Álgebra Abstracta/Divisibilidad y Polinomios

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Álgebra Abstracta


La Divisibilidad en el Anillo de los Polinomios[editar]

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplican. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.


La Divisibilidad en el Anillo de los Polinomios[editar]

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplica. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.

Las Unidades y Asociados en un Anillo de Polinomios[editar]

Sea un anillo conmutativo con identidad. ¿Cuáles son las unidades, o sea los elementos con recíprocos, en el anillo de polinomios ? En general, la respuesta puede resultar complicada, como podemos apreciar del siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea y consideremos los polinomios y Entonces, Es decir que es una unidad.


Como, usualmente, no esperamos que polinomios de grado positivo tengan recíprocos, lo anterior es una anomalía; la que eliminaremos si trabajamos con coeficientes en un dominio de integridad o como también diremos sobre un dominio de integridad, en particular, al trabajar sobre un cuerpo.

Proposición 1. Sea un dominio de integridad. Entonces, las unidades de coinciden con las unidades de

    Demostración: Sean y polinomios tales que Entonces, y deben ser polinomios de grado cero, ya que su producto tiene ese grado. Es decir que y con Por lo que concluimos que las unidades en son los polinomios de grado cero cuyos coeficientes son unidades del dominio de los coeficientes.


Cuando sea el anillo de los Enteros, las únicas unidades en son En cambio, si es un cuerpo, cualquier polinomio de grado cero no nulo es una unidad---que están identificados con los elementos no nulos del cuerpo.


Recordemos que decimos que dos elementos de un anillo está asociados cuando uno de ellos es un múltiplo por una unidad del otro.

Lema A. Sobre un cuerpo, cada polinomio tiene asociado un polinomio mónico.

    Demostración: El polinomio que resulta al multiplicar el polinomio dado por el recíproco de su coeficiente líder es mónico.


Ejemplo.

Suponer Como y es un unidad, se tiene que es un asociado del polinomio original.


El Algoritmo de la División[editar]

En esta sección, veremos que tenemos un Algoritmo de la División para polinomios semejante al de los números enteros, siempre que el coeficiente líder del divisor sea una unidad del anillo.

Teorema. (El Algoritmo de la División).

Sea un anillo conmutativo con identidad. Sean y polinomios con coeficientes en tales que el coeficiente líder de sea una unidad de (o sea, invertible en ). Entonces, podemos hallar polinomios únicos y en tales que

    Demostración: Primeramente, probaremos la existencia de los polinomios y Si el grado de es cero, se tiene que donde es un elemento invertible de Entonces,

    Lo que prueba la existencia, con y

    (Existencia.) Supongamos, ahora, que el grado de es positivo. Si el grado de es menor que el grado de tendremos que:

    lo que prueba la existencia con y

    Supongamos, ahora, que el grado de fuera mayor o igual que el grado de Digamos que:

    con y y invertible. Sea

    (1


    Notemos que es igual a menos su término de mayor grado, por lo que tiene un grado inferior al de Suponiendo, por inducción, el resultado válido para todo polinomio de grado inferior a se tiene que podemos hallar polinomios y con y tal que

    (2


    Sigue de (1) y (2) que Lo que finaliza la prueba la existencia.

    (Unicidad.) Supongamos que con Entonces, Supongamos que Como el coeficiente líder de no es un divisor de cero, tenemos que

    Mientras que por lo que obtenemos una contradicción. Luego, y, en consecuencia,


Nomenclatura. Llamamos dividendo y divisor a los polinomios y de la proposición anterior. Por su parte, los polinomios y se llaman el cociente y el residuo, respectivamente, de la división de por

Observación. Notemos que lo indicado en la demostración del caso cuando el grado del dividendo era mayor o igual al grado del divisor es el comienzo del proceso usual de división manual de polinomios, proceso que suponemos conocido del lector.


La Estructura del Anillo de Polinomios sobre un Cuerpo[editar]

En esta sección, veremos que la teoría de la divisibilidad en cuerpo, es totalmente análoga a la teoría de la divisibilidad en los Enteros.

Proposición 2. es DIP
Sea un cuerpo. Cada ideal de es principal. Los ideales no nulos tienen como generador a un polinomio con el menor grado entre los elementos del ideal. (DIP significa dominio de ideales principales, todos los ideales son principales).

    Demostración: Sea un ideal de Si Sea un ideal no nulo, por lo que habrá un polinomio no nulo en Seleccionemos en tal que su grado sea menor o igual a los grados de los otros polinomios no nulos en Cuando el grado de es cero, se tiene que donde es un elemento de por lo que tiene recíproco. Luego es un elemento de y Supongamos que el grado de es positivo. Sea cualquier polinomio en Por el algoritmo de la división, hay polinomios y con con nulo o con Se tiene entonces que por lo que está en Como el grado de es minimal entre los polinomios no nulos de concluimos que Luego, cada elemento de es un múltiplo de o sea que está generado por


Como cada polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene asociado un polinomio mónico, podemos siempre escoger como generador de un ideal en a un polinomio mónico.

Ejemplo.

La restricción de que los coeficientes pertenezcan a un cuerpo es necesaria. Veremos que no es un DIP.

Consideremos el ideal generado por el 2 y la indeterminada Los elementos de son todos de la forma No hay un polinomio que divida simultáneamente a 2 y a además 1 no está en Lo que muestra que es un ideal propio que no es principal.


MCD de Polinomios[editar]

Sean y dos polinomios. Si uno de ellos es nulo y el otro no, el polinomio no nulo es el mcd de ellos. Sean y polinomios no nulos. Consideremos el ideal generado por esos polinomios, Como es DIP, hay un polinomio de grado minimal que genera a Luego, para un par de polinomios Sigue de la relación anterior que cualquier divisor común de y es un divisor de Además, claramente, y están en por lo que son múltiplos de Luego, es el MCD buscado. Hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3. (MCD y Bezout para polinomios) Sean polinomios, no ambos nulos, en con cuerpo. Entonces, el ideal generado por y tiene como generador a un máximo común divisor de y que puede ser seleccionado mónico. Si es un se cumple la identidad de Bezout, o sea, hay polinomios y tales que

Como asociados de un mcd son mcd, siempre podemos escoger como EL mcd, al polinomio mónico asociado a un mcd.

Algoritmo para Computar el MCD[editar]

Hay un algoritmo, conocido como algoritmo de Euclides para obtener el MCD de dos polinomios.

El procedimiento (algoritmo) está basado en el siguiente resultado.

Proposición 4.

Sean y polinomios no nulos. Suponer que donde es el cociente de la división de por y es el residuo de esa división. Entonces, (excepto por una unidad),

    Demostración: Sean y Consideremos la relación Sigue de la relación que cualquier divisor común de y es un divisor de por lo que será un divisor común de y ; aplicando lo anterior a tenemos que divide a Igualmente, la relación indicada implica que cualquier divisor común de y es un divisor común de y ; lo que implicará que divide a Por lo que y son asociados, luego, si son mónicos, son iguales.


Lo anterior sugiere un procedimiento para hallar el mcd de dos polinomios no nulos.

  1. Dividir por para obtener cociente y residuo Si tenemos que es el MCD buscado, y se concluye la búsqueda. En caso contrario, ir al siguiente paso.
  2. Continuar dividiendo divisor y residuo obtenidos en el paso anterior, repitiendo el proceso cuantas veces sea necesario hasta obtener un residuo nulo. El último divisor no nulo es el mcd buscado

Notemos que como el residuo tiene un grado menor que el divisor, el proceso acaba en un número finito de pasos. El procedimiento se puede adoptar para generar los polinomios de la identidad de Bezout.

MCM de dos polinomios[editar]

Sean y dos polinomios no nulos. Cuando uno de ellos tiene grado cero, el otro es el MCM de los dos. Supongamos que los dos polinomios tienen grado positivo. Sean Como es un dominio de ideales principales, hay un polinomio mónico tal que Como está contenido en y en resulta que es un múltiplo común de e Además, cualquier múltiplo común de y estará tanto en como en por lo que estará en lo que implica que será un múltiplo de Luego,

Polinomios Irreducibles y Polinomios Primos[editar]

Recordemos las nociones de elementos irreducibles y primos en un dominio, pero aplicadas a polinomios.

  • Un polinomio de es irreducible (en ), ssi, no es nulo ni una unidad y implica que o es una unidad.
  • Un polinomio de es primo (en ), ssi, no es nulo ni es una unidad y cuando entonces o

Notemos que en cuerpo, cualquier polinomio de grado 1 es irreducible. Sin embargo, lo anterior no es cierto, inclusive sobre un dominio de integridad como los Enteros, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea El polinomio es irreducible en por lo que es irreducible en ya que es un unidad en o sea que está asociado con un irreducible. Sin embargo, no es irreducible en ya que 2 es un irreducible, por lo que es el producto de dos irreducibles de


Sabemos de un capítulo anterior que los elementos primos de un dominio son irreducibles. Veremos que para los polinomios sobre un cuerpo, los irreducibles son primos, por lo que no habrá diferencias entre esas dos clases de polinomios.

Proposición 5. Sea un cuerpo. Los polinomios irreducibles de son primos en

    Demostración: Sea un polinomio irreducible y supongamos que Debemos probar que o Supongamos que Entonces, Sigue de la identidad de Bezout que hay polinomios tales que Multiplicando por tenemos que Claramente, es un divisor del lado izquierdo en la última relación, ya que Luego, es un divisor de lo que prueba que es primo.


Cociente de k[X] por un irreducible[editar]

Sea un polinomio irreducible de con grado positivo y sea Sea tal que en Esto significa que no está en o sea que Por la identidad de Bezout, hay polinomios tales que

Pasando al cociente, tenemos que y como concluimos que Es decir que es invertible. Hemos probado, así, parte de la siguiente proposición.

Proposición 6. Sea un polinomio irreducible de con grado positivo mayor que 1. Entonces, es un cuerpo que contiene al cuerpo y a un cero de

    Demostración: Los razonamientos anteriores al enunciado de la proposición, muestran que es un cuerpo. Suponemos que mediante la identificación de elementos de con polinomios constantes (polinomios de grado cero o el polinomio nulo) Sea la función que envía de en su clase es la restricción a del supramorfismo canónico de en por lo que es un homomorfismo de anillos con identidad. Si se tiene que por lo que Por razones de grado, tenemos que lo que implica que es inyectiva, o sea que se trata de un monomorfismo que es, por lo tanto, un isomorfismo sobre su imagen. Usando el isomorfismo para identificar con su imagen, tenemos que por lo que es un cuerpo que contiene a Sea en Entonces, si pasando al cociente, se tiene que

    lo que prueba que es un cero de


La Factorización Única en k[X][editar]

El objetivo de esta sección es probar un teorema análogo al teorema fundamental de la Aritmética: "Cada entero positivo mayor que 1 es un producto de potencias de primos, tal que los primos y sus exponentes son únicos, excepto por el orden de aparición".

El siguiente resultado será necesario para el teorema deseado.
Lema B. Sea un cuerpo. Todo polinomio de grado positivo tiene un factor irreducible.

    Demostración: Los polinomios de grado 1 son claramente irreducibles, por lo que el teorema se cumple para ellos, ya que cada polinomio es un divisor de si mismo. Supongamos el resultado cierto para polinomios de grado a lo más Sea un polinomio de grado Si es irreducible, no hay nada más que probar. Si no es irreducible, entonces donde los grados de y de son inferiores al grado de pero mayores que 0. Por inducción, tiene un factor irreducible, que es también un factor de


Como cualquier asociado del factor de un polinomio es también un factor del polinomio, por lo que podemos escoger factores irreducibles que sean mónicos.

Teorema.(Factorización única).

Sea un cuerpo. Todo polinomio de grado positivo es el producto de una unidad por el producto único de potencias de irreducibles mónicos, diferentes entre ellos. La unicidad dice que los irreducibles que allí aparecen son únicos, así como las potencias a las que aparecen están unívocamente determinadas por excepto por el orden de aparición.

    Demostración: (Existencia) Si es irreducible, no hay nada más que probar. En particular, polinomios de grado 1, Supongamos que la existencia fuera válida para polinomios de grado a lo más Sea un polinomio de grado Si es irreducible, es el producto de su coeficiente líder (unidad) por su asociado mónico. Si es irreducible, entonces donde Por inducción, y son productos de una unidad por potencias de irreducibles mónicos, luego su producto, también lo será, después de multiplicar las unidades y reagrupar potencias de irreducibles iguales. (Unicidad) Supongamos que se tuviera que dos descomposiciones de un mismo polinomio. Digamos que
    (*


    Consideremos al irreducible Como irreducibles son primos, es primo; por lo que es un divisor de Como eso implica que es un divisor de al menos uno de los factores de ese producto, se tiene que divide a uno de los Sin perdida de generalidad, podemos suponer que divide a (si no, cambiamos la notación). Luego, para algún polinomio pero como es irreducible, se tiene que debe ser una unidad. Luego, ambos polinomios tienen igual grado y como son mónicos, la unidad debe ser la identidad 1. Lo que implica que Cancelando factores iguales a en (*), se cancelarán todas las potencias de y Ya que si sobrará alguno de ellos en un lado, sería divisible por alguno de los irreducible del otro lado, pero esto implicaría que son iguales, lo que no puede ser. Si el resultado estaría probado. En caso contrario, procedemos como arriba, para ir eliminando factores iguales en ambos lados, hasta quedar


Ejercicios[editar]

  1. Hallar el cociente y el residuo de la división del primer polinomio por el segundo en
    1. 2.
  2. Hallar y de modo que sea divisible por
  3. Efectuar la división de por y determinar condiciones para que el residuo sea nulo.
  4. Para cada uno de los siguientes pares de polinomios, indicar si el primer polinomio tiene como factor al segundo. En caso contrario, hallar un mcd de ambos polinomios.
  5. Hallar el MCD y MCM de los conjuntos siguientes de polinomios en
  6. Hallar números complejos de manera que sea divisible por
  7. Hallar el residuo de la división del polinomio por por y por
  8. Los residuos de la división de un polinomio por y son respectivamente 3, 7 y 13, Hallar el residuo de la división de por
  9. Sea un entero positivo,
    1. Probar que cada polinomio puede expresarse de manera única como
    2. Probar que el residuo de la división de cualquier polinomio por es igual a:


  10. Probar la validez del algoritmo de Euclides (por divisiones sucesivas) para computar un mcd de dos polinomios. Para hallar el MCD de y (suponiendo grado de mayor o igual que el grado de ), Se procede de la siguiente manera: Coloquemos y
      [(i)]
    1. Se divide por y se halla el cociente y el residuo
    2. Si el residuo es 0, es el máximo común divisor. En caso contrario, se repite el procedimiento con y
       Cuando se computa a mano, puede resultar conveniente reemplazar en algunos de los pasos, un polinomio por un asociado.
    
  11. Hallar el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de polinomios de
    1. y
    2. y (Para evitar fracciones en la primera división, multiplicar el primer polinomio por 2, obteniendo un asociado conveniente.)
    3. y
    4. y
    5. y
    6. y
    7. y
    8. y
  12. Mostrar que cuando el polinomio es primo con los polinomios y (un máximo común divisor es 1), también lo será con
  13. Mostrar que si los polinomios y son primos entre sí, también lo serán y
  14. Sobre el cuerpo hallar un polinomio de grado 2 tal que y
  15. Probar que los polinomios de grado 1 sobre un cuerpo son irreducibles.
  16. Probar que en dos polinomios son asociados, ssi, son iguales.

El Teorema del Residuo y los Ceros de Polinomios[editar]

Las siguientes proposiciones nos ayudarán a determinar los ceros de en Tal determinación, como veremos es equivalente a determinar los factores lineales de

Proposición 7. (Teorema del Residuo) Sea un anillo conmutativo con identidad, un polinomio en Sea un elemento de El residuo de la división de por es exactamente

    Demostración: Por el algoritmo de la división aplicado a (que tiene coeficiente líder invertible), obtenemos que

    donde tiene grado menor que Por lo tanto, será un polinomio de grado cero o el polinomio nulo. Evaluando en obtendremos el resultado.


Corolario 7.1. (Teorema del Factor) Sea un anillo conmutativo con identidad, un polinomio de Un elemento de es un cero de ssi, es un factor de

    Demostración: Por el algoritmo de la división, habrá polinomios y tales que:

    Si es un cero de se tendrá que de donde y en consecuencia, será un factor de En forma recíproca, si es un factor de el residuo será nulo.


Ejemplo.

Sea en Como se tiene que es un factor de Dividiendo por obtenemos como cociente a Usando la fórmula cuadrática, obtenemos que ssi,

Lo que nos da los ceros adicionales y Por lo que tendremos que

Por lo que


Ejemplo.

Sea en Claramente 1 es un cero de por lo que tiene el factor Dividiendo por obtendremos como cociente Como

vemos que no tiene otro cero entero, de hecho ni siquiera reales. Luego, Sobre los Complejos,


Ejemplo.

Hallar los ceros de de

Resolución. Los cuerpos finitos, precisamente por su finitud y especialmente cuando la cantidad de elementos es pequeña, se prestan para evaluaciones exhaustivas de sus elementos. En este caso Luego,


Ceros Múltiples, Cantidad de Ceros[editar]

Observemos que cuando es un polinomio no nulo divisible por un polinomio mónico digamos que se tiene que no es un divisor de cero en A[X]. Por lo que tenemos que Luego,

Multiplicidad. Sea un cero de Sea el mayor entero positivo tal que En tal situación, decimos que es un cero múltiple con multiplicidad Sigue de la observación anterior que la multiplicidad es inferior al grado de Cuando la multiplicidad es 1, decimos que el cero es simple. Denotaremos por la multiplicidad de en el polinomio

En los polinomios sobre los Reales o los Complejos, un polinomio de grado tiene a lo más ceros. En general, lo anterior no es cierto, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea y sea La tabla siguiente muestra la evaluación de en los elementos de

Luego, Sin embargo, no es igual o divisible por


Sin embargo, sobre un dominio de integridad, tenemos una situación análoga a aquella sobre los Reales y Complejos. Antes de probar lo anterior, probaremos el siguiente resultado.

Lema C. Sea un dominio de integridad y sean polinomios en Entonces,

    Demostración: Claramente, Sea en entonces ; como estamos en un dominio, se tiene que o Es decir está en o en Luego


Proposición 8. Sea un dominio y un polinomio no nulo en Si entonces

donde es la multiplicidad de en y La cantidad de ceros de contando las multiplicidades es inferior o igual al grado de

    Demostración: (Por inducción sobre el grado de ) Si el polinomio tiene grado 1, entonces debe ser 1 y por el teorema del factor.Supongamos que tiene grado mayor que 1 y que el resultado es válido para polinomios de grado inferior al de Sea uno cualquiera de los ceros, entonces
    y

    Por la hipótesis de inducción,

    donde es la multiplicidad de en y Observemos que para cualquier cero de Por el lema, se tiene que y usando las relaciones para y anteriores se tiene que

    De donde, se tiene que la suma de las multiplicidades debe ser inferior al grado de ya que estamos trabajando sobre un dominio.


Corolario. 8.1 (Cantidad de Ceros) En un dominio de integridad un polinomio de grado con coeficientes en el dominio tiene a lo más ceros en

Corolario 8.2. Sea un cuerpo con infinitos elementos y sean y polinomios con coeficientes en Entonces, como polinomios, ssi, son iguales como funciones.

    Demostración: Si entonces para cada de se cumple que Por lo que y son iguales como funciones. Supongamos, ahora, que y son polinomios tales que para cada en Sea Sigue de las hipótesis que para cada de Si es infinito se tiene que es un polinomio con infinitos ceros, que es mucho más de lo que puede tener un polinomio de grado Luego, el grado de es menor o igual a 0. Los polinomios de grado 0 no tienen ceros, por lo que la única posibilidad es el polinomio nulo, cuyo grado es menor que 0.



Derivadas y Ceros Múltiples[editar]

Para cada polinomio definiremos la noción de derivada de un polinomio. La derivada que definiremos proporciona el mismo resultado que la derivada de una función polinómica en los cursos de Cálculo. Esta noción de derivada, sin embargo, es formal y no requerirá de límites. La usaremos para determinar la existencia de ceros múltiples de un polinomio.

Definición. (Polinomio Derivado) Sea un polinomio de grado en Llamaremos polinomio derivado de al polinomio denotado por y definido por


La siguiente proposición muestra que los polinomios derivados tienen propiedades análogas a las derivadas de funciones.

Proposición 9. Sean y polinomios en un polinomio constante. Entonces, se tiene las siguientes propiedades:

  1. .
  2. .
  3. &

    Demostración: Las relaciones a) y b) siguen directamente de la definición.
    1. De acuerdo con la definición,
    2. Ejercicio.
    3. Ejercicio.
    4. Sean y Entonces, Luego,


Proposición 10. (Derivada y Multiplicidad). Sea un cuerpo y sea un polinomio de

  1. Si tiene un factor múltiple entonces y no son relativamente primos.
  2. Si la característica del cuerpo es 0 y y no son relativamente primos, entonces tiene un factor múltiple.

    Demostración:
    1. Supongamos que en con y Entonces, por la regla del producto, se tiene que
      (*


      Lo que prueba que es un divisor común de y

    2. Sea tal que y sea un factor irreducible de Entonces, para algún polinomio Luego, Como sigue de la relación anterior de que Luego, como es irreducible (y, por lo tanto, primo) o Supongamos que entonces y tenemos que es un factor múltiple de Si la característica del cuerpo es 0, entonces implica que


Ejemplo.

Sea primo. Entonces, ya que el cuerpo tiene característica Es decir, que en esta situación, Lo que muestra la necesidad de la hipótesis de característica 0 en la proposición anterior.


Corolario 10.1. Sea un polinomio de Si hay un cero común a y entonces ese cero es al menos doble.

Corolario 10.2. En un cuerpo de característica cero, los polinomios irreducibles solamente tienen ceros simples.

    Demostración: Sea un polinomio irreducible de grado Entonces, el coeficiente líder del polinomio derivado es y tiene un grado inferior a por lo que no hay polinomio de grado positivo que divida a y


Ejemplo.

Sea

Se tiene que Usaremos el algoritmo de Euclides para computar el mcd de y


Vemos que Es decir que es el mcd. Esto implica que hay un cero doble y que tal cero es precisamente


Expansión p(X)--aria de un Polinomio[editar]

Es conocido que dado un entero positivo cada número entero positivo se puede escribir de la forma

(*


donde los 's son tales que La expresión en la derecha de (*) se llama la expansión --aria de

El resultado anterior es una consecuencia del algoritmo de la división. Como tal algoritmo es válido para polinomios en un cuerpo, tenemos, como consecuencia, un resultado análogo para los polinomios con coeficientes en un cuerpo.

Proposición 11. (Expansión --aria de un polinomio) Sea un cuerpo, un polinomio de grado positivo de Entonces, todo polinomio se puede escribir de la forma

(**


donde los son polinomios en que son nulos o con grado inferior al grado de La expresión a la derecha de (**) se llama la expansión --aria de .

    Demostración: Si es nulo o con grado 0, se tiene el resultado con y Supongamos que es un polinomio de grado Por algoritmo de Euclides, tenemos que
    (1


    donde y son polinomios en y tiene un grado inferior al grado de Se tiene entonces que grado de es inferior al grado de por lo que, por inducción, tenemos que

    (2


    Sustituyendo este resultado en (1), obtenemos que

    Poniendo, tenemos el resultado.


Corolario 11.1. Si cada uno de los es un elemento del cuerpo

Ejemplo.

Sea entonces


Cuando el cuerpo es de característica 0 se tiene el siguiente interesante resultado.

Proposición 12. (Teorema de Taylor) Sea un cuerpo de característica cero. Sea un elemento del cuerpo. Entonces, cada de grado en puede expandirse como

donde denota la --ésima derivada del polinomio evaluada en

    Demostración: Ejercicio.


Ejemplo.

Sea el polinomio del ejemplo anterior y sea como en el ejemplo indicado. Entonces,

Lo que muestra como se produjeron los coeficientes de la expansión en el ejemplo anterior.


Este resultado se aplica en la descomposición en fracciones parciales de fracciones de polinomios con coeficientes en un cuerpo. Ver los ejercicios respectivos.

Ejercicios del Capítulo[editar]

  1. Hallar el residuo en cuando
    1. se divide por
    2. se divide por
    3. se divide por
    4. se divide por
  2. Sea un cuerpo y en Probar que
    1. Si entonces es irreducible.
    2. Si o es irreducible, ssi, no tiene ceros en
  3. Dar ejemplo de un polinomio que es reducible sobre pero que no tiene ceros racionales.
  4. El residuo de un polinomio de cuando se divide por es ¿Cuál es el residuo de cuando se divide por ?
  5. Sea en un polinomio tal que su residuo al dividir por es y cuando se divide por su residuo es Hallar el residuo de la división de por
  6. Hallar todos los ceros de en cuando
    a) y b)
  7. (Requiere Cálculo Infinitesimal.) Todos los polinomios con coeficientes reales. Como la característica es cero, cada polinomio define de manera única una función polinomial. Probar las siguientes afirmaciones.
    1. Cada polinomio de grado impar mayor que 1 no es irreducible.
    2. Suponer que en es un cero de es un cero múltiple, ssi, la tangente a la gráfica de en es el eje
    3. Si no tiene ceros múltiples y tiene grado impar, la cantidad de ceros reales es impar.
  8. Probar que el producto de dos polinomios mónicos es mónico.
  9. Probar que en primo se cumple que

    (Sugerencia: mirar el teorema de Fermat.)

  10. Hallar una función de en que no es una función polinomial.
  11. Probar que todas las funciones de en son polinomiales.
  12. Probar que en el ideal es primo pero no es maximal.
  13. Sea un cuerpo finito que tiene elementos. Sea un polinomio irreducible de de grado ¿Cuántos elementos tiene el cuerpo ?
  14. Sea un anillo conmutativo con identidad y sea el conjunto formado por todas las funciones de en Para y en definir suma y producto tales que

    ¿Es un anillo?

  15. (Sustituciones) Sea un anillo conmutativo con identidad. Probar que la función tal que en es un automorfismo de anillos. Hallar condiciones suficientes sobre para que la función sea un automorfismo de anillos.
  16. Sea un cuerpo cualquiera. Probar que en cuando dos polinomios son mónicos, de igual grado y uno de ellos divide al otro, los polinomios son iguales.
  17. En hallar para cada uno de los pares de polinomios indicados un mcd. de ellos y expresar ese mcd como una combinación lineal de los polinomios dados (Teorema de Bezout)
    1. y
    2. y
    3. y
  18. Sean y polinomios en un cuerpo cualquiera. con Sean y el cociente y el residuo de la división de por Probar que
  19. Sean y polinomios no ambos nulos de y sea Probar que hay polinomios y en tales que pero con y
  20. Hallar las expansiones --arias de cada uno de los siguientes polinomios en cuando
  21. (Fracciones Parciales) Sean y polinomios con coeficientes en un cuerpo que son primos entre sí. Probar que siempre podemos hallar polinomios y tales que:

    Mostrar, además, que podemos seleccionar y de modo que y

  22. (Fracciones parciales) Sea un irreducible de cuerpo. Probar que para todo polinomio tal que es posible hallar elementos en tales que
  23. (Fracciones parciales) Sea un polinomio mónico con coeficientes en un cuerpo Suponer que la factorización de en irreducibles está dada por donde cada es irreducible y Sea un polinomio cualquiera tal que el grado de es inferior al grado de Probar que hay polinomios tales que y que cumplen con
  24. Hallar la expansión en fracciones parciales de las fracciones siguientes.