Binario

Conversión entre potencias enteras de dos:

${\begin{array}{ll|rrrrrrrrrrrrrrrr}bit&base-2&0000&0001&0010&0011&0100&0101&0110&0111&1000&1001&1010&1011&1100&1101&1110&1111\\Nibble&base-4&00&01&02&03&10&11&12&13&20&21&22&23&30&31&32&33\\Byte&base-8&00&01&02&03&04&05&06&07&10&11&12&13&14&15&16&17\\hexade.&base-16&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&A&B&C&D&E&F\\\end{array}}$

Conversión entre binario y decimal

Decimal a binario

Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.
A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Este será el número binario que buscamos.

Ejemplo: Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:

131 dividido entre 2 da 65 y el residuo es igual a 1
 65 dividido entre 2 da 32 y el residuo es igual a 1
 32 dividido entre 2 da 16 y el residuo es igual a 0
 16 dividido entre 2 da 8  y el residuo es igual a 0
  8 dividido entre 2 da 4  y el residuo es igual a 0
  4 dividido entre 2 da 2  y el residuo es igual a 0
  2 dividido entre 2 da 1  y el residuo es igual a 0
  1 dividido entre 2 da 0  y el residuo es igual a 1
             -> Ordenamos los residuos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011

Ejemplo: Transformar el número decimal 100 en binario.

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después solo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

Ejemplo

100|0
 50|0
 25|1   --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2
 12|0
  6|0
  3|1
  1|1   -->   $(100)_{10}=(1100100)_{2}$

Ejemplo^[1]

Para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una serie de divisiones que arrojarán los siguientes resultados:

77 / 2 = 38  Residuo ==>1
38 / 2 = 19  Residuo ==> 0 
19 / 2 =  9  Residuo ==> 1
 9 / 2 =  4  Residuo ==> 1
 4 / 2 =  2  Residuo ==> 0
 2 / 2 =  1  Residuo ==> 0
 1 / 2 =  0  Residuo ==> 1

Ahora tomando los Residuos en orden inverso el resultado es:

En orden inverso: 1001101(binario)

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 2⁸=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

Ejemplo

  2⁰=   1|1
  2¹=   2|1
  2²=   4|1
  2³=   8|0
  2⁴=  16|1
  2⁵=  32|0
  2⁶=  64|0
  2⁷= 128|1            $128+16+4+2+1=(151)_{10}=(10010111)_{2}$

Decimal (con decimales) a binario

Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).
Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte decimal del resultado).
Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.
Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.

Ejemplo

0,3125 (decimal)   => 0,0101 (binario).
Proceso:
0,3125 * 2 = 0,625 => 0
0,625  * 2 = 1,25  => 1
0,25   * 2 = 0,5   => 0
0,5    * 2 = 1     => 1 
En orden: 0101     -> 0,0101 (binario)

Ejemplo

0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario). 
Proceso: 
0,1 * 2 = 0,2 ==> 0
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0
0,4 * 2 = 0,8 ==> 0
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0  <--se repiten las cuatro cifras, periódicamente
0,4 * 2 = 0,8 ==> 0  <-
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1  <-
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1  <- ...
En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico)

Ejemplo^[2]

Convertir 0.2 (decimal) a binario. 
Proceso: 
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0
0.4 * 2 = 0.8 ==> 0
0.8 * 2 = 1.6 ==> 1
0.6 * 2 = 1.2 ==> 1
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0

como se repiten los valores indefinidamente, el resultado es:

En orden: 0.001100110011...(decimal)

Ejemplo

5.5 = 5,5
5,5 (decimal)   => 101,1 (binario).
Proceso:
5 => 101
0,5 * 2 = 1 => 1
En orden: 1 (un solo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario)

Ejemplo

6,83 (decimal)   => 110,110101000111 (binario).
Proceso:
6 => 110
0,83 * 2 = 1,66 => 1
0,66 * 2 = 1,32 => 1
0,32 * 2 = 0,64 => 0
0,64 * 2 = 1,28 => 1
0,28 * 2 = 0,56 => 0
0,56 * 2 = 1,12 => 1
0,12 * 2 = 0,24 => 0
0,24 * 2 = 0,48 => 0
0,48 * 2 = 0,96 => 0
0,96 * 2 = 1,92 => 1
0,92 * 2 = 1,84 => 1
0,84 * 2 = 1,68 => 1
En orden: 110101000111 (binario)
Parte entera: 110 (binario)
Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binario)

Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

Comience por el lado derecho del número en binario. Multiplique cada dígito por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 2⁰).
Después de realizar cada una de las multiplicaciones, súmelas todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

(Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)

${\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+0+1=53$

${\overset {7}{\mathop {1} }}\,{\overset {6}{\mathop {0} }}\,{\overset {5}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {1} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=128+0+0+16+0+4+2+1=151$

${\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {1} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+2+1=55$

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Ejemplo

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:

${\overset {64}{\mathop {1} }}\,{\overset {32}{\mathop {0} }}\,{\overset {16}{\mathop {1} }}\,{\overset {8}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,_{2}$

entonces se suman los números 64, 16 y 2:

${\overset {64}{\mathop {1} }}\,{\overset {32}{\mathop {0} }}\,{\overset {16}{\mathop {1} }}\,{\overset {8}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,_{2}=64+16+2=82$

Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:

${\begin{aligned}&{\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,,{\overset {-1}{\mathop {1} }}\,{\overset {-2}{\mathop {0} }}\,{\overset {-3}{\mathop {1} }}\,=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=\\&=32+16+0+4+0+1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {0}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}=32+16+0+4+0+1+0,5+0+0,125=53,625\\\end{aligned}}$

Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)

1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número deberá ser multiplicado por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1, 2^-1).

2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos

0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:

1 * 2 elevado a -1 = 0,5
0 * 2 elevado a -2 = 0
1 * 2 elevado a -3 = 0,125
0 * 2 elevado a -4 = 0
0 * 2 elevado a -5 = 0
1 * 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,640625

0,110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:

1 * 2 elevado a -1 = 0,5
1 * 2 elevado a -2 = 0,25
0 * 2 elevado a -3 = 0
1 * 2 elevado a -4 = 0,0625
1 * 2 elevado a -5 = 0,03125
1 * 2 elevado a -6 = 0,015625
La suma es: 0,859375

Conversión entre sistema binario y octal

Sistema binario a octal

Debido a que el sistema octal tiene como base 8, que es la tercera potencia de 2, y que dos es la base del sistema binario, es posible establecer un método directo para convertir de la base dos a la base ocho, sin tener que convertir de binario a decimal y luego de decimal a octal. Este método se describe a continuación:

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario	000	001	010	011	100	101	110	111
Número en octal	0	1	2	3	4	5	6	7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

Ejemplos

110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:

111 = 7
110 = 6
Agrupe de izquierda a derecha: 67

11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:

111 = 7
001 = 1
11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3
Agrupe de izquierda a derecha: 317

1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:

011 = 3
000 = 0
1 entonces agregue 001 = 1
Agrupe de izquierda a derecha: 103

Si el número binario tiene parte decimal, se agrupa de tres en tres desde el punto decimal hacia la derecha siguiendo los mismos criterios establecidos anteriormente para números enteros. Por ejemplo:

0.01101 (binario) = 0.32 (octal) Proceso: 011 = 3 01 entonces agregue 010 = 2 Agrupe de izquierda a derecha: 32 Agregue la parte entera: 0.32

Octal a binario

Cada dígito octal se convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden.

Ejemplo

247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

Conversión entre binario y hexadecimal

Binario a hexadecimal

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Número en hexadecimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

Ejemplos

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:

1010 = A
1011 = B
1 entonces agregue 0001 = 1
Agrupe de derecha a izquierda: 1BA

11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:

0101 = 5
1111 = F
110 entonces agregue 0110 = 6
Agrupe de derecha a izquierda: 6F5

Hexadecimal a binario

Note que para pasar de Hexadecimal a binario, se remplaza el número Hexadecimal por el equivalente de 4 bits, de forma similar a como se hace de octal a binario.

Octal

Métodos de conversión octales

Decimal

Para poder convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente sucesivamente por 8 hasta obtener residuo 0, luego los restos de las divisiones leídos en orden inverso indican el número en octal.

Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.

Binario

Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

Hexadecimal

Se procede a convertir en sistema binario ,y se agarran de 4 bits en 4 comenzando desde la derecha hacia la izquierda y se anotan los números.

Hexadecimal

Hexadecimal a Decimal

Método de Intermedio Binario

Ejemplo

$FC2_{16}$

1.-Se convierte el número hexadecimal a binario

$F=1111C=11002=0010$

$111111000010_{2}$

2.-Se hace la misma conversión de binario a decimal

$(1*2^{11})+(1*2^{10})+(1*2^{9})+(1*2^{8})+(1*2^{7})+(1*2^{6})+(1*2^{1})=4034$

Método de potencias de 16

Ejemplo

$A3F5_{16}$

1.-Se cuenta el número de digitos que hay en el número hexadecimal de derecha a izquierda.

En $A3F5_{16}$ tenemos 4 dígitos

2.-Se pone cómo base el número 16 en cada dígito, y se ponen cómo exponentes el número cero en adelante de derecha a izquierda igualemtne.

$16^{3}+16^{2}+16^{1}+16^{0}$

3.-Se convierten las letras A,B,C,D,E y F en 10,11,12,13,14 y 15.

4.-Se procede a hacer los productos y sumas correspondientes

$(10*16^{3})+(3*16^{2})+(15*16^{1})+(5*16^{0})=(10*4096)+(3*256)+(15*16)+(5*1)=41973$

Decimal a Hexadecimal

Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal


0_hex	=	0_dec	=	0_oct	0	0	0	0
1_hex	=	1_dec	=	1_oct	0	0	0	1
2_hex	=	2_dec	=	2_oct	0	0	1	0
3_hex	=	3_dec	=	3_oct	0	0	1	1

4_hex	=	4_dec	=	4_oct	0	1	0	0
5_hex	=	5_dec	=	5_oct	0	1	0	1
6_hex	=	6_dec	=	6_oct	0	1	1	0
7_hex	=	7_dec	=	7_oct	0	1	1	1

8_hex	=	8_dec	=	10_oct	1	0	0	0
9_hex	=	9_dec	=	11_oct	1	0	0	1
A_hex	=	10_dec	=	12_oct	1	0	1	0
B_hex	=	11_dec	=	13_oct	1	0	1	1

C_hex	=	12_dec	=	14_oct	1	1	0	0
D_hex	=	13_dec	=	15_oct	1	1	0	1
E_hex	=	14_dec	=	16_oct	1	1	1	0
F_hex	=	15_dec	=	17_oct	1	1	1	1

↑ ING. EVA VIVEROS ZENTENO. «Matemáticas Discretas». Consultado el 14 de marzo de 2106.
↑ Nieves, Antonio (1999). Métodos Numéricos.. Continental, S.A de C.V.

[:0-1] ING. EVA VIVEROS ZENTENO. «Matemáticas Discretas». Consultado el 14 de marzo de 2106.

[2] Nieves, Antonio (1999). Métodos Numéricos.. Continental, S.A de C.V.

[1]

[2]