Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Números complejos

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«Bachillerato LOGSE»

Qué son los números complejos[editar]

Si intentamos resolver esta ecuación $x^{2}+1=0$ veremos que no tiene solución en números reales.

Para ello recurrimos a los números imaginarios o números complejos.

(MLV Bs.As. Arg,)Sin embargo para entender mejor el problema y luego la solución, primero debemos recurrir a la ley de los signos en la multiplicación, al multiplicar dos signos negativos o dos positivos, el resultado es un numero positivo siempre, es decir si elevo al cuadrado cualquier numero sea positivo o negativo, el resultado es siempre positivo, por tanto no hay manera de encontrar la raiz de un numero negativo. es alli donde se da la solucion introduciendo el valor imaginario,es decir aislando el termino insoluble y dejandolo tal como esta , pues si bien es cierto i= raiz(-1) este no tiene solucion y tampoco necesitamos que tenga solucion, pues manteniendolo tal como esta como una expresion matematica , nos sirve para dar la solucion y se hace asi: si mantengo este raiz(-1) [sin necesidad de llamarlo i ] puedo operar: por ejemplo Raiz (-9) seria igual a Raiz(9).(-1) y como se puede aplicar propiedad distributiva a la raiz, se tiene :

Raiz(-9) = Raiz(9).Raiz(-1) operando se tiene Raiz(-9) = 3. raiz(-1)

esta es la solucion, pero alguien me dira, pero sigue ahi el problema, que no se sabe cuanto es exactamente Raiz(-9) , yo le respondo que si llamamos "i" a Raiz (-1) , entonces la solucion es 3i y esta solucion pasa la prueba, porque en este caso si elevo al cuadrado esta solucion, "ahora si me da un numero NEGATIVO" pues:

[3.Raiz(-1)] al cuadrado es 3 al cuadrado por [Raiz(-1)] al cuadrado

= 9 por (-1) = -9

como ven, nunca se soluciono en realidad la raiz de un numero negativo, sino que se lo dejo en "durmiendo" para que cuando se aplique lo contrario ( el cuadrado o potencia par ) se elimine la raiz par y quede el MENOS 1 que hace negativo al numero solucion de un cuadrado o potencia par(MLV Bs.As. ARG )

$i={\sqrt {-1}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {-(-b^{2}+4ac)}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}$

Operaciones con números complejos[editar]

Suma

(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d)

Resta

(a,b)-(c,d)=(a-c,\;b-d)

Multiplicación

(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,\;ad+cb)

División

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {ac+bd+(-ad+bc)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd+(-ad+bc)i}{|z_{2}|^{2}}}

Igualdad

(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d

Números complejos en forma polar[editar]

Paso de forma binómica a polar[editar]

Dado un complejo en forma binómica $u=(a,b)$ , definimos su modulo r como:

$r={\sqrt {(a)^{2}+(b)^{2}}}$

y su argumento como

$\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$

La expresión $r(\textstyle {\phi })$ la llamaremos forma polar del número complejo u.

Paso de forma polar a binómica[editar]

La parte real de un complejo $r(\textstyle {\phi })$ es

$a=r\cdot cos(\textstyle {\phi })$

y la parte imaginaria es

$b=r\cdot sen(\textstyle {\phi })$

con lo cual su forma binómica será

$u=r\cdot cos(\textstyle {\phi })+r\cdot sen(\textstyle {\phi })i$

Operaciones con números complejos en forma polar[editar]

La raiz de indice n de un numero complejo tiene n soluciones, todas ellas con el mismo modulo, que es la raiz n-esima del modulo de radicando y se obtienen al sumarle a este valor, 360/n sucesivas veces hasta completar una vuelta.