Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos

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Álgebra Abstracta


Introducción[editar]

Las acciones de un grupo cualquiera sobre un cierto conjunto son generalizaciones de dos importantes acciones:

  • la acción del grupo simétrico sobre los elementos de mediante permutación de sus elementos, y
  • la acción del grupo lineal sobre los puntos del espacio -dimensional mediante la multiplicación de una matriz por un vector.

G-conjuntos[editar]

Definición. (G-Conjunto) Sean un grupo y un conjunto no vacío. Decimos que actúa en cuando hay una función

tal que, simbolizando a la imagen por de la pareja se cumpla que:

En tal situación, decimos que: es una acción de sobre o, también, que es un G-conjunto.

Ejemplos.

  1. Sea un conjunto no vacío. El grupo simétrico actúa de manera natural sobre mediante la acción definida por
  2. La acción de asocia a cada matriz del grupo y punto el punto (multiplicación de matriz por vector).
  3. Cada grupo actúa sobre si mismo mediante la acción definida por la operación del grupo.
    1. (Acción por la izquierda)
    2. (Acción por la derecha)
  4. Sea un grupo. Otra acción de en si mismo mediante es provista por la conjugación. Para cada en recordemos que llamamos conjugación por a la función de en si mismo, tal que

    Es fácil verificar que la función

    define una acción de sobre si mismo. \fin

  5. Sea un grupo y un subgrupo de Entonces actúa en mediante la acción definida por:

Observación. Asociado a -conjuntos, tenemos la noción de -subconjunto. Un subconjunto de un -conjunto es un -subconjunto, ssi, para todo en en está en . También, decimos que es G-invariante.


Definición. (G-morfismo) Sean dos -conjuntos. Decimos que una función es un -morfismo, ssi, permuta con la acción. Es decir, ssi,


Observación. Claramente, la identidad es un -morfismo y la composición de dos -morfismos es un - morfismo.

Observación. Cuando no haya riesgo de confusión, de ahora en adelante, podremos escribir simplemente en lugar de

Observación. La terminología de mono, supra, endo, auto se extiende a -morfismos con el significado obvio.

Como se cumple que se tiene que cada función es invertible. Es decir que podemos definir de manera natural una función

que asigna a cada en la función en Las suposiciones sobre la acción implican que esa función es un homomorfismo de grupos. De forma recíproca, cuando sea un homomorfismo cualquiera de grupos, podemos definir una acción de en por:

Es decir que hay una correspondencia, que se puede probar que es biyectiva, entre acciones de sobre y las representaciones (homomorfismos) de en (Representación permutacional del grupo.)

La última correspondencia nos dice también que si es un -conjunto y hay un homomorfismo de grupos es también un - conjunto, vía la composición de homomorfismos. En particular, cuando sea una subgrupo de cada - conjunto tendrá una estructura de -conjunto, vía la inclusión, a la que llamaremos la restricción de la acción de G a H.

Definición. (Órbita, Grupo de isotropía) Sean un -conjunto y un elemento de

  1. Llamamos órbita de por al subconjunto de formado por todos los elementos de de la forma Notación:
  2. Cuando sólo haya una órbita para la acción del grupo, decimos que el grupo actúa transitivamente, o también que el -conjunto es transitivo.
  3. Decimos que un elemento de fija a cuando
  4. Llamamos grupo de isotropía o estabilizador de al subconjunto de formado por todos los elementos de que fijan a

Es fácil verificar que es un subgrupo de (de ahí el nombre de grupo). En efecto, si y están en se tiene que:


Ejemplos.

  1. El grupo actúa en de manera transitiva, ya que dados elementos la transposición toma uno en el otro. Por lo tanto, todos los elementos de pertenecen a la misma orbita.
  2. El grupo simétrico en elementos puede considerarse actuando en , por la acción natural sobre Coincide así con el subgrupo de formado por las permutaciones que dejan a fijo. Es decir, que podemos identificar el grupo simétrico con el (sub)grupo de isotropía de en %
  3. Sea el subgrupo de generado por actúa en fijando y y permutando y Por lo tanto, tendremos tres órbitas: y
  4. La acción (izquierda o derecha) de una grupo en si mismo definida por la operación es una acción transitiva. Es decir que hay una única órbita para la acción que es igual a todo el grupo.
  5. En la acción por conjugación, la órbita de es la clase de conjugación de y el grupo de isotropía de es el centralizador de
  6. El grupo de isotropía de por la acción natural de en consiste de todos los en tales que Es decir de todos los en Es decir, el grupo de isotropía de coincide con Claramente, la acción de es transitiva sobre

La siguiente proposición es de fácil verificación:

Proposición 1. Sea un -morfismo. Entonces, el grupo de isotropía de está contenido en el grupo de isotropía de Además, dichos grupos coincidirán, cuando sea inyectiva.

Sean un -conjunto, elementos de y un elemento en las órbitas de y Entonces, podremos hallar en tales que Por lo que, lo que implica que está en la órbita de y viceversa. Por lo tanto, las órbitas o son iguales o no se intersecan. Es decir, las órbitas de la acción de definen una partición de En otras palabras:

Proposición 2. Sea un -conjunto. Si definimos la relación por ssi, para algún en se tiene que: es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia coinciden con las órbitas de en

Sea un -grupo y sea un elemento de

Sea definida por Como tendremos que es una -morfismo, cuya imagen es precisamente la órbita de Notemos que es equivalente a afirmar que Es decir, que Esto, a su vez, implica que las clases de equivalencia de coinciden con las clases laterales izquierdas de respecto a En particular, esto nos dice que hay una biyección entre y Tal biyección es un G-morfismo, o sea que como G-conjuntos son isomórficos.

Sea un subgrupo cualquiera de entonces es de forma natural un -conjunto. Supongamos que hubiera una -morfismo de en tal que Entonces, como el grupo de isotropía de estaría contenido en el grupo de isotropía de tendríamos que sería un subgrupo de En forma recíproca, si es un subgrupo de podemos definir por

La función estará bien definida, ya que si se tendría que Además y Es decir, es un -morfismo. Es decir, que hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea un -conjunto, un subgrupo de y un -mor\-fismo de en tal que ssi, Dicha aplicación es un -isomorfismo cuando Es decir, como -conjuntos son isomorfos y (la órbita de ).

Corolario 3.1. Sea un grupo finito que actúa en el conjunto finito Entonces,


Las órbitas de en el -conjunto determinan una partición de Llamaremos conjunto de representantes de las órbitas, a un subconjunto de que contiene exactamente un elemento de cada una de las órbitas.

Corolario 3.2. (Conteo para -conjuntos) Sea un -conjunto finito. Entonces,

Donde es un conjunto de representantes de las órbitas.


Ejercicios[editar]

  1. Sea un grupo tal que con primo.
    1. Cada clase de conjugación de tiene como cardinal una potencia de
    2. Considere el conjunto formado por todos los elementos cuya clase de conjugación consiste de un sólo elemento. Probar que dicho conjunto no es vacío.
    3. Usando el hecho que:

      donde los denotan a las distintas clases de conjugación de concluir que hay elementos diferentes del neutro que tienen clases de conjugación consistentes de un único elemento. ¿Cuál es el número mínimo de esos elementos?

  2. El centro de un grupo consiste de todos aquellos elementos que permutan con todos los elementos del grupo.
    1. Probar que el centro de un grupo es un subgrupo del grupo.
    2. Probar que la clase de conjugación de cada elemento del centro consiste únicamente del elemento. Usar esto para probar que el centro es un subgrupo normal de G.
    3. Probar que el centro de un -grupo (un grupo cuyo orden es una potencia de primo) es no trivial.
    1. La intersección de una familia de -conjuntos es un -conjunto, cuando dicha intersección no es vacía.
    2. Sea un -conjunto, un subconjunto no vacío de Probar que hay un -subconjunto de minimal conteniendo a al que simbolizaremos por y llamaremos el -subconjunto generado por
    3. El -subconjunto generado por un conjunto no vacío consiste de todas las órbitas de elementos de
  3. Sea el subgrupo de generado por y Considérese la acción natural izquierda de en ¿Cuáles son las órbitas de cada elemento? ¿Cuáles son sus grupos de isotropía?
  4. Sean dos -conjuntos. Definir una estructura de -conjunto en de modo que las proyecciones sean -morfismos.
  5. Sea un conjunto, el producto cartesiano de copias de Para en definir
    Probar que la definición anterior define una acción de en

Los Grupos Geométricos[editar]

El apéndice Los Grupos Geométricos contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, de los grupos asociados a las nociones geométricas.


En esta sección veremos algunas de las acciones de los grupos geométricos del plano.

Acción de las Traslaciones[editar]

Sea P un punto (vector plano) cualquiera del plano y C un vector fijo. La traslación por es la transformación biyectiva . Luego, es fijo por , ssi, , ssi, . Notemos que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi, . Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.

Las traslaciones determinan el subgrupo de transformaciones (ver el apéndice citado).

Notemos que dados puntos y del plano, poniendo , tenemos que . Es decir que para la acción deel grupo de las traslaciones, el plano tiene una única órbita, lo que equivale a afirmar que el grupo de las traslaciones actúa transitivamente en el plano.

Acción de las Transformaciones Lineales[editar]

El grupo es el grupo de las matrices invertibles 2x2 (equivalentes a las transformaciones lineales invertibles). Cuando , su acción sobre un punto (representado por una matrix columna) es la multiplicación de matrices. Es decir,

Se verifica (ver apéndice Los Grupos Geométricos) que cuando es un elemento de , envía líneas sobre líneas y preserva el paralelismo (si dos líneas son paralelas, sus imágenes también lo son).

Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por , se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por

donde es el ángulo de la rotación.

Un cómputo algebraico prueba que si es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por es el origen. Cuando , se tiene que la orbita de es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de al origen.

Clasificación de las Congruencias[editar]

Ilustraremos la importancia de la noción de punto fijo, clasificando a las congruencias, es decir haciendo un listado de todas las posibles congruencias del plano.

Usaremos el siguiente resultado de la Geometría (ver apéndice citado arriba).

Proposición 4. Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos.
Llamamos simetral ortogonal de los puntos a la línea de la proposición.
Notemos que dada una línea la reflexión entorno a esa línea, fija cada punto de la línea, y envía cada punto que no está en la línea en un punto tal que la línea es la simetral ortogonal de y .

Sea una congruencia del plano.

  • Si tiene tres puntos no colineales fijos entonces ; es decir deja a todos los puntos fijos. Supongamos que , y son los tres puntos fijos. Supongamos que , es decir supongamos que hay un punto tal que . Sea fijo por , o sea . Entonces,
    .

    Lo que dice que equidista de y , por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que , y son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que debe ser la identidad.

  • Si tiene dos puntos fijos, es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos. Sean y los puntos fijos. Supongamos que no es la identidad. Entonces, debe haber un punto que no es colineal con y , tal que . Sea la reflexión en la simetral ortogonal de y . Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que y están en , por lo que son fijas por . Tenemos entonces, que
    por lo que es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que , de donde, , de donde .
  • Si tiene un único punto fijo, entonces es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo. Sea el punto fijo. Entonces, para todo , . Razonando como arriba, pertenece a la simetral ortogonal a y . Sea la reflexión entorno a esa simetral. Entonces,

    Por lo tanto, es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que . Luego, (multiplicando por en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1 </math>.

  • Si no tiene puntos fijos, es el producto de tres reflexiones. Sea un punto cualquiera y sea la reflexión entorno a la simetral ortogonal de y . Entonces, , lo que prueba que tiene un punto fijo, por lo que es un producto de dos reflexiones, digamos . Procediendo, como arriba, se tiene que .

Los razonamientos anteriores prueban el siguiente teorema.

Teorema de Cartan--Dieudonné Cada congruencia del plano es el producto de a lo más tres reflexiones.


Notemos que los cómputos anteriores muestran que las rotaciones son producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan. Se puede probar que el producto de dos reflexiones cuyos ejes son paralelos es una traslación.

Ejercicios[editar]

  1. Sea un punto del plano. Verificar que las congruencias que fijan al punto forman un grupo de transformaciones
  2. Sea un punto del plano. Probar que las rotaciones alrededor de forman un grupo . Sea y sea una rotación alrededor del origen, o sea un elemento de .
    1. Probar que es una rotación alrededor de .
    2. Probar que y son subgrupos conjugados del grupo de transformaciones del plano.
  3. Una simetría central con centro en un punto es una transformación que envía cada punto en un punto .
    1. Probar que (punto medio entre y su imagen.
    2. Probar que las líneas que pasan por quedan fijas globalmente por .
    3. Probar que y que , es una traslación.
    4. Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
    5. Si es el origen, es lineal. Hallar la correspondiente matriz.

Representación Lineal de Grupos[editar]

Esta sección requiere un conocimiento de nociones básicas de Álgebra Lineal.

El objetivo de la sección es ver como podemos obtener para cualquier grupo, un grupo de matrices isomorfo. Podemos considerarlo tanto como una generalización o una concretization del teorema de Cayley por grupos de permutaciones, dependiendo de la familiaridad con el Álgebra Lineal. La teoría de las representaciones lineales iniciadas a fines del siglo XIX por Frobenius [1]. ha sido, es y continuará siendo un área activa, ya que permite un muy buen entendimiento de los grupos.

Sea un espacio vectorial de dimensión . Lo que significa que hay una base de vectores en , es decir un conjunto tal que cada vector de puede escribirse de una única manera como

Cada transformación lineal de en si mismo, tiene asociada una matriz, cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base. Las transformaciones lineales biyectivas (isomorfismos lineales) tiene asociadas matrices invertibles, que determinan un grupo, el grupo lineal de ,

Definición. (Representación Lineal) Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera . Sea un grupo. Una representación de en es un homomorfismo de grupos

Tal homomorfismo define una acción de en por

Cada grupo tiene varias representaciones lineales posibles, qu aunque no siempre e pueden determinar el grupo, usualmente proveen valiosa información sobre el mismo. A nosotros nos interesara una representación en particular: la representación regular, que definiremos a continuación.

Sea . Asociaremos con el grupo un espacio vectorial sobre un cuerpo (que puede ser los Reales, los Complejos u otro cualquiera) denotado por y formado por todas las expresiones


Se define una suma y una multiplicación por escalares de modo que es una base de , es decir si y , entonces

Además, podemos definir una multiplicación en usando la multiplicación del grupo

donde es la multiplicación del grupo. Esta multiplicación provee a con una estructura de álgebra (anillo con operaciones compatibles con la multiplicación por escalar.

Para cada en la multiplicación produce una transformación lineal de . Además, es decir que tenemos una representación del grupo por las matrices de la forma . Es fácil verifica que la correspondencia es inyectiva. Esdecir que es isomorfo a un grupo de matrices, subgrupo de del grupo de isomorfismos lineales de .

La matriz de cada tiene una forma peculiar. En efecto, como su efecto en la base es una multiplicación por la izquierda en es una permutación de . Luego, la matriz

Como es un elemento de digamos que , la --ésima columna de , correspondiente a las coordenadas de , tiene un 0 en cada posición, excepto en la --ésima fila donde aparece un 1. (En otras palabras, las matrices tienen como columnas permutaciones de las columnas de la matrix identidad.

Ejemplo.

Sea . Entonces,


Tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Cada grupo finito es isomorfo a un grupo de matrices.


Ejercicios[editar]

  1. Hallar el grupo de matrices correspondientes a la representación regular del grupo de Klein y aquella de
  2. Sea . Probar que la asignación

    define una representación de .

Comentarios[editar]

En el apéndice F,Teoremas de Sylow, se demuestran el segundo y tercer teorema de Sylow, usando técnicas de acción de grupos.

Notas[editar]

  1. Ferdinand Georg Frobenius (1842-1917)