Álgebra Abstracta/Teoremas de Homomorfismos

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Álgebra Abstracta


Introducción[editar]

En este capítulo, veremos el teorema fundamental de homomorfismos, usualmente atribuido a Emmy Noether (1882-1935), que relaciona de una manera brillante los grupos cocientes con las imágenes homomórficas de un grupo. Aplicaremos dichos resultados para obtener unos resultados clásicos de la teoría de números.

Teorema Fundamental de Homomorfismos[editar]

Recordemos que cuando un homomorfismo es un supramorfismo, entonces decimos que es una imagen homomórfica de . El teorema fundamental establece una correspondencia biyectiva entre las imágenes homomórficas de y los subgrupos normales de .

Teorema de Fundamental de Homomorfismos (Teorema de Noether) [1]

Sea un homomorfismo de grupos y sea el núcleo de . Entonces,

Teorema Fundamental de Homomorfismos.jpg

El isomorfismo está dado por la correspondencia que a cada de asocia el elemento de .

Demostración: Primeramente, estableceremos que es una función bien definida, es decir que su valor es independiente del representante de la clase usado para computar su valor. Sea en . Entonces, hay un en tal que . Luego,


Lo que prueba que está bien definida. Probaremos, ahora que se trata de un homomorfismo.


Claramente, es suprayectiva, por lo que basta verificar que es inyectiva, para concluir que se trata de un isomorfismo. Si se tiene que por lo que está en de donde el neutro de lo que prueba la inyectividad de .



Corolario.

Sea f:G --> H un homomorfismo de grupos y sea G un grupo finito. Entonces,

|G| = |f(G)| |ker(f)|.
Demostración: Se tiene del isomorfismo anteriormente establecido que |f(G)|= |G/K|, donde K = ker(f). De donde, por el teorema de Lagrange obtendremos que |G| = |G/K||K|, lo que al sustituir en la relación anterior nos da el resultado deseado.

Notemos que el orden de la imagen de un homomorfismo es un divisor del orden del grupo.

Cómputo de Homomorfismos[editar]

Ejemplo.

Hallar todos los homomorfismos posibles desde en .

Resolución: Sea un homomorfismo. Entonces, implica que o . En el segundo caso, se trata de el neutro en . En el primer caso, se trata de un monomorfismo que envía el en un elemento de orden 5 en . ¿Cuáles son los elementos de orden 5 en  ? La respuesta es 2, 4, 6, y 8. Por lo tanto, tenemos homomorfismos dados por donde a = 2, 4, 6 u 8.


Ejemplo.

Hallar todos los homomorfismos posibles desde en .

Resolución:Sea el homomorfismo que envía el generador de en el generador de . Entonces, implica que es un divisor de 12, o sea 1, 2, 3, 4, 6 o 12. Por su parte o sea que se tiene que es igual a 1 o 3 o 9 elementos.

  • corresponde al homomorfismo trivial que envía todo en el neutro.
  • es imposible por que entonces .
  • Sea se debe cumplir que sea un divisor de 9. Lo que nos dice inmediatamente que o Es decir que tenemos la posibilidad adicional de que Entonces, .

Los homomorfismos son:

  • donde es el residuo de la división de por 4.
  • donde es el residuo de la división de por 4.

Ejercicios[editar]

  1. (Homomorfismos y ordenes) Sea un homomorfismo de grupos. Si entonces .
  2. Sea el grupo lineal (las matrices invertibles sobre los Reales). El subgrupo de formado por las matrices de determinante 1 es un subgrupo normal de . Describir a su grupo cociente.
  3. Sea un grupo. Para cada elemento de definamos la función (conjugación por ) de en sí mismo, por: .
    1. Probar que c_g es un isomorfismo de grupos.
    2. Si H es un subgrupo de G, entonces c_g(H) será también un subgrupo de G, llamado el conjugado de por c_g. Probar que es normal en ssi, coincide con todos sus conjugados.
  4. ¿Qué relación hay entre el diagrama de los subgrupos de un grupo y el correspondiente diagrama para un grupo cociente del mismo?
  5. (Isomorfismo de Productos)
    1. Sean y numeros enteros positivos relativamente primos entre si. Probar que el grupo es isomorfo a .
    2. Sean enteros positivos relativamente primos entre sí. Entonces,


      donde .

  6. ¿Cuáles son todos los homomorfismos posibles de en y viceversa?
  7. Listar todos los posibles homomorfismos de en cuando r y s son iguales respectivamente a
    (a) 4, 2.   (b) 6, 2.   (c) 6, 3.   (d) 9, 3.
  8. Listar todos los posibles homomorfismos de en
    (a) r = 1, s = n.   (b) r = 2, s = 3,4,5,n.   (c) r = 4, s = 5,n.    (d) r = 4, s = 6,9,n,2n.
  9. Sea tal que .
    1. Probar que f es un homomorfismo de grupos.
    2. Probar que donde es el conjunto de todos los complejos cuyo módulo es igual a 1. Geométricamente, es la circunferencia unitaria del plano complejo.
    3. Hallar el núcleo de . (Se trata de un grupo muy conocido).
    4. Aplicar el teorema de Noether, para concluir que
  10. (Segundo Teorema de Isomorfismo) Sea un grupo y subgrupos normales de tales que . Probar las siguientes afirmaciones.
    1. implica .
    2. .
    3. La función tal que es un supramorfismo de grupos.
    4. El núcleo de consiste de todos las clase tales que está en o sea .
    5. (Segundo Teorema).
  11. (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sea un grupo y subgrupos de tales que es normal en . Probar las siguientes afirmaciones.
    1. es un subgrupo de .
    2. es un subgrupo normal de .
    3. es un subgrupo de .
    4. es un subgrupo normal de .
    5. Sea la asignación a cada de de es un supramorfismo de grupos.
    6. El kernel de es .
    7. (Tercer Teorema).

Aplicaciones[editar]

Teorema Chino de los Residuos[editar]

Como una primera aplicación del teorema de Noether, probaremos el siguiente resultado.

Proposición 1. Si y son enteros relativamente primos entre si, se cumple que

Demostración: Sea tal que Como

tenemos que es un homomorfismo de grupos.

Computemos ahora el núcleo de Si entonces es divisible tanto por como por por ser y relativamente primos, tenemos que es divisible por por lo que pertenece a Observemos, además, que cualquier elemento de es divisible tanto por como por por lo que su imagen por será precisamente Es decir que el núcleo de es

Luego, por el teorema de Noether, Es decir, Pero, como concluimos que por lo que

La proposición anterior tiene el siguiente corolario, que aparece en la literatura matemática como el teorema Chino de los Residuos.

Corolario 1.1. Sean ... , numeros enteros relativamente primos entre si. Sea igual al producto de esos números. Entonces,

por un isomorfismo tal que

Demostración: Inducción sobre

Hay un teorema de igual nombre en teoría de números que enunciamos a continuación.

Corolario (Teorema Chino de los Residuos para los Números Enteros) Sean \dots, números enteros relativamente primos entre si y sea el producto de esos números. El sistema de congruencias

tiene una solución entera. Dos de esas soluciones son congruentes módulo

Demostración: Sea el isomorfismo del corolario anterior. La solución a la congruencia es cualquier tal que

La función de Euler[editar]

Recordemos que es la cantidad de enteros positivos menores o iguales que que son relativamente primos con Sabemos que las clases de congruencia de esos números determinan al grupo multiplicativo En esta sección, probaremos un resultado que permitirá computar para cualquier valor entero de Necesitaremos el resultado de la siguiente proposición.

Proposición 2. Sean y dos enteros positivos relativamente primos. Entonces,


Demostración: Consideremos el grupo y sean y los subgrupos definidos por
y
Probaremos que Se tiene que y son normales en porque es un grupo abeliano. Si y tenemos que es divisible por y lo que implica, por ser y relativamente primos, que es divisible por o sea que Es decir que Para probar lo anunciado, solamente nos falta probar que está generado por y Como y son relativamente primos, hay enteros tales que

Sean y Observemos que está en y que está en Además,

Lo que prueba que Por la proposición sobre el producto de subgrupos normales, tenemos que

Probaremos ahora que y que lo que concluirá la demostración de la proposición.

Observemos que si es relativamente primo con se cumple que es relativamente primo con Por lo que la correspondencia induce una función Claramente, esta función es un homomorfismo. Si en es tal que se debe cumplir que y Sigue del teorema Chino de los Residuos, que hay un único elemento con esa propiedad, 1. Por lo que es un monomorfismo. Para probar que es suprayectiva, para cada en debemos poder hallar un entero en tal que Es decir un entero tal que y Nuevamente, por el teorema Chino de los Residuos, tal existe, Luego es un isomorfismo de en

De manera análoga, se verifica que Luego,




Contando los elementos en la relación de la proposición anterior, tenemos el siguiente resultado.

Proposición 3. Sean m</math> y enteros positivos relativamente primos. Entonces, se cumple que {Eqn| }}

Una función de los Enteros en los Enteros con la propiedad anterior, se dice que es

Veremos como la proposición anterior, junto con la fórmula para potencias de primos

permite computar para todo número natural

Proposición 4. Sea n</math> un número entero positivo mayor que 1. Si la descomposición en factores primos de es

entonces,

Demostración: Aplicar la proposición anterior e inducción.


Ejemplo.

Hallar

Como


Ejemplo[editar]

  1. Hallar enteros tales que

Los Grupos Simples[editar]

Los grupos simples son una familia muy importante de grupos.

Definición. (Grupo Simple) Decimos que un grupo es simple cuando no contiene subgrupos propios no nulos que sean normales.


Sigue del teorema de Noether que cuando es simple y es un homomorfismo, entonces es el homomorfismo trivial o es un isomorfismo sobre su imagen.

Sea cualquier grupo finito abeliano. Recordemos que cualquier subgrupo de es normal en Sea un elemento no nulo de y sea Si entonces el grupo es cíclico y tiene subgrupos para cada divisor positivo de por lo que será simple, ssi, es primo. Si entonces es un subgrupo propio de y, por lo tanto, normal en

Proposición 5. Los grupos finitos abelianos simples son los cíclicos de orden primo.


Sea G un grupo finito cualquiera. Cuando G no sea simple, deberá tener un subgrupo normal propio. Seleccionemos un subgrupo N normal maximal. Es decir tal que no haya un subgrupo normal H distinto de N y G, que contenga a N. En tal situación, tenemos el siguiente lema.

Lema. Sea un grupo finito cualquiera y sea un subgrupo normal maximal de Entonces, es simple.

Demostración: Sea el supramorfismo canónico, Supongamos que no fuera simple. Entonces, habría un subgrupo normal propio de digamos Sea la imagen inversa de es decir que

Sabemos que es un subgrupo de Probaremos que contiene propiamente a que está contenido propiamente en y que es normal en G, lo que contradice la maximalidad de

Como es un subgrupo propio de se tiene que es decir que hay un en que es diferente de o sea tal que es diferente de lo que implica que es un elemento de que no está en Análogamente, como hay un que no está en por lo que no está en Luego, es un subgrupo propio de que contiene propiamente a Veamos. ahora, por qué es normal en Sea un elemento cualquiera de y un elemento de Entonces, como es normal en tenemos que es un elemento de lo que implica que esta en o sea que


Series de Composición[editar]

Sea un grupo finito cualquiera. Veremos, ahora, como generar una cadena finita de subgrupos de

(**


tal que cada es un subgrupo normal maximal de

Sea un subgrupo normal maximal de Si es simple, En caso contrario, seleccionar un que sea normal y maximal. Repitamos el proceso anterior, usando como grupo inicial a obteniendo un subgrupo que sea normal maximal en Repetir el proceso hasta que el subgrupo maximal normal sea Como cada subgrupo obtenido está propiamente contenido en el subgrupo anterior, el proceso anterior tiene una cantidad finita de pasos.

En la cadena (**) de subgrupos, se tiene que es simple. La sucesión


se llama una serie de composición para Se puede probar que, seleccionando cualquier subgrupo maximal inicial como (pueden haber varios) que la serie de composición es esencialmente la misma, excepto por una permutación de los grupos cocientes que allí aparecen (teorema de Jordan-Holder). Es decir que la serie solamente depende del grupo G, por lo que grupos isomórficos tienen esencialmente la misma serie. En ese sentido, los grupos simples son los bloques básicos para los grupos finitos generales.

Una de las tareas importantes realizadas por los matemáticos en el siglo XX, fue la construcción de un catálogo de los grupos finitos simples. La tarea envolvió a matemáticos de diferentes países y épocas. Finalmente, en 1982 se estimó que se había completado el catálogo. La demostración de los elementos del catálogo así como de su completitud ocupa varios miles de páginas, distribuidas en centenares de artículos. Una tarea, todavía en proceso (2011), es la reescritura unificada de tal demostración.


Hay otros tipos de series, por ejemplo requiriendo que los cocientes sean abelianos (no necesariamente simples), que caracterizan a familias de grupos.

Ejercicios del Capítulo[editar]

  1. Sea un grupo y sea el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de o sea, los elementos de la forma Probar o hacer lo indicado.
    1. es un grupo abeliano.
    2. Si y es abeliano, entonces contiene a
    3. Hallar el grupo de conmutadores de y
  2. Sea un grupo cuyos únicos subgrupos son los triviales: y Probar que es finito y su orden es un número primo.
  3. Un grupo que contiene un subgrupo de orden 2 no es simple.
  4. Sea todas las matrices invertibles con entradas que son elementos de Hallar todas las matrices de ese conjunto y verificar que determinan un grupo. Hallar un grupo conocido isomorfo a ese grupo.
  5. Sean y subgrupos normales de un grupo Probar las siguientes afirmaciones.
    1. Si y entonces
  6. Sea un grupo de orden con impar. Probar que tiene exactamente un elemento de orden 2, Además que el producto de todos los elementos del grupo es precisamente ese elemento de orden 2.
  7. La siguiente afirmación es una proposición de la teoría de números enteros que se pueden probar aplicando la teoría de grupos a los grupos para un adecuado. (Wilson) Si es un primo, }.
  8. Sea un grupo y sea el subgrupo de los conmutadores, que es el subgrupo generado por los conmutadores de o sea, los elementos de la forma Probar o hacer lo indicado.
    1. es un grupo abeliano.
    2. Si y es abeliano, entonces contiene a
    3. Hallar el grupo de conmutadores de y


  9. Sea un grupo de orden donde es un primo impar. Probar que es el grupo cíclico o el grupo dihedral
  10. Clasificar cada una de las siguientes afirmaciones como válidas o falsas. Cuando sea válida dar una explicación o demostración de su validez. En caso contrario, proveer un contraejemplo.
    1. Todo grupo contiene un subgrupo propio cíclico.
    2. Cuando el conjunto de generadores de un grupo es finito, entonces el grupo es finito.
    3. Si el orden de es para todo divisor de hay un elemento de de orden
    4. Si el orden de es para todo divisor primo de hay un elemento de de orden
    5. En un grupo de orden todos los elementos no nulo tienen orden
    6. Hay grupos de orden donde para todo en se cumple que para un entero positivo
    7. La imagen homomórfica de un grupo cíclico es un grupo cíclico.
    8. La imagen homomórfica de un grupo infinito es siempre un grupo infinito.
    9. Un subgrupo es normal, ssi, coincide con todos sus conjugados.
    10. Un grupo de orden 121 contiene un elemento de orden 11.
    11. Un grupo de orden 100 tiene un subgrupo de orden 4, pero no un subgrupo de orden 8.
    12. Un subgrupo de orden 256 contiene un subgrupo de orden 16.
  11. (Variación del Teorema de Noether) Sea un homomorfismo de grupos. Sean la suprayección canónica, tal que y la función definida por la inclusión. se puede factorizar como
    1. Verificar que se puede factorizar como Comparar esa factorización con la factorización de funciones del apéndice Las Funciones.
    2. Probar que las funciones en la factorización son homomorfismos de grupos.
  12. Sea un monoide. Sea un submonoide de (o sea un subconjunto cerrado de que contiene al neutro).
    1. Definir clases laterales e Probar que la relación ssi, es un relación de equivalencia en Denotaremos por al conjunto formado por todas las clases de equivalencia.
    2. Suponer que es tal que para todo en Probar que es una operación bien definida en que provee a con una estructura de monoide tal que la función de en es un homomorfismo suprayectivo de monoides.
    3. Enunciar un teorema análogo al teorema de Noether para los homomorfismo de monoides.

Comentarios[editar]

Teoremas de Isomorfismos. El teorema de Noether es llamado el primer teorema de isomorfismos porque hay al menos otros dos. No parece haber acuerdo acerca de cuál de ellos es el segundo y cuál es el tercero. Ver enunciados de esos teoremas en los ejercicios de la sección Teorema Fundamental de Homomorfismos Ver también Wikipedia:Teoremas de Isomorfía

Notas[editar]

  1. Algunas veces, en la literatura matemática, se llama al teorema, "el primer teorema de homomorfismos". Ver los comentarios.