Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios

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Álgebra Abstracta


Introducción[editar]

El Álgebra se creó para la resolución de ecuaciones polinómicas. Primeramente, se estudiaron las ecuaciones lineales y cuadráticas, para extenderse posteriormente a ecuaciones polinómicas de grados superiores. En los curso básicos, los polinomios son usualmente considerados como funciones polinómicas. Examinaremos, a continuación, dicha noción y veremos que es insuficiente para nuestros propósitos. Luego de ese análisis, daremos una definición formal de polinomios con coeficientes en cualquier anillo, así como de operaciones que proveerán al conjunto de polinomios de una estructura de anillo.

Posteriormente, veremos que para polinomios con coeficientes en un cuerpo tendremos una teoría de divisibilidad análoga a aquella de los enteros..

Las Funciones Polinómicas Reales[editar]

Las funciones polinómicas reales son funciones de en tales que

donde los 's son números reales. El lector, seguramente, conoce algunas de las propiedades de esas funciones y su relación con las ecuaciones polinómicas con coeficientes reales. Claramente, podríamos generalizar tales funciones de manera que sus coeficientes pertenecieran a un cuerpo cualquiera e inclusive a un anillo cualquiera. Sin embargo, para los propósitos algebraicos necesitaremos una noción más general que llamaremos polinomio formal. Algebraicamente, los polinomios formales tendrán muchas de la propiedades de las funciones polinómicas, pero permitirán estudiar de manera más cómoda y eficiente las ecuaciones polinómicas. Los siguientes ejemplos ilustrarán la necesidad de polinomios formales.

Ejemplo.

Recordemos que un cero de una función polinómica es un número del dominio de la función tal que Consideremos la función polinómica de en tal que Observemos que un "cero" de esa función es el número irracional que no pertenece al dominio de la función.

El problema no es que la función tenga dominio los racionales y no todos los reales, ya que la función tal que tampoco tiene ceros reales, aunque sí complejos.

Es decir que un problema con las funciones y sus ceros, es que puede haber "ceros" de la función que vivan fuera del dominio de la función.


Ejemplo.

Consideremos el cuerpo y sean y funciones de en si mismo tales que y La tabla siguiente muestra los valores de las funciones.

Como para todo de se cumple que tenemos que las funciones polinómicas y son iguales, aunque sus grados son diferentes. Nosotros no queremos que polinomios de diferentes grados sean iguales, por lo que necesitaremos una noción diferente a funciones polinómicas.


Búsqueda de una definición[editar]

Queremos que nuestros polinomios formales tengan propiedades análogas a funciones polinómicas, inclusive que se escriban de manera parecida. Para buscar una definición adecuada, examinaremos las propiedades de la suma y la multiplicación de las funciones polinómicas, especialmente cuando se realizan esas operaciones por coeficientes separados---es decir, cuando solo escribimos los coeficientes.

La suma[editar]

Sean y Hallar la suma de y Las expresiones polinómicas pueden escribirse con los grados en forma ascendente, o en forma descendente. Hemos usado la forma ascendente, porque será más útil para nuestros propósitos.

SumaPolinomios.jpg

A la derecha, hemos mostrado el cómputo mediante coeficientes separados, donde se ve claramente que la suma consiste en sumar los coeficientes de los términos de igual grado de los sumandos. Notemos que la notación ascendente de los polinomios, permite alinear fácilmente los términos iniciales. Si llamamos y a los coeficientes de los términos de grado de los sumandos, y si es el coeficiente del término de grado del resultado, tenemos que

(16-1


Esa afirmación supone que cuando un término de un polinomio no aparece, su coeficiente es cero.

La multiplicación de polinomios[editar]

Examinaremos la multiplicación, tratando de ver el patrón de generación de los coeficientes del producto. Sean y dos funciones polinómicas. Veamos la generación de los primeros términos del producto.

MultPolinomios.jpg

Reuniendo los términos de igual grado, obtenemos que

Observemos que en cada coeficiente de un término del producto, el valor de la suma de los subíndices de cada uno de los factores de los sumandos que determinan al coeficiente, es igual al grado del término. Por lo que si llamamos al coeficiente del término de grado del producto, se cumplirá que

(16-2


Observemos, nuevamente, que si no hubiésemos escrito las potencias de (método de los coeficientes separados), habríamos obtenido el resultado, efectuando los mismos cómputos. Es decir que para las operaciones lo único importante son los coeficientes y su posición dentro del polinomio, por lo que podríamos representar el polinomio

como una sucesión

Esa es precisamente la vía que adoptaremos. Nuestros polinomios formales serán sucesiones de números o, en general, de elementos de un anillo, que se operan de acuerdo a las relaciones en las ecuaciones (16-1) y (16-2), y cuyos términos son todos nulos a partir de un cierto término en adelante.

Las Definiciones Formales[editar]

Sea un anillo (conmutativo o no) con identidad. Simbolizaremos por al conjunto formado por todas las sucesiones de en es decir todas las funciones de en El valor de en se denota por y se dice que es el término --ésimo de la sucesión.

Dotaremos a de operaciones de suma y multiplicación análogas a las de la suma y multiplicación de las funciones polinómicas. Por ahora, no nos restringiremos a sucesiones que tengan solamente un número finito de términos no nulos; más tarde, consideraremos esa restricción.

La suma[editar]

Sean y dos sucesiones de La suma de esas sucesiones es la sucesión denotada por y tal que

(16-3


Es decir que el término --ésimo de la suma es la suma de los términos --ésimos de los sumandos.

Notemos que la suma definida es la suma usual de sucesiones que corresponde a la suma de funciones definida punto a punto. Sabemos de trabajos anteriores que tal suma es asociativa, conmutativa, que tiene como neutro la función constante cero (para todo ), y que cada función tiene un opuesto aditivo tal que Por lo que es un grupo abeliano.

La multiplicación[editar]

Sean y dos sucesiones de Definiremos el producto de esas sucesiones por una relación idéntica a aquella en la ecuación (16-2), es decir que

(16-4


Nos interesa probar que es un anillo con identidad. Para eso, nos falta por probar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que hay una función identidad para la multiplicación.


Lema A. La multiplicación definida en (16-4) es asociativa.

Demostración: Sean y tres sucesiones de en Para todo se cumple que

Lo que prueba la asociatividad. (La clave de la demostración es observar que todos los sumandos son de la forma indicada en la última sumatoria.)



Lema B. La multiplicación definida es distributiva.

Demostración: Sean y tres funciones de en Para todo se cumple que

Análogamente, se verifica la distributividad por la derecha.


Identificación de con un subanillo de

Con cada en asociaremos la función tal que y para todo Como sucesión, tenemos que

Sea tal que Claramente, es una función inyectiva, Probaremos que es un homomorfismo de anillos.

Cuando y son elemento de se cumple que mientras que para tenemos que Luego,

(16-5


Veamos la situación con la multiplicación.

Con se tiene que

La última sumatoria es igual a cero, ya que implica que Veamos la primera sumatoria.

Como cada uno de los sumandos es nulo, se tiene que para

Luego,

(16-6


Las relaciones (16-5) y (16-6) nos dicen que la función es efectivamente un homomorfismo que además es inyectivo. Por lo tanto, es isomorfo (como anillo) con su imagen. Usando ese monomorfismo, identificaremos los elementos de con sus imágenes, por lo cual consideraremos a como un subanillo de

Veamos, ahora, que sucede cuando se multiplica un elemento de por una sucesión cualquiera.

Lema C. Sean en y en Se cumple que (Es decir que cada término de la sucesión se multiplica por )

Demostración:

Corolario C.1. Es decir que 1 es una identidad en

Todo el trabajo anterior muestra la siguiente proposición.

Proposición 1. El conjunto con las operaciones definidas arriba tiene la estructura de un anillo con identidad que contiene a como subanillo. Cuando es conmutativo, también lo es.

Demostración: Queda de ejercicio probar la parte de la conmutatividad de la multiplicación, cuando el anillo es conmutativo.

El Anillo de los Polinomios[editar]

Un polinomio puede considerarse, intuitivamente, como una sucesión donde todos sus términos son nulos, excepto, a lo más, una cantidad finita de ellos. Formalizaremos lo anterior, empezando con la siguiente definición.

Sea en Llamamos soporte de la sucesión al subconjunto de formado por todos los tales que


Con los preparativos anteriores, estamos listos para definir la noción formal de polinomio.

Definición. (Polinomio Formal) Sea un anillo con identidad. Un polinomio (formal) con coeficientes en es una sucesión en con soporte finito.


En términos de sucesiones, un polinomio es una sucesión con un número finito de términos no nulos. Sea Intuitivamente, corresponde al polinomio Para obtener formalmente lo anterior, definiremos al polinomio También, deberemos probar que la suma y el producto de polinomios es un polinomio, es decir que forman un subanillo de Previamente, introduciremos el símbolo de Kronecker que nos ayudará a expresar más concisamente nuestras definiciones y demostraciones.

Definición. (Símbolo de Kronecker) Llamamos símbolo de Kronecker a la expresión definida como:


Por ejemplo, cada elemento de define la función que es tal que

Definición. (Indeterminada) Llamamos indeterminada con respecto al anillo a la sucesión de simbolizada y tal que

Es decir que

Claramente, es un polinomio.

Proposición 2. Sea la indeterminada, entonces

  1. es decir que es la sucesión que tiene todos sus términos nulos, con la excepción del --ésimo que es igual a 1.
  2. para todo en
Demostración:
  1. Por inducción sobre implica que También, Supongamos que para se cumple que Entonces,

    El único sumando con es aquel donde y, por lo tanto, el correspondiente es igual a Lo que implica que Por inducción, se tiene el resultado.

  2. Ejercicio.
  3. Probaremos primeramente que

    Suponer el resultado para todo Es decir que para todo en se cumple que Entonces,

    El resultado sigue por inducción.


Proposición 3. El conjunto de los polinomios determina un subanillo con identidad de que será denotado por y que diremos que se trata del anillo de polinomios en una indeterminada con coeficientes en el anillo ,

Demostración: Necesitamos tan sólo probar que la suma y el producto de sucesiones con soporte finito son sucesiones con soporte finito. Sean y dos polinomios tales que para se tiene que y para se cumple que Entonces, si se tiene que al ser mayor que y que Es decir que es un polinomio.
Sea ahora Entonces,

Los sumandos de la primera sumatoria tiene un factor con lo que implica que por lo que esa sumatoria es 0. Observemos que en la segunda sumatoria, se tiene que Entonces, Por lo que los 's son todos nulos, haciendo la segunda sumatoria nula. Luego, es un polinomio.


A continuación, veremos como recuperar la notación tradicional de polinomios.

Proposición 4. Sea una sucesión no nula con para o sea un polinomio. Sea Entonces,

Demostración: Claramente, si Sea tal que

Por lo que las dos sucesiones son iguales.


La proposición muestra como podemos expresar un polinomio como una suma finita de términos de la forma Usaremos esa notación, de ahora en adelante.

Nomenclatura[editar]

Sea un polinomio de al que expresaremos como donde (fj en la notación anterior de sucesiones).

  • Cada uno de los 's se llama un coeficiente del polinomio
  • Cualquiera de los coeficientes puede ser nulo. Cuando todos los coeficientes sean nulos, diremos que se trata del polinomio nulo o cero.
  • Cada uno de los sumandos que aparecen en la definición de se llama un término del polinomio. Cada término es de la forma donde es un elemento del anillo y es un número entero tal que llamados, respectivamente, el coeficiente del término y el grado del término. Dicho termino es el s--ésimo término. Cuando el coeficiente de un término es cero, se puede eliminar de la presentación del polinomio. Por ejemplo, podemos escribir como
  • El primer sumando, es el término constante. Como cuando dicho término tiene grado 0. Los términos constantes se identifican con los elementos de
  • Supongamos que no es el polinomio nulo. Entonces, al menos uno de los coeficientes de no es nulo. Sea el mayor de los enteros tales que Decimos que el término es el término líder del polinomio y que es el coeficiente líder del polinomio. En tal caso, llamamos grado del polinomio al numero Por lo tanto, el grado de un polinomio no nulo es siempre un número entero positivo o cero, al que denotaremos por Por definición de grado, para todo se tiene que si entonces
  • Cuando el coeficiente líder sea igual a 1, diremos que se trata de un polinomio mónico.
  • El polinomio nulo no tiene coeficiente líder, por lo que según la definición dada arriba no tiene grado. Resultará conveniente adoptar el siguiente convenio para el grado del polinomio cero

    Notemos que esa definición garantiza que el polinomio nulo tiene un grado menor que cualquier polinomio no nulo.

  • Cuando dos polinomios y son escritos como sumatoria de términos, los polinomios son iguales, ssi, ambos son nulos o, tienen igual grado y los coeficientes correspondientes iguales.

Grados de la Suma y el Producto[editar]

Sean y dos polinomios con grados y respectivamente. Mirando a la demostración de la proposición sobre la suma y multiplicación de polinomios, vemos que tenemos cotas para los grados de la suma y el producto de dos polinomios.

En primer lugar, tenemos que el grado de la suma nunca excede el grado de los sumandos, o sea que

La desigualdad puede ser estricta, por ejemplo considerar Pero, puede haber también otras circunstancias que hagan estricta a la desigualdad anterior.

Ejemplo.

Sea (enteros modulo 6) y sean Entonces,


Con respecto a la multiplicación, tenemos que

El siguiente ejemplo muestra que la desigualdad puede ser estricta.

Ejemplo.

Sea se tiene que


El grado, en el ejemplo anterior, es menor que la suma de los grados, ya que los coeficientes lideres de los factores eran divisores de cero. Cuando uno de ellos no es un divisor de cero, tenemos la igualdad.

Proposición 5. Sean y polinomios en tales que el coeficiente líder de al menos uno de esos polinomios no es un divisor de cero. Entonces,

Además, el coeficiente líder del producto es el producto de los coeficientes lideres de los factores.

Demostración: Si uno de los polinomios es nulo, el resultado es trivialmente válido. Supongamos que y donde Entonces, el término --ésimo es aquel del mayor grado posible del producto. Se tiene que

Si se cumple que por lo que Igualmente, si entonces Es decir que el único posible sumando no nulo en la sumatoria anterior es Como o no son divisores de cero, se tiene que De donde el resultado.


Corolario 5.1. Cuando es un dominio de integridad, entonces también lo es.

Demostración: Cualquier polinomio no nulo tiene un coeficiente líder que no es un divisor de cero. Si y son polinomios no nulos, el coeficiente líder del producto es igual al producto de los coeficientes lideres de y por lo que no puede ser nulo.

Observación. Sean y anillos tales que es un subanillo de Entonces, cada polinomio en puede considerarse un polinomio en Por lo que siempre consideraremos que es un subanillo de Por ejemplo, se cumple que


Cuerpo de las Fracciones Racionales[editar]

Vimos arriba que cuando es un dominio de integridad, en particular un cuerpo, también es un dominio de integridad. Sabemos del capítulo pasado que todo dominio de integridad puede extenderse a un cuerpo de fracciones del anillo.

Definición. (Cuerpo de las Fracciones Racionales) Sea un dominio de integridad. Llamamos cuerpo de las fracciones racionales al cuerpo de fracciones del dominio de integridad Notación:


Polinomios en varias variable[editar]

Sea un anillo con identidad, entonces también es un anillo con identidad, por lo que podríamos considerar polinomios con coeficientes en Si llamamos a la indeterminada correspondiente, tendríamos el anillo con identidad que simbolizamos de forma abreviada como Usando de base ese último anillo, podemos obtener etc.

Anillo de las Series Formales de Potencias[editar]

Volvamos al anillo de las sucesiones con términos en un anillo Poniendo al igual que para los polinomios, tendremos, por la demostración de la proposición de representación como sumatoria de los polinomios, que podríamos escribir cada sucesión como un polinomio de grado infinito, o sea como una sumatoria sin fin

El lector habrá encontrado en sus cursos de Cálculo expresiones análogas llamadas series de potencias. Por tal razón, llamaremos a los elementos de series de potencias formales. Simbolizaremos a como y diremos que se trata del anillo de las series de potencias formales en una indeterminada con coeficientes en el anillo


Ejercicios[editar]

  1. Sea el anillo Sean Hallar usando directamente las definiciones de operaciones con sucesiones.
  2. Sean y polinomios en Hallar
  3. Efectuar las operaciones indicadas en simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden creciente de los exponentes de los monomios.
  4. Efectuar las operaciones indicadas en simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden decreciente de los exponentes de los monomios.
  5. Usar el método de coeficientes separados para realizar las operaciones indicadas en
    1. ;
    2. ;
    3. y
  6. Completar las demostraciones de las proposiciones, cuando lo requieran.
  7. Probar que cuando es un anillo conmutativo, también lo es.
  8. Hallar dos polinomios y en tales que el grado de la suma de con sea inferior a los grados de cada uno de los sumandos, pero que
  9. Hallar polinomios en tales que el grado del producto sea inferior a la suma de los grados de los factores.
  10. ¿Cuántos polinomios distintos de segundo grado, de tercer grado, ... , de enésimo grado podemos formar sobre el cuerpo ?
  11. Sean y elementos de Hallar
  12. Sean y dos series en Hallar el producto de con
  13. Hallar tales que:
  14. Hallar un polinomio tal que
  15. Hallar las relaciones entre y para que el polinomio

    sea un cuadrado perfecto.

  16. Cuando es un dominio de integridad, los únicos polinomios invertibles en son aquellos de grado cero y cuyo coeficiente líder es una unidad de
  17. Sea Obtener el polinomio en la indeterminada que se obtiene de al sustituir por
  18. Sea un polinomio de segundo grado sobre un cuerpo Probar que hay una sustitución del tipo que convierte a en un polinomio cuyo coeficiente del término lineal es nulo.
  19. Sea un polinomio de tercer grado sobre un cuerpo Probar que hay una sustitución del tipo que convierte a en un polinomio cuyo coeficiente del término cuadrático es nulo.
  20. Sean , \ldots elementos de un anillo conmutativo Expandir cada uno de los polinomios siguientes sobre y representar la expresión resultante como un nuevo polinomio. Generalizar los resultados.


  21. Sean indeterminadas sobre un anillo conmutativo con identidad Entonces:

    Donde,


  22. Sean elementos de un anillo conmutativo. Hallar una fórmula para
  23. Sea Sean en tales que y para todo número Hallar
  24. Sean en tales que Escribir de forma explícita como sucesiones a y Hallar
  25. Simplificar en ---el cuerpo de las fracciones racionales sobre ---las siguientes fracciones.
  26. Cuando es un dominio de integridad, el anillo de series formales con coeficientes en también lo es. El cuerpo de fracciones de se denota por Como polinomios son series de potencias, se tiene que los polinomios no nulos son invertibles en Probar que en se cumple que:


La Evaluación de un Polinomio[editar]

En esta sección, veremos como definir ceros de un polinomio. Sea un anillo conmutativo con identidad y sea el anillo de polinomios en la indeterminada con coeficientes en Supongamos que fuera un superanillo de o sea un anillo que contiene a (pero no necesariamente conmutativo), y que fuera un elemento de que conmuta con todos los elementos de (En particular, si fuera conmutativo, cualquier elemento de )

Definición. (Evaluación) En la situación anterior, sea un polinomio con coeficientes en Llamamos evaluación de en al elemento de definido por

Decimos que ese elemento de es el valor de en y usaremos la notación funcional para representarlo.


Convenio Notacional. Notemos que la notación pudiera ser ambigua, ya que si consideramos a como una sucesión o sea una función con dominio puede indicar el coeficiente --ésimo del polinomio o la evaluación de en que en general son dos cosas diferentes. Por lo que de ahora en adelante, la notación funcional se usará únicamente para la evaluación de polinomios y los polinomios siempre se presentarán como suma de términos.


Funciones polinómicas. Cuando sea un elemento de (que es obviamente un superanillo de si mismo) entonces es un elemento de Por lo que tenemos asociada a cada polinomio de una función que diremos que es la función polinómica definida por A menos que haya un riesgo de confusión, usaremos el mismo nombre para dicha función.

Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada que es un elemento de una función que asigna a cada polinomio de su evaluación en Denotaremos esa función por La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.

Proposición 6. Sean y polinomios con coeficientes en Sea un elemento de un superanillo del anillo y que permuta con los elementos de Entonces,

Luego,

Demostración: Ejercicio.

Sigue de la proposición que es un homomorfismo de anillos.


Proposición 7. (Extensión de Homomorfismos) Sean y anillos conmutativos con identidad, y un homomorfismo de anillos con identidad. Entonces, hay una función

que es un homomorfismo de anillos.

Es decir que asigna a cada polinomio de el polinomio de que resulta al reemplazar los coeficientes del primer polinomio por sus imágenes por

Demostración: Sean y Entonces,

Nomenclatura. Decimos que es el homomorfismo inducido por

Sea el supramorfismo canónico, Entonces, diremos que el polinomio es el polinomio obtenido de por reducción módulo

Ejemplo.

La reducción de módulo 2 es igual a


Sustitución de Indeterminada[editar]

Sea un anillo conmutativo con identidad y sea es un superanillo de y cada uno de sus elementos permuta con los elementos de Por lo que podemos evaluar cada polinomio en en un elemento de o sea en otro polinomio, digamos, de El resultado se dice que es la sustitución de la indeterminada o variable por

Ejemplo.

Sea y sea

  • Sea Entonces,
  • Sea Entonces

Los Ceros de un Polinomio[editar]

Definición. (Cero de un Polinomio) Sean un anillo conmutativo con identidad, un superanillo de y un polinomio con coeficientes en Decimos que un elemento de que permuta con los elementos de es un cero o raíz del polinomio ssi,

Denotaremos por (o simplemente cuando el conjunto de donde se toman los ceros sea claro del contexto) al conjunto formado por todos los ceros de en


Observación. Sea un superanillo de entonces


Ejemplo.

Sea un polinomio en Entonces, Por lo que 2 es un cero del polinomio

Se ve claramente que


Ejemplo.

Sea un polinomio en Entonces, claramente lo que prueba que es un cero del polinomio Además es el único cero en Por lo que, pero



Ejemplo.

Sea un polinomio en

Entonces, claramente lo que prueba que son ceros del polinomio Sabemos que esos números no son racionales, por lo que pero lo que indica porque no podemos omitir el anillo donde estamos considerando los ceros en la notación cuando se trabaja simultáneamente con varios anillos.


Los ejemplos anteriores muestran, además, que los ceros de un polinomio no tienen porque vivir en el anillo de los coeficientes, aunque ese anillo sea un cuerpo.

PROBLEMA BÁSICO DEL ÁLGEBRA

Dado un anillo y un polinomio en determinar todos los posibles ceros de


Como lo muestran los ejemplos anteriores, para hallar los ceros, a lo mejor será necesario extender el anillo donde están los coeficientes del polinomio.

Números y Enteros Algebraicos[editar]

Definición. (Número Algebraico, Entero Algebraico) Un número complejo se llama número algebraico cuando es un cero de un polinomio con coeficientes en Un número algebraico es un entero algebraico cuando es un cero de un polinomio mónico con coeficientes enteros.


Ejemplo.

es un entero algebraico, ya que es un cero de


Ejemplo.

Hallar un polinomio en tal que sea un cero del polinomio.

Resolución. Pongamos Entonces,

Luego, es un polinomio con el cero indicado.


Ejercicios[editar]

  1. Evaluar cada uno de los siguientes polinomios de en los números indicados a continuación.
  2. Para cada uno de los números siguientes verificar que se trata de un número algebraico, hallando de manera explícita un polinomio anulado por ese número. En cada caso indicar si el número es, o no, un entero algebraico.
  3. Sean y anillos con identidad y sea un homomorfismo de anillos y sea un elemento de que permuta con los elementos de la imagen de Probar que hay un único homomorfismo de anillos tal que
  4. Sea en y sea una matriz Probar que es un cero de o sea que es la matriz nula.
  5. Sea en y sea una matriz Probar que es un cero de
  6. Sea un anillo conmutativo con identidad. Sea tal que

    es un homomorfismo de anillos con identidad.

  7. Sea Sea el conjunto de todas las sucesiones Con operaciones punto a punto, o sea que

    Verificar que es un anillo conmutativo con identidad. Probar que el polinomio de tiene infinitos ceros.