Matemáticas/Los números/Texto completo

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La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un proceso de extensión y de generalización de los números reales...

AL Numeros 01.svg

Se llaman números naturales a aquellos números que se pueden obtener al sumar el número 1 a sí mismo la cantidad de veces que se quiera. Así, tendríamos que el dos es un número natural pues 2=1+1, tres también lo es pues 3=1+1+1=2+1, cuatro también 4=1+1+1+1=3+1=2+2, y así sucesivamente.

El conjunto que se va formando no tiene un último elemento, es decir, es infinito. Es fácil demostrarlo: Supongamos que n es el último número natural que podemos tener. Siempre se le puede sumar 1 a cualquier número natural y obtendremos un natural, por lo tanto (n+1) existe y es un número natural. Entonces n no era el último, (n+1) debe serlo. Entonces razonamos de igual forma para (n+1)y así sucesivamente. Esta argumentación no tiene fin: entonces no existe un último número natural, con lo cual el conjunto es infinito.

Subdivisión[editar]

Los Números Naturales se pueden separar en el 1, los números primos y los números compuestos.

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los opuestos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).


En la matemática moderna el conjunto de los números enteros al abarcar todos los enteros tanto negativos como positivos, representándolos en una recta numérica "llega" hasta el infinito hacia ambos lados, en rigor no existe un comienzo ni un final. La situación no cambiaría en el caso de usar el cero como "origen" para su localización.


Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, los Pares y los Impares.

Números Pares[editar]

Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, una de ellas, la de los números pares está formada por los números enteros múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 x n. La cifra final de los números pares puede ser: 0, 2, 4, 6 u 8.

Números Impares[editar]

Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, una de ellas, la de los números impares está formada por los números enteros que no son múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número impar si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 1 + 2 x n.

Los números impares siempre terminan con un dígito 1,3,5,7, o 9. Así que 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 son números impares. Los números negativos son los números situados supuestamente a la izquierda de la recta numérica. Llevan el signo de la resta ().

Valor opuesto[editar]

El valor opuesto de un número negativo es el contrario a este. Se representa con las letras Por ejemplo:

Ante operaciones[editar]

Ante la suma[editar]

  • Para sumar números negativos debes de hacer como si sumaras números naturales, pero al final colocando el signo de -. Debe colocarse siempre paréntesis entre estos, aunque el resultado no tenga esa necesidad:
  • Para sumar negativos con positivos debes (simpre que vaya delante debes hacer como que restas y lo más posible es que de negativo): y siempre que vaya detrás debes hacer como que restas el positivo:

Ante la resta[editar]

  • Para restar números negativos con estos o con positivos (si hay dos factores), debes convertir la resta en suma y el segundo factor en su opuesto: .

Ante la multiplicación y división[editar]

  • Para multiplicar o dividir números negativos lo hacemos usando la Regla de los signos. Esta es:

Símbolos: : Multiplicación o división
: Positivo (número) : Negativo (número)

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Propiedad distributiva o sacar factor común[editar]

  • Para hacer la propiedad distributiva o querer sacar factor común debes hacerlo igual que con números naturales:

Ante potencias[editar]

Al elevar un número negativo a un determinado exponente, usamos la Regla de signos para ver si el resultado es negativo o positivo. Si es par el exponente, el número va a ser postivo. Si es impar: al contrario. Ejemplos:

Se denominan números decimales aquellos que poseen una parte decimal, en oposición a los números enteros que carecen de ella. Como

Operaciones[editar]

Suma[editar]

Resta[editar]

Multiplicación[editar]

o también

División[editar]

Otras[editar]

Potenciación[editar]

Los números romanos son los números que usaban los romanos, pero utilizaban letras. Eran 7 letras:

Reglas de los números romanos[editar]

Los romanos usaban unas normas para sumar, restar y multiplicar.

Regla de la suma[editar]

Si a una letra le pones otra de igual o menor valor a la derecha ,se suma al número mayor ese número:

Regla de la resta[editar]

Si a una letra le pones otra de menor valor a la izquierda , se resta al menor ese número:

Regla de la repetición[editar]

Las letras y se pueden repetir hasta 3 veces como máximo. Las letras y no se pueden repetir.

Regla de la multiplicación[editar]

Si a una letra le pones una raya encima, esta multiplica su valor por 1000. Así hacían los romanos para escribir números iguales o mayores a 4000, ya que no podía repetirse más de tres veces.

Más cosas[editar]

En los números romanos no habían decimales ni negativos. Solo se podían escribir números como el . Sin embargo, se podría escribir números mayores a , poniendo rayas por encima que querían decir que se multiplicaban por .

En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto denúmeros fraccionarios.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Historia[editar]

En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.

El jeroglífico de una boca abierta (

D21

) denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

|} Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

Construcción de los números racionales[editar]

  • Consideremos las parejas de números enteros donde .
  • denota a . A se le llama numerador y a se le llama denominador
  • Al conjunto de estos números se le denota por . Es decir

Definición de suma y multiplicación en Q[editar]

  • Se define la suma
  • Se define la multiplicación

Relaciones de equivalencia y orden en Q[editar]

Fracción aparente que es equivalente a dos.
  • Se define la equivalencia cuando
  • Los racionales positivos son todos los tales que
  • Los racionales negativos son todos los tales que
  • Se define el orden cuando

Notación[editar]

  • Los números de tipo son denotados por
  • Las sumas de tipo son denotadas por
  • denota a
  • Todo número se denota simplemente por .

Unicidad de un racional[editar]

Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.

Propiedades de los números racionales[editar]

El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

Propiedades de la suma y multiplicación[editar]

  • La suma en Q es conmutativa, esto es:
  • La suma en Q es asociativa, esto es:
  • La multiplicación en Q es asociativa, esto es:
  • La multiplicación en Q es distributiva, esto es:

Existencia de neutros e inversos[editar]

  • Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por .
  • Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .
  • Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
  • Cada número racional: con excepción de tiene un inverso multiplicativo tal que

Equivalencias notables en Q[editar]

  • si y
  • , a y b ≠ 0
  • , a y b ≠ 0.

Los números enteros en Q[editar]

  • Si es un número entero entonces existe el número que equivale a y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define

Otras notaciones de números en Q[editar]

Fracciones mixtas[editar]

Cada número racional se puede expresar de forma única como donde

  • A es un entero no negativo, es decir
  • es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como
  • es una unidad. Es decir

La notación es muy sencilla, las reglas son

  • denota a
  • denota a

Por ejemplo

El conjunto de los números decimales en Q[editar]

  • Un número decimal es un número racional de la forma
  • denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir
  • Expresión Racional de un número decimal: el número en base con un punto a lugares del extremo derecho, por ejemplo se denota como

Representación decimal de los números racionales[editar]

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:

  • Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:
  • Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:
  • Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera: Léase el artículo entero en Wikipedia:Número Periódico


  • Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo:
  • Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo:
  • Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre y , donde es el número escrito sin la coma, y es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que el número buscado será .

Referencias[editar]

  • Cárdenas; Raggi (1990). Álgebra Superior. México D.F. : Trillas. ISBN 968-24-3783-0. 

Véase también[editar]

Números
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Irracionales
Imaginarios

Son los números que no se pueden expresar mediante el cociente de dos números enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido.

Entre los números irracionales destacan los llamados números trascendentes. Se define un número trascendente como aquél que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros o racionales. Por tanto, podríamos clasificar los números reales en dos tipos: algebraicos y trascendentes.

En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que es trascendente sobre si no existe ningún polinomio del que es raíz ().

Los números imaginarios son aquellos que, de acuerdo a la lógica convencional, no pueden existir. Sin embargo, pueden ser el resultado de operaciones matemáticas comunes. La forma clásica de obtener un número imaginario/complejo es al obtener la raíz cuadrada de un número negativo.

Esto es debido a que, de acuerdo a lo que sabemos, los números reales elevados al cuadrado (es decir, multiplicados por sí mismos), ya sean positivos o negativos, darán como resultado un número positivo, tal como el caso de dos números positivos:

Y con el caso de dos números negativos, porque de acuerdo a las leyes de los signos, un número negativo multiplicado por un número negativo (en este caso, multiplicado por sí mismo) dará como resultado un número positivo, de forma que

Entonces, de acuerdo a esto, no existe realmente un número tal que, multiplicado por sí mismo de como resultado un número negativo. Sin embargo podemos decir que i, la letra que representa a los números imaginarios, es igual a

Y dada esta igualdad, sería correcto afirmar que

Esto porque i equivale a la raíz cuadrada de -1, entonces, desarrollando la ecuación anterior, tenemos que

Y como ya lo sabemos, la raíz cuadrada es la operación inversa al exponente cuadrado, entonces, sabiendo que un número multiplicado por sí mismo equivale a elevarlo al cuadrado, podemos expresar esto como

Por lo tanto, también podemos decir que

Un número complejo es una expresión de la forma binómica , donde a y b son números reales, siendo b el coeficiente de la parte imaginaria (i). Un ejemplo de número imaginario es 4 + 2i.

Los números complejos constituyen una extensión de los números reales, los empezó a usar Girolamo Cardano. Se les considera también como un par ordenado de números reales.

Conjugado[editar]

El conjugado de un número complejo es el mismo número, pero con la parte imaginaria cambiada de signo:

En nuestro caso, el conjugado de es . El término real no cambia de signo.

Clasificación de los números complejos: Real Complejo rectangular Complejo polar se realizan operaciones en: sume de números complejos,resta de números complejos, multiplicación o producto de números complejos y division de numero complejos

Es fácil de entender que todo número racional tiene una representación en forma de número decimal exacto o periódico. Dado que pueden construirse otros números en representación decimal con infinitas cifras decimales y sin periodo, éstos no son racionales. Se les denomina IRRACIONALES.

El conjunto de racionales e irracionales se denomina conjunto de NÚMEROS REALES. Se denota con la letra .

Los números tienen gran variedad de tipos, (poligonales, repdigit, mixtos, etc...) Aquí hay varios y diversos tipos

Números cíclicos[editar]

Se le denomina a un número "cíclico" un número en el que al multiplicarse por dígitos del 1 al 7 (en el caso de 142857) su producto sea sus cifras en orden desordenado o inverso. El más conocido y popular es el :





(857 y 142 inversos en posición)

(repdigit)


También tiene estas propiedades:





...



Además, la sucesión de 142857, ya sea en decimales o en naturales se desarrollará siempre que dividas entre 7 la unidad seguida de ceros

Números repdigit[editar]

Los números repdigit son una clase de números que todas sus cifras son iguales.

Los más famosos son: Pero no tienen por qué ser estos:

Números poligonales[editar]

Un número poligonal es aquel que con cada unidad que vale se puede formar un polígono y recomponerlo. También puede ser una potencia (en el caso de los cuadrados):

Primeros 10 números triangulares, formados en forma de triángulo equilátero:

Primeros 10 números cuadrados, cuadrados perfectos o números elevados al cuadrado:

Primeros 10 números pentagonales, recomponiendo un pentágono regular:


Números de la sucesión de Fibonacci[editar]

La sucesión de Fibonacci trata de que una serie de números se componen de modo que la suma de los dos anteriores forma al nuevo número Aquí están los primeros 15 números de la sucesión de Fibonacci (1 repetido dos veces para formar al 2):(se repite dos veces) También están los números de Tribonacci, Tetranacci, Pentanacci. Esta sucesión fue inventada por el matemático Leonardo de Pisa (conocido antiguamente como Fibonacci)