Discusión:Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Funciones no elementales

Modelo de análisis

Dada una función real de variable real:

${\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}$

• Definición de la función.

$sgn(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-1&si&x<0\\0&si&x=0\\1&si&x>0\end{array}}\right.$

• Determinación de su dominio de definición.

$\forall x\in \mathbb {R} \;:\quad \exists y\in \mathbb {R} \;\backslash \quad y=f(x)$

• Búsqueda de simetrías y periodicidades.

Es función impar:

$f(-x)=-f(x)$

Es función par:

$f(-x)=f(x)$

Periodicidades.

$f(x)=f(x+p)$

• Fijación de los puntos de corte con los ejes.

Corte con el eje x.

$\left.{\begin{matrix}y=0\\y=f(x)\end{matrix}}\right\}\quad \longrightarrow \quad 0=f(x)$

Corte con el eje y.

$\left.{\begin{matrix}x=0\\y=f(x)\end{matrix}}\right\}\quad \longrightarrow \quad y=f(0)$

• Cálculo de las asíntotas.

Asíntotas verticales.

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty$

Asíntotas horizontales.

$\lim _{x\to \infty }f(x)=a$

asíntota oblicua.

La recta: $y=ax+b$ es asíntota a $y=f(x)$ si:

$\lim _{x\to \infty }[f(x)-(ax+b)]=0$

• Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los máximos y los mínimos relativos.

Dada una función:

$y=f(x)\;$

su derivada es:

$y'={\cfrac {dy}{dx}}={\cfrac {d\,f(x)}{dx}}={\cfrac {d}{dx}}f(x)$

La función es creciente si:

$y'<0\;$

La función es decreciente si:

$y'>0\;$

La función es estacionaria si:

$y'=0\;$

• Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.

Dada una función:

$y=f(x)\;$

su derivada segunda es:

$y''={\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\cfrac {d^{2}\,f(x)}{dx^{2}}}={\cfrac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)$

La función es concava si:

$y''<0\;$

La función es convexa si:

$y''>0\;$

Es un puntos de inflexión si:

$y''=0\;$

• Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano.