Álgebra Abstracta/Los Anillos

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Álgebra Abstracta

Introducción

En este capítulo, iniciamos el estudio de las estructuras algebraicas llamadas anillos que están caracterizadas por tener dos operaciones (binarias), que usualmente llamamos adición y multiplicación. Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros, los Racionales y los Reales con la suma y multiplicación usual. También determinan un anillo el conjunto de las matrices con entradas que son números reales. Se puede decir que las estructuras que estudiaremos analizan y generalizan las propiedades algebraicas de los ejemplos indicados

Las Definiciones

Un anillo es básicamente un grupo abeliano (escrito aditivamente) con una multiplicación distributiva con respecto a la adición.

Definición. (Anillo) Un Anillo es una estructura tal que:

  1. es un grupo abeliano. Es decir que la operación es asociativa, con neutro 0, y donde cada elemento tiene un opuesto aditivo Decimos que ese grupo es el grupo aditivo del anillo.
  2. es un semigrupo, o sea que la multiplicación es asociativa. Decimos que ese semigrupo es el semigrupo multiplicativo del anillo.
  3. La multiplicación es distributiva respecto a la adición : para todo en se cumple que

Las propiedades adicionales que supongamos para la multiplicación producen varios tipos diferentes de anillos. Daremos, a continuación, un listado de algunos de esos tipos. La lista es larga, pero las nociones indicadas son más o menos obvias.

Definición. (Tipos de Anillos)

  • Un anillo con identidad es un anillo donde hay un neutro respecto a la multiplicación, al que usualmente simbolizaremos por o Para evitar trivialidades, supondremos que
  • Un anillo conmutativo es un anillo donde la multiplicación es conmutativa.
  • Un anillo integro o dominio de integridad es un anillo conmutativo con identidad donde el producto de dos de sus elementos es cero, solamente cuando uno de los factores es cero; o, equivalentemente, el producto de elementos no nulos es un elemento no nulo.
  • Un anillo con división es un anillo con identidad tal que cada elemento no nulo tiene un inverso respecto a la multiplicación. Es decir cuando el semigrupo multiplicativo sea un grupo.
  • Un cuerpo es un anillo conmutativo con división.[1]


Al igual que con las estructuras con una operación, tendremos subestructuras asociadas a cada tipo de anillo, que denotaremos colocando sub delante del nombre. Como siempre, una subestructura de una estructura de cierto tipo se refiere a un subconjunto que posee una estructura del mismo tipo con respecto a las operaciones restringidas al subconjunto. Para ilustración, daremos la definición de subanillo.

Definición. (Subanillo, Superanillo) Sea un anillo. Decimos que un subconjunto de determina o es un subanillo de , si, con las operaciones de restringidas a es un anillo. En tal caso, también, diremos que es un superanillo de Notación:

Cuando tenga una identidad, será un subanillo con identidad, cuando la identidad sea un elemento de


Sigue de la definición que un subanillo de un anillo determina con la suma un subgrupo del grupo aditivo de y que con la multiplicación determina un subsemigrupo de


Combinando los criterios para subgrupos y subsemigrupos, tenemos la siguiente proposición.

Proposición 1. (Criterio de Subanillo) Sea un anillo. Un subconjunto no vacío es un subanillo de , si,

  1. Para todo , en , es un elemento de , y
  2. Para todo , en , es un elemento de

Ejemplos de Anillos y Subanillos

El listado de anillos y subanillos es bastante extenso, por lo que nos limitaremos a dar algunos de los ejemplos más relevantes para nuestros propósitos. Es importante que el lector verifique cuidadosamente que se verifican las propiedades indicadas.

Ejemplo.

Sea un anillo. Entonces, mismo y siempre son subanillos de


Ejemplo.

Los Enteros con la suma y multiplicación usual, , determinan un anillo conmutativo con identidad donde el producto de elementos no nulos siempre es un elemento no nulo, por lo que se trata de un dominio de integridad.

Por su parte, los Racionales, los Reales y los Complejos son cuerpos respecto a la suma y multiplicación usual, ya que la multiplicación es conmutativa y cada elemento no nulo tiene un recíproco.

Los Enteros son un subanillo (con identidad) de los Racionales que, a su vez, es un subcuerpo de los Reales y de los Complejos. Los Reales son un subcuerpo de los Complejos.


Ejemplo.

Sea Si definimos y vemos que tiene dos operaciones que trivialmente definen una estructura de anillo en En dicho anillo, el neutro multiplicativo y el aditivo coinciden. Llamamos a este anillo el anillo trivial, y será el único anillo adonde es permitido que coincidan los neutros de las operaciones.


Ejemplo.

Sabemos que los únicos subgrupos aditivos de son los subgrupos formados por los múltiplos enteros de un número entero. Cuando es un entero, recordemos que denota el conjunto de los múltiplos enteros de Como, para todo y , se tiene que es también un múltiplo de , tenemos que es estable respecto a la multiplicación por cualquier elemento de (una propiedad que usaremos más adelante), por lo que, en particular, será cerrado respecto a la multiplicación por elementos de él mismo. Luego, los únicos subanillos de son los múltiplos enteros de un entero fijo. Notemos que, excepto por , esos subanillos no tienen identidad.


Ejemplo.

Suponer que es un entero positivo y que es un número complejo cuyo cuadrado es Sea

Verificaremos que con la suma y la multiplicación de los Complejos es un subanillo de los complejos.

Sea , luego y sean y dos elementos de Entonces,

Luego, es un subanillo de los complejos. Como está contenido en los Complejos no puede contener elementos no nulos cuyo producto sea cero, además como la multiplicación es conmutativa, vemos que se trata de un dominio de integridad.

Estos anillos proporcionarán ejemplos muy importantes, especialmente cuando hagamos consideraciones aritméticas---por ejemplo, la teoría de la divisibilidad, en los capítulos siguientes.

Introduciremos, para usos futuros, la noción de norma de un elemento de este anillo, que será el número real definido por

donde es el conjugado de



Ejemplo.

Se llama \emph{Enteros de Gauss} al subanillo de los Complejos. Aunque este subanillo es un caso particular de los ejemplos anteriores con , es lo suficientemente importante para tener un nombre propio, además de honrar a su genial inventor.


Ejemplo.

Sea un conjunto no vacío y un anillo. Sea , el conjunto formado por todas las funciones de en Podemos definir una suma y una multiplicación en , punto a punto, es decir que para y en ponemos que

Se verifica fácilmente que se obtiene una estructura de anillo en Cuando sea conmutativo, el anillo también lo será. Ver los ejercicios.

(Cálculo) Cuando , algunos subanillos de ese anillo quedan determinados por los conjuntos formados por

  • las funciones constantes,
  • las funciones polinómicas,
  • las funciones continuas,
  • las funciones derivables,

Un aspecto interesante de este ejemplo es que cuando tiene más de un elemento, entonces aparecen divisores de cero, es decir elementos no nulos cuyo producto es nulo.


Ejemplo.

Las sucesiones con valores reales son las funciones , por lo que este ejemplo es un caso particular del ejemplo anterior, ya que el conjunto de las sucesiones es .


Ejemplo.

Sea un anillo con identidad. Un polinomio con coeficientes en es una expresión de la forma

donde los 's son elementos de , es un elemento, llamado la indeterminada, que suponemos que es un elemento de un superanillo de que conmuta con todos los elementos de Simbolizaremos por al conjunto formado por todos los polinomios con coeficientes en

Supondremos conocidos del lector las operaciones con polinomios, así como la terminología asociada con los mismos: términos, coeficientes, grado, etc. Una presentación formal de los polinomios se halla en el capítulo de los polinomios.

, con las operaciones usuales de suma y multiplicación, es un anillo con identidad que es conmutativo cuando lo es. Se verifica que cuando es un dominio de integridad (o cuando sea un cuerpo), el anillo es un anillo con división.



Ejemplo.

Las matrices con coeficientes reales determinan un anillo con identidad que no es conmutativo, al que simbolizaremos por Notemos que

Es decir que, en un anillo de las matrices, hay elementos no nulos cuyo producto es nulo.


Las matrices nos proporcionan el primer ejemplo de un anillo no conmutativo. Otro ejemplo importante de anillo no conmutativo se verá a continuación.


Ejemplo (Los Cuaterniones).

Este ejemplo muestra la existencia de un anillo con división que no es cuerpo, es decir donde la multiplicación no es conmutativa.

Sea Se supone los siguientes convenios para la multiplicación.

Suponiendo las propiedades usuales para anillos y que , y permutan con los Reales, tenemos, por ejemplo, que

Queda de ejercicio, verificar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que cada elemento no nulo tiene un recíproco. Claramente, la multiplicación no es conmutativa, por lo que es un anillo con división que no es un cuerpo, llamado los cuaterniones. Los Cuaterniones fueron inventados en el siglo XIX---1843, por el matemático irlandés, William Hamilton, para aplicarlos a problemas de Mecánica tridimensional. Posteriormente, Frobenius probó que solamente hay dos anillos con división que tiene dimensión finita sobre los Reales: los Complejos y los Cuaterniones. Además, de las aplicaciones originales, los cuaterniones tienen interesantes aplicaciones en varias otras áreas de la Física actual.


Ejemplo (Los Enteros módulo ).

, tiene la estructura de un anillo conmutativo con identidad.

Recordemos que la suma y la multiplicación están definidas por

Se verifica que con esas operaciones tiene una estructura de anillo (ver ejercicios).

Estos anillos tienen muchas aplicaciones y sirven, también, para ilustrar varios aspectos de la teoría de los anillos. Ver los ejercicios.


Ejemplo. (Producto de Anillos).

Sean donde y son anillos. Dotamos a con una estructura de anillo, definiendo la adición y multiplicación componente a componente. Es decir que:

Decimos que el anillo es el producto directo de los anillos y .

Cuando y son conmutativos, podemos hablar de la suma directa de con y denotar al producto por .

Las propiedades del producto directo dependen naturalmente de las propiedades de sus factores. Por ejemplo, cuando ambos factores tienen identidad, digamos y respectivamente, entonces.

Análogamente, se verifica que ; es decir que tiene como identidad a .

Notemos, además, que ; por lo que productos no triviales tienen divisores de cero.


La Sustracción

En cualquier anillo, siempre, tendremos asociada con la adición, la operación de sustracción, definida como es usual.

Definición. (Sustracción) Sea un anillo, llamamos substracción o resta a la operación definida por


Las Propiedades Básicas

La siguiente proposición resume las propiedades básicas de las operaciones en un anillo. El lector reconocerá las propiedades básicas de las operaciones algebraicas estudiadas en los primeros cursos de Álgebra.

Proposición 2. Sea un anillo. Sean , y elementos de Entonces,

  1. (Propiedad del cero) Si entonces
  2. (Propiedad de los opuestos aditivos)
    1. Si entonces
  3. (Leyes de Signos)
  4. (Propiedad de la resta)

    Demostración: Probaremos algunas de las propiedades y dejaremos el resto para verificación por parte del lector. Observemos que las partes a) y b) siguen de que es un grupo abeliano. c. (i) Como se tiene que Esto implica que Restando de ambos lados de la última igualdad se tiene el resultado, o invocando la parte a) de esta proposición. (ii) Observemos que Es decir que es un elemento que sumado a produce 0. Por b.(ii), se concluye que se trata del opuesto aditivo de Es decir que (iii) Usando la parte (ii) se tiene El resultado sigue de b.(ii).


Elementos destacados

Ejemplo.

Consideremos el anillo de los Enteros módulo 8. Observemos que

Es decir que hay elementos no nulos cuyo producto es , el neutro aditivo del anillo. Además, tenemos que , pero , es decir que no podemos cancelar a en ambos lados de la igualdad anterior.

Por otra parte, tenemos que y que , es decir que los elementos , y son invertibles en ,


Los elementos del ejemplo anterior representan dos clases importantes de elementos de un anillo: los divisores de cero y las unidades. Nociones que definiremos a continuación.

Definición. (Divisor de Cero, Unidad) Sea un anillo cualquiera (no necesariamente conmutativo) con identidad

  • Decimos que un elemento de un anillo es un divisor de cero, ssi, hay un elemento no nulo en , tal que o
  • Decimos que un elemento de un anillo es una unidad, ssi, hay un elemento tal que Simbolizaremos por o al conjunto formado por todas las unidades del anillo
  • Decimos que un elemento de un anillo conmutativo es cancelable, ssi, para todo , del anillo se cumple que


Los anillos contienen divisores de cero cuando es un número entero compuesto. El anillo de matrices , que no es un anillo conmutativo, siempre contiene divisores de cero, como vimos en un ejemplo anterior.

Las Unidades

Observemos que las unidades de un anillo son precisamente los elementos invertibles del anillo. En particular, la identidad 1 es un unidad. Otro elemento que siempre es una unidad es , ya que Hay anillos, por ejemplo los Enteros, donde las únicas unidades son 1 y Otros anillos, tienen elementos adicionales que son unidades. Se verifica que en los Enteros de Gauss y son unidades, ya que Finalmente, en anillos como los cuerpos, todos los elementos no nulos son unidades. Un anillo no conmutativo puede contener unidades; por ejemplo, las matrices invertibles en el anillo de matrices


Con la noción de divisores de cero, se tiene que un anillo conmutativo con identidad es un dominio de integridad, ssi, no contiene divisores de cero, o sea, ssi, Veremos, a continuación, que un dominio de integridad se puede también caracterizar porque todos sus elementos no nulos son cancelables.

Proposición 3. Sea un anillo conmutativo con identidad. Entonces, los elementos no nulos de son cancelables, ssi, es un dominio de integridad.

    Demostración: Sean , elementos de tales que Supongamos que , como , se tiene que y, por la cancelación, concluimos que Es decir, es un dominio de integridad. Supongamos que fuera un dominio de integridad. Sean , y elementos tales que Entonces,
    Lo que muestra que es cancelable.

Corolario. Los cuerpos son dominios de integridad.

    Demostración: Sean , elementos del cuerpo tales que Entonces,



Corolario En un cuerpo, todos los elementos no nulos son cancelables.


El mundo finito tiene algunas simplificaciones interesantes.

Proposición 4. Un dominio de integridad finito es un cuerpo.

    Demostración: Sea un elemento no nulo de Probaremos que es invertible. Como es cancelable, tenemos que para todo , en Luego, la función de en si mismo es inyectiva. Como la cantidad de elementos de la imagen es igual a aquella del conjunto , tenemos que es es suprayectiva. Por lo que hay un tal que , o sea tal que , es decir que es invertible.


Corolario 4.1. Sea tal que es primo. Entonces es un cuerpo.

    Demostración: Sean , y enteros tales que no es divisible por . Supongamos que . Se tiene que Como , tenemos que , lo que implica que Sigue de la proposición 3, es un dominio de integridad; por lo que al ser finito, es un cuerpo.


Otro resultado muy interesante, debido a Joseph Wedderburn (1882--1948), que sólo mencionaremos aquí, establece que un anillo con división finito es un cuerpo, o sea que necesariamente se tiene que la multiplicación es conmutativa.

Ejercicios

  1. Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo cualquiera.
  2. Probar cada una de las siguientes identidades en un anillo conmutativo.

    ¿Es necesario suponer la conmutatividad?

  3. Completar las demostraciones del texto.
  4. Verificar que:
    1. , los múltiplos enteros de 3, determinan un anillo sin divisores de cero, pero que no es un dominio de integridad porque no contiene la identidad.
    2. , los enteros modulo 4, determinan un anillo conmutativo con identidad que no es un dominio de integridad porque tiene divisores de cero
    3. El subconjunto de es un subanillo conmutativo, pero sin identidad.
  5. Probar que en un anillo conmutativo, un elemento es cancelable, ssi, no es un divisor de cero.
  6. Hallar todos los divisores de cero y las unidades de , y
  7. Verificar cuidadosamente cada una de las propiedades de anillo para
  8. Verificar que cuando es un número entero compuesto, entonces contiene divisores de cero.
  9. Probar que, es una unidad de , ssi, el máximo común divisor de y es 1.
  10. Verificar que cuando es un número primo, se cumple que es un dominio de integridad. Luego, por una proposición del texto es un cuerpo.
  11. Probar que un subanillo de un cuerpo es siempre un dominio de integridad.
  12. (Unidades en un Anillo). Sea un anillo (no necesariamente conmutativo) con identidad. Sea el subconjunto de formado por las unidades de Probar las siguientes afirmaciones.
    1. es cerrado respecto a la multiplicación.
    2. es cerrado respecto a tomar inversos.
    3. es cerrado respecto a tomar opuestos aditivos.
    4. Si es una unidad, entonces para todo en , es una unidad.

    Las dos primeras propiedades muestran que es un subgrupo del semigrupo multiplicativo del anillo

  13. Sea un anillo con identidad. Probar que la relación , ssi, hay una unidad tal que es una relación de equivalencia en
  14. Probar las afirmaciones siguientes. ()
    1. La norma es una función cuyos valores son todos positivos o cero que satisfacen la siguiente relación de función multiplicativa:
    2. Si es una unidad de entonces
  15. Usando propiedades de los Complejos probar que las unidades de son exactamente , , y (Sugerencia. Suponer que es una unidad, hallar su recíproco, e investigar condiciones sobre y para que el recíproco esté en Otra alternativa, usar que la norma de una unidad es .
  16. Sea un entero positivo que no es un cuadrado perfecto y sea Para definir una norma
    1. Probar que es un subanillo de los Reales que es un dominio de integridad, pero que no es un cuerpo.
    2. Probar que la norma es multiplicativa,
    3. Probar que las unidades tienen norma igual a 1 o
  17. Sea
    1. Probar que es un subanillo de (Ver ejercicio anterior.)
    2. Probar que y son unidades de
    3. Probar que es una unidad de
    4. Hallar todas las unidades de , ¿Cuántas unidades hay?
  18. Todos los subgrupos de son subanillos de Hallar un subgrupo de que no sea un subanillo de
  19. (Múltiplos enteros de un elemento) Sea un elemento de una anillo Para todo entero , denota a un múltiplo entero de Probar que para todo par de números enteros y y para todo par , de elementos de un anillo se cumple lo siguiente.

    (Sugerencia: múltiplo es potencia, pero en notación aditiva.) (Colocamos en este ejercicio para distinguir "múltiplo" de producto en el anillo.)

  20. Sea un anillo y un elemento del anillo. Probar que el conjunto de todos los múltiplos enteros de , es un subgrupo del grupo aditivo del anillo , pero que, en general, no es cerrado respecto a la multiplicación. ¿Cuándo podremos estar seguros de que ese conjunto será cerrado respecto a la multiplicación?
  21. (Teorema del Binomio) Sea un anillo cualquiera con identidad. Sean y elementos que conmutan entre si, o sea que . Probar que

    donde (coeficiente binomial).

  22. (Anillo de Funciones) Verificar que con la suma y multiplicación punto a punto tiene una estructura de anillo. Ver ejemplo del texto.
  23. Sea y sea un anillo. Sean tales que y Probar que y no son la función nula (que es aquella que envía todos los elementos de en 0), pero su producto sí lo es. Es decir que el anillo es un anillo con divisores de cero.
  24. Clasificar cada una de las afirmaciones siguientes como ciertas o falsas. Explicar la respuesta.
    1. Un subanillo de un anillo conmutativo es conmutativo.
    2. Un subanillo de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
    3. Un subanillo con identidad de un dominio de integridad es un dominio de integridad.
    4. En un dominio de integridad, cualquier elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.
    5. Un anillo que contiene a otro anillo conmutativo es conmutativo.


  25. Sea el conjunto de matrices con coeficientes reales con la suma y multiplicación usuales. Verificar que con las operaciones usuales posee la estructura de un anillo con identidad que no es conmutativo y que tiene divisores de cero.
  26. Sea el subconjunto formado por todas las matrices de la forma

    Probar que con las operaciones usuales es un cuerpo.

  27. Sea el conjunto de todas las matrices con entradas que son números enteros. es un anillo con identidad, no conmutativo y con divisores de cero y que es un subanillo con identidad de
  28. Completar el ejemplo de los Cuaterniones, probando que efectivamente se trata de un anillo con división,
  29. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son subanillos del anillo de matrices ?
    1. Las matrices de la forma
    2. Las matrices de la forma
    3. Las matrices de la forma
  30. Considerar el anillo de matrices .
    1. Hallar la cantidad de elementos del anillo.
    2. Hallar las unidades del anillo.
  31. ¿Cierto o falso?
    1. Cada cuerpo es también un anillo.
    2. Cada anillo tiene una identidad.
    3. Cada anillo con identidad tiene al menos dos unidades.
    4. Cada anillo con identidad tiene a lo más dos unidades.
    5. Un subconjunto de un cuerpo puede ser un subanillo, sin que tenga que ser un subcuerpo.
    6. La multiplicación de un dominio tiene que ser conmutativa.
    7. Cuando no es primo, tiene divisores de 0.
    8. Cada cuerpo es un dominio entero.
    9. es isomórfico a como anillos.
    10. El producto directo de dos dominios es un dominio/
    11. Si es primo, es un subdominio de .

Los Homomorfismos de Anillos

Definición. (Homomorfismo de Anillos) Sean y anillos. Una función es un homomorfismo de anillos, si, para todo , en se cumple que

Un homomorfismo de anillos con identidad debe, además, preservar la identidad, es decir que

Los homomorfismos de dominios, anillos con división y cuerpos son homomorfismos de anillos con identidad.

Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.


Observemos que sigue, directamente, de la definición de homomorfismo de anillos, que un homomorfismo de anillos es un homomorfismo tanto de los grupos aditivos como de los semigrupos multiplicativos de los anillos.

Las terminologías de monomorfismo, supramorfismo, endomorfismo y automorfismos tienen igual significado que para los grupos.


Ejemplo.

Sean , anillos cualesquiera, sea tal que para todo en , Entonces, es trivialmente un homomorfismo de anillos. Aunque ambos anillos tengan identidad, el anterior homomorfismo no es un homomorfismo de anillos con identidad.


Ejemplo.

Sea ---el anillo de los Enteros---y , los enteros módulo Sea tal que , donde es la clase de congruencia de módulo , o sea Como se cumple que

tenemos que es un homomorfismo suprayectivo (de anillos), que diremos que se trata del supramorfismo canónico.

Notemos que aunque es un dominio de integridad, cuando es un número compuesto, su imagen homomórfica, , no lo es.


Ejemplo.

Sea la asignación a cada número complejo de su conjugado Sigue de las propiedades de los conjugados que esa función es un homomorfismo. Como es un homomorfismo biyectivo se trata de un automorfismo del cuerpo


Ejemplo.

Sea tal que Se puede verificar que es un homomorfismo inyectivo de anillos con identidad. La verificación queda de ejercicio. ¿Cuál es la imagen de ? Dicha imagen es un subcuerpo de


Ejemplo.

Sea un anillo y un subanillo de Sea tal que Claramente, es un homomorfismo inyectivo de anillos, que llamamos el monomorfismo inducido por la inclusión.


Proposición 5. (Propiedades de los Homomorfismos)
Sea un homomorfismo de anillos. Entonces,

  1. y
  2. Si tiene identidad y hay al menos un tal que , entonces .
  3. Si es un homomorfismo de anillos con identidad, entonces si es invertible en , su imagen es invertible en y se cumple que .

    Demostración: Todo sigue de propiedades anteriores de homomorfismos de grupos, semigrupos o monoides. El lector o lectora puede tratar de probarlos directamente de las definiciones de anillo.


La siguiente proposición es la extensión natural de la proposición acerca de subgrupos y homomorfismos a subanillos y homomorfismos de anillos.

Proposición 6. (Subanillos y Homomorfismos)
Sea un homomorfismo de anillos.

  1. Para todo subanillo de , (la imagen directa por de es un subanillo de
  2. Para todo subanillo de , (la imagen inversa por de es un subanillo de
    Demostración:
    1. Sea , entonces . Sean y elementos de Por la definición de , hay elementos , tales que y Luego,

      Tenemos, también, que

      Luego,

    2. Sea un subanillo de y sea Si , están en se tiene que
      Por el criterio de subgrupos, tenemos que


    Al igual que el caso de los homomorfismos de grupos, denota el núcleo del homomorfismos, o sea la imagen inversa de {0'}.

    Ejercicios

    1. Probar que y son isomorfos como grupos aditivos, pero no lo son como anillos.
    2. Probar que y no son isomorfos como cuerpos.
    3. Probar que la composición de homomorfismos de anillos es un homomorfismo de anillos.
    4. Hallar todos los homomorfismos de anillos entre los anillos indicados a continuación.
      1. De los Enteros en si mismo.
      2. De en .
      3. De en .
    5. Sea un homomorfismo suprayectivo de anillos cualquiera. Probar o dar un contraejemplo de cada una de las siguientes afirmaciones.
      1. Si es conmutativo entonces es conmutativo.
      2. Si es conmutativo entonces es conmutativo.
      3. Si tiene identidad entonces tiene identidad.
      4. Si tiene identidad entonces tiene identidad.
      5. Si es una unidad entonces es una unidad.
      6. Si es una unidad entonces es una unidad.
      7. Si es un divisor de cero entonces es un divisor de .
      8. Si es un divisor de cero entonces es un divisor de cero.
      9. Si es un dominio de integridad entonces es un dominio de integridad.
      10. Si es un dominio de integridad entonces es un dominio de integridad.
    6. Hallar las tablas de suma y producto del anillo . ¿Es isomorfo al anillo ? Explicar su respuesta.
    7. Sea un homomorfismo de anillos con identidad. Probar que las imágenes de unidades de son unidades en .
    8. Sea el conjunto de matrices de la forma con y enteros. Sea . Probar que y son anillos isomorfos usando la función: .

    La Característica de un Anillo

    Ejemplo.

    Sea entonces para cada elemento de se cumple que . Es decir que hay un entero positivo (= 6) tal que el múltiplo .

    Sea un anillo cualquiera con identidad y supongamos que hay un entero positivo tal que . Entonces, para todo de se cumple que

    Observemos, que en el anillo de los enteros, para todo positivo se cumple que .


    El entero del ejemplo anterior es lo suficientemente importante como para merecer un nombre especial.

    Definición. (Característica de un Anillo) Sea un anillo no trivial con identidad Llamaremos característica de al menor entero positivo tal que Cuando tal no exista, diremos que la característica es 0. Notación:


    Ejemplo.

    Cualquier anillo o cuerpo que contiene a los Enteros tiene característica 0. Por ejemplo, los Racionales, los Reales y los Complejos. Por su parte, el anillo tienen característica .


    Sea un anillo con identidad . Definamos una función tal que . Sigue de las propiedades de los múltiplos que

    Luego, es un homomorfismo de anillos; por lo que la imagen es un subanillo de .

    Como es un homomorfismo de anillos es, también, un homomorfismo de los grupos aditivos subyacentes. Luego, el núcleo de es un subgrupo aditivo de . Como todos esos subgrupos son cíclicos, tenemos que para algún . Analizaremos, a continuación, las diferentes situaciones que se producen dependiendo del valor de .

    • (Caso 1) Es decir que el único múltiplo entero de que es igual al neutro aditivo del anillo es Por lo que , luego es inyectivo y su imagen es isomorfa a
    • (Caso 2) Es decir, , lo que nos dice que para todo entero Luego, y su imagen es el anillo trivial \\
    • (Caso 3) , entonces es el menor entero positivo tal que \noindent\emph{(Caso 3)} , entonces es el menor entero positivo tal que Se cumple que y que su imagen es isomorfa a como grupos. Sea la función biyectiva de sobre produciendo el isomorfismo de grupos. Es decir la correspondencia . Entonces,

      Lo que prueba que es isomorfo como anillo a .

      Definición. (Anillo Primo) Llamamos anillo primo de un anillo con identidad al menor subanillo contenido en .

      Llamamos cuerpo primo de un anillo con identidad al menos subcuerpo contenido en .


      La siguiente proposición resume la discusión anterior, respecto a los cuerpos.

      Proposición 7. Sea un cuerpo cualquiera. Cuando tiene característica 0, su cuerpo primo son los Racionales, Cuando la característica es positiva, se trata de un número primo , en cuyo caso el cuerpo primo es .

      Convenio notacional. Denotaremos a un cuerpo finito con elementos por Si es primo,


      Teorema del Binomio en característica prima

      Sea un anillo conmutativo de característica , donde es un número primo. Entonces, para todo de , Consideremos ahora a Sabemos, por el teorema del binomio que

      (*


      donde

      Para simplificar la expresión anterior, necesitaremos el siguiente resultado.

      Proposición 8. Sea un número primo. Entonces, para todo tal que se cumple que

        Demostración: Observemos que si , entonces Luego, en la fracción que define a , todos los factores en el denominador son numeros enteros positivos menores que , por lo que no dividen a , luego, es un factor del número entero cuando

      Volvamos ahora a la evaluación de en un anillo conmutativo de característica , con primo. Sigue de la proposición anterior que los términos en la sumatoria de (*) donde tienen un factor , por lo que son nulos en Es decir que tenemos la siguiente proposición.

      Proposición 9. Sea un anillo conmutativo de característica , primo. Entonces, para todo , en se cumple que

      \subsection{Ejercicios \thesection .}

      1. Hallar la característica de cada uno de los siguientes anillos. .
      2. Probar que el cuerpo primo de un cuerpo de característica cero es el cuerpo de los Racionales.
      3. Probar que el cuerpo primo de un cuerpo de característica es el cuerpo de donde es primo.
      4. La característica de un dominio es 0 o un número primo.
      5. Sea un cuerpo finito de característica , por ejemplo . Probar que la función es un automorfismo de . Cuando , dicha función es la identidad (ver teorema "pequeño" de Fermat).
      6. Sea un homomorfismo suprayectivo de anillos cualquiera. Probar o dar un contraejemplo de cada una de las siguientes afirmaciones.
        1. Si la característica de es cero entonces, la característica de es cero.
        2. Si la característica de es cero entonces, la característica de es cero.
      7. Sea un homomorfismo de anillo con identidad. ¿Qué relación, si alguna, hay entre la característica de con la característica de .

      Ejercicios del Capítulo

      1. Probar las siguientes identidades.
        1. .
        2. .
      2. Sean elementos de un dominio de integridad. Probar que, si , entonces al menos uno de los 's es nulo.
      3. Sea un subanillo de un anillo y sea un elemento cualquiera de . Probar lo siguiente.
        1. Cualquier múltiplo entero de es un elemento de .
        2. Cualquier potencia entera positiva de es un elemento de ,
      4. Cada subanillo con identidad de los números complejos contiene a los números enteros.
      5. Sea . Probar que es un subanillo con identidad de contenido en cualquier subanillo con identidad de que contenga a .
      6. Sea . Probar que
        1. es el subcuerpo de los Complejos más pequeño que contiene a .
        2. Cada elemento de es igual a un elemento de (ver ejercicio anterior) multiplicado por el recíproco de un entero.
        3. La ecuación no tiene solución en .
      7. Sea un entero que no es un cuadrado perfecto y sea . Probar que es el subcuerpo de más pequeño (respecto a la inclusión) que contiene a . Observar que si , se trata de un subcuerpo de .
      8. Sea . Probar que no es un subanillo de . ¿Cuál sería el menor subanillo con identidad de que contuviera a y estuviera contenido en cualquier subanillo con identidad de que contenga a ?
      9. (Enteros de Einsenstein) Sea el número complejo definido por .
        1. Probar que y que .
        2. Sea . Probar que es el menor subcuerpo de los complejos que contiene a .
        3. Probar que la ecuación tiene solución en .
      10. Los ejercicios anteriores muestran que hay varios cuerpos tales que .
        1. ¿Habrá un cuerpo tal que ?
        2. ¿Habrá un cuerpo tal que ?
      11. Sea un anillo conmutativo con identidad y un subconjunto de . Sea el subconjunto de formado por todos las expresiones que son sumas de expresiones de la forma

        Probar que es un subanillo con unidad de que, además, está contenido en cualquier subanillo con identidad que contenga a .

      12. Probar que los divisores de cero de son los elementos tales que .
      13. Probar que cuando la característica de un dominio de integridad es positiva, es un número primo.
      14. Probar que las relaciones "ser subanillo de", "ser subdominio de" y "ser subcuerpo de" son relaciones transitivas.
      15. Sea el anillo de las sucesiones reales, o sea de las funciones de en . Sea el conjunto firmado por las sucesiones que tienen una cantidad finita de términos no nulos.
        1. Sea en . Probar que hay un tal que implica que .
        2. ¿Es un subanillo de ? ¿un ideal?
      16. Probar que la intersección de una familia de subanillos de un anillo es un subanillo de .
      17. Sea un anillo y un elemento del anillo. Sea . Probar que es un subanillo de >
      18. Sea un anillo con identidad. Sea el conjunto de múltiplos enteros de 1.
        1. Probar que es un subanillo de .
        2. Probar que si es un dominio, entonces es un subdominio de contenido en cualquier otro subdominio.
      19. (Elementos Nilpotentes) Sea un anillo. Un elemento de es nilpotente, ssi, hay un natural tal que .
        1. Probar que un elemento nilpotente es un divisor de cero.
        2. Probar que una unidad no puede ser nilpotente.
        3. Hallar los elementos nulos no nilpotentes de , y .
        4. Sean , elementos que son nilpotentes y que conmutan entre si. Probar que y son nilpotentes.
        5. Probar que es nilpotente.
      20. (Elementos Idempotentes) Un elemento es un anillo es idempotente, ssi, .
        1. El elemento nulo y la identidad (cuando existe) son siempre nilpotentes).
        2. En un dominio de integridad, los únicos elementos nilpotentes son el elemento nulo y la identidad.
        3. Sean y idempotentes tales que . Entonces, .
      21. Probar que el conjunto de elementos idempotentes de un anillo conmutativo con identidad es cerrado respecto a la multiplicación.
      22. Hallar los idempotentes de .
      23. Probar que la intersección de subdominios de un dominio es un dominio.
      24. Probar que la intersección de subcuerpos de un cuerpo es un subcuerpo.
      25. La característica de un dominio es 0 o un número primo.
      26. (Teorema de Wilson) Sea un primo impar.
        1. Probar que y son los únicos elementos idempotentes de . (Sug. Analizar la ecuación en el cuerpo ).
        2. Probar que .
        3. Sea un entero tal que . Probar que es primo.
      27. Sea un entero positivo que no es un cuadrado perfecto y sea . Para definir una norma .
        1. Probar que es un subanillo de los Reales que es un dominio de integridad, pero que no es un cuerpo.
        2. Probar que la norma es multiplicativa, .
        3. Probar que las unidades tienen norma igual a 1 o .
      28. Sea .
        1. Probar que es un subanillo de . (Ver ejercicio anterior.)
        2. Probar que y son unidades de .
        3. Probar que es una unidad de .
        4. Hallar todas las unidades de , ¿Cuántas unidades hay?
      29. Sea un anillo cualquiera y un elemento del anillo. Probar que el conjunto de todos los múltiplos enteros de , es un subgrupo del grupo aditivo del anillo , pero que, en general, puede que no sea cerrado respecto a la multiplicación. ¿Cuándo podremos estar seguros de que ese conjunto será cerrado respecto a la multiplicación?
      30. Sea un anillo con identidad. Por denotaremos el conjunto de elementos de que permutan con todos los elementos de , al que llamamos el \textbf{centro} del anillo. ¿Es un subanillo de ?
      31. Hallar el centro del anillo de matrices . Sugerencia. Buscar condiciones para las entradas de una matriz para que permute con la matriz .
      32. Sea un anillo con identidad. Probar que los múltiplos de la identidad pertenecen al centro de anillo.
      33. Sea un anillo con división> Probar que tiene un cuerpo primo que está contenido en el centro del anillo.
      34. Sea un grupo finito y un cuerpo. Simbolizamos por el conjunto formado por todas las expresiones de la forma

        donde , , \dots, son elementos de . Se define una suma y multiplicación en por

        Probar que es un anillo con identidad . El anillo es conmutativo, ssi, lo es.

      35. Sea el conjunto formado por todas las matrices con entradas reales. Definimos una multiplicación en por
        1. Probar que se cumple que y que .
        2. Probar que es distributiva respecto a la suma usual de matrices.
        3. Probar que no es asociativa.

        Este ejemplo muestra que podemos tener multiplicaciones que no sean asociativas. Estas estructuras son importantes en áreas más avanzadas de las matemáticas. Los lectores que conocen acerca del cálculo vectorial, pueden ver que el producto cruz del cálculo vectorial es una multiplicación no conmutativa.

      36. Sea el anillo y sea . Sea y definamos
        1. Probar que si y son subconjuntos de , , ssi, .
        2. Expresar en términos de .
        3. Expresar en términos de , cuando .
        4. Expresar y , en términos de y .
        5. Sea (diferencia simétrica). Expresar en términos de y .
      37. Sea el conjunto de partes (subconjuntos) de y sea la función tal que (Ver ejercicio anterior). Probar que es una biyección. Concluir que hay una estructura de anillo en isomorfa a .
      38. (Anillo de los Endomorfismos de un Grupo) Sea un grupo abeliano y sea el conjunto formado por todos los endomorfismos del grupo. Definamos operaciones de suma y multiplicación por
        1. la suma (punto a punto): .
        2. la multiplicación es la composición de funciones: .

        Probar que esas operaciones proven a con una estructura de anillo con identidad. Describir a las unidades.

      39. (Extensión del Teorema de Cayley a los Anillos) Sea un anillo con identidad y sea el conjunto formado por todos los endomorfismos del grupo abeliano . Definir sumas y productos en como en el ejercicio anterior. Para cada de sea la multiplicación por la izquierda de . Probar que
        1. es un elemento de ;
        2. La correspondencia es un homomorfismo inyectivo de anillos.
      40. Sea un anillo y sea . Definir una suma en por componentes y una multiplicación por

        Probar que

        1. B es un anillo con identidad (aunque no lo tenga) con igual característica que .
        2. Definir tal que . Probar que es un monomorfismo de anillos.

        Es decir que un anillo sin identidad puede identificarse con un subanillo de un anillo con identidad.


      41. (Anillo de Boole) Un anillo de Boole es un anillo conmutativo con identidad tal que para todo de se cumple que . Suponer que es un anillo de Boole.
        1. Probar que . (Sugerencia. Usar que .) Es decir que anillos de Boole tiene característica 2.
        2. Probar que para todo de se cumple que . Definir: y .
        3. Probar que la operación es asociativa, conmutativa, con neutro .
        4. Probar que .
        5. Probar que .
        6. Probar las siguientes relaciones.
        7. Sea un conjunto no vacío. Sea el conjunto potencia de , o sea el conjunto formado por todos los subconjuntos de . Sean y subconjuntos de . Definir
          Probar que es un anillo de Boole (ver el ejercicio anterior). Interpretar , y las relaciones correspondientes del ejercicio anterior, en términos de subconjuntos de .
        8. Sea un anillo con identidad tal que para todo elemento del anillo. Probar que es conmutativo, o sea que es un anillo de Boole.

        Comentarios

        La noción de Anillo. Los anillos aparecieron como abstracción de propiedades comunes a los (anillos de) polinomios y de los (anillos) de enteros algebraicos. Un entero algebraico es una solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros y coeficiente líder igual a 1.

        Aunque anillos estaban implícitos en los trabajos de Richard Dedekind, no aparecieron en forma explícita hasta los trabajos de David Hilbert. Solamente a comienzo del siglo veinte, Emmy Noether produjo una situación muy cerca de la moderna.

        Anillos no asociativos. No hay un nombre especial estándar para un grupo abeliano con una multiplicación distributiva, pero no necesariamente asociativa. Nosotros llamamos anilloide a esa estructura. Ejemplos importantes de esas estructuras son las llamada Álgebras de Lie (en honor a Sophus Lie) que aparecen de manera natural al considerar espacios tangentes a grupos de Lie (grupos provisto de una estructura para la que hace sentido hablar de funciones diferenciables, en particular, la operación del grupo).

        El ejemplo prototipo lo constituyen las matrices cuadradas de cualquier dimensión. La suma es la suma usual de matrices, y el producto de Lie, denotado tradicionalmente por , está definido como

        donde los productos de la derecha son los productos usuales de matrices.

        Anillos Unitarios. Se llama anillo unitario a un anillo con identidad. Hay dos versiones de anillos en la literatura matemática. Algunos autores exigen que los anillos sean unitarios, es decir que parte de la definición es que haya identidad. Esto simplifica la vida en algunos aspectos y los complica en otros. Por ejemplo, no será más un subanillo de los Enteros, ya que no tiene identidad.

        La diferencia es realmente no esencial, ya , pues puede probarse que cualquier anillo (sin identidad) se puede encajar en un anillo con identidad . Es decir que dado un anillo sin identidad se puede hallar un anillo con identidad y un monomorfismo que permite la identificación de con su imagen como subanillo (en nuestro sentido) de . La demostración de lo anterior y otros detalles se pueden hallar en {Jaconson1}.

        Terminología

        La terminología acerca de los anillos no está totalmente estandarizada.

        • Dominios (de Integridad), Anillos integros. Tradicionalmente, los dominios se han supuesto conmutativos. Sin embargo, hay quienes no requieren conmutatividad (dominios de Malcev). Hay quienes prefieren llamar anillos integros a los anillos sin divisores de ceros y decir que un domino es un anillo integro conmutativo. Otras personas suponen que anillos integros y dominios (de integridad) son ambos conmutativos. Nuestros dominios son integros (sin divisores de cero) y conmutativos.
        • Cuerpos, Campos. Lo que llamamos "cuerpo" arriba fueron originalmente ``korps para los matematicos alemanes que introdujeron la noción. La idea es que se trata de algo completo (tienen las cuatro operaciones aritméticaa). En inglés se traduce ``korps por field, que puede traducirse como "campo", pero no necesariamente. N. Bourbaki llama "corps" a los anillos con división (en ingles "skew-fiëlds") y cuerpos conmutativos, a lo que aquí hemos llamado cuerpo. Hemos evitado el uso de campos, que aunque no trae mayores problemas en Älgebra, si presenta problemas en áreas como geometría diferencial donde tenemos cuerpos (reales, complejos, cuaterniornes) y campos (vectoriales, tensoriales, etc.). Notemos que en ese contexto usualmente se habla del cuerpo de los cuaterniones aunque realmente su multiplicación no es conmutativa.

        Notas

        1. La terminología no es uniforme. Algunos autores llaman "cuerpo" a los anillos con división (Bourbaki), por lo que nuestros cuerpos son "cuerpos conmutativos" o "campos". Mirar los comentarios del Capítulo.