Matemáticas/Aritmética/Texto completo

La aritmética es el proceso de realizar ciertas operaciones con números o variables. Existen seis operaciones aritméticas cerradas; adición , sustracción, multiplicación, división, potencias y raíces.

Adición

$\ 1+1=2$

Para definir el número uno es una tarea bastante difícil, pero todos tenemos un buen sentido intuitivo de lo que la "unidad" es. La unidad es la propiedad de tener o pensar de una cantidad única. Por ejemplo, piensa en cuando usted tiene un dólar, un Kilogramo de papas, o un año luz. Desde aquí se puede definir recursivamente los números naturales mediante la asignación de un nuevo nombre para cada nuevo número de unidades que tenemos:

1	unidad	uno
2	1 + 1	dos
3	1 + 1 + 1	tres
⋮	⋮	⋮
n	1 + 1 + … + 1	enes

Ahora que hemos nombrado los números podemos definir además el proceso de contar el número de unidades que tenemos. Por ejemplo,

$\ 5+3=(1+1+1+1+1)+(1+1+1)=8$

Sustracción

Sustracción igualmente puede ser definida como recuento de la cantidad inicial de unidades y la eliminación de una cierta cantidad. Por ejemplo:

$\ 5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=2$

significa, teniendo 5 unidades quitarle 3 unidades, dejando un resultado de 2 unidades.

Multiplicación

La multiplicación es una forma abreviada de adición repetida. Por ejemplo:

\ 5\cdot 3=15

Lo que esto significa es sumar tres cinco veces, o sumar cinco en tres ocasiones.

\ 5\cdot 3=3+3+3+3+3=15

Tenga en cuenta que en algunas regiones y de los casos, es mejor usar el símbolo de la cruz o la letra "x" en lugar del punto o también * .

División

División es la operación opuesta a la multiplicación.

$\ {\frac {6}{3}}=2$

El problema de división superior se pregunta si seis es 1 +1 +1 +1 +1 +1, y tres es 1 +1 +1, entonces en cuántos juegos de tres podemos separar a seis? La respuesta es, por supuesto 2, ya que

$\ 6=1+1+1+1+1+1=(1+1+1)+(1+1+1)=3+3$ ; dos partes de 3 unidades.

En la división es en la primera operación en la que surge un problema. En todas las operaciones previamente definidas (adición, sustracción y multiplicación) podríamos realizar la operación en cualquier par de números que elegimos. Sin embargo, en la división no se puede dividir por cero. Mucho se dijo sobre este hecho a lo largo de la historia, e incluso a través de sus estudios en toda la matemática.

Potenciación

Las potencias son una abreviatura utilizada para la multiplicación repetida. Recuerde que cuando se introdujo por primera vez la multiplicación, era como una abreviatura de adición repetida. Por ejemplo, usted aprendió que: 4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 . La expresión "× 4", nos contó las veces que tuvimos que añadir. Los exponentes son el mismo tipo de taquigrafía para la multiplicación. Los exponentes se escriben en superíndice después de un número de tamaño normal.

Por ejemplo: 2³ = 2 x 2 x 2. El número en letra más grande se llama la base. El número en superíndice (es decir, el número más pequeño escrito anteriormente) es el exponente. El exponente nos dice cuantas veces la base se multiplica por sí mismo. En este ejemplo, la base es 2 y el exponente es 3.

La expresión 2³ se lee en voz alta como "2 elevado a la tercera potencia", o simplemente "2 al cubo".

Éstos son algunos otros ejemplos:

6 × 6 = 6² (Esto se leería en voz alta como "seis veces seis es seis elevado a la segunda potencia", o más simplemente "seis veces es seis al cuadrado.) "

7 × 7 × 7 × 7 = 7⁴ (Esto se leería en voz alta como "siete veces siete veces siete veces siete es igual a siete elevado a la cuarta potencia." No hay alternativa para la expresión elevada a la cuarta potencia. Sólo los poderes segunda y tercera que por lo general reciben abreviado porque vienen más a menudo. Cuando está claro lo que se está hablando, la gente suele dejar caer las palabras "elevadas" y "potencia" y podría simplemente decir "siete a la cuarta".

En general, un exponente de un número a la potencia de n :; a x a x a ... = $a^{n}$

La base es "a" y es multiplicado por sí mismo n veces

consejo

Cuando nos fijamos en los exponentes más adelante en este libro veremos que cambiar el tipo de número que se utiliza para el exponente empieza a tener algunos resultados muy sofisticados. Para tener una idea acerca de por qué algunas personas disfrutan de las matemáticas leer acerca de la belleza matemática y la ecuación $e^{i\pi }+1=0\,\!$ .

Raíces

Las raíces son la operación inversa para exponentes. Es fácil, aunque tal vez tedioso, para calcular los exponentes dados una raíz. por ejemplo 7*7*7*7 = 49*49 = 2401. Por lo tanto, sabemos que la raíz cuarta de 2401 es 7, y la raíz cuadrada de 2401 es 49.

¿Cuál es la raíz tercera de 2401?

Encontrar el valor de una raíz en particular es difícil. Esto se debe a la exponenciación es un tipo diferente de la función de suma, resta, multiplicación y división. Cuando nosotros, graficamos funciones veremos que los polinomios que utilizan curvas exponenciales de uso en lugar de líneas. Usando álgebra veremos que no todos estos polinomios son funciones, que saber cuándo un polinomio es una relación o una función nos puede permitir hacer ciertos tipos de supuestos, y podemos utilizar estos supuestos para construir modelos mentales de los temas que de otra manera imposible de entender.

Por ahora nos ocuparemos de raíces, al convertirlos de nuevo en exponentes.

La raíz n-ésima positiva de $x$ se representa como ${\sqrt[{n}]{x}}=r$ . Nos deshacemos de la raíz, elevando nuestra respuesta a la enésima potencia quedando $r^{n}=x.\!\,$

La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un proceso de extensión y de generalización de los números reales...

Números naturales

Los números naturales son cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjuntos^[1] así como también en operaciones elementales de cálculo.

El cero: 0, no suele considerarse número natural:

\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,\dots \}

dado que no suele empezarse a contar desde cero, pero en ocasiones se puede incluir entre los naturales:

\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\dots \}

Números enteros

Los números enteros son los que pueden representar cantidades enteras, positivas o negativas pero sin parte decimal:

\mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}

Números racionales

Los números racionales son los que pueden expresar cantidades inferiores a la unidad, los números racionales incluyen a los enteros.

Números racionales no negativos

Así si la unidad la dividimos en dos partes iguales tendremos:

que se numerarían así:

si la unidad la dividimos en tres partes iguales, tendremos:

que se numerarían así:

Números racionales con valor negativos

Así si la unidad la dividimos en dos partes iguales tendremos:

que se numerarían así:

si la unidad la dividimos en tres partes iguales, tendremos:

que se numerarían así:

Referencias

↑ Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 13. ISBN 9788421659854.

En el campo de la aritmética, cada número tiene un valor definido, así 30 siempre va a valer treinta, el símbolo del valor absoluto de un número se representa así:

$|n|$ siendo n cualquier número entero, negativo o positivo

cabe resaltar que el valor de un número, esté precedido por el signo más o el signo menos, siempre será el mismo:

$|3|=|-3|=3$

de esto se deduce que:

$|\pm \ n|=n$

$|-36|-|-11|-|11|=36-11-11=14$

$|-36+11|-|-11|-|11|$

$=36-11-11-11=3$

esto es porque el valor absoluto indica la distancia que hay en la recta numérica entre cualquier número y 0, y sea el número positivo o negativo, la distancia es la misma.

Como ya vimos en la clasificación de las cantidades, los Números Racionales, que serán estudiados a profundidad en este capítulo, se clasifican en ENTEROS y FRACCIONARIOS. Un número entero es, por ejemplo, 2, mientras que 0,5 ó 1⁄2 es un número fraccionario, que se puede escribir de esas dos maneras.

Números Enteros

Son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los opuestos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Sus operaciones básicas son, como en los otros tipos de números, suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, esta última operación se puede aplicar a un pequeño grupo de números enteros, a los cuadrados perfectos, cubos perfectos, etc.

Para sumar o restar dos números hay que tener en cuenta los signos de los mismos: para sumar dos números de iguales signos, se suman sus valores absolutos y se deja el signo que tienen; para sumar dos números con signos diferentes, se resta el valor absoluto del menor del valor absoluto del mayor y se deja el signo del mayor número.

Por ejemplo: -5-3=-8; 5+3=8; 5-3=2; -5+3=-2

La multiplicación es una suma abreviada, así 3+3+3+3+3 se puede escribir y efectuar como 3x5=15.

La división consiste en buscar un número que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo, este número buscado se llama cociente, muchas veces la división no es exacta y se obtiene un residuo. Las divisiones se pueden reprentar de las siguientes maneras:

8/2=8÷2=4, porque 4x2=8, de la misma forma: 26/13=26÷13=2, porque 2x13=26.

La potenciación es una multiplicación abreviada, consiste en dos elementos: la base, que es el factor que va a multiplicarse por sí mismo, y el exponente, que indica cuántas veces se va a multiplicar la base por sí misma: 3x3x3x3=3^4=81

La radicación, como se dijo anteriormente, es una operación que sólo puede ser aplicada a ciertos números racioneles para que el resultado siga siendo racional: si se va a aplicar raíz cuadrada, el número debe ser un cuadrado perfecto; si se va a aplicar una raíz cúbica, el número debe ser un cubo perfecto... Más adelante se explicará como se simplifican los números irracionales.

El resultado de una radicación es un número que al ser elevado al índice de la raíz, da como resultado la cantidad subradical.

√4=2; ∛27=3, cuando el índice de la raíz es 2, suele omitirse.

El ser humano siempre ha necesitado de la habilidad de contar, y además, de reunir cantidades separadas, hecho que origino la suma. Por ejemplo, cuando cogemos dos canicas por nuestra izquierda, y otras dos canicas por nuestra derecha, al unirlas (o sumarlas) originan cuatro canicas:

2+2=4

Propiedades de la suma

Las propiedades que cumplen la regla de la suma son dos: La propiedad conmutativa y la propiedad asociativa.

Propiedad conmutativa

El orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Da igual resultado sumarle 5 a 3, que sumarle 3 a 5:

$A+B=B+A$

Propiedad asociativa

Al sumar varios números, el orden no varía de cualquier modo:

$a+\left(b+c\right)=(a+b)+c=b+(a+c)$

Suma de números naturales

Véase Clasificación de los números

En la imagen se ve que las dos cantidades son números naturales. Se realiza la operación al juntar las dos cantidades dadas.

Suma de números enteros

Véase Clasificación de los números

Cuando un número entero es sumado con otro número entero el resultado será igualmente un número entero.

Existencia de un número neutro

Al haber un número neutro (un cero):

Si son más de dos cantidades: se suman todas las demás cantidades de la forma regular y se omite el cero.

Por ejemplo:

5+3+0=5+3=8

Si solo son dos (un cero y un número n): se pasa el número n y se elimina el 0.

Por ejemplo

5+0=5

Existencia de un número opuesto

Se crea cuando exista un número negativo y uno positivo se restaran y se pondrá el signo del número más grande (por valor absoluto).

Por ejemplo:

-8+2=-6

porque

8-2=6

y el número más grande es 8, en este caso.

Suma de números fraccionarios

Véase Clasificación de los números''

Los quebrados son aquellos que se representan como una fraccion o un decimal.

Con el mismo denominador

Al tener el mismo denominador se facilita la operación. Solo se sumaran directamente los numeradores. En el ejemplo se puede apreciar que:

{\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {3+2}{6}}={\frac {5}{6}}

Con diferente denominador

5 y 8

Suma de números decimales

Véase Clasificación de los números

Los números decimales son números que parten en 10 a la unidad por cada uno de los espacios ocupados a la derecha.

Se suma como cualquier otro número de varios dígitos pero tomando en cuenta el lugar del punto. Ejemplos:

2.3+5.4=7.7

2.4+5.67=8.07

Nota en esta ocasión se agrega un 0 imaginario a la 2.4 quedando 2.40

La suma de fracciones es una de las operaciones básicas que puede efectuarse sobre fracciones.Lo primero que se hace es mirar las 2 de abajo y sumarala luego hacemos lo mismo con la otra y yA.

Suma de fracciones homogéneas

Para sumar dos o más fracciones homogéneas, se suman los numeradores y se deja el denominador común.

Ejemplo:

{\frac {4}{5}}+{\frac {2}{5}}={\frac {6}{5}}

Suma de fracciones heterogéneas: Forma 1

La suma de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador por denominador común y dividido por denominador.
Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo denominador).

Suma de fracciones de distinto denominador

Ejemplo:

{\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}

1. Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.), por lo que se tiene que $mcm(6,9)=18\,\!$

2. Se calculan los numeradores.

Numerador de la primera fracción: ${\frac {1\cdot 18}{6}}=3\,\!$
Numerador de la segunda fracción: ${\frac {4\cdot 18}{9}}=8\,\!$
La suma se reduce a las siguientes fracciones:
${\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}$

3. Se suman los numeradores:

{\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}={\frac {11}{18}}

Se calcula el m.c.m., que en este caso es 18. Se ponen las fracciones con tal mcm como denominador. Acto seguido, se divide el mcm en el denominador inicial y el resultado se multiplica en el numerador inicial, y ya tenemos el numerador de la fracción cuyo denominador es el mcm.

Suma de fracciones heterogéneas: Forma 2

Ejemplo:

{\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}

Se resolvería de la sig. forma:

{\frac {1\cdot 9+6\cdot 4}{6\cdot 9}}={\frac {33}{54}}

La fracción resultante es ${\frac {33}{54}}$ y los ${\frac {11}{18}}$ es una reducción ya que si observamos el numerador y el denominador son divisibles por tres, de ahí resulta:

$={\frac {11}{18}}$

El método es multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda, posteriormente se suma la multiplicación del denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción y todo eso dividido por la multiplicación de los dos denominadores.

Aquí no calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

Véase también

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto. Es el contrario de la suma, ya que esta añade y la resta quita. En la resta hay dos números al primero se llama minuendo y la segundo sustraendo.

Ejemplo:

36－5＝31

36－11＝25

36－5－11＝36－11－5＝20

Intervenciones de la resta

En la propiedad distributiva de la multiplicación

$5*(7.2-2.2)=5*7.2-5*2.2=36-11=25$

$-$ es el signo de la resta, por lo que interviene.

Propiedades

La resta no tiene propiedades, pero está en el apartado anterior, que interviene en la propiedad conmutativa de la multiplicación.

La resta de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que es la diferencia entre ambas.

Resta de fracciones homogéneas

Para restar dos ó más fracciones homogéneas, se restan los numeradores y se deja el denominador común y simplificamos

1.Ejemplo:

{\frac {7}{8}}-{\frac {3}{8}}={\frac {7-3}{8}}={\frac {4}{8}}

La resta de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:

1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:

{\frac {5}{4}}-{\frac {1}{2}}

mínimo común múltiplo de 4 y 2:

{\begin{array}{c}{\begin{array}{r|r}4&2\\2&2\\1&\end{array}}\\4=2^{2}\end{array}}\quad {\begin{array}{c}{\begin{array}{r|r}2&2\\1&\end{array}}\\2=2\end{array}}

mcd(4,2)=4

2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (5) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (4)

Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)

{\frac {5}{4}}-{\frac {1}{2}}={\frac {5}{4}}-{\frac {2}{4}}

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

{\frac {5}{4}}-{\frac {2}{4}}={\frac {5-2}{4}}={\frac {3}{4}}

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

Propiedades

Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

$12*7=7*12=84$

Asociativa

$4*(1*3)=(4*1)*3=(4*3)*1=12$

Distributiva

$5*(4+9)=5*4+5*9=65$

En las potencias

Si multiplicas un mismo número por el mismo se llama potencia.

$9*9*9=729$

El exponente es un número pequeño que indica por cuantas veces lo has multiplicado.

$7*7*7=343=7^{3}$

Multiplicación y potenciación del número 10

El 10, por ejemplo, si lo elevas al cubo tiene 3 ceros:

$10^{3}=1000$ , mil tiene tres ceros

Pero si se eleva al exponente negativo:

$10^{-5}=0,00001$

El exponente negativo indica la cantidad de números decimales

Reglas

Un número elevado al exponente negativo jamás dará número decimal.
El orden de los factores no altera el producto
En las operaciones combinadas, las multiplicaciones deben hacerse primero para que el resultado esté bien.

La multiplicación de fracciones es una operación aritmética, en la cual partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera que será el producto de las anteriores.

Para multiplicar dos fracciones numéricas o algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo así el numerador y el denominador de la fracción producto.

{\frac {3}{5}}\times {\frac {9}{10}}={\frac {3\times 9}{5\times 10}}={\frac {27}{50}}

{\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}

Para resolver productos de fracciones debemos simplificar y posteriormente multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador.

Véase también

La división es una de las operaciones aritméticas básicas. Para efectuarla se debe cumplir la condición de que:

${\frac {a}{b}}=c$

y que

$(b)(c)=a$

Por ejemplo, sustituyendo los valores de a y b con los números 6 y 3 respectivamente, tenemos que

${\frac {6}{3}}=2$

cumpliéndose aquí la condición de que el producto de b y c equivale al valor de a. Cabe decir que no existe un resultado para la división por cero, por lo tanto, un error muy común es suponer que la división por cero es una operación matemática válida.

La división de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos fracciones se obtiene una tercera, que es la división de la primera entre la segunda, se puede realizar siguiendo tres métodos que, lógicamente, darán el mismo resultado:

Multiplicar de forma cruzada

Multiplicar de "forma cruzada" las fracciones, es decir, multiplicar numerador por denominador, y denominador por numerador:

Ejemplo:

{\frac {2}{5}}\div {\frac {3}{8}}={\frac {2\cdot 8}{5\cdot 3}}={\frac {16}{15}}

Fracciones

"Invertir" la segunda fracción y multiplicar "directamente", es decir, numerador por numerador, y denominador por denominador:

Ejemplo:

{\frac {8}{9}}\div {\frac {5}{4}}={\frac {8}{9}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {8\cdot 4}{9\cdot 5}}={\frac {32}{45}}

Representar como fracción de fracciones

Se representa una fracción en el numerador y la segunda en el denominador, se simplifica en otra fracción, donde se divide el producto de extremos entre el producto de medios:

Ejemplo:

{\frac {3}{2}}\div {\frac {5}{7}}={\cfrac {\;{\cfrac {3}{2}}\;}{\;{\cfrac {5}{7}}\;}}={\frac {3\cdot 7}{2\cdot 5}}={\frac {21}{10}}

Una vez terminado el ejercicio hay que simplificar, si es posible.

Véase también

La potenciación es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un número por sí mismo las veces que nos lo indique el exponente. Es decir: tomar dicho número como factor tantas veces como lo indique el exponente.( obviamente esto es posible y cierto solamente cuando el exponente es un número natural)

Por ejemplo, la ecuación $a^{3}$ donde a es un número cualquiera, equivale a la ecuación

a^{3}=a\cdot a\cdot a

es decir que cumplimos la condición de multiplicar por sí mismo nuestro número (a) tres veces, tal como lo indicó el exponente (3)

Leyes de los Exponentes

De acuerdo a las leyes básicas de los exponentes, sabemos que las operaciones como la multiplicación de términos homogéneos (en nuestros ejemplos el término será x) con exponentes diferentes serán:

Multiplicación de Exponentes

Dado el caso de la multiplicación de dos números iguales (representados por la literal x) con exponentes diferentes, tenemos que:

2^{n}\cdot 2^{m}=2^{n+m}

Por ejemplo, en la operación:

2^{2}\cdot 2^{3}=2^{2+3}=2^{5}

debido a que:

2^{2}=2\cdot 2

2^{3}=2\cdot 2\cdot 2

por lo tanto, la operación de arriba se puede expresar como

2^{2}\cdot 2^{3}=(2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2\cdot 2)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{5}

División de exponentes

Dado el caso de la división de dos números iguales (representados por la literal x) con exponentes diferentes, tenemos que

{\frac {x^{m}}{x^{n}}}=x^{m-n}

Por ejemplo, en la ecuación

{\frac {x^{3}}{x^{2}}}=x^{3-2}=x

Esto porque, dicho de otra forma, podemos decir que la ecuación anterior es igual a la siguiente ecuación

{\frac {x^{3}}{x^{2}}}={\frac {x\cdot x\cdot x}{x\cdot x}}={\frac {x\cdot {\cancel {x}}\cdot {\cancel {x}}}{{\cancel {x}}\cdot {\cancel {x}}}}=x

Entonces, de acuerdo a la ley de las divisiones, en donde teniendo términos similares como divisores y como dividendos de una ecuación, dichos términos iguales se anulan, y siguiendo esta lógica, tenemos que dos de los términos de arriba de la división (dividendos) se anulan con los dos términos de abajo de la división (divisores). Quedando como resultado solamente la x restante del dividendo.

En el caso de tener como divisor un exponente mayor que el exponente del dividendo, tenemos el caso de un exponente negativo, el cual se puede expresar como

{\frac {x^{2}}{x^{4}}}=x^{2-4}=x^{-2}

Y expresado en forma de fracción, el número $x^{-2}$ equivale a

x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}

Esto porque, de igual forma que se anulan los dos términos en el primer ejemplo, aquí se anulan todos los términos de x que se encuentran en el dividendo, de forma que

{\frac {x^{2}}{x^{4}}}={\frac {1}{x^{2}}}

Potenciación del 10

El número 10, al elevarlo a cualquier número, su exponente indica el número de ceros que tiene ese número:

10^{6}=1000000

Como veréis esa es la norma de elevar 10 a cualquier número.

Clasificación de los números

Otras categorías

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,

Ejemplo de suma:

(4+2i)+(3+2i)=4+2i+3+2i=4+3+2i+2i=(4+3)+(2+2)i=

el resultado es 7 + 4i

Resta

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

(36+36i)-(11+11i)=(36-11)+(36i-11i)=25-25i\,

6(6+6i)-(5+5i)=(36-5)+(36i-5i)=31+31i\,

Multiplicación

Forma Rectangular

La multiplicación de forma rectángular se compone de un binomio al cuadrado:

(a+bi)\cdot (c+di)=(ac+adi+bic+bdi^{2})=((ac-bd)+(ad+bc)i)

Ya que $i^{2}=-1$

Forma Polar

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

z_{1}z_{2}=rse^{\mathrm {i} (\phi +\psi )}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=re^{\mathrm {i} \phi }se^{\mathrm {i} \psi }

División

Forma Rectangular

La división en forma rectangular se compone de una racionalización:

{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={((ac+bd)+(bc-ad)i) \over c^{2}+d^{2}}=\left({(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\right)

Forma Polar

La división de números complejos es recomendable con la notación polar:

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}

Potencias

Forma Rectangular

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad $i^{2}=-1$ :

(6-3i)^{2}=6^{2}-2\cdot 6\cdot 3i+(3i)^{2}=36-36i+9i^{2}=36-36i+9(-1)=36-36i-9=27-36i\,.

esto es para explicar el proceso de potenciacion

Forma Polar

Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica, $z=r(\cos \phi +i\operatorname {sen} \phi )$ , según el Teorema de Moivre:

$z^{n}=r^{n}[\cos n\phi +i\operatorname {sen} n\phi ]$ .

Entero negativo

$z^{-n}=\left({\frac {1}{z^{n}}}\right)$ , donde el entero $n\geq 2$

Exponente racional. La ecuación

$z=\alpha ^{\frac {p}{q}}$ significa $z^{q}=\alpha ^{p}$ , en donde se toman en cuenta todas las soluciones z posibles. Se supone que p y q son primos entre sí.

. Se deduce

$|z|^{q}=|\alpha |^{p}$ y $q\times \arg z=p\times \arg \alpha +2k\pi$

. En consecuencia

$|z|=|\alpha |^{\frac {p}{q}}$ y $\arg z={\frac {p}{q}}\times \arg \alpha +{\frac {2k\pi }{q}}$

considerando $k=0,1,..,q-1$ , se obtienen $q$ resultados.

Exponente complejo. Si z y α son números complejos entonces $z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}=\exp(\alpha \times \ln z)$

Un ejemplo sencillo: $(-2)^{\sqrt {2}}=2^{\sqrt {2}}[\cos(2k+1)\pi {\sqrt {2}}+i\operatorname {sen}(2k+1)\pi {\sqrt {2}}]$

Raíces

Para obtener las $n$ raíces de un número complejo, se aplica:

z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]

donde $k$ es un número entero que va desde $0$ hasta $n-1$ , que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las $n$ raíces diferentes de $z$ .

Enlaces externos

De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.

Una operación combinada es un conjunto de operaciones distintas y de diversos tipos (multiplicación, división, potenciación, etc...). Por eso se llaman así (se combinan).

Ejemplo: $5*3^{2}+5*9$

Pueden llevar

Estas operaciones pueden incorporar un paréntesis () o un corchete [[]] ,cualquier operación que no se repita (sin ser cualquiera de las tres propiedades (conmutativa, distributiva, asociativa)

Orden a seguir en operaciones combinadas (también llamado jerarquía de las operaciones)

En las operaciones combinadas, debes seguir un orden que te ayudará a no equivocarte, ya que un mínimo fallo puede confundir:

-Operaciones más complejas primero: log $3*6+2-8$

-Potencias y raíces cuadradas segundo: $45^{5}*6-81$

-Multiplicaciones y divisiones tercero (en el orden que están de izquierda a derecha): $61*5:4-32:32$

-Sumas y restas de último (de izquierda a derecha): $54+2-8+10$

Introducción.

En el siglo III a.c. Eratótenes ideó la primera tabla para saber si un número es primo o compuesto.
Se denomina Criba por el original método que siguió para construirla; escribió en una lámina metálica los primeros cuatro mil números naturales, y luego hizo agujeros sobre los que eran múltiplos de 2, 3, etc. eliminando de esta manera los números compuestos. Los números que quedaban sin agujerear resultaban ser los primos.
La lámina al final de la tarea presenta muchos agujeros por lo que parece un colador o criba, de ahí su nombre.

Criba de Eratóstenes

Algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N.
Se forma una tabla con todos los números tachando los números que son primos de la siguiente manera.
Se forma una tabla con todos los números naturales desde 2 hasta N.

{\begin{array}{cccccccccc}&&2&3&4&5&6&7&8&9\\10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\20&21&22&23&24&25&26&27&28&29\\30&31&32&33&34&35&36&37&38&39\\40&41&42&43&44&45&46&47&48&49\\50&51&52&53&54&55&56&57&58&59\\60&61&62&63&64&65&66&67&68&69\\70&71&72&73&74&75&76&77&78&79\\80&81&82&83&84&85&86&87&88&89\\90&91&92&93&94&95&96&97&98&99\\\end{array}}

Comenzando con el 2, y tachando todos sus múltiplos siguientes. Cada vez que se encuentre un número entero que no ha sido tachado, se señala como primo y se procede a tachar todos sus múltiplos siguientes. El proceso termina cuando del cuadrado del mayor número confirmado como primo supera a N.

{\begin{array}{cccccccccc}&&2&3&{\cancel {4}}&5&{\cancel {6}}&7&{\cancel {8}}&{\cancel {9}}\\{\cancel {10}}&11&{\cancel {12}}&13&{\cancel {14}}&{\cancel {15}}&{\cancel {16}}&17&{\cancel {18}}&19\\{\cancel {20}}&{\cancel {21}}&{\cancel {22}}&23&{\cancel {24}}&{\cancel {25}}&{\cancel {26}}&{\cancel {27}}&{\cancel {28}}&29\\{\cancel {30}}&31&{\cancel {32}}&{\cancel {33}}&{\cancel {34}}&{\cancel {35}}&{\cancel {36}}&37&{\cancel {38}}&{\cancel {39}}\\{\cancel {40}}&41&{\cancel {42}}&43&{\cancel {44}}&{\cancel {45}}&{\cancel {46}}&47&{\cancel {48}}&{\cancel {49}}\\{\cancel {50}}&{\cancel {51}}&{\cancel {52}}&53&{\cancel {54}}&{\cancel {55}}&{\cancel {56}}&{\cancel {57}}&{\cancel {58}}&59\\{\cancel {60}}&61&{\cancel {62}}&{\cancel {63}}&{\cancel {64}}&{\cancel {65}}&{\cancel {66}}&67&{\cancel {68}}&{\cancel {69}}\\{\cancel {70}}&71&{\cancel {72}}&73&{\cancel {74}}&{\cancel {75}}&{\cancel {76}}&{\cancel {77}}&{\cancel {78}}&79\\{\cancel {80}}&{\cancel {81}}&{\cancel {82}}&83&{\cancel {84}}&{\cancel {85}}&{\cancel {86}}&{\cancel {87}}&{\cancel {88}}&89\\{\cancel {90}}&{\cancel {91}}&{\cancel {92}}&{\cancel {93}}&{\cancel {94}}&{\cancel {95}}&{\cancel {96}}&97&{\cancel {98}}&{\cancel {99}}\end{array}}

Los números primos menores de 100 son:

\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97\}

El número uno: (1), no se considera primo.

[1] Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 13. ISBN 9788421659854.

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