Álgebra Abstracta/Funciones

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Introducción[editar]

En este apéndice, revisamos la noción de función y varias nociones asociadas. No todos los resultados son usados en el texto y están aquí para completitud de la exposición. Ver la sección de Comentarios para algunas observaciones sobre la terminología.

Las Definiciones[editar]

Definición. (Función) Llamamos función del conjunto en el conjunto a la asignación a cada elemento de de un único elemento de . La asignación puede ser una regla, una fórmula, una expresión verbal o cualquier cosa que nos permita dado un elemento de , identificar el correspondiente elemento de .


Notación y nomenclatura.

  1. Una función de en se simboliza por . Llamamos dominio o conjunto de partida de la función al conjunto , mientras que el conjunto es el codominio o conjunto de llegada de . La flecha representa la regla de la función, o sea lo que asigna a cada elemento de un elemento de .
  2. Supongamos que es una función del conjunto en el conjunto . Sea un elemento del conjunto y sea el elemento de asignado por a . Nos referimos a esa situación por cualesquiera de las expresiones siguientes.
    1. El valor de en es .
    2. envía en .
    3. La imagen por de es .
    4. asigna a , el elemento .
    5. .
  3. Supongamos que es una función de en . Podemos simbolizar la regla de asignación por . Cuando queramos mencionar el nombre de la función, lo hacemos de una de las dos maneras siguientes:

    La expresión se lee como "la función del conjunto en el conjunto tal que asigna a cada de el elemento de ". Ejemplo: .

  4. Llamamos la imagen de al subconjunto de denotado por y definido como el conjunto formado por todos elementos de que son imagen de algún elemento de .
  5. Simbolizamos por al conjunto formado por todas las funciones de en . En algunos textos, se escribe , para denotar a .
  6. (Igualdad de Funciones.) Decimos que dos funciones, y , en , son iguales, y escribimos , ssi, y asigna el mismo elemento de a cada uno de los elementos de . Simbólicamente, .

Ejemplos.

  1. (La función identidad) En cada conjunto hay al menos una función del conjunto en si mismo, la función identidad que asigna a cada elemento de el mismo elemento, a la que simbolizaremos por o o simplemente (cuando el conjunto es claro del contexto). Es decir tal que
  2. Sea un subconjunto de . La relación de inclusión define una función tal que . Simbolizamos a esa función por

La clasificación de las funciones[editar]

Sea una función. Dado un elemento de consideramos la ecuación

Las soluciones de esa ecuación son todos los elementos de cuyas imágenes son iguales al elemento de . Dependiendo del conjunto solución para esas ecuaciones, tenemos la siguiente clasificación para las funciones.

Definición. (Suprayectividad, Inyectividad, Biyectividad) Sea .

  1. Decimos que es suprayectiva o que es una suprayección, ssi, para todo en , la ecuación tiene al menos una solución.

    Algunos textos, llaman epiyectivas a estas funciones.

  2. Decimos que es inyectiva o que es una inyección, ssi, para todo en , la ecuación tiene a lo más una solución. Es decir que dos elementos de tienen la misma imagen por , ssi, los elementos son iguales.

  3. Decimos que es biyectiva o que es una biyección, ssi, para todo en , la ecuación tiene exactamente una solución. Claramente esto pasa cuando la función es inyectiva y suprayectiva a la vez.


Ejemplos.

  1. La identidad es una biyección en cualquier conjunto.
  2. La función definida por la inclusión de un subconjunto es inyectiva, por lo que decimos que se trata de la inyección canónica. Tal función no es suprayectiva, a menos que el subconjunto coincida con el conjunto.
  3. La función de en que asigna a cada número real el cuadrado de dicho número no es ni inyectiva ni suprayectiva, ya que la ecuación tiene dos soluciones y la ecuación no tiene solución.
  4. La función de en (reales positivos junto con el cero) en si mismo que asigna a cada número real su cuadrado es suprayectiva, pero no inyectiva. Ya que, tiene como soluciones a .
  5. Sea un conjunto y una relación de equivalencia en . Simbolizaremos por al conjunto cociente de respecto a esa relación. La correspondencia que asigna a cada en su clase de equivalencia en es una suprayección.
  6. Sean y dos conjuntos cualesquiera. La función de en (resp. en ) que asigna a cada par su primera (resp. su segunda) coordenada es una función suprayectiva, llamada la primera (resp. la segunda) proyección.

La Composición de Funciones[editar]

Definición. (Composición de Funciones) Sean y . Llamamos composición de con a la función de en simbolizada por y definida por


Observación. Algunas veces tendremos la situación indicada en los diagramas siguientes:

central

Cuando, en tales diagramas, haya dos "caminos" de un conjunto a otro que representan iguales funciones (por composicion), decimos que el diagrama correspondiente es conmutativo. En el ejemplo anterior, tenemos un triángulo y un cuadrado conmutativo, lo que quiere decir que y respectivamente.

Proposición. La composición, cuando está definida, es asociativa.

    Demostración:


Proposición. Sea una función entonces:

  1. .
  2. .

    Demostración: Trivial.


La siguiente proposición nos informa acerca de la relación entre la composición de funciones y la "yectividad" de las mismas.

Proposición. La composición de dos funciones inyectivas (resp. suprayectivas, biyectivas) es inyectiva (resp. suprayectiva, biyectiva).

    Demostración: Sean , y .
    Caso Suprayectivo. Supongamos que y fueran suprayectivas. Debemos probar que para cualquier en , hay un en tal que . Como es suprayectiva debe haber al menos un en tal que . Por su parte, como es suprayectiva, se debe tener que hay un tal que . Luego,

    Lo que prueba que la composición es suprayectiva.

    Caso Inyectivo. Supongamos que y son inyectivas. Sean y elementos de que tienen la misma imagen por . Entonces,

    Lo que implica que la composición es inyectiva.

    Caso Biyectivo. Sigue de los casos anteriores.


La Función Inversa[editar]

Definición. (Inversa de una Función) Sea una función. Decimos que una función es una inversa de , ssi,


Proposición. Cuando tiene inversa, tiene exactamente una única inversa.

    Demostración: Sea y sean y inversas de . Entonces,


Nomenclatura. Cuando exista inversa, por la proposición anterior, dicha inversa será única. Por lo que podremos hablar de LA inversa de , a la que simbolizaremos por .


Proposición. Cuando la inversa de una función existe, es invertible, y su inversa es la función original.

    Demostración: Directo de la definición, ya que


Proposición. La composición de dos funciones invertibles es una función invertible, cuya inversa es la composición de las inversas de las funciones originales, pero en orden inverso.

    Demostración: Sean y invertibles. Entonces,

    Análogamente, se verifica que:

    Por lo tanto, es una inversa de . Por la unicidad de tales inversas, tenemos el resultado.


Proposición. (Criterio para Invertibilidad) Una función es invertible, ssi, es biyectiva.

    Demostración: Sea .
    () Sea la inversa de. Sea en , como se tiene que , lo que prueba que es suprayectiva. Supongamos que . Tenemos que

    Lo que prueba que es inyectiva. Como es suprayectiva e inyectiva es biyectiva.

    () Supongamos que es biyectiva, entonces para cada en hay un único elemento tal que. Por lo tanto, la asignación tal que define una función tal que . Sea en , entonces es un elemento de tal que , por inyectividad, ; o sea que . Lo que prueba que es una inversa de .


Proposición. (Propiedades de Cancelación)

  1. Las funciones inyectivas son cancelables por la izquierda. Es decir, cuando es inyectiva se cumple que:
  2. Las funciones suprayectivas son cancelables por la izquierda. Es decir, cuando es suprayectiva se cumple que:
  3. Las funciones biyectivas son cancelables por derecha e izquierda y coinciden con las funciones invertibles.

    Demostración: Ejercicio.


Extensión al Conjunto Potencia[editar]

Sea un conjunto. Simbolizaremos por al conjunto potencia de , es decir al conjunto formado por todos los subconjuntos de .

Definición. (Imágenes Directas e Inversas) Sea una función.

  1. Llamamos imagen directa de a la función definida para cada en por

  2. Llamamos imagen inversa de a la función definida por


Observación. Cuando es una función de en , algunas veces, se escribe en lugar de y en lugar de . Nosotros usaremos nuestro convenio en el apéndice (pero no en el texto), excepto que la imagen directa de , que coincide con la imagen de se denotará usualmente por .


Proposición. (Propiedades de la Imagen Directa) Sea . Entonces, cuando , son subconjuntos de se cumple que:

  1. , ssi, .
  2. .
  3. Si entonces .
  4. .
  5. .

    Demostración: Ejercicio.



Proposición. Sean y . Entonces

  1. .
  2. .

    Demostración: Sea . Entonces, , ssi, hay un en tal que , ssi, , ssi,


Proposición. (Propiedades de la Imagen Inversa Sea . Entonces, cuando , son subconjuntos de se cumple que:

  1. .
  2. Si entonces .
  3. .
  4. .
  5. , cuando .

    Demostración: Ejercicio.


Proposición. (Relaciones entre Imágenes Directas e Inversas) Sea . Entonces:

  1. .
  2. .

    Demostración:
    1. Sea . Entonces, hay un en tal que . Por lo tanto, concluimos que: (i) está en ; y (ii) que: , o sea, está en . Luego, pertenece a . Lo que prueba que, . Veamos ahora la inclusión inversa. Sea . Por lo tanto, y hay un tal que . Por definición entonces, . Lo que prueba que
    2. Sea , entonces, . De donde, está en la imagen inversa de .


Proposición. Sean y . Entonces

  1. .
  2. .

    Demostración:
    1. Sea . Entonces, , ssi, hay un en tal que , ssi, , ssi, .


Proposición. Sean y . Entonces

  1. .
  2. .

    Demostración:
    1. Sea . Entonces, , ssi, , ssi, , ssi, , ssi, .


Descomposición Canónica de una Función[editar]

Proposición. Sea una función. La relación definida definida por es una relación de equivalencia.

    Demostración: Ejercicio.


Teorema (Descomposición canónica de una función) Sea una función. Entonces, podemos factorizar como:

donde es la suprayección canónica que envía cada elemento en su clase de equivalencia; asigna el elemento en y es una biyección de en la imagen directa de por , ; y, es la inyección canónica definida por la inclusión.

FactorFuncion.jpg
    Demostración: Por la proposición anterior es una relación de equivalencia; por lo que su conjunto cociente está definido. Realmente lo único que necesitamos verificar es que está bien definida y que es una biyección. Notemos que por definición de , si está en entonces, ; lo que muestra que está bien definida. Es claro además que es suprayectiva. Si , se tendrá que de donde , probando la inyectividad faltante.


Comentarios[editar]

Terminología. La noción de función es básica en las matemáticas. Funciones aparecen en cualquier área de las matemáticas. No hay, sin embargo, un consenso universal acerca de como referirse a ellas.

Los siguientes nombres han sido usados para denotar funciones:

  • Aplicación.
  • Mapeo.
  • Transformación.
  • Operador.

El uso de esos términos obedece a tradiciones (operadores, por ejemplo, para funciones entre espacios de funciones). Siguiendo el peso tradicional, nosotros usamos transformaciones para ciertas funciones en contextos geométricos.

La terminología de "aplicación" y "mapeo" responden más a consideraciones que llamaría folclóricas, es decir, son usadas en ciertos países y en otros no. Algunos autores e instructores usas esa terminología con fines didácticos, usan funciones para contextos numéricos y aplicaciones o mapeos para funciones entre conjuntos que no son numéricos. Es decir el nombre usado depende de la naturaleza de los objetos considerados. En Álgebra Abstracta, el énfasis es en las propiedades de las operaciones abstrayendo (es decir ignorando) la naturaleza de los elementos donde se trabaja. Principalmente, por esa razón hemos usado función en forma uniforme.