Álgebra Abstracta/Divisibilidad

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Álgebra Abstracta


Introducción[editar]

En este capítulo, estudiaremos abstracciones de la teoría de la divisibilidad de los Enteros. Aunque muchas de las nociones relevantes pueden extenderse a anillos cualesquiera, la extensión natural es a dominios de integridad (o sea anillos conmutativos con unidad y sin divisores de cero). En este capítulo, y en los siguientes, dominio será sinónimo de dominio de integridad.

Los Enteros están contenidos en los Racionales, que son un cuerpo formado por las fracciones de números enteros. En total analogía, veremos que cada dominio tiene asociado un cuerpo de fracciones de elementos del dominio.

Convenio. Todos nuestros anillos serán conmutativos con identidad, a menos se diga explícitamente lo contrario.


La Divisibilidad[editar]

En primer lugar, extenderemos la divisibilidad y nociones asociadas de los Enteros a anillos conmutativos generales.

Definición. (Divisores, Unidades, Asociados) Sea un anillo conmutativo con identidad.

  • Decimos que un elemento no nulo divide a ssi, hay un elemento tal que Simbólicamente
  • Decimos que un elemento de es una unidad, ssi, es un divisor de la identidad.
  • Decimos que los elementos y son asociados, ssi, hay una unidad tal que


Observaciones.

  1. Cuando divide a podemos también decir alguna de las siguientes expresiones.
    • es un factor de
    • des un divisor de
    • es un múltiplo de
    • es divisible por
  2. Las unidades ya habían sido definidas anteriormente como los elementos invertibles del dominio. Claramente, ambas nociones coinciden.
  3. Un divisor de cero es cualquier elemento no nulo que divide (en el sentido de la definición) al 0, o que es un factor no nulo del 0.

La siguiente proposición resume las principales propiedades de la divisibilidad.

Proposición 1. Sea un anillo conmutativo con identidad. Para todo en se cumple que

  1. Cualquier elemento es divisible por 1,
  2. Cualquier elemento es divisible por sí mismo,
  3. Cero es divisible por cualquier elemento,
  4. La relación de divisibilidad es transitiva. Es decir, si y entonces
  5. Si y entonces
  6. Si entonces
    Demostración: Ejercicio.


Unidades[editar]

Como observamos anteriormente, la noción de unidad en un anillo es lo mismo que invertible respecto a la multiplicación, pero la tradición es usar el nombre unidad en el contexto de divisibilidad.

Observemos que cuando es una unidad, como es un divisor de cualquier elemento del anillo. Claramente, en cualquier anillo, y son divisores de 1 y son, por lo tanto, unidades. El siguiente ejemplo muestra que, en general, puede haber otras unidades en un anillo. Además, en cualquier cuerpo, cualquier elemento no nulo es una unidad.

Ejemplo (Enteros de Gauss).

Sea Sabemos de ejemplos anteriores que es un anillo respecto a las operaciones usuales. Además, como es un subconjunto de es un dominio de integridad.

Además de y también son unidades y ya que Se puede verificar que esas son las únicas unidades de ese anillo.


Simbolizamos el conjunto de las unidades de un anillo por o Como las unidades son los elementos invertibles, es cerrado respecto a la multiplicación, contiene al 1 y es cerrado respecto a tomar inversos. Es decir que tiene una estructura de grupo, que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo.

Asociados[editar]

Sea un asociado de , digamos que donde es una unidad. Sea tal que Entonces,

lo que prueba que está asociado con Es decir que la relación "estar asociado con" es una relación simétrica. De hecho, puede probarse que es una relación de equivalencia.

La siguiente proposición es básica para entender el rol de las unidades en la divisibilidad y las nociones asociadas con ella.

Proposición 2. Sea un anillo conmutativo con Identidad. Sean y elementos de tales que

  1. Cualquier asociado de divide a
  2. Cualquier asociado de es divisible por

    Demostración: Supongamos que es tal Sea con unidad. Entonces, lo que prueba que divide a Sea con unidad. Entonces, lo que prueba que divide a


Los resultados de la proposición muestran los roles de las unidades en un anillo, y los problemas que ocasionan. Supongamos que queremos definir máximo común divisor (MCD) de dos elementos de un anillo. Nos gustaría tener una definición que leyera como sigue:

    Sean y dos elementos de un anillo (conmutativo con identidad). Un elemento es un MCD de y ssi,
    1. es un divisor común de y y
    2. es divisible por cualquier otro divisor común.

Esta definición tiene dos variaciones con respecto a la definición usual para los enteros. En la definición para números enteros se pide que el MCD sea un número positivo. Como en general, no tenemos orden, no podemos hablar de elementos positivos. Sigue de la definición, que si hay un MCD de dos números, por la proposición anterior, cualquier asociado con él, también será un MCD. Por eso es que hablamos de un MCD y no de el MCD.

Ejemplo.

En los Enteros, de acuerdo a la definición anterior de se tiene que 4 y 6 tiene como MCD a 2 y a (el asociado a 2).


La consecuencia de lo anterior es que cualquier definición que use divisibilidad, por ejemplo, elemento primo, no determinará un único elemento, sino que al elemento y a todos sus asociados. Por lo que algunas veces hablaremos de unicidad, excepto por asociados o modulo asociados.

En el caso de los Enteros como y son los únicos asociados con podemos, usando el orden, escoger el positivo.

Algunos elementos importantes en un anillo conmutativo son los elementos irreducibles y los elementos primos, que definiremos a continuación. En el anillo de los Enteros, los números primos tienen dos propiedades básicas:

  • (Irreducibilidad). Cada número primo es divisible solamente por si mismo (o un asociado) o por una unidad.
  • (Primacidad) Cuando un número primo divide al producto de dos números, divide al menos a uno de ellos.

Generalizaremos esas dos nociones para anillos conmutativos cualesquiera como nociones separadas, ya que en general no coincidirán.


Definición. (Elementos Irreducibles, Primos) Sea un anillo conmutativo con identidad.

  1. Un elemento de es irreducible (en ), ssi, no es nulo ni es una unidad y implica que o es una unidad.
  2. Un elemento de es primo (en ), ssi, no es nulo, no es una unidad y cuando entonces o


Claramente, los asociados de irreducibles son irreducibles y los asociados de elementos primos son primos. La definición dice que un irreducible solamente tiene como factores a un asociado con él o a una unidad.

Observaciones.

  1. En el anillo de los números enteros, los números primos son irreducibles y primos de acuerdo a las definiciones anteriores.
  2. En un cuerpo, no hay elementos irreducibles ni primos, ya que todos los elementos no nulos son unidades. Desde el punto de vista de la divisibilidad, los cuerpos son triviales.
  3. Puede haber dominios donde haya elementos irreducibles que no son primos. Ver ejemplo más adelante.

La Aritmética en un Dominio[editar]

La divisibilidad puede definirse sobre cualquier anillo con identidad, tomando precauciones acerca del lado adonde estamos multiplicando. Para los efectos de nuestro estudio, sin embargo, las propiedades más interesantes se presentan cuando trabajamos sobre un dominio de integridad. La divisibilidad en un dominio tiene las siguientes propiedades adicionales.

Proposición 3. Sea un dominio, entonces

  1. Si y entonces y son asociados.
  2. Si hay un único elemento tal que Escribiremos que

    Demostración:
    1. Como hay un tal que Análogamente, implica que hay un tal que Luego, como se tiene que cancelando se tiene que por lo que y son unidades. De donde el resultado.
    2. Si por cancelación



Proposición 4. (Primos son Irreducibles) Si es un elemento primo de un dominio es irreducible.

    Demostración: Sea un elemento primo de Supongamos que Luego, por definición de elemento primos se tiene que o Luego para o digamos se cumple que y que Por lo que, por la proposición anterior, se tiene que y son asociados. Luego hay una unidad tal que Como por cancelación se tiene que o sea que es una unidad.


Ejemplo (Un dominio donde hay un irreducible que no es primo).

Sea Sabemos que es un dominio, ya que es un subanillo de

Primeramente, determinaremos las unidades de Para en recordemos que llamamos norma de al número denotado por y definido como donde es el conjugado de como número complejo. Observemos que, en este caso, para cada en se cumple que Por lo que la norma de un elemento de es un número entero. Se cumple, además, que

Supongamos que fuera una unidad de Se tendría, entonces, que hay un tal que Por lo que Como los valores de la norma son enteros positivos o cero, tenemos que la norma de una unidad debe ser igual a 1. Luego, cuando es una unidad, tenemos que por lo que se cumplirá que y Luego, y son las únicas unidades de

Probaremos ahora que es irreducible. Suponiendo que tomando conjugados tenemos que Multiplicando las relaciones anteriores, obtenemos que

Luego es igual a 1 o 3 o 9. Como es imposible con entero y implica que la alternativa es imposible. Luego o Claramente, implica lo que dice que es un unidad. Si no es unidad, pero entonces por que una unidad. En consecuencia, 3 es irreducible.

Observemos ahora que Como, obviamente no divide a o a su conjugado, no puede ser primo.


Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo[editar]

Las definiciones de los conceptos son totalmente análogas a los correspondientes conceptos para con los números enteros, excepto que no hay unicidad.

Definición. (MCD, MCM) Sea un dominio y sean elementos de y al menos uno de ellos no es nulo.

  1. Un elemento es un mcd (máximo común divisor) de y ssi, es un divisor común de y y es divisible por cualquier otro factor común. Notación
  2. Un elemento es un mcm (mínimo común múltiplo) de y ssi, es un múltiplo común de y y divide a cualquier otro múltiplo común. Notación


Observaciones.

  1. Cuando existen, dos mcd (resp. mcm) son asociados. Por lo que, cuando existen mcds, hay tantos mcd (resp. mcm) como unidades.
  2. Es posible tener dominios donde haya mcd, pero no mcm.

Se tiene la siguiente proposición.

Proposición 5. Sea un dominio y sean elementos no nulos de

  1. Si y tienen mcd y mcm, entonces, excepto por un asociado, se cumple que
  2. Si existe entonces

    Demostración: Ejercicio.

    Ejercicios[editar]

    1. Probar la proposición 1.
    2. Sean elementos de un anillo Sea tal que y Probar que para todo en
    3. Sean una familia de elementos de un anillo y un divisor común de los elementos de la familia. Probar que divide cualquier combinación lineal de los 's con coeficientes en o sea que es un divisor de
      para todo 's en
    4. Probar que si y son elementos de un dominio de integridad y entonces
    5. Probar la proposición 5.
    6. Sea donde es un entero positivo. Probar que si es una unidad, entonces su conjugado también lo es.
    7. Sea el dominio de los Enteros de Gauss.
      1. Probar que es un factor de de y de
      2. Hallar otros tres factores de 2 en
    8. Sea un entero primo y sea Probar que es un dominio de integridad. Hallar las unidades y primos de Probar que cada primo en es irreducible.
    9. Sea Sea Construir la tabla de la adición y multiplicación de Hallar ideales de
    10. Sea y sea Verificar que;
      1. ssi, y
      2. es una unidad, ssi,
      3. y son unidades de
      4. es una unidad.
      5. es asociado de
      6. (¿Qué pasa con la factorización única?)
    11. Sea y sea
      1. Si están en
      2. La ecuación no tiene soluciones enteras.
      3. No hay elemento de tal que
      4. Un entero no nulo divide a ssi, divide a y a

    Ideales Principales[editar]

    En el capítulo anterior vimos dos tipos especiales de idelaes: primos y maximales. Recordemos que ideal es maximal, cuando no hay otro idel propio diferente de el que lo contenga. Caracterizamos a los ideales maximales I de A, como aquellos idelaes cuyo anillo cociente es un cuerpo. Un ideal J es primo cuando su anillo cociente es un dominio, o equivalentemente, cuando para todo x, y se cumple que xy en J implica que x está en J o y está en J. posteriores:ideales primos e ideales maximales.

    A continuación, veremos una relación entre elementos primos e ideales principales (o sea generados por un elemento) primos.

    Proposición 8. Sea un anillo conmutativo con identidad y sea un ideal principal no nulo, digamos que El ideal es un ideal primo en ssi, es un elemento primo de

      Demostración: () Supongamos que es un ideal primo. Si se tiene que por ser un múltiplo de es un elemento de Por ser primo el ideal, tenemos que o están en Es decir que al menos uno de ellos es un múltiplo de o sea que divide a uno de ellos. Pero eso, es precisamente la definición de elemento primo. () Sea primo y sean en Eso implica que por lo que o Es decir que está en o está en Lo que prueba que es un ideal primo.


    Ejemplo.
    Los ideales de con primo, son ideales primos.



    La Estructura de los Zm[editar]

    Convenio. Con el fin de simplificar la notación, de ahora en adelante, usaremos los representantes canónicos para denotar los elementos del anillo . Así, en denotará la clase de () .

    Los anillos proveen interesantes ejemplos de anillos. Sabemos que si es primo, es un cuerpo y que, en caso contrario, contiene divisores de 0.

    Sabemos, también, que cuando con entonces

    Por inducción, cuando entonces

    Las Unidades de Recordemos que vimos anteriormente que un elemento es invertible, ssi, El cardinal de es donde es la función de Euler. Vimos también que, con como en la discusión anterior que

    La discusión anterior reduce el problema de la estructura de a considerar el caso donde es una potencia de un primo.

    Ejemplo.

    Sea donde es un número primo. Consideremos el anillo cociente

    Observemos que implica que Por lo que las unidades de corresponden a números que no son divisibles por Luego, un elemento de es un divisor de cero, ssi, Luego, los divisores de cero en son:

    Luego, hay divisores de cero. El resto, son unidades, por lo que

    Sea un ideal propio de Como no puede contener unidades, los elementos de serán múltiplos de Observemos que si se tiene que es maximal, ya que fuera de todos los elementos son unidades. Además, ese razonamiento muestra, junto con la observación anterior, que es el único ideal maximal de Sea un ideal propiamente contenido en Sea tal que es minimal respecto a que está contenido en Si o , se tiene que es una unidad, por lo que y coincidiría con Luego, Es decir que, tenemos una cadena de ideales,


    Proposición 9. Sea y es un entero primo. Si es un cuerpo. Las unidades de forman un grupo de orden y los divisores de cero forman un ideal de cardinalidad que está generado por Dicho ideal es maximal y es el único ideal maximal. Todos los otros ideales son de la forma

      Demostración: Ejercicio


    Ejercicios[editar]

    1. Hallar los ideales maximales y primos de
    2. Hallar los ideales maximales y primos de
    3. Hallar un ideal primo de que no sea maximal.
    4. Hallar un ideal primo de que no sea maximal.
    5. Hallar un ideal propio de que no sea primo.
    6. ¿Cierto o falso?
      1. Cada ideal primo de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal maximal.
      2. Cada ideal maximal de un anillo (conmutativo con identidad) es un ideal primo.
      3. La intersección de dos ideales primos es un ideal primo.
    7. Sea un entero primo y sea
      1. Probar que es un subanillo de pero no es un subcuerpo de
      2. Hallar las unidades de
      3. Probar que todos los ideales de son principales y de la forma
      4. Describir
    8. Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal.
    9. Probar la proposición 9. .
    10. Probar que cada elemento de que no es unidad es nilpotente (tiene una potencia igual a cero).
    11. Verificar que es un cuerpo.
    12. Verificar que no es un cuerpo.
    13. ¿Cuáles son todos los ideales de cualquiera? (Sug. Probar que si es un ideal entonces es un ideal de que contiene a ) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de Buscar los ideales primos y maximales entre ellos.
    14. Probar que cada ideal primo de un anillo finito (conmutativo con identidad) es maximal.
    15. Probar que un ideal en un anillo es maximal, ssi, es simple (no tiene ideales propios).
    16. Sean ideales de un anillo y sea un ideal primo de Probar que implica que o

    El Cuerpo de Fracciones de un Dominio[editar]

    Recordemos que los números racionales se construyen a partir de los enteros, como un conjunto de fracciones de números enteros.

    Como veremos en esta sección, hay una construcción análoga de un cuerpo a partir de cualquier dominio. Es decir que dado un dominio es posible hallar un cuerpo que estará formado por las fracciones de elementos de que se llamará, por lo tanto, el cuerpo de fracciones de Recordemos para efectos posteriores que los anillos sin divisores de cero tienen todos sus elementos cancelables. Técnicamente, el problema es cómo inventar fracciones cuando no hay división.

    El problema es como inventar fracciones cuando no hay división.

    Sea , el conjunto formado por todas las posibles parejas ordenadas de elementos de donde el segundo elemento no puede ser nulo. Intuitivamente, podemos imaginar a cada una de esas parejas como representando una fracción.

    Introduciremos una relación en que resultará ser de equivalencia.

      Sean elementos de


    Lema A.

    La relación es una relación de equivalencia en

      Demostración:
      1. Reflexividad. Como se tiene que
      2. Simetría. Supongamos que de donde Es decir,
      3. Transitividad. Supongamos que y Entonces, se cumple que

        Multiplicando término a término de las ecuaciones anteriores, obtenemos:

        Es decir, de donde cancelando en ambos lados, obtendremos que Lo que es equivalente a afirmar que


    La proposición anterior implica que divide en una colección de clases disjuntas: las clases de equivalencia de

    Notación. Sea el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de

    Simbolizaremos por la clase de equivalencia de o sea al conjunto formado por todos los elementos de equivalentes con Recordemos que las clases de equivalencias son disjuntas entre sí y que su reunión es todo el conjunto

    Los resultados del siguiente lema se usarán sistemáticamente más adelante, en especial la parte a.

    Lema B. Sean elementos de tales que Entonces,

      Demostración:


    Introduciremos operaciones en mediante las siguientes definiciones.


    Lema C.
    Las operaciones anteriores están bien definidas, o sea, no dependen de los representantes escogidos.

      Demostración: Supongamos que y que Debemos verificar que y que Es decir que, para la adición, se cumple que Como
      obtenemos el resultado deseado.

      Análogamente, para la multiplicación, deberemos probar que Como se tiene el resultado.



    Proposición 10. (Estructura de Cuerpo de )
    tiene una estructura de cuerpo.

      Demostración: ( es un grupo abeliano.) Sigue inmediato de la definición que la adición es conmutativa en Como se concluye que es un neutro respecto a la adición. Como concluimos que cada elemento tiene opuesto aditivo. Finalmente probaremos que la operación es asociativa. Sean y elementos de Entonces,
      Lo que prueba la asociatividad.
    • es un semigrupo con identidad, cuyos elementos no nulos son todos invertibles. Iniciaremos la demostración con la prueba de la asociatividad. Usaremos la notación empleada en la demostración de la asociatividad de la suma.

      lo que prueba la asociatividad.

      La conmutatividad sigue directamente de la definición.

      Como concluimos que es una identidad.

      Como ssi, Sigue que cuando se tiene que y por lo tanto, que es un elemento de Además se cumple que

      Es decir que cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.

      (Distributividad.) Notación como en las pruebas de asociatividad.

      lo que prueba la distributividad.


    Veremos, ahora, que hay un subanillo de que es isomorfo a Identificando con ese subanillo de consideraremos a un subconjunto de

    Sea tal que envía cada elemento de en el elemento de Tenemos, en primer lugar que, cuando se cumple que o sea que Es decir que se trata de una función inyectiva.

    Además, tenemos que

    Lo que prueba que es un homomorfismo inyectivo de cuya imagen (que será un subanillo de es, por lo tanto, isomorfa a como anillos con identidad, ya que Identificaremos a con su imagen, es decir con las fracciones con ``denominador 1.

    La identificación anterior nos permitirá escribir los elementos de de manera más simple. Como, de lo anterior, resulta que y como tenemos que

    Los elementos de se identifican con las fracciones de denominador 1.

    Definición. (Cuerpo de Fracciones) Llamaremos cuerpo de fracciones de un dominio al cuerpo construido arriba. El elemento se escribirá siempre como una fracción

    Los elementos de son las fracciones con denominador 1, que se escriben usualmente sin usar fracciones.


    El cuerpo de fracciones de un dominio tiene la siguiente propiedad universal.

    Proposición 11. (Propiedad Universal del cuerpo de Fracciones) Sea un dominio de integridad y sea su cuerpo de fracciones. Sea un cuerpo cualquiera y sea un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. Entonces, hay un único homomorfismo de cuerpos que coincide con para los elementos de Es decir, que hace conmutativo el siguiente diagrama.

    centered

      Demostración: Recordemos que en un cuerpo, la fracción está definida como Sean elementos de Si queremos que se cumpla la conmutatividad del diagrama debemos tener que

      Usando la última relación, como definición para donde la primer fracción es en y la segunda en se ve la unicidad si esa función está bien definida y es un homomorfismo de cuerpos.

      Sea entonces por lo que Por lo tanto, ; lo que implica que está bien definida, su valor no depende del representante usado de una fracción. El resto de la demostración queda de ejercicio.


    Corolario 11.1. Sea un dominio y su cuerpo de fracciones. Sea un cuerpo cualquiera que contiene a entonces es isomorfo a un subcuerpo de que contiene a

      Demostración: Aplicar la proposición a la inclusión canónica


    En la situación del corolario, es usual identificar el cuerpo de fracciones con el subcuerpo isomorfo.

    Cualquier cuerpo de característica cero tiene un anillo primo isomorfo a los Enteros, por lo que contienen un subcuerpo identificable con los racionales, que es obviamente el cuerpo primo del cuerpo.


    Ejercicios[editar]

    1. Completar la demostración de la proposición 11.
    2. Probar que el cuerpo de fracciones de es Determinar cuáles de los siguientes números están en En caso afirmativo expresarlos en la forma y racionales.
    3. Sea entero que no es un cuadrado perfecto. Probar que es un dominio y describir a su cuerpo de fracciones.
    4. Probar que los Racionales son el cuerpo de fracciones de los Enteros.
    5. Probar que no hay un número racional tal que (Suponer que lo hay, y usar que 2 es primo en el anillo )
    6. ¿Cuál es el cuerpo de fracciones de un cuerpo?

    Ejercicios del Capítulo[editar]

    1. Sean elementos de un dominio. Probar que ssi, y son asociados.
    2. Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
    3. Sea el dominio de los enteros de Gauss y sea la norma de .
      1. Probar que 5 no es irreducible en Sugerencia por lo que no puede ser un elemento primo de
      2. Probar que 3 es irreducible en
      3. Probar que un número entero primo que puede escribirse como la suma de dos cuadrados, digamos no puede ser irreducible en
      4. Sea un elemento primo de Probar que su conjugado también es primo.
    4. Sea probar que no está en Sea Probar que es un dominio de integridad, que cada elemento de puede escribirse de una única manera como

      Hallar una descripción el cuerpo de fracciones de

    5. Sea un monoide cancelativo, es decir que Imitar la construcción del cuerpo de fracciones, para construir un grupo que contiene una copia de y donde cada elemento de es invertible. (Por ejemplo, si el monomio es el grupo será )

    Comentarios[editar]

    Como hemos mencionado antes, los intentos de prueba del Último teorema de Fermat, condujeron a la creación de nuevas matemáticas. Varios matemáticos intentaron conseguir una solución en dominios de números complejos que incluían radicales. Parecía que la divisibilidad en esos dominios era semejante a aquella de los Enteros. Muchas pruebas erróneas tuvieron origen en esta creencia que siempre la semejanza era perfecta. Al descubrir situaciones donde irreducibles no eran primos llevo a profundizar el estudio de esos dominios, lo que nosotros haremos en el capítulo sobre Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos/Tipos de Dominio|Tipos de dominios]].