Matemáticas Bachillerato LOGSE/Representación de funciones no elementales

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Dada una función real de variable real. función no elemental:

se dice que la función f es no elemental si no cumple las condiciones de función elemental. Existen un número inlimitado de funciones no elementales, presentaremos unos ejemplos de funciones de este tipo.

Funciones de partes de x[editar]

Función Cu id.svg

Dada la función id(x) que asocia a y el mismo valor de x, definida así:

con la representadión grafica de la derecha.

La función id(x) esta definida para todo x real, es continua u derivable, y creciento en todo su entorno de definición.

Es función impar:

Función signo[editar]

Función Cu sgn.svg

La función signo es una función no elemental definida para todo x real:

Asigna a y el volor 1 si x es positivo, 0 si x es 0 y -1 si x es negativo:

La función sgn(x) esta derinida para todo x real, es discontinua para x= 0, para los valores distintos de cero es continua y derivable, y estacionaria (no es creciente ni decreciente).

Es función impar:

Ademas:

Función valor absoluto[editar]

Función Cu abs.svg

La función valor absoluto asocia a y el valor de x sin signo:

La función esta definida paro todo x real, es continua y no deribable para x= 0.

La función abs nunca toma valores negativos, es decreciente para x negativo y es creciente para x positivo, para x= 0 la función tambien vale cero (y= 0).

Es función par:

podemos ver que:

Escalón de Heaviside[editar]

Función Cu H.svg

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:

Esta función queda definida de esta forma:

Función rampa[editar]

Función Cu rampa.svg

La función rampa definida para valores reales:

Que se puede especificar de esta forma:

Esta función es continua, y no es derivable para x=o.

Puede verse que:

Función entero de x[editar]

Función Cu E.svg

Esta función asocia a y el mismo valor de x cuando x en un número entero, si x es positivo y se obtiene eliminando la parte decimas, si x tiene valor negativo y es el valor de x sin parte decimal menos una unidad.

La función entero asocia a y el maximo número entero menor o igual a x, esto es, de todos los números enteros menores o iguales que x, el mayor de ellos:

Representada en la figura de la derecha.

La función E(x) esta definida paro todo x real, es discontinua para x número entero, y para los valores en los que es continua es estacionaria.

Función mantisa de x[editar]

Función Cu M.svg

La función mantisa o parte decimal de x, es una función que asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

Ver la figura de la derecha, si x es un número entero M(x) es cero, si x en un número positivo M(x) es la parte decimal de x, cuando x tiene valor negativo entonces M(x) es lo que le falta hasta en número entero inferior a x. M(x) nunca toma valores negativos.

La función M(x) esta definida para todo x real, es discontinua para x número entero y para los valores en los que es continua es creciente.

Puede verse que:

Ver la figura de la derecha.

Función parte entera de x[editar]

Función Cu int.svg

La función parte entera de x es el resultado de eliminar la parte decimal del número, de forma que se conserva el signo y la parte entera. Es una funcion definida para todo número real:

La función parte entera se define como:

para x menor que cero: es el minimo entero mayor o igual que x y para x mayor o igual que cero: es el maximo entero menor o igual que x.

Esta función es impar:

Función parte decimal de x[editar]

Función Cu frac int.svg

La función parte decimal de x es el resultado de eliminar la parte entera del número, de forma que se conserva el signo y la parte decimal. Es una funcion definida para todo número real:

Para x negativo frac int(x) es no positivo, para x positivo frac int(x) es no negativo.

Esta función es impar:

Puede verse que:

Función redondeo de x[editar]

Función Cu redon.svg

La funcion redondeo de x esta definida para todo número real:

Esta función asocia a todo x número real el número entero más proximo, en caso de enteros igualmente proximos se tomara el de menor valor absoluto. La función parte entera se define como:

Esta función es impar:

Función fracción de redondeo de x[editar]

Función Cu frac redon.svg

La funcion fracción de redondeo de x esta definida para todo número real:

Esta función asocia a todo x número real el número fraccionario más proximo a un número entero.

Esta función es impar:

se puede ver que:

Función suelo[editar]

Función Cu suelo.svg

Esta función es equivalente a la funcios parte entera: :

La función suelo asocia a y el maximo número entero menor o igual a x:

Función fracción de suelo[editar]

Función Cu frac suelo.svg

La función fracción de suelo es equivalente a mantisa o parte decimal, asocia a y el valor que falta desde el número entero inferior a x

Puede verse que:

Ver la figura de la derecha.

Función techo[editar]

Función Cu techo.svg

La función techo asocia a y el valor entero de x por esceso, compararla con la función suelo:

El valor de la función techo es el minimo valor entero mayor o igual que x:

Función fracción de techo[editar]

Función Cu frac techo.svg

La función fracción de techo asocia a y el valor que falta desde el número entero superios a x

Puede verse que:

Ver la figura de la derecha.

Funciones escalonadas[editar]

Función rectangular[editar]

Función Cu rect.svg

La función rectangular (también llamada función ventana unitaria o pulso unitario) se define como:

Función escalonada[editar]

Función Cu s.svg

Una función es escalonada si toma valores constantes en distintos intervalos, por ejemplo podemos ver la función y= s(x) de la figura: