Álgebra Abstracta/Grupos Geométricos

Introducción

En este apéndice, veremos algunos grupos que tienen su origen en la geometría plana (usando vectores). Nuestro interés primordial será en los aspectos algebraicos por lo que referiremos los aspectos geométricos a textos de Geometría.

Queremos describir algebraicamente las congruencias del plano. Congruencias son transformaciones del plano que preservan la distancia entre puntos (la distancia entre las imágenes de dos puntos es igual a la distancia entre los puntos originales.)

Hay dos tipos importantes de congruencias:

• las rotaciones, que se caracterizan por dejar exactamente un punto fijo (el centro de la rotación) y
• las reflexiones que se caracterizan por dejar todos los puntos de una línea fijos y mover los puntos fuera de la línea a una imagen especular de los mismos, usando como espejo a la línea.

Sigue del teorema de Cartan--Dieudonné (ver capítulo Acción de Grupos ) que todas las congruencias (en particular, las rotaciones) son producto de a lo más tres reflexiones. En la terminología de grupos, las reflexiones generan al grupo de las congruencias.

Necesitaremos para nuestra exposición una breve introducción al Álgebra Lineal del plano y a su geometría basada en vectores.

El Plano Vectorial

El plano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}$ consiste de los pares ordenados de números reales a los que llamaremos puntos. Cuando $P$ sea un punto, supondremos que sus componentes son $p_{1},p_{2}$, a menos que diga algo distinto. Consideraremos, además, a $\mathbb {R} ^{2}$ como un plano vectorial, lo que quiere decir que consideremos a sus elementos como vectores. Intuitivamente, pesaremos a $P=(p_{1},p_{2})$ como una flecha que empieza en el origen y acaba en el punto $P$. La punta de la flecha, que identificamos con $P$, nos da tanto una posición---el punto $P$ como un "largo" y una "dirección".

Algebraicamente, consideraremos all plano vectorial $\mathbb {R} ^{2}$ provisto de una suma por componentes:.

$P+Q=(p_{1}+q_{1},p_{2}+q_{2})$

Además, consideraremos una multiplicación por escalares (en el contexto vectorial, llamamos escalares a los números reales y los simbolizamos por letras griegas.).

$\alpha P=(\alpha p_{1},\alpha p_{2}),\quad \alpha \in \mathbb {R} .$

Se verifica que esta multiplicación es compatible con la suma.

Proposición 1. (Propiedades de la Multiplicación por Escalares) Sean $\alpha$ y $\beta$ escalares, $P$ y $Q$ vectores (puntos del plano).

1. $(\alpha +\beta )P=\alpha P+\beta P$.
2. $(\alpha \beta )P=\alpha (\beta P)$.
3. $1P=P$.
4. $(\alpha +\beta )P=\alpha P+\beta P$.

Demostración: Ejercicio.

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Subgrupos de R²

Notemos que la suma por componentes define una estructura de grupo en $\mathbb {R} ^{2}$. Cuando $D$ sea un vector no nulo, denotaremos por $[[D]]$ al conjunto formado por todos los múltiplos escalares de $D$, es decir, $\{\alpha D:\alpha \in \mathbb {R} \}$. Supongamos que $P=\alpha D$ y $Q=\beta D$ son elementos de $[[D]]$, entonces

$P-Q=\alpha D-\beta D=(\alpha -\beta )D.$

Lo que prueba que $[[D]]$ es cerrado respecto a la suma y a tomar opuestos aditivos. Como el vector nulo es también un múltiplo escalar de $D$, tenemos, en la terminología de grupos, que $[[D]]$ un subgrupo del grupo $\mathbb {R} ^{2}$. (Además, como $\gamma P=\gamma (\alpha D)=(\gamma \alpha )D$, $[[D]]$ es cerrado respecto a la multiplicación por escalar, lo que en la terminología del Álgebra Lineal dice que es un subespacio vectorial de $\mathbb {R} ^{2}$).

Sean $B$ y $D$ vectores no nulos, entonces cuando $B=\alpha D$, se cumple que $D=(1/\alpha )B$. Lo que implica que los múltiplos escalares de $B$ coinciden con los múltiplos escalares de $D$, o sea que

Cuando $B$ y $D$ son vectores no nulos, se cumple que $[[B]]=[[D]]$, ssi, uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Proposición 2.Sean $B=(b_{1},b_{2})$ y $D=(d_{1},d_{2})$ vectores no nulos. Entonces, $[[B]]=[[D]]$, ssi, $b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}=0$.

Demostración: ($\Rightarrow$) Supongamos que $B=\alpha D$, entonces $b_{1}=\alpha d_{1}$ y $b_{2}=\alpha d_{2}$, por lo que $b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}=\alpha d_{1}d_{2}-\alpha d_{2}d_{1}=0.$

($\Leftarrow$) Suponer que $b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}=0$. Entonces, $b_{1}d_{2}=b_{2}d_{1}$ (*). Si $d_{1}=0$, entonces $b_{1}d_{2}=0$ implica que $b_{1}=0$ ya que $(d_{1},d_{2})\neq (0,0)$. Luego,

$B=(b_{1},b_{2})=(0,b_{2})=(b_{2}/d_{2})(0,d_{2})=(b_{2}/d_{2})D.$

Por un argumento similar, si $d_{2}=0$, obtenemos que $B$ es un múltiplo escalar de $D$. Supongamos ahora que $d_{1}$ y $d_{2}$ no son nulos. Dividiendo por $d_{1}d_{2}$ en ambos lados de la ecuación (*) obtenernos

${\frac {b_{1}}{d_{1}}}={\frac {b_{2}}{d_{2}}}.$

(**)




Llamando $\alpha$ al valor común de las fracciones en (**), se tiene que
$B=(b_{1},b_{2})=\alpha (d_{1},d_{2})=\alpha D$.

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Si denotamos por ${\begin{bmatrix}B&D\end{bmatrix}}$ la matriz cuyas columnas son los componentes de los vectores $B$ y $D$, la condición de la proposición anterior es equivalente a afirmar que el determinante de dicha matriz es nulo.

Notemos que si $B$ y $D$ son vectores no nulos tales que $[[B]]\neq [[D]]$ entonces se tiene que

$\alpha B=\beta D\implies \alpha =\beta =0.$

En efecto, si hubiera $\alpha$ y $\beta$ no nulos, se tendría que $B$ es un múltiplo escalar de $D$.

Definición. (Vectores Paralelos) Decimos que dos vectores no nulos $B$ y $D$ son paralelos o linealmente dependientes, cuando uno de ellos sea múltiplo escalar del otro. En caso contrario, decimos que los vectores son linealmente independientes.

Ejemplo.

Los vectores $E_{1}=(1,0)$ y $E_{2}=(0,1)$ son linealmente independientes.

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Proposición 3. Sean $B$, $D$ vectores linealmente independientes del plano. Entonces, para todo $P$ podemos hallar escalares únicos $\alpha$, $\beta$ tales que

$P=\alpha B+\beta D.$

(*)

Demostración: Escribiendo la ecuación (*) en términos de componentes, tenemos que ${\begin{array}{rcl}p_{1}&=&\alpha b_{1}+\beta d_{1}\\p_{2}&=&\alpha b_{2}+\beta d_{2}.\end{array}}$

Se sabe (del álgebra elemental) que tal sistema de ecuaciones tiene soluciones únicas, ssi, el determinante del sistema $b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1}$ no es nulo, pero esta es precisamente equivalente a la condición de que $B$ y $D$ sean linealmente independientes.

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Definición. (Base y Coordenadas) Sean ${\mathcal {C}}=\{B,D\}$ un conjunto formado por dos vectores. Decimos que ${\mathcal {B}}$ es una base del plano, ssi, podemos expresar cada $P$ como una combinación lineal de $B$ y $D$, es decir que hay escalares $\alpha$ y $\beta$ tales que

$P=\alpha B+\beta D.$

Además, los escalares $\alpha$ y $\beta$ son únicos, y se llaman las coordenadas de $P$ respecto la base ${\mathcal {B}}$.

Las coordenadas de $P$ se presentarán usualmente como una matriz columna. En la notación de la definición, se pone

$P_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.$

El par $E_{1}=(1,0)$, $E_{2}=(0,1)$ determina una base llamada base canónica del plano. Las coordenadas de $P=(p_{1},p_{2})$ son precisamente $p_{1}$ y $p_{2}$.

Revisión de la Geometría Plana

Llamamos figura a cualquier subconjunto del plano.

Líneas. Llamamos línea a una figura $\ell$ tal que sus puntos son todos de la forma

$P=A+\alpha D,\quad D\neq 0,$

donde $A$ y $D$ son vectores. Es decir que

$\ell =A+[[D]].$

Sea $\ell =A+[[D]]$, $D$ un vector no nulo . Cuando $P$ es un punto de una línea decimos que la línea pasa por el punto. Como $A=A+0\cdot D$, tenemos que la línea pasa por $A$. Llamaremos a $D$ un vector director de la línea y a $[[D]]$ la dirección de la línea.

Observaciones Sea $\ell =A+[[D]]$.

• Por los trabajos de la sección anterior cuando $D'$ sea cualquier múltiplo escalar no nulo de $D$, tendremos que $[[D']]=[[D]]$. Por razonamientos anteriores, vemos que cualquier vector no nulo de $[[D]]$ sirve como vector director de la línea $\ell$.
• Sean $P=A+\alpha D$ y $Q=A+\beta D$ dos puntos diferentes de la línea $\ell$. Entonces, $Q-P=(\beta -\alpha )D$. Esto es, dos puntos diferentes de la línea determinan un vector director y, por lo tanto, a la dirección.
• Sea $B=A+\beta D$ un punto de $\ell$ tal que $B\neq A$. Entonces, $P=A+\alpha D=B+(A-B)+\alpha D=B+(\alpha -\beta )D+\alpha D=B+\gamma D.$

  Es decir que $B+[[D]]=A+[[D]]$. Es decir que la línea puede ser descrita por cualesquiera de sus puntos y la dirección de la misma.

• Sigue de lo anterior que dado dos puntos $A$ y $B$, hay una única línea que pasa por esos dos puntos: $\ell _{A,B}=A+[[B-A]].$
• Notemos que $[[D]]$ es una línea que pasa por el origen y el punto $D$.
• En el lenguaje de la teoría de grupos, las líneas son las clases laterales de los subgrupos de la forma $[[D]]$.

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Decimos que dos líneas son paralelas cuando tienen igual dirección. Luego, dos líneas son paralelas cuando tienen vectores directores que son paralelos.

Sigue de lo anterior, que dada línea $\ell =A+[[D]]$ y un punto $B$, hay una única línea $m$ que pasa por $B$ y es paralela a $\ell$,

$m=B+[[D]].$

Se prueba que cuando dos líneas no son paralelas entonces tienen un único punto en común. Por su parte dos líneas paralelas, o son iguales o son disjuntas.

Ecuación Cartesiana de una Línea Sea $\ell =A+[[D]]$. Entonces, cuando $P=A+\alpha D$, tenemos, poniendo $P=(x,y)$, que

$(x,y)=(a_{1},a_{2})+\alpha (d_{1},d_{2}).$

Escribiendo las coordenadas aparte, tenemos que

${\begin{array}{rclcl}x&=&a_{1}+\alpha d_{1}&\qquad \qquad &(i)\\y&=&a_{2}+\alpha d_{2}&&(ii)\end{array}}$

Eliminamos (el parámetro) $\alpha$ multiplicando (i) por $d_{2}$ y (ii) por $d_{1}$, y restando posteriormente,para obtener

$d_{1}x-d_{2}y=a_{1}d_{2}-a_{2}d_{1}.$

La última ecuación se dice que es una ecuación cartesiana de la línea. Esta ecuación aparece en los tratamientos elementales de la geometría (algebraica) del plano

Supongamos que tenemos la ecuación $px+qy=r$ (*) donde $(p,q)\neq (0,0)$. Mostraremos que dicha ecuación es la ecuación cartesiana de una línea.

(Caso $q\neq 0$) La ecuación (*) es equivalente a

$y=(-p/q)x+(r/q).$

Si ponemos ${\begin{array}{rcl}x&=&0+\alpha \cdot 1\\y&=&(r/q)+\alpha (-p/q),\end{array}}$

vemos que $(x,y)$ es un punto de la linea $m=(0,r/q)+[[1,(-p/q)]]$. Además, es fácil ver que la ecuación (*) es una ecuación cartesiana de dicha linea.

(Caso $q=0$) La ecuación (*) se reduce a $x=r/p$ que corresponde a la línea $(r/p,0)+[[(0,1)]]$

Proposición 4. Cada línea tiene una ecuación cartesiana de la forma

$px+qy=r.$

Viceversa, todos los puntos satisfaciendo una ecuación de esa forma, determinan una línea.

Corolario 4.1. La línea con ecuación cartesiana $px+qy=r$ tiene como dirección a la línea con ecuación cartesiana $px+qy=0$.

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Las Transformaciones del Plano

Una transformación del plano es una función del plano en si mismo. En contexto geométrico, no necesariamente las transformaciones son biyectivas, por ejemplo la proyección del plano en el eje $X$, $(x,y)\mapsto x$. Sin embargo, para nuestros propósitos, las transformaciones interesantes serán biyectivas. Las transformaciones biyectivas determinan un grupo, el grupo simétrico del plano que denotaremos por ${\textsf {Biy}}(\mathbb {R} ^{2})$. Llamamos grupo de transformaciones a cualquier subgrupo de ${\textsf {Biy}}(\mathbb {R} ^{2})$. Notemos que un conjunto no vacío $G$ de transformaciones biyectivas determina un grupo de transformaciones cuando es cerrado respecto a la composición de funciones y a tomar inversos.

Las Traslaciones

Definición. (Traslación) Dado un vector $A$, llamamos traslación por $A$ y denotamos por $t_{A}$ a la transformación tal que

$t_{A}(P):=A+P.$

Observaciones (Propiedades de las Traslaciones)

• La composición de dos traslaciones es una traslación. En efecto, $t_{A}t_{B}=t_{A+B}$.
• La traslación por el vector nulo, $t_{0}$ es la identidad.
• Las traslaciones son invertibles, $(t_{A})^{-1}=t_{-A}$.

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Sigue de lo anterior que el conjunto de las traslaciones determina un grupo de traslaciones denotado por ${\textsf {T}}_{2}(\mathbb {R} )$. Notemos que la primera de las relaciones anteriores implica que la función $A\mapsto t_{A}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ en ${\textsf {T}}_{2}(R)$ es un homomorfismo de grupos que es claramente suprayectivo. Como $t_{A}=t_{B}$ implica que $A=t_{A}(0)=t_{B}(0)=B$, la función anterior es un isomorfismo de grupos. Es decir, que como grupos, el grupo de las traslaciones y el grupo $<\mathbb {R} ^{2},+>$ son isomorfos.

Proposición 5.Las traslaciones envían líneas sobre líneas paralelas a la original.

Demostración: Sea $t=t_{C}$ la traslación por $C$ y sea $\ell =A+[[D]]$. Entonces, para todo $P=A+\alpha D$ en $\ell$, tenemos que $t(P)=C+A+\alpha D.$

Lo que prueba que $t(P)$ es un punto de la linea $m=C+A+[[D]].$ Sea $Q\in m$, entonces

$Q=C+A+\beta D=t_{C}(A+\beta D)$

lo que implica que $t(\ell )=m$. Las líneas $\ell$ y $m$ son paralelas porque tienen la misma dirección.

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Corolario 5.1. Traslaciones preservan paralelismos entre líneas.

Las Transformaciones Lineales

Las transformaciones lineales provienen de la estructura de espacio vectorial del plano, es decir son transformaciones compatibles con la suma de vectores y con la multiplicación por escalar.

Definición. (Transformación Lineal) Llamamos transformación lineal del plano a una función $u:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$ tal que

$u(P+Q)=u(P)+u(Q){\text{ y }}u(\alpha P)=\alpha u(P).$

Ejemplo.

Sea $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$. Definimos una transformación $L_{A}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ en si mismo por

$L_{A}(P):=A*P={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ap_{1}+bp_{2}\\cp_{1}+dp_{2}\end{bmatrix}}.$

(Observemos que escribimos el punto $P$ como una matriz columna, o sea como sus coordenadas respecto a la base canónica)

Se verifica por computación directa o aplicando propiedades de la multiplicación de matrices que

$L_{A}(P+Q)=L_{A}(P)+L_{A}(Q)\quad {\text{ y que }}\quad L_{A}(\alpha P)=\alpha L_{A}(P);$

o sea que $L_{A}$ es lineal.

Decimos que $L_{A}$ es la transformación lineal definida por la matriz $A$ y la denotaremos simplemente por $A$.

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Veremos a continuación, que una vez seleccionada una base del plano, cada transformación lineal es equivalente a la transformación lineal definida por una matriz (usando las coordenadas respecto a la base seleccionada).

Sea ${\mathcal {C}}=\{B,D\}$ una base del plano y sea $u$ una transformación lineal. Supongamos que las coordenadas de $u(B)$ y $u(D)$ son respectivamente ${\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}$ y ${\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\end{bmatrix}}$. Sea ${\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}$ las coordenadas de $P$ respecto a la base ${\mathcal {B}}$. Es decir que

$P=p_{1}B+p_{2}D.$

Luego,

${\begin{array}{rcl}u(P)&=&u(p_{1}B+p_{2}D)=p_{1}u(B)+p_{2}u(D)\\&=&p_{1}(b_{1}B+b_{2}D)+p_{2}(d_{1}B+d_{2}D)\\&=&(b_{1}p_{1}+d_{1}p_{2})B+(b_{2}p_{1}+d_{2}p_{2})D\end{array}}$

Es decir, que en término de coordenadas.

$u(P)_{\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}b_{1}&d_{1}\\b_{2}&p_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}}.$

Por lo que el efecto de $u$ es equivalente a multiplicar por una matriz que tiene en la primera (resp. segunda) columna las coordenadas de $u(B)$ (resp. de $u(D)$).

Las transformaciones lineales biyectivas corresponden a las matrices invertibles o sea aquellas que tienen determinante no nulo.

Grupo Lineal. Llamamos grupo lineal de dimensión 2 al grupo que denotamos por ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ y que está formado por todas las matrices $2\times 2$ invertibles (con entradas reales).

Interpretaremos cada matriz $2\times 2$ como una transformación lineal biyectiva respecto a la base canónica.

Observación. Se puede definir un grupo lineal $G'$ interpretando las matrices con respecto a una base diferentes de la canónica. Un resultado de Álgebra Lineal, establece que $G'$ es conjugado con ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ en el grupo ${\textsf {Biy}}_{2}(\mathbb {R} )$, y que, por lo tanto, se trata de grupos isomorfos.

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Acción de las transformaciones lineales biyectivas

Sea $u$ en ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ y sea $\ell =A+[[D]]$. Entonces, si $P=A+\alpha D$ es un punto de $\ell$ se tiene que

$u(P)=u(A+\alpha D)=u(A)+\alpha u(D).$

(*)

Como $u$ es biyectiva, $u(D)\neq 0$, luego $u(P)$ es un punto de la línea $m=u(A)+[[u(D)]]$. Sea $Q$ un punto de la línea $m$, entonces $Q=u(A)+\beta u(D)=u(A+\beta D)$, lo que prueba que $m=u(\ell )$.

Proposición 6. Las transformaciones lineales biyectivas envían líneas sobre líneas. Además, preservan el paralelismo entre líneas.

Relaciones de las traslaciones con las transformaciones lineales

Lema A. Sea $u$ una transformación lineal (cualquiera) y $t_{A}$ la traslación por $A$, entonces $ut_{A}=t_{u(A)}u$.

Demostración: ${\begin{array}{rcl}(ut_{A})(P)&=&u(t_{A}(P))=u(A+P)=u(A)+u(P)\\&=&t_{u(A)}(u(P))=(t_{u(A)}u)(P)\end{array}}$.

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El Grupo Afín

Definición. (Grupo Afín) Llamamos Grupo Afín al grupo de transformaciones generado por el grupo de las traslaciones y el grupo lineal. Simbolizamos dicho grupo por ${\textsf {GA}}_{2}(\mathbb {R} )$ y decimos que sus elementos son las transformaciones afines del plano.

Sea $f$ una transformación afín. Sigue de la definición que $f$ es un producto de la forma

$f=t_{1}u_{1}\dots f_{k}u_{k},$

donde los $t_{i}$ son traslaciones y los $u_{i}$ son transformaciones lineales biyectivas. Sigue del lema A que podemos agrupar primero las traslaciones y luego las transformaciones lineales de modo que $f=tu$, donde $t$ es una traslación y $u$ es lineal. Tal representación es además única. En efecto si

$t_{1}u_{1}=t_{2}u_{2}$

se tiene que

$t_{2}^{-1}t_{1}=u_{2}u_{1}^{-1}.$

En la última igualdad, tenemos en el lado izquierdo a una traslación y una transformación lineal a la derecha. Como transformaciones lineales siempre fijan al vector nulo, la traslación de la izquierda debe fijar al vector nulo. Como la única traslación que fija puntos del plano es la identidad, se tiene que $t_{2}^{-1}t_{1}=id$, de donde $t_{1}=t_{2}$. De ahí, sigue que también se cumple que $u_{1}=u_{2}$.

Decimos cuando $f=tu$, que $t$ es la traslación de $f$ y $u$ es la parte lineal de $f$.

Notemos que sigue de nuestro trabajo con traslaciones y transformaciones lineales biyectivas, que las transformaciones afines envían líneas sobre líneas y que preservan el paralelismo entre líneas.

Se verifica en cursos de Geometría que las transformaciones afines pueden caracterizarse como las transformaciones biyectivas del plano que envían líneas en líneas. Dicho resultado se cita a veces como el "teorema fundamental de la geometría afín".

Proposición 7.El grupo de las traslaciones es un subgrupo normal del grupo afín. El grupo cociente ${\textsf {GA}}_{2}(\mathbb {R} )/{\textsf {T}}_{2}(\mathbb {R} )$ es isomorfo al grupo lineal ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$.

Demostración: Sea $\phi :{\textsf {GA}}_{2}(\mathbb {R} )\longrightarrow {\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$ la función que asigna a cada transformación afín su parte lineal $tf\longrightarrow u$. Veamos que se trata de un homomorfismo de grupos $\phi (t_{A}u\,t_{B}v)=\phi (t_{A+u(B)}uv)=uv=\phi (t_{A}u)\,\phi (t_{B}v).$

Como, cada $u$ es iguala $t_{0}u$, $t_{)}=id$, se trata de un supramorfismo, cuyo núcleo son las traslaciones. Luego, ${\textsf {T}}_{2}(\mathbb {R} )$ es normal en ${\textsf {GA}}_{2}(\mathbb {R} )$. Por el teorema de Noether (ver capítulo Teoremas de Homomorfismos), se tiene que

${\textsf {GA}}_{2}(\mathbb {R} ^{2})/{\textsf {T}}_{2}(\mathbb {R} )\cong {\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} ^{2}).$

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La Geometría Euclídea

Las congruencias son las transformaciones que preservan la distancia entre puntos del plano. Para definirlas propiamente, necesitamos una noción de distancia. En los curso básicos, usando el teorema de Pitágoras, se define la distancia entre los puntos $(x_{1},x_{2})$ y $(y_{1},y_{2})$ como

${\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}.$

Podríamos usar esa definición como definición de distancia, pero usaremos un camino distinto, más propio de la geometría vectorial. Definiremos algo llamado producto interior de vectores, que nos servirá para definir las nociones de largo y distancia.

El Producto Interior

Definición. (Producto Interior) Llamamos producto interior a la función que asigna a cada par de vectores de $\mathbb {R} ^{2}$ el número real denotado por $P\cdot Q$ y definido como

$P\cdot Q:=p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}.$

Proposición 8. (Propiedades del Producto Interior)

• (PI-1) $(\alpha P+\beta Q)\cdot R=\alpha (P\cdot R)+\beta (Q\cdot R)$.
• (PI-2) $Q\cdot P=P\cdot Q$.
• (PI-3)Si $P\neq 0$, $P^{2}=P\cdot P>0$.

Demostración: Computaciones directas.

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La primera propiedad dice que el producto interior es lineal en su primer argumento, por la simetría de la segunda propiedad, tenemos que también es lineal en el segundo argumento. Por lo que se recuerda las propiedades anteriores, diciendo que el producto interior es bilineal (lineal en cada argumento), simétrico (PI-2) y positivamente definido (PI-3).

Ortogonalidad y Perpendicularidad. Decimos que dos vectores son ortogonales cuando su producto interior es nulo. Notación $B\perp D$.

Sigue de las propiedades del producto interior que si $B\perp D$, cualquier múltiplo de $D$ es perpendicular a $B$.

Decimos que dos líneas son perpendiculares u ortogonales cuando tienen vectores directores ortogonales. Sigue de la observación anterior que cualquier par de vectores directores sirve para establecer la perpendicularidad de dos líneas.

Proposición 9. Sea $B=(b_{1},b_{2})$ un vector no nulo. Los vectores perpendiculares a $B$ determinan una línea que pasa por el origen, que denotaremos por $B^{\perp }$ y que tiene como un vector director a $(-b_{1},b_{2})$.

Demostración: Sea $P=(x,y)$ perpendicular a $B$. Entonces, $P\cdot B+0$, ssi,

$b_{1}x+b_{2}y=0.$

(*)




que es la ecuación cartesiana de una línea, ver la proposición 4.

Resolvamos la ecuación (*) para $x$ y $y$. Es decir hallemos vectores perpendiculares a $B$ . Si $b_{2}=0$, (*) implica que $b_{1}x=0$, lo que implica que $x=0$. Luego,

$(x,y)=(0,y)=(y/b_{1})(0,b_{1})=(y/b_{1})(-b_{2},b_{1}).$

Lo que prueba que, en este caso $(-b_{2},b_{1})$ es un vector director de $B^{\perp }$. Supongamos que $b_{2}\neq 0$, entonces (*) implica que $y=(-b_{1}/b_{2})x$; de donde

$(x,y)=(x,-{\frac {b_{1}}{b_{2}}}x)=x(1,-{\frac {b_{1}}{b_{2}}})={\frac {-x}{b_{2}}}(-b_{2},b_{1}).$

Lo que termina la prueba.

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Sea $\ell$ la línea con ecuación cartesiana

$px+qy=r.$

(*)

Sea $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ un punto cualquiera de la línea. Entonces, $px_{0}+qy_{0}=c$. Sustituyendo en la ecuación (*), tenemos que:

${\begin{array}{lrcl}&px+qy&=&px_{0}+qy_{0}\\\iff &p(x-x_{0})+q(y-y_{0})&=&0\\\iff &(p,q)\cdot (x-x_{0},y-y_{0})&=&0.\end{array}}$

La siguiente proposición sigue de esos cálculos.

Proposición 10. La ecuación $px+qy=r$ representa una línea que pasa por un punto $P_{0}$ y tal que sus vectores directores son perpendiculares al vector $(p,q)$ que se dice que es un vector normal a la línea.

Largos y Distancias

Largo. Llamamos largo del vector $P$ al número real simbolizado por $\|P\|$ y definido como

$||P||:={\sqrt {P\cdot P}}$.

(Largo)

Distancia. Usando la definición de largo, tenemos que

$||P-Q||={\sqrt {(P-Q)\cdot (P-Q)}}={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}$

Es decir que podemos definir la distancia entre $P$ y $Q$ como

$d(P,Q):=||P-Q||$

(Distancia)

Ejemplo.

Sea $E_{1}=(1,0)$ y $E_{2}$ la base canónica del plano. Dichos vectores tienen largo 1 y son ortogonales entre si. Por lo que la base se llama ortonormal. Notemos, además $d(E_{1},E_{2})={\sqrt {2}}$.

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Propiedades

Proposición 11. (Cuadrado del Binomio para PI) Sean $P$, $Q$ dos vectores.

$\|P+Q\|^{2}=P^{2}+Q^{2}+2P\cdot Q.$

(Ec-Bin)

donde $P^{2}=P\cdot P=||P||^{2}$.

Demostración: ${\begin{array}{rcl}\|P+Q\|^{2}&=&(P+Q)\cdot (P+Q)\\&=&P\cdot P+P\cdot Q+Q\cdot P+Q\cdot Q\\&=&P^{2}+Q^{2}+2P\cdot Q.\end{array}}$

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Corolario 11.1. (Teorema de Pitágoras) Si $P$ y $Q$ son ortogonales.

$\|P+Q\|^{2}=\|P\}^{2}+\|Q\|^{2}.$

Despejando el producto interior en la fórmula (Ec-Bin), obtenemos

$P\cdot Q={\frac {1}{2}}(||P+Q||-||P||=||Q||).$

(PI-Form)

Sea $P=p_{1}E_{1}+p_{2}E_{2}$ donde $E_{1}$ y $E_{2}$ es la base canónica del plano. Entonces,

$P\cdot E_{1}=(p_{1}E_{1}+p_{2}E_{2})|\cdot E_{1}=p_{1}E_{1}\cdot E_{1}+p_{2}E_{1}\cdot E_{2}>=p_{1}.$

Análogamente, obtenemos que $p_{2}=P\cdot E_{2}$.

Transformaciones Ortogonales

Definición. (Transformaciones Ortogonales) Una transformación lineal $u$ es ortogonal, ssi, preserva el producto interior. Es decir, ssi, para todo $P$, $Q$ se cumple que

$u(P)*u(Q)=P\cdot Q.$

Proposición 12. Las transformaciones ortogonales preservan largos y distancias entre puntos.

Demostración: Sean $P$, $Q$ puntos y sea $u$ ortogonal. ${\begin{array}{rcl}||u(P)||^{2}&=&u(P)\cdot u(P)=P\cdot P=||P||^{2}\implies ||u(P)||=||P||.\\d(u(P),u(Q))&=&||u(P)-u(Q)||=||u(P-Q)||=||P-Q||=d(P,Q).\end{array}}$

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Sea $u$ una transformación lineal que es una congruencia. Entonces, para todo $P$ se tiene que

${\begin{array}{rcl}||u(P)||&=&||u(P-0)||=||u(P)-u(0)||=d(u(P),u(0))=d(P,0)\\&=&||P-0||=||P||.\end{array}}$

Es decir que las congruencias lineales preservan largo de vectores. Proposición 13. Las congruencias lineales son transformaciones ortogonales.

Demostración: Sea $u$ una congruencia lineal. Aplicando la fórmula (PI-Form) tenemos que ${\begin{array}{rcl}u(P)\cdot u(Q)&=&{\frac {1}{2}}(||u(P)+u(Q)||-||u(P)||-||u(Q||)\\&=&{\frac {1}{2}}(||u(P+Q)|-||u(P)||=||u(Q)||)\\&=&{\frac {1}{2}}(||P+Q||-||P||-||Q||)=P\cdot Q\end{array}}$

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Simetral Ortogonal

Sean $A$ y $B$ dos puntos del plano. Buscaremos una ecuación para la figura determinada por todos los puntos que equidistan de $A$ y $B$.

Punto Medio. Sea $M=(1/2)(A+B)$ se tiene que

$M-A={\frac {1}{2}}(B-A){\text{ y }}B-M={\frac {1}{2}}(B-A).$

Lo que dice que $d(M,A)=d(M,B)$. Además, $M={\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}B=A+{\frac {1}{2}}(B-A)$; lo que prueba que $M$ está en la línea que pasa por $A$ y $B$. $M$ es el punto medio entre $A$ y $B$.

Sea $P$ un punto cualquiera que equidista de $A$ y $B$. Se tiene que

${\begin{array}{lrcl}&d(P,A)&=&d(P,B)\\\iff &||P-A||^{2}&=&||P-B||^{2}\\\iff &P^{2}+A^{2}-2P\cdot A&=&P^{2}+B^{2}-2P\cdot B\\\iff &2P\cdot (B-A)&=&B^{2}-A^{2}=(B+A)\cdot (B-A)\\\iff &2(P-{\frac {1}{2}}(A+B))\cdot (B-A)&=&0.\end{array}}$

Sigue de la proposición 9, la siguiente proposición.

Proposición 14. Los puntos que equidistan de dos puntos es una línea que pasa por el punto medio de los dos puntos y es perpendicular a la línea que pasa por los puntos. Llamamos simetral ortogonal de los puntos $A$ y $B$ a la línea de la proposición.

El Grupo Euclídeo

Definición. (Congruencias) Llamamos congruencia a una transformación afín que preserva la distancia entre puntos.

$d(F(P),f(Q))=d(P,Q).$

Denotamos por ${\textsf {Eucl}}_{2}(\mathbb {R} )$ al conjunto de todas las congruencias.

Ejemplo.

Las traslaciones son congruencias.

Sea $t=t_{A}$, entonces,

$||t_{A}(P)-t_{A}(Q)=||(A+P)-(A+Q)||=||P+Q||.$

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Proposición 15. ${\textsf {Eucl}}_{2}(\mathbb {R} )$ es un subgrupo del grupo afín del plano llamado el grupo Euclídeo del plano. La parte lineal de una congruencia es una transformación ortogonal. Las transformaciones ortogonales determinan un subgrupo, ${\textsf {O}}_{2}(\mathbb {R} )$, llamado el grupo ortogonal. El grupo de las traslaciones es también un subgrupo del grupo euclídeo.

Demostración: La identidad es una congruencia. Sean $f$ y $g$ congruencias. ${\begin{array}{rcl}d(f(g(P)),f(g(Q))&=&d(g(P),g(Q))=d(P,Q).\\d(f^{-1}(P),f^{-1}(Q))&=&d(f(f^{-1}(P)),f(f^{-1}(Q)))=d(P,Q).\end{array}}$

Lo que muestra que las congruencias determinan un subgrupo del grupo afín.

Sea $f=tu$ una congruencia afín. Entonces, $u=t^{-1}f$ es una congruencia, por ser composición de congruencias, y es lineal, por lo tanto, es una transformación ortogonal.

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El Grupo Ortogonal

¿Cómo son las matrices de una transformación ortogonal? Sea $u$ una transformación ortogonal y consideremos la base ortonormal canónica ${\mathcal {E}}=\{E_{1},E_{2}\}$. Sean $F_{1}=u(E_{1})$ y $F_{2}=u(E_{2})$. Como transformaciones ortogonales preservan largos y productos interiores, tenemos que

$||F_{1}||=||u(E_{1})||=||E_{1}||=1,\quad ||F_{2}||=||u(E_{2})||=||E_{2}||=1,{\text{ y }}$ $F_{1}\cdot F_{2}=E_{1}\cdot E_{2}=0.$

(Luego ${\mathcal {F}}=\{F_{1},F_{2}\}$ es otra base ortonormal del plano.) La matriz determinada por $u$ tiene como columnas a las coordenadas de $F_{1}$, $F_{2}$ respecto a la base canónica. Supongamos que $F_{1}=(a,b)$. Como $||F_{1}||=1$ se debe cumplir que $a^{2}+b^{2}=1$. Como $F_{2}$ es perpendicular a $F_{1}$ se tiene (por proposición 9) que $F_{2}\in [[(-b,a)$. Como $||\alpha (-b,a)||=|\alpha |\,||(-b,a)||=|\alpha |$, tenemos que $\alpha =\pm 1$. Es decir que tenemos dos posibilidades para $F_{2}$; por lo que las matrices tienen una de las formas siguientes:

${\begin{array}{clp{1cm}cl}(I)&{\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},\qquad &&(II)&{\begin{bmatrix}a&b\\b&-a\end{bmatrix}},\end{array}}$

donde $a^{2}+b^{2}=1$. Notemos que en el primer caso el determinante de la matriz es 1, mientras que en el segundo es $-1$.

Es fácil verificar que ambos tipos producen trasformaciones ortogonales.

La función determinante (restringida a ${\textsf {O}}_{2}(\mathbb {R} )$) tiene imagen $\{1,-1\}$ y su núcleo es el subgrupo normal, denotado por ${\textsf {O}}_{2}^{+}(\mathbb {R} )$, formado por todas las transformaciones ortogonales con determinante 1.

Buscaremos puntos fijos para ambos tipos de transformaciones ortogonales. Recordemos que las transformaciones lineales fijan el origen.

(Caso I) Sea $u={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$ con $a^{2}+b^{2}=1$. Sea $P=(x,y)$, entonces $u(P)=P$, ssi,

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.$

Escribiendo la ecuación matricial como sistema de ecuaciones, obtenemos que

${\begin{matrix}ax&-&by&=&x\\bx&+&ay&=&y\end{matrix}}$

Lo que es equivalente a

${\begin{matrix}(a-1)x&-&by&=&0\\bx&+&ay&=&0\end{matrix}}$

El último sistema tiene soluciones no triviales (diferentes de $(0,0)$), ssi, su determinante es cero. El determinante del sistema es

${\begin{vmatrix}a-1&-b\\b&a-1\end{vmatrix}}=(a-1)^{2}+b^{2}=a^{2}-2a+1+b^{2}=2-2a=2(1-a).$

Por lo tanto, el determinante es nulo, ssi, $a=1$, lo que implica que $b=0$; o sea, cuando $u$ es la identidad.

Por lo que, cuando una matriz tiene la forma (I) y no es la identidad, el único punto fijo será el origen. Por lo que cada punto $P$ se mueve a un punto $u(P)$ que está a igual distancia del origen que la distancia de $P$ al origen. Informalmente podemos decir que $P$ se mueve sobre la circunferencia de centro el origen y radio $\|P\|$. Lo que nos dice que se trata de una rotación alrededor del origen.

Se acostumbra definir el ángulo de la rotación como el ángulo $\theta$ tal que

$\cos(\theta )=a{\text{ y }}\operatorname {sen}(\theta )=b.$

Llamando $r(\theta )$ a la rotación por $\theta$ vemos que

$r(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\operatorname {sen}(\theta )\\\operatorname {sen}(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.$

Usando las definiciones anteriores de coseno y seno, junto con las propiedades de las transformaciones ortogonales, se pueden deducir las relaciones trigonométricas básicas tales como

• $\cos ^{2}(\theta )+\operatorname {sen} ^{2}(\theta )=1.$ (Determinante igual a1.)
• $\cos(-\theta )=\cos(\theta ),\quad \operatorname {sen}(-\theta )=\operatorname {sen}(\theta )$. ${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}$.
• Etc.

(Caso II) Sea $u={\begin{bmatrix}a&b\\b&-a\end{bmatrix}}$ con $a^{2}+b^{2}=1$. Sea $P=(x,y)$, entonces $u(P)=P$, ssi,

${\begin{bmatrix}a&b\\b&-a\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.$

Escribiendo la ecuación matricial como sistema de ecuaciones, obtenemos que

${\begin{matrix}ax&+&by&=&x\\bx&-&ay&=&y\end{matrix}}$

Lo que es equivalente a

${\begin{matrix}(a-1)x&+&by&=&0\\bx&-&(a+1)y&=&0\end{matrix}}$

El último sistema tiene soluciones no triviales (diferentes de $(0,0)$), ssi, su determinante es cero. El determinante del sistema es

${\begin{vmatrix}a-1&b\\b&a+1\end{vmatrix}}=a^{2}-1+b^{2}=0.$

Por lo tanto, siempre hay soluciones no triviales del sistema. Un punto $(x,y)$ está fijo por $u$, ssi, {{Eqn$(a-1)x+by=0.$|*}}

Si $a=1$ entonces $u={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$ que es una transformación que intercambia el eje $X$ con el eje $Y$, dejando la diagonal principal ($y=x$) fija punto a punto.

En forma más general, si $P=(x,y)=(b,1-a)$ se tiene por la ecuación (*) que $P$ está fijo por $u$. Si $P$ queda fijo, entonces $u(\alpha P)=\alpha u(P)=\alpha P$, es decir que $u$ deja fijo punto a punto a la línea $\ell =[[P]]$.

Por la forma de la matriz, $u$ nunca puede ser la identidad, por lo que hay un punto $Q$ tal que $u(Q)\neq Q$. Como $Q$ no queda fijo, $Q$ no puede estar en la línea $\ell$. Como para todo $P$ en $\ell$ se cumple que

$d(P,u(Q))=d(u(P),u(Q))=d(P,Q),$

tenemos, por la proposición 14, que $\ell$ es una línea perpendicular la línea $m$ que pasa por $Q$ y $u(Q)$, cortando a dicha línea en el punto medio entre $Q$ y $u(Q)$. Es decir que se trata de una reflexión en torno a la línea $\ell$.

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