, llamado el conjugado de $H$ por c_g. Probar que $H$ es normal en $G,$ ssi, coincide con todos sus conjugados.
4. ¿Qué relación hay entre el diagrama de los subgrupos de un grupo y el correspondiente diagrama para un grupo cociente del mismo?
5. (Isomorfismo de Productos)
   1. Sean $r$ y $s$ numeros enteros positivos relativamente primos entre si. Probar que el grupo ${\textsf {C}}_{r}\times {\textsf {C}}_{s}$ es isomorfo a ${\textsf {C}}_{rs}$ .
   2. Sean $n_{1},n_{2},\dots ,n_{k}$ enteros positivos relativamente primos entre sí. Entonces,

      ${\textsf {C}}_{n_{1}}\times {\textsf {C}}_{n_{2}}\times {\textsf {C}}_{n_{k}}\cong {\textsf {C}}_{n},$

      
      donde $n=n_{1}n_{2}\cdots n_{k}$ .

6. ¿Cuáles son todos los homomorfismos posibles de ${\textsf {C}}_{10}$ en ${\textsf {C}}_{5}$ y viceversa?
7. Listar todos los posibles homomorfismos de $\mathbb {Z} _{r}$ en $\mathbb {Z} _{s}$ cuando r y s son iguales respectivamente a
   (a) 4, 2.   (b) 6, 2.   (c) 6, 3.   (d) 9, 3.
8. Listar todos los posibles homomorfismos de $\mathbb {Z} _{r}$ en $\mathbb {Z} _{s}$
   (a) r = 1, s = n.   (b) r = 2, s = 3,4,5,n.   (c) r = 4, s = 5,n.    (d) r = 4, s = 6,9,n,2n.
9. Sea $f:<\mathbb {R} ,+>\rightarrow <\mathbb {C} ,\cdot >$ tal que $f(t)=\cos(2\pi t)+i{\text{sen}}(2\pi t)$ .
   1. Probar que f es un homomorfismo de grupos.
   2. Probar que $f(\mathbb {R} )=\mathbb {T}$ donde $\mathbb {T}$ es el conjunto de todos los complejos cuyo módulo es igual a 1. Geométricamente, $\mathbb {T}$ es la circunferencia unitaria del plano complejo.
   3. Hallar el núcleo $K$ de $f$ . (Se trata de un grupo muy conocido).
   4. Aplicar el teorema de Noether, para concluir que $\mathbb {R} /K\cong \mathbb {T}$
10. (Segundo Teorema de Isomorfismo) Sea $G$ un grupo y $H,$ $K$ subgrupos normales de $G$ tales que $H<K$ . Probar las siguientes afirmaciones.
    1. $x\equiv _{H}y$ implica $x\equiv _{K}y$ .
    2. $[x]_{H}\subset [x]_{K}$ .
    3. La función $\mu :G/H\longrightarrow G/K$ tal que $f(xH)=xK$ es un supramorfismo de grupos.
    4. El núcleo de $\mu$ consiste de todos las clase $xH$ tales que $x$ está en $K,$ o sea $K/H$ .
    5. $(G/H)/(K/H)\cong G/K$ (Segundo Teorema).
11. (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sea $G$ un grupo y $H,$ $N$ subgrupos de $G$ tales que $N$ es normal en $G$ . Probar las siguientes afirmaciones.
    1. $NH$ es un subgrupo de $G$ .
    2. $N$ es un subgrupo normal de $NH$ .
    3. $H$ es un subgrupo de $NH$ .
    4. $H\cap N$ es un subgrupo normal de $H$ .
    5. Sea $\mu :H\longrightarrow NH\longrightarrow NH/N$ la asignación a cada $h$ de $H$ de $hN$ es un supramorfismo de grupos.
    6. El kernel de $\mu$ es $\{h\in H:h\in N\}=H\cap N$ .
    7. $H/H\cap K\cong NH/N$ (Tercer Teorema).

Aplicaciones

Teorema Chino de los Residuos

Como una primera aplicación del teorema de Noether, probaremos el siguiente resultado.

Proposición 1. Si $r$ y $s$ son enteros relativamente primos entre si, se cumple que $~\mathbb {Z} _{rs}\cong \mathbb {Z} _{r}\times \mathbb {Z} _{s}.$

Demostración: Sea $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{r}\times \mathbb {Z} _{s}$ tal que $f(x)=([x]_{r},[x]_{s}).$ Como ${\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&([x+y]_{r}[x+y]_{s})=([x]_{r}+[y]_{r},[x]_{s}+[y]_{s})\\&=&([x]_{r},[x]_{s})+([y]_{r},[y]_{s})=f(x)+f(y),\end{array}}$

tenemos que $f$ es un homomorfismo de grupos.

Computemos ahora el núcleo de $f.$ Si $f(x)=([0]_{r},[0]_{s}),$ entonces $x$ es divisible tanto por $r$ como por $s,$ por ser $r$ y $s$ relativamente primos, tenemos que es divisible por $rs,$ por lo que pertenece a $rsZ.$ Observemos, además, que cualquier elemento de $rsZ$es divisible tanto por $r$ como por $s,$ por lo que su imagen por $f$será precisamente $([0]_{r},[0]_{s}).$ Es decir que el núcleo de $f$es $rs\mathbb {Z} .$

Luego, por el teorema de Noether, $\mathbb {Z} _{rs}=\mathbb {Z} /(rs\mathbb {Z} )\cong f(\mathbb {Z} )\subset Z_{r}\times \mathbb {Z} _{s}.$ Es decir, $|f(\mathbb {Z} )|=|\mathbb {Z} _{rs}|=rs.$ Pero, como $|\mathbb {Z} _{r}\times \mathbb {Z} _{s}|=rs,$ concluimos que $f(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} _{s}\times \mathbb {Z} _{s},$ por lo que $\mathbb {Z} _{rs}\cong \mathbb {Z} _{r}\times \mathbb {Z} _{s}.$

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La proposición anterior tiene el siguiente corolario, que aparece en la literatura matemática como el teorema Chino de los Residuos.

Corolario 1.1. Sean $n_{1},$ $n_{2},$ ... , $n_{k},$ numeros enteros relativamente primos entre si. Sea $n$igual al producto de esos números. Entonces,

$\mathbb {Z} _{n}\cong \mathbb {Z} _{n_{1}}\times \mathbb {Z} _{n_{2}}\times \dots \times \mathbb {Z} _{n_{k}}.$

por un isomorfismo $\phi$ tal que

$\phi ([x]_{n})=([x]_{n_{1}},[x]_{n_{2}},\dots ,[x]_{n_{k}}).$

Demostración: Inducción sobre $k.$

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Hay un teorema de igual nombre en teoría de números que enunciamos a continuación.

Corolario (Teorema Chino de los Residuos para los Números Enteros) Sean $n_{1},$ $n_{3},$ \dots, $n_{k},$ números enteros relativamente primos entre si y sea $n$el producto de esos números. El sistema de congruencias

${\begin{array}{rl}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}}\\x&\equiv a_{2}{\pmod {n_{2}}}\\&\quad \vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}\end{array}}$

tiene una solución entera. Dos de esas soluciones son congruentes módulo $n.$

Demostración: Sea $\phi$ el isomorfismo del corolario anterior. La solución a la congruencia es cualquier $x$tal que $[x]_{n}=\phi ^{-1}([a_{1}]_{n_{1}},[a_{2}]_{n_{2}},\ldots ,[a_{k}]_{n_{k}}).$

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La función $\varphi$ de Euler

Recordemos que $\varphi (n)$ es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que $n$ que son relativamente primos con $n.$ Sabemos que las clases de congruencia de esos números determinan al grupo multiplicativo $\mathbb {Z} _{n}^{*}.$ En esta sección, probaremos un resultado que permitirá computar $\varphi (n)$ para cualquier valor entero de $n.$ Necesitaremos el resultado de la siguiente proposición.

Proposición 2. Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos relativamente primos. Entonces,

$\mathbb {Z} _{mn}^{*}\cong \mathbb {Z} _{m}^{*}\times \mathbb {Z} _{n}^{*}.$

Demostración: Consideremos el grupo $G=\mathbb {Z} _{mn}^{*}$ y sean $H$ y $K$ los subgrupos definidos por
$H=\{[x]\in \mathbb {Z} _{mn}^{*}:x\equiv 1{\pmod {n}}\}$ y
$K=\{[x]\in \mathbb {Z} _{mn}^{*}:x\equiv 1{\pmod {m}}\}.$ Probaremos que $G=HK\cong H\times K.$ Se tiene que $H$ y $K$ son normales en $G$ porque $G$ es un grupo abeliano. Si $x\equiv 1{\pmod {n}}$ y $x\equiv 1{\pmod {m}}$ tenemos que $x-1$ es divisible por $m$ y $n,$ lo que implica, por ser $m$ y $n$ relativamente primos, que $x-1$ es divisible por $mn,$ o sea que $x\equiv 1{\pmod {mn}}.$ Es decir que $H\cap K=\{[1]\}.$ Para probar lo anunciado, solamente nos falta probar que $G$ está generado por $H$ y $K.$ Como $m$ y $n$ son relativamente primos, hay enteros $u,$ $v$ tales que $x-1=un+vm,\quad {\text{es decir que}}\quad x=1+un+vm.$

Sean $h=1+nu$ y $k=1+vm.$ Observemos que $[h]$ está en $H$ y que $[k]$ está en $K.$ Además,

$hk=(1+un)(1+vm)=1+un+vm+uvmn\equiv x{\pmod {mn}}.$

Lo que prueba que $G=HK.$ Por la proposición sobre el producto de subgrupos normales, tenemos que $G\cong H\times K.$

Probaremos ahora que $H\cong \mathbb {Z} _{m}^{*}$ y que $K\cong \mathbb {Z} _{n}^{*},$ lo que concluirá la demostración de la proposición.

Observemos que si $x$ es relativamente primo con $mn,$ se cumple que $x$ es relativamente primo con $m.$ Por lo que la correspondencia $[x]_{mn}\rightarrow [x]_{m}$ induce una función $f:H\rightarrow \mathbb {Z} _{m}^{*}.$ Claramente, esta función es un homomorfismo. Si $x$ en $H$ es tal que $f(x)=[x]_{m}=1,$ se debe cumplir que $x\equiv 1{\pmod {m}}$ y $x\equiv 1{\pmod {n}}.$ Sigue del teorema Chino de los Residuos, que hay un único elemento con esa propiedad, 1. Por lo que $f$ es un monomorfismo. Para probar que $f$ es suprayectiva, para cada $[a]$ en $\mathbb {Z} _{m}^{*}$ debemos poder hallar un entero $x$ en $H,$ tal que $[x]_{m}=[a]_{m},$ Es decir un entero $x$ tal que $x\equiv 1{\pmod {n}}$ y $x\equiv a{\pmod {m}}.$ Nuevamente, por el teorema Chino de los Residuos, tal $x$ existe, Luego $f$ es un isomorfismo de $H$ en $\mathbb {Z} _{m}^{*}.$

De manera análoga, se verifica que $K\cong \mathbb {Z} _{n}^{*}.$ Luego,

$G\cong H\times K\cong \mathbb {Z} _{m}^{*}\times \mathbb {Z} _{n}^{*}.$

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Contando los elementos en la relación de la proposición anterior, tenemos el siguiente resultado.

Proposición 3. Sean m</math> y $n$ enteros positivos relativamente primos. Entonces, se cumple que {Eqn|$\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).$ }}

Una función de los Enteros en los Enteros con la propiedad anterior, se dice que es $multiplicativa.$

Veremos como la proposición anterior, junto con la fórmula para potencias de primos

$\varphi (p^{n})=p^{n-1}(p-1),$

permite computar $\varphi (n)$ para todo número natural $n.$

Proposición 4. Sea n</math> un número entero positivo mayor que 1. Si la descomposición en factores primos de$n$ es

$n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\dots p_{k}^{r_{k}},$

entonces,

$\varphi (n)=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{r_{i}-1}(p_{i}-1).$

Demostración: Aplicar la proposición anterior e inducción.

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Ejemplo.

Hallar $\varphi (360).$

Como $360=2^{3}*3^{2}*5,$ $\varphi (360)=2^{2}*1*3*2*4=96.$

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Ejemplo

1. Hallar enteros $x$ tales que ${\begin{array}{rcl}x&\equiv &1{\pmod {2}}\\x&\equiv &2{\pmod {3}}\\x&\equiv &5{\pmod {6}}\\x&\equiv &12{\pmod {13}}\end{array}}$

Los Grupos Simples

Los grupos simples son una familia muy importante de grupos.

Definición. (Grupo Simple) Decimos que un grupo es simple cuando no contiene subgrupos propios no nulos que sean normales.

Sigue del teorema de Noether que cuando $G$ es simple y $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo, entonces $f$ es el homomorfismo trivial $f(G)={e_{H}}$ o $f$ es un isomorfismo sobre su imagen.

Sea $G$ cualquier grupo finito abeliano. Recordemos que cualquier subgrupo de $G$ es normal en $G.$ Sea $g$ un elemento no nulo de $G$ y sea $n=o(g).$ Si $o(g)=|G|$ entonces el grupo es cíclico y tiene subgrupos para cada divisor positivo de $G,$ por lo que será simple, ssi, $|G|$ es primo. Si $o(g)<|G|$ entonces $\langle a\rangle$ es un subgrupo propio de $G$ y, por lo tanto, normal en $G.$

Proposición 5. Los grupos finitos abelianos simples son los cíclicos de orden primo.

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Sea G un grupo finito cualquiera. Cuando G no sea simple, deberá tener un subgrupo normal propio. Seleccionemos un subgrupo N normal maximal. Es decir tal que no haya un subgrupo normal H distinto de N y G, que contenga a N. En tal situación, tenemos el siguiente lema.

Lema. Sea $G$ un grupo finito cualquiera y sea $N$ un subgrupo normal maximal de $G.$ Entonces, $G/N$ es simple.

Demostración: Sea $f:G\longrightarrow G/N$ el supramorfismo canónico, $x\mapsto xN.$ Supongamos que $G/N$ no fuera simple. Entonces, habría un subgrupo normal propio de $G/N,$ digamos $K.$ Sea $H$ la imagen inversa de $K,$ es decir que $H=\{x\in G:f(x)\in K\}.$

Sabemos que $H$ es un subgrupo de $G.$ Probaremos que contiene propiamente a $N,$ que está contenido propiamente en $G$ y que es normal en G, lo que contradice la maximalidad de $N.$

Como $K$ es un subgrupo propio de $G/N,$ se tiene que $H\neq e_{G/N}$ es decir que hay un $xN$ en $K$ que es diferente de $e_{G/N}=N$ o sea tal que $xN$ es diferente de $N,$ lo que implica que $x$ es un elemento de $H$ que no está en $N.$ Análogamente, como $K\neq G/N,$ hay un $xN$ que no está en $K,$ por lo que $x$ no está en $H.$ Luego, $H$ es un subgrupo propio de $G$ que contiene propiamente a $N.$ Veamos. ahora, por qué es normal en $G.$ Sea $g$ un elemento cualquiera de $G$ y $x$ un elemento de $H.$ Entonces, $f(gxg^{-1})=f(g)f(x)f(g)^{-1},$ como $K$ es normal en $G/N$ tenemos que $f(g)f(x)f(g)^{-1}$ es un elemento de $K,$ lo que implica que $gxg^{-1}$ esta en $H,$ o sea que $H\vartriangleleft G.$

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Series de Composición

Sea $G$ un grupo finito cualquiera. Veremos, ahora, como generar una cadena finita de subgrupos de $G$

$\{e\}<N_{k}<N_{k-1}<\cdots <N_{2}<N_{1}<G=N_{0},$

(**)

tal que cada $N_{i+1}$ es un subgrupo normal maximal de $N_{i},$ $i=0,1,\dots ,k-1.$

Sea $N_{1}$ un subgrupo normal maximal de $G.$ Si $G$ es simple, $N_{1}=\{e\}.$ En caso contrario, seleccionar un $N_{1}$ que sea normal y maximal. Repitamos el proceso anterior, usando como grupo inicial a $N_{1},$ obteniendo un subgrupo $N_{2}$ que sea normal maximal en $N_{1}.$ Repetir el proceso hasta que el subgrupo maximal normal sea $\{e\}.$ Como cada subgrupo obtenido está propiamente contenido en el subgrupo anterior, el proceso anterior tiene una cantidad finita de pasos.

En la cadena (**) de subgrupos, se tiene que $N_{i}/N_{i+1}$ es simple. La sucesión

$\{e\},N_{k},N_{k-1}/N_{k},\dots ,N_{1}/N_{2},G/N_{1}$

se llama una serie de composición para $G.$ Se puede probar que, seleccionando cualquier subgrupo maximal inicial como $N_{1}$ (pueden haber varios) que la serie de composición es esencialmente la misma, excepto por una permutación de los grupos cocientes que allí aparecen (teorema de Jordan-Holder). Es decir que la serie solamente depende del grupo G, por lo que grupos isomórficos tienen esencialmente la misma serie. En ese sentido, los grupos simples son los bloques básicos para los grupos finitos generales.

Una de las tareas importantes realizadas por los matemáticos en el siglo XX, fue la construcción de un catálogo de los grupos finitos simples. La tarea envolvió a matemáticos de diferentes países y épocas. Finalmente, en 1982 se estimó que se había completado el catálogo. La demostración de los elementos del catálogo así como de su completitud ocupa varios miles de páginas, distribuidas en centenares de artículos. Una tarea, todavía en proceso (2011), es la reescritura unificada de tal demostración.

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Hay otros tipos de series, por ejemplo requiriendo que los cocientes sean abelianos (no necesariamente simples), que caracterizan a familias de grupos.

Ejercicios del Capítulo

1. Sea $G$ un grupo y sea ${\mathcal {D}}(G)$ el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de $G,$ o sea, los elementos de la forma $xyx^{-1}y^{-1}.$ Probar o hacer lo indicado.
   1. $G/{\mathcal {D}}(G)$ es un grupo abeliano.
   2. Si $N\triangleleft G$ y $G/N$ es abeliano, entonces $N$ contiene a ${\mathcal {D}}(G).$
   3. Hallar el grupo de conmutadores de $D_{8},$ $Q_{8}$ y $A_{4}.$
2. Sea $G$ un grupo cuyos únicos subgrupos son los triviales: $G$ y $\{e\}.$ Probar que $G$ es finito y su orden es un número primo.
3. Un grupo que contiene un subgrupo de orden 2 no es simple.
4. Sea ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {Z} _{2})$ todas las matrices invertibles con entradas que son elementos de $\mathbb {Z} _{2}.$ Hallar todas las matrices de ese conjunto y verificar que determinan un grupo. Hallar un grupo conocido isomorfo a ese grupo.
5. Sean $H,$ $J,$ $K$ y $L$ subgrupos normales de un grupo $G.$ Probar las siguientes afirmaciones.
   1. Si $H\triangleleft J$ y $K\triangleleft L$ entonces $H\cap K\triangleleft J\cap L,$
6. Sea $G$ un grupo de orden $2s$ con $s$ impar. Probar que $G$ tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.
7. La siguiente afirmación es una proposición de la teoría de números enteros que se pueden probar aplicando la teoría de grupos a los grupos $\mathbb {Z} _{n}^{*},$ para un $n$ adecuado. (Wilson) Si $p$ es un primo, $(p-1)!\cong -1{\pmod {p}}$}.
8. Sea $G$ un grupo y sea ${\mathcal {D}}(G)$ el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de $G,$ o sea, los elementos de la forma $xyx^{-1}y^{-1}.$ Probar o hacer lo indicado.
   1. $G/{\mathcal {D}}(G)$ es un grupo abeliano.
   2. Si $N\triangleleft G$ y $G/N$ es abeliano, entonces $N$ contiene a ${\mathcal {D}}(G).$
   3. Hallar el grupo de conmutadores de $D_{8},$ $Q_{8}$ y $A_{4}.$

   
   

9. Sea $G$ un grupo de orden $2p$ donde $p$ es un primo impar. Probar que $G$ es el grupo cíclico ${\textsf {C}}_{2p}$ o el grupo dihedral $D_{2p}.$
10. Clasificar cada una de las siguientes afirmaciones como válidas o falsas. Cuando sea válida dar una explicación o demostración de su validez. En caso contrario, proveer un contraejemplo.
    1. Todo grupo $G$ contiene un subgrupo propio cíclico.
    2. Cuando el conjunto de generadores de un grupo es finito, entonces el grupo es finito.
    3. Si el orden de $G$ es $n,$ para todo divisor $d$ de $G,$ hay un elemento de $G$ de orden $d.$
    4. Si el orden de $G$ es $n,$ para todo divisor primo $p$ de $G,$ hay un elemento de $G$ de orden $p.$
    5. En un grupo $G$ de orden $n,$ todos los elementos no nulo tienen orden $n.$
    6. Hay grupos de orden $n,$ donde para todo $x$ en $G$ se cumple que $x^{m}=e,$ para un entero positivo $m<n.$
    7. La imagen homomórfica de un grupo cíclico es un grupo cíclico.
    8. La imagen homomórfica de un grupo infinito es siempre un grupo infinito.
    9. Un subgrupo $H$ es normal, ssi, coincide con todos sus conjugados.
    10. Un grupo de orden 121 contiene un elemento de orden 11.
    11. Un grupo de orden 100 tiene un subgrupo de orden 4, pero no un subgrupo de orden 8.
    12. Un subgrupo de orden 256 contiene un subgrupo de orden 16.
11. (Variación del Teorema de Noether) Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Sean $\nu :G\longrightarrow K,$ $K=\ker(f),$ la suprayección canónica, ${\bar {f}}:G/K\longrightarrow f(G)$ tal que ${\overline {f}}([x])=f(x),$ y $\imath :f(G)\longrightarrow H$ la función definida por la inclusión. $f$ se puede factorizar como $f=\imath \circ {\bar {f}}\circ \nu .$
    1. Verificar que $f$ se puede factorizar como $f=\imath \circ {\bar {f}}\circ \nu .$ Comparar esa factorización con la factorización de funciones del apéndice Las Funciones.
    2. Probar que las funciones en la factorización son homomorfismos de grupos.
12. Sea $<M,e>$ un monoide. Sea $N$ un submonoide de $M$ (o sea un subconjunto cerrado de $M$ que contiene al neutro).
    1. Definir clases laterales $xN$ e $Ny.$ Probar que la relación $x\sim y,$ ssi, $xN=yN$ es un relación de equivalencia en $M.$ Denotaremos por $M/N$ al conjunto formado por todas las clases de equivalencia.
    2. Suponer que $N<M$ es tal que para todo $x$ en $M,$ $xN=Nx.$ Probar que $xN\,yN:=(xy)N$ es una operación bien definida en $M/N$ que provee a $M/N$ con una estructura de monoide tal que la función $x\mapsto [x]$ de $M$ en $M/N$ es un homomorfismo suprayectivo de monoides.
    3. Enunciar un teorema análogo al teorema de Noether para los homomorfismo de monoides.

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Teoremas de Isomorfismos. El teorema de Noether es llamado el primer teorema de isomorfismos porque hay al menos otros dos. No parece haber acuerdo acerca de cuál de ellos es el segundo y cuál es el tercero. Ver enunciados de esos teoremas en los ejercicios de la sección Teorema Fundamental de Homomorfismos Ver también Wikipedia:Teoremas de Isomorfía