Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 106b

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Mathematik auf Deutsch - 56

BM2751 - BM2760[editar]

BM2751

Gegeben sind die Punkte (5; 1) und (0; -3). Finde die Gleichung der Geraden!
Es ist nicht zwingend, aber es hilft, wenn wird Punkt als nehmen, da er eine Null enthält. Folglich ist dann der Punkt unser .
1. Lösung BM2751
2. Lösung BM2751
Wir setzen m und Punkt 1 ein.
|| da wir den Punkt genommen haben, der eine Null enthält, ist das Ausmultiplizieren hier ganz einfach, den
Überprüfe das Ergebnis rechnerisch mit beiden Punkten!
3. Lösung BM2751
Einsetzen in
1. Test: Punkte: (5; 1) einsetzen:
Stimmt!
2. Test: Punkte: (0; -3) einsetzen:
Stimmt!
Zeichne die Gerade an Hand der ermittelten Geradengleichung! Kontrolliere erst danach, ob die beiden Punkt auf der so gezeichneten Geraden liegen.
4. Lösung BM2751
Bitte nicht erst die Punkte eintragen und dann die Gerade durch diese Punkte ziehen, sondern die gerade mittels der Gleichung zeichnen. Und erst danach die Punkte eintragen, um zu überprüfen, ob sie auch wirklich auf der Geraden liegen.
Deutsch Koordinatensystem 2021-02-21 01.svg


BM2752

Gegeben sind die Punkte (1; -1) und (-2; 0). Finde die Gleichung der Geraden!
Weil der Punkt eine Null enthält nehmen wir ihn als . Folglich ist dann der Punkt unser .
1. Lösung BM2752
2. Lösung BM2752
Wir setzen m und Punkt ein.
Überprüfe das Ergebnis rechnerisch mit beiden Punkten!
3. Lösung BM2752
Einsetzen in
1. Test: Punkte: (1; -1) einsetzen:
Stimmt!
2. Test: Punkte: (-2; 0) einsetzen:
Stimmt!
Zeichne die Gerade an Hand der ermittelten Geradengleichung! Kontrolliere erst danach, ob die beiden Punkt auf der so gezeichneten Geraden liegen.
4. Lösung BM2752
Bitte nicht erst die Punkte eintragen und dann die Gerade durch diese Punkte ziehen, sondern die gerade mittels der Gleichung zeichnen. Und erst danach die Punkte eintragen, um zu überprüfen, ob sie auch wirklich auf der Geraden liegen.
Deutsch Koordinatensystem 2021-02-21 02.svg

BM2753

Lineare Gleichungssysteme (das LGS)
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehr als einer Geraden im gleichen Koordinatensystem.
Bei 2 Linien im gleichen Koordinatensystem unterscheiden wir dabei prinzipielle 3 mögliche Fälle:
Fall 1) Die beiden Geraden kreuzen sich NICHT.
Fall 2) Die beiden Geraden kreuzen sich.
Fall 3) Die beiden Geraden sind identisch, sie liegen also aufeinander.
1.) LGS mit mit zwei Geraden, die parallel zueinander liegen
2.) LGS mit mit zwei Geraden, die sich überkreuzen
3.) LGS mit mit zwei Geraden, die sich vollständig überdecken
Wir werden drei Lösungsmöglichkeiten für Lineare Gleichungssysteme behandeln.
a) grafisches Lösungsverfahren (Diese ist in manchen Fällen aufwendig und ungenau, ist aber sehr anschaulich und hilft uns bei den anderen beiden Lösungsmethoden.)
b) Einsetzungsverfahren (und eine Unterform: das Gleichsetzungsverfahren
c) Additionsverfahren


BM2754

Kreuzungspunkt der beiden Geraden
Nicht immer kann man die Koordinaten des Kreuzungspunktes so exakt ablesen. Beispiel: x = 3/7; y = 21/18
Das grafische Lösungsverfahren gibt uns eine gute Vorstellung dafür, was wir später mit den rein rechnerischen Verfahren - dem Einsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren - zur Lösung eines LGS machen.
Bei der Lösung eines Linearen Gleichungssystems suchen wir den Kreuzungspunkt der beiden Geraden - wenn es ihn denn gibt.
Dieser Kreuzungspunkt ist der einzige Punkt, den beide Geraden gemeinsam haben. Dieser Punkt gehört zu der einen Geraden, aber auch gleichzeitig zu der anderen Geraden. Wenn man diesen Punkt, genauer: die x- und y-Koordinaten dieses Punktes in die Geradengleichung einsetzt, dann ist sie wahr - mit anderen Worten: beim Testen ist das Ergebnis, dass die Gleichung auf beiden Seiten gleich ist. Das ist der einzige Punkt, bei dem alle beiden Geradengleichungen wahr sind. Alle anderen Punkte in diesem Koordinatensystem erfüllen entweder gar keine der Gleichungen oder nur eine der beiden Gleichungen. Der Kreuzungspunkt ist der einzige Punkt, der in beiden Gleichungen funktioniert. Durch Einsetzen dieses Punktes erhalten wir eine wahre Gleichung, einen wahren mathematischen Ausdruck. Der Punkt mach gleichzeitig beide Gleichungen wahr. Nur dieser eine Punkt macht gleichzeitig beide Gleichungen wahr
Die Gerade ist nur eine andere Darstellungsform für die lineare Gleichung ( = Geradengleichung).
Unser Ziel ist also diesen Schnittpunkt zu finden.
Das ist Fall 2): Die beiden Geraden kreuzen sich.


BM2755

LGS OHNE Lösung
Nicht jedes LGS hat eine Lösung.
Wenn die beiden Geraden parallel zueinander verlaufen, dann kreuzen sie sich nicht. Es gibt keinen Schnittpunkt. Es gibt keinen Punkt, der gleichzeitig zu beiden Geraden gehört. Es gibt keine Lösung für dieses LGS.
Das ist Fall 1): Die beiden Geraden kreuzen sich NICHT.


BM2756

zwei deckungsgleiche Geraden
Im Fall 3, wenn die beiden Geraden identisch sind, also aufeinander liegen, dann haben sie praktisch JEDEN Punkt gemeinsam. Laienhaft gesprochen: Sie kreuzen sich an jedem Punkt.
Deshalb haben wir hier unendlich viele Punkte, also unendlich viele Lösungen.
---
Der Fall 3 betrifft Geraden, die komplett aufeinander liegen. Wenn sie durch identische Gleichungen gegeben sind springt das natürlich ins Auge. Wenn sich die Gleichungen aber durch irgendwelche Tricks unterscheiden, dann müssen wir erst mal rechnen. Natürlich lassen sich die beiden Gleichungen letztendlich ineinander umwandeln. Auch wenn uns die Gleichungen durch Punkte gegeben werden, ist oft nicht gleich erkennbar, dass es sich um identische Geraden handelt.
Spätestens wenn wir die beiden Geraden zeichnen, springt uns ins Auge, dass die beiden Linien praktisch identisch sind.


BM2757

Ein Lineares Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei Geradengleichungen. Diese Geradengleichungen können durch zwei Geraden in einem Koordinatensystem repräsentiert werden. Das ist meist viel anschaulicher, als die nackten Gleichungen.
Die graphische Repräsentation einer Gleichung nennen wir GRAPH. Bitte nicht mit "Graf" verwechseln!
Bisher kennen wir nur lineare Gleichungen, bei denen der Graph eine Gerade ist, also eine Linie. Daher auch der Name lineare Gleichung. Später werden wir Gleichungen kennenlernen, bei denen der Graph durchgebogen ist oder eine gleichmäßige oder ungleichmäßige Welle darstellt.
---
Zwei Geraden können sich nicht in 2 Punkten kreuzen, denn es sind Geraden.
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Fall 1) Die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander. Folglich kreuzen sie sich NICHT. - Es gibt KEINE Lösung.
Fall 2) Die beiden Geraden kreuzen sich in einem Punkt. - Es gibt EINE Lösung.
Fall 3) Die beiden Geraden sind identisch, sie liegen also aufeinander. Die beiden Geraden liegen komplett aufeinander. Sie haben also alle Punkte der Geraden gemeinsam. Es handelt sich dabei um unendlich viele Punkte. - Es gibt viele Lösungen. Es gibt UNENDLICH VIELE Lösungen.


BM2758

Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung y = 3x - 1
Welche Steigung hat der Graph dieser Gleichung?
Das sieht doch ein Blinder mit einem Krückstock!
1. Lösung BM2758
m = 3
Welchen Wert hat der y-Achsenabschnitt?
2. Lösung BM2758
-1
Die y-Achse wird bei -1 geschnitten. Also bei den Koordinaten (0; -1)
Damit können wir nun ganz einfach den Graphen zeichnen. Also bitte!
Zeichne den Graphen der Gleichung y = 3x - 1 !
3. Lösung BM2758
y = 3x - 1


BM2759

Bestimme für die Gleichung y = 3x - 1 den x-Wert für y = 2 !
Bisher haben wir meist aus einem gegebenen x-Wert einen gesuchten y-Wert ermittelt. Das ist die "normale Richtung".
Aber natürlich geht es auch andersrum, wie in diesem Fall.
1. Lösung BM2759
y = 1
Also setzen wir diese EINS in unsere gegebene Gleichung y = 3x - 1 an die Stelle, wo das y steht.
2. Lösung BM2759
Wir ersetzen also y durch x.
2 = 3x - 1
Bitte umstellen und den x-Wert ermitteln!
Wir haben y durch 2 ersetzt.
ersetzen = substituieren
3. Lösung BM2759
2 = 3x - 1 || +1
3 = 3x || :3
1 = x || die Variable solle am Schluss links stehen
x = 1
Damit haben wir einen Punkt der Gleichung y = 3x - 1 ermittelt.
Der y-Wert wurde uns mit y=2 gegeben und den dazugehörigen x-Wert haben wir ausgerechnet.
Also lauten die Koordinaten dieses Punktes:
4. Lösung BM2759
(x; y)
(1; 2)
Das ist also einer der Punkte, der auf der Geraden y = 3x - 1 liegt.


BM2760

Gegeben ist die Gleichung y = 2
Ist das eine lineare Gleichung? Wo ist das x hin?
1. Lösung BM2760
Ja, es ist eine lineare Gleichung.
Der Graph der Gleichung y = 2 ist eine Gerade.
Auch ohne das x ist y = 2 eine lineare Gleichung.
y = 2 ist das Gleiche wie y = 0*x + 2
Da ist unser x.
Welche Steigung hat die Gerade y = 2?
2. Lösung BM2760
m = 0
Das ist die Null in der Gleichung y = 0*x + 2
Die Gerade liegt also horizontal.
Wo schneidet y = 2 die y-Achse? Mit anderen Worten: Wo liegt der y-Achsenabschnitt von y = 2
3. Lösung BM2760
Bei +3
Das ist dann der Punkt (0; 3)
Zeichne die Gerade y = 2!
4. Lösung BM2760
y = 2

BM2761 - BM2770[editar]

BM2761

Löse das Gleichungssystem:
1.) y = 3x - 1
2.) y = 2
Löse das das Gleichungssystem grafisch! (Die beiden Gleichungen sind ja schon aus den vorherigen Übungen bekannt.)
1. Lösung BM2761
y = 3x - 1 und y = 2
Wie lautet die numerische Lösung des Gleichungssystems? Lies die Koordinaten des Punktes aus der grafischen Lösung ab!
2. Lösung BM2761
(1; 2)
Löse das Gleichungssystem rechnerisch - mit dem Gleichsetzungsverfahren (durch Substitution, substituieren):
1.) y = 3x - 1
2.) y = 2
3. Lösung BM2761
1.) y = 3x – 1
2.) y = 2
Wir setzen das y von beiden Gleichungen gleich. Mit anderen Worten: wir ersetzen das y der ersten Gleichung durch das y der 2. Gleichung, genauer: durch den Wert (oder Ausdruck), mit dem das y in der zweiten Gleichung gleich (also identisch) ist.
y (erste Gleichung) = y (zweite Gleichung)
3x - 1 = y = y = 2
3x - 1 = 2
3x - 1 = 2 ||+1
3x = 3 || :3
x = 1
Damit haben wir vorerst aber nur den x-Wert des Punktes, der das Gleichungssystem erfüllt.
Wie finden wir nun den y-Wert dazu?
4. Lösung BM2761
Diesen x-Wert müssen wir in die erste Gleichung einsetzen. Und die Gleichung dann ausrechnen. Also los!
5. Lösung BM2761
y = 3x - 1
x = 1
Der gesuchte Kreuzungspunkt hat also die Koordinaten (1; 2)
Wir hätten unser zuerst gefundenes x = 1 auch in die zweite Gleichung einsetzen können, um den dazugehörigen y-Wert zu finden.
Die zweite Gleichung lautet y = 2. Und wenn wir x = 1 in die Gleichung einsetzen wollen, geht das zwar nicht, aber das Ergebnis ist
y = 2 (eigentlich egal welchen x-Wert dazu haben)
Die Punkt hat dann jedenfalls die Koordinaten (1; 2)
Es ist EGAL, ob wir in die 1. oder 2. Gleichung einsetzen!!!
Der eine Kreuzungspunkt ist die Lösung unseres linearen Gleichungssystems.
Der Punkt, der auf beiden Linien gleichzeitig liegt ist die Lösung des LGS.


BM2762

Gleichsetzungsverfahren zur Lösung eines Linearen Gleichungssystems.
Am Schnittpunkt der Geraden, genau an diesem Punkt, haben die Geraden den gleichen y-Wert. Deshalb können wir die andere Seite der Geradengleichung, auf der das y NICHT steht gleichsetzen. Vorausgesetzt, dass in beiden Geradengleichungen das y isoliert (also ganz allein) auf einer Seite der Gleichung steht. Für gewöhnlich steht das y isoliert auf der linken Seite, jeweils in beiden Geradengleichungen.
Also können wir die rechte Seite der 1. Gleichung mit der rechten Seite der 2. Gleichung gleichsetzen. Dazu schreiben wir beide rechte Seiten in eine einzige Gleichung, durch ein Gleichheitszeichen verbunden.
So fliegt das y vorläufig aus der Rechnung raus und wir haben nur nur zwei mal ein x in der Gleichung. Die Gleichung müssen wir nun ausrechnen, so dass im Ergebnis links das x steht und rechts der Wert für das x.
Nachdem wir das x gefunden haben, setzen wir den Wert für das x in die erste (oder zweite) Gleichung ein. So erhalten wir eine Gleichung, in der die Variable x nicht mehr auftaucht, sondern nur noch y. Das y müssen wir ausrechnen.
Damit haben wir den Punkt (x; y) errechnet, den Schnittpunkt der Geraden, der die Lösung unseres Gleichungssystems ist.

BM2763

Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren kann zum Lösen von Gleichungssystemen genutzt werden. Es ist bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.
Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen so umgestellt, dass ihre linken Seiten identisch sind und nur eine Variable enthalten, die auf den rechten Seiten nicht vorhanden ist. Anschließend werden die beiden rechten Seiten gleichgesetzt, damit die neu entstehende Gleichung von einer Variablen weniger abhängt.


BM2764

Wir schreibt man nun die Lösung des LGS mathematisch sauber hin.
Meist steht da nur einfach: Der Punkt (3; -4) ist die Lösung
oder
x = 3; y = - 4
ABER:
mathematisch korrekt sprechen wir von einer Lösungsmenge, denn bei gebogenen Graphen kann es zwei, drei oder noch mehr Kreuzungspunkte geben. Das ist dann schon eine Menge.
Wir sagen also: Die Lösungsmenge ist der Punkt (3; -4).
Da man in der Mathematik alles sehr kurz und exakt mit Formel und Symbolen ausdrücken kann, wollen wir diese auch für die Lösungsmenge benutzen.
Zur Erinnerung:
Mengen schreibt man in geschweiften Klammern - den "Mengenklammern". Eine Möglichkeit, die uns hier interessiert, ist die Aufzählung aller Elemente dieser Menge innerhalb der geschweiften Klammern.
Beispiel: A = {2; 5; 22}
Diese Menge hat die Elemente 2; 5 und 22
Dabei ist die Reihenfolge der Elemente egal, aber als ordentliche Schüler schreiben wir sie schön der Größe nach sortiert.
{2; 5; 22} = {5; 2; 22}
Auch wenn wir Elemente doppelt schreiben ändert das nichts an der Menge:
{2; 5; 22} = {2; 5; 2; 22; 5; 5; 5}
Mengen werden mit Großbuchstaben bezeichnet.
Für die Lösungsmenge schreiben wir also:
L = {3; -4}
ABER wer aufgepasst hat wird bemerkt haben, dass das noch nicht ganz korrekt ist.
"Die Reihenfolge der Elemente in einer Menge ist egal"
Damit wäre L = {3; -4} = {-4; 3}. Das geht gar nicht.
Denn die Lösung ist ein geordnetes Zahlenpaar: (3; -4)
Die runden Klammern geben an, dass die Reihenfolge nicht geändert werden darf, denn die erste Zahl ist immer der x-Wert des Punktes und die zweite Zahl der y-Wert.
Die Lösungsmenge besteht aus einem Punkt, dessen x-y-Werte in runden Klammern angegeben werden, während die Menge in geschweiften Klammern steht.
So ist es korrekt:
L = { (3; -4) }
Oft werden beide Zahl auch durch ein Komma getrennt, das aber mit dem Dezimalkomma verwechselt werden könnte.
Noch besser ist die Schreibweise mit einem senkrechten Strich statt Semikolon oder Komma:
L = { (3 | -4) }


BM2765

Löse da folgende Lineare Gleichungssystem grafisch!
x + 2y = 4
2x - y = 3
1. Lösung BM2765
Bei der ersten Gleichung gehen wir mal bitte so vor, dass wir den y-Achsenabschnitt und den x-Achsenabschnitt ermitteln, also den Schnittpunkt der Geraden mit der x- und y-Achse.
Wie geht das noch mal?
2. Lösung BM2765
Man setzt ein mal x=0 und ermittelt den dazugehörigen y-Wert. Das ist dann der y-Abschnitt.
Beim zweiten mal setzt man y=0 und ermittelt den dazugehörigen x-Wert. Das ist dann der Schnittpunkt mit der x-Achse.
So haben wir dann zwei Punkten, mit deren Hilfe wir die erste Gerade zeichnen.
Also los!
3. Lösung BM2765
x + 2y = 4
y=0
y-Achsenabschnitt: (4; 0)
---
Jetzt suchen wir den x-Achsenabschnitt. (Vorsicht: wir sind immer noch bei der ersten Gleichung unseres LGS!)
x + 2y = 4
x=0
|| :2
x-Achsenabschnitt (0; 2)
Mit diesen zwei Punkten können wir nun den Graphen zeichnen.
Also los!
4. Lösung BM2765
x + 2y = 4
Nun zeichne bitte den Graphen für die zweite Gleichung nach der selben Methode!
2x - y = 3
Bitte beide Graphen gemeinsam in ein Koordinatensystem zeichnen!
5. Lösung BM2765
2x - y = 3
y=0
2x - 0 = 3
2x = 3
x = 1,5
P (1,5; 0)
---
2x - y = 3
x=0
2*0 - y = 3
- y = 3
y = - 3
P (0; 3)
6. Lösung BM2765
x + 2y = 4 und 2x - y = 3
Die beiden Geraden liegen NICHT parallel zueinander und sie liegen auch nicht komplett aufeinander, weshalb sie sich in einem Punkt kreuzen.
Versuch die Koordinaten dieses Punktes abzulesen!
7. Lösung BM2765
L = { (2|1) }
Natürlich sind die gezeichneten Graphen soft nicht absolut genau und man kann den Schnittpunkt der Geraden nicht exakt ablesen, wenn es sich nicht um runde zahlen handelt.
Ergebnis kontrollieren: Setze die Koordinaten der Lösung in beiden Gleichungen ein und rechne die Gleichung aus!
Hier noch mal die Gleichungen das LGS:
x + 2y = 4
2x - y = 3
8. Lösung BM2765
L = { (2|1) }
---
1. Gleichung
x + 2y = 4
2 + 2*1 = 4
2 + 2 = 4
4 = 4
Die Lösung stimmt für die 1. Gleichung.
---
2x - y = 3
2*2 - 1 = 3
4 - 1 = 3
3 = 3
Die Lösung stimmt auch für die 2. Gleichung.
---
Also ist unsere Lösung korrekt!
L = { (2|1) }
Erst nach der erfolgreichen Kontrolle sind wir mit der Lösung unseres LGS fertrig.


BM2766

Löse das Gleichungssystem grafisch!
3x + y = - 2
x - 4y = - 5
1. Lösung BM2766
1. Gleichung
3x + y = - 2
y=0
3x + 0 = - 2
3x = - 2
P (-2/3; 0) y-Achsenabschnitt
---
3x + y = - 2
x=0
3*0 + y = - 2
0 + y = - 2
y = - 2
P (0; -2) x-Achsenabschnitt
---
Mit den beiden Punkten (Achsenabschnitt) zeichnen wir jetzt unseren ersten Graphen.
2. Lösung BM2766
3x + y = - 2
Nun noch den Graphen für die zweite Gleichung.
3. Lösung BM2766
x - 4y = - 5
y=0
x - 0 = - 5
x = - 5
P (-5; 0)
---
x - 4y = - 5
x=0
0 - 4y = - 5
- 4y = - 5
4y = 5
y = 1,25
P (0; 1,25)
---
Mit den beiden Punkten (Achsenabschnitt) zeichnen wir jetzt unseren zwiten Graphen - in das Koordinatensystem zusammen mit dem ersten Graphen.
4. Lösung BM2766
3x + y = - 2 und x - 4y = - 5
Nun müssen wir die Lösung ablesen und noch die Kontrolle durchführen.
Wir sehen jetzt schon den größten Nachteil der grafischen Lösungsmethode: Wir können die Lösung eigentlich nur näherungsweise ablesen. Das Problem fängt schon an, wenn wir Brüche, z. B. 0,6666, als Koordinaten unserer Punkte haben.
5. Lösung BM2766
L = { (-1|1) }
Oder zumindest so ungefähr. Ganz sicher können wir da nicht sein.
Nun der Test!
6. Lösung BM2766
L = { (-1|1) }
---
1. Gerade:
3x + y = -2
3*(-1) + 1 = -2
-3 + 1 = -2
-2 = -2
1. Gleichung korrekt
---
2. Gerade
x - 4y = -5
-1 - 4*1 = -5
-1 - 4 = -5
-5 = -5
2. Gleichung korrekt


BM2767

Die grafische Lösungsmethode gibt oft ungenaue Ergebnisse bei der Ablesung des Kreuzungspunktes.
Diese Methode ist relativ langsam.
Sollten wir am Grafikpunkt Koordinaten haben, die Brüche enthalten, dann wird die genaue Ablesung schwer bis unmöglich.
2/3 oder 5/4 kann man je evtl. noch irgendwie ablesen. Aber 21/7 oder -9/15 klappt dann meist nicht mehr.


Deshalb ist das Gleichsetzungsverfahren besser, um den Kreuzungspunkt zu finden.
Gegeben ist das Gleichungssystem:
2x - y = 7
x + 2y = 1
Frage: Ist der Punkt (5; 3) eine Lösung des Gleichungssystems?
1. Lösung BM2767
Ist der Punkt (5; 3) eine Lösung des Gleichungssystems?
Die Frage bedeutet also:
Ist der Punkt P (5; 3) die Lösung unseres LGS?
Es kann nur einen Kreuzungspunkt geben. Ist das der Punkt (5; 3)?
Liegt der Punkt (5; 3) auf beiden Geraden?
Erfüllt der Punkt (5; 3) beide Geradengleichungen?


Zur Beantwortung dieser Frage setzen wir den Punkt nacheinander in die beiden Gleichungen ein. Das haben wir beim grafische Lösungsverfahren auch getan, um das Ergebnis zu überprüfen.
Also los!
2. Lösung BM2767

P (5; 3)

---
2x - y = 7
2*5 - 3 = 7
10 - 3 = 7
7 = 7
1. Gleichung korrekt. Der Punkt liegt auf der 1. Geraden.
---
x + 2y = 1
5 + 2*3 = 1
5+ 6 = 1
11 = 1
Das ist falsch, denn 11≠1. Der Punkt liegt also NICHT auf der 2. Geraden.


Der Punkt liegt auf der 1. Geraden, nicht aber auf der 2. Geraden.
Der Punkt ist also NICHT der Kreuzungspunkt - der SCHNITTPUNKT - der beiden Geraden
Der Punkt P (5; 3) ist keine Lösung des Linearen Gleichungssystems
2x - y = 7
x + 2y = 1


BM2768

Wir nehmen nochmals das gleiche LGS:
2x - y = 7
x + 2y = 1
Frage: Ist der Punkt P (3; -1) eine Lösung des Linearen Gleichungssystems?
Lösung BM2768


2x - y = 7
2*3 - (-1) = 7
6 + 1 = 7
7 = 7
1. Gleichung: ja
---
x + 2y = 1
3 + 2*(-1) = 1
3 - 2 = 1
1 = 1
2. Gleichung: auch ja


Ja, der Punkt P (3; -1) ist die Lösung des Gleichungssystems. Das ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Der Punkt liegt gleichzeitig auf beiden Geraden.


BM2769

Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich besonders an wenn auf einer Seite der Gleichung bereits die Variable isoliert steht
Beispiel:
y = 2x + 4
y = -x + 8
Denn dann dürfen wir schreiben
2x + 4 = y = -x + 8 (Es ist nicht schön in einer Gleichung zwei Gleichheitszeichen in einer Zeile zu schreiben. Das steht hier nur mal zur besseren Verdeutlichung der Gleichsetzung.
2x + 4 = -x + 8 (So ist es korrekt)
Der Trick bei der Gleichsetzung ist, dass vorläufig die Variable y verschwindet. So haben wir erst mal eine Gleichung, die nur die Variable x enthält. Auch wenn das x an zwei Stellen in der Gleichung auftaucht, so können wir diese Gleichung aber nach x auflösen, d. h. das x steht isoliert ganz allein auf der linken Seite und auf der rechten Seite steht der Zahlenwert.
Beispiel:
2x + 4 = -x + 8 || +x
3x + 4 = 8 || - 4
3x = 4 || :3
x = 4/3
x = 1,3333
Den Wert für x könne wir dann in die Geradengleichung einsetzen, so dass dann in der Geradengleichung nicht mehr zwei Unbekannte (x und y) stehen, sondern nur noch eine Unbekannte (y).
Beispiel:
y = 2x + 4
x = 4/3
y = 2*(4/3) + 4
y = 8/3 + 4
y = 8/3 + 12/3
y = 20/3
Sollte in den gegebenen Gleichungen des Gleichungssystems nicht die Variable auf einer Seite isoliert stehen, so bietet sich eher das Einsetzungsverfahren an, das wir weiter unten behandeln werden.
Man kann das Gleichsetzungsverfahren auch anwenden, wenn das x isoliert auf einer Seite steht.
x = y + 1
x = -8y + 12
Also:
y + 1 = -8y + 12 || + 8y || -1
9y = 11
y = 11/9
x = y + 1
x = 11/9 + 1
Was aber nicht geht: Wenn in der 1. Gleichung das y isoliert steht und die 2. Gleichung nach x aufgelöst ist.
Beispiel:
x = -8y + 12
y = 2x + 4
Denn x≠ y
Das Gleichsetzungsverfahren beruht also auf
y = y
oder
x = x


BM2770

Einsetzungsverfahren
Bei Einsetzungsverfahren müssen die beiden Gleichungen nicht nach y aufgelöst sein. Es reicht wenn eine Gleichung nach y aufgelöst ist.
Auch hier beruht das Prinzip auf y = y. Wir hängen aber die beiden Gleichungen nicht hintereinander, sondern fügen "mit einem Trichter" die rechte Seite der einen Gleichung an eine Stelle mitten in der anderen Gleichung ein.
Also: einfügen statt (hinten) anfügen.
Beispiel:
2x - y = 1
y = -2x + 4
Wir setzen die rechte Seite der 2. Gleichung an eine bestimmte Position in der 1. Gleichung ein. Das dürfen wir, denn y in der einen Gleichung ist gleich dem y in der anderen Gleichung, denn das ist ja gerade die Bedingung für unseren gesuchten Schnittpunkt der beiden Graphen dieser Gleichungen.
Wir erhalten also:
2x - (-2x + 4) = 1
Der Rest ist Pipifax (ganz einfach, Kinderkram, eine Lappalie).
2x - (-2x + 4) = 1
2x + 2x + 4 = 1
4x + 4 = 1
4x = -3
x = - 3/4
Und wie lautet nun die Lösung des Gleichungssystems?
2x - y = 1
y = -2x + 4
1. Lösung BM2770
Dazu müssen wir x = - 3/4 noch in eine der beiden Geradengleichungen einsetzen, um y auszurechnen:
Also los!
2. Lösung BM2770
2x - y = 1
x = - 3/4
2*(3/4) - y = 1
3/2 - y = 1
- y = 1 - 3/2
- y = - 1/2
y = 1/2

BM2771 - BM2780[editar]

BM2771

In vielen anderen Ländern spricht man nur vom Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren) und betrachtet das Gleichsetzungsverfahren nur als einen Spezialfall des Einsetzungsverfahren. Eigentlich ist das Gleichsetzungsverfahren nur ein besonders bequemer und übersichtlicher Sonderfall des Einsetzungsverfahrens. Die beide Gleichungen nach y aufgelöst sind, gelingt das Einsetzen besonders leicht und übersichtlich.
Sollte überhaupt keine der beiden gegebenen Gleichungen nach einer Variable aufgelöst sein, wo müssen wir dies als Vorbereitungsschritt selber tun, bevor wir das eigentlich Einsetzungsverfahren anwenden.
Beispiel:
4x + 2y = 1
2x - y = 7
Wir stellen die 2. Gleichung nach y um, um sie dann in die 1. Gleichung einzusetzen.
1. Lösung BM2771
2x - y = 7 || - 2x
- y = - 2x + 7 || *(-1)
y = - (-2x + 7)
y = 2x - 7


Das setzen wir jetzt in die 1. Gleichung ein.
2. Lösung BM2771
4x + 2y = 1
y = 2x - 7
Wir erhalten:
4x + 2*(2x - 7) = 1
4x + 4x - 14 = 1
8x - 14 = 1
8x = 15
x = 15/8
Und nun noch das y ausrechnen, durch Einsetzen in die 1. Gleichung.
3. Lösung BM2771
4x + 2y = 1
x = 15/8
x einsetzen
4*(15/8) + 2y = 1
15/2 + 2y = 1
7,5 + 2y = 1
2y = 1 - 7,5
2y = - 6,5
y = - 6,5/2
y = - 3,25


Ergebnis
P (15/8  ; -3,25)


BM2772

LGS:
4 = 4x - 3y
4 =
Können wir auch beide rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen?
Denn schließlich ist 4=4.
Lösung BM2772
Ja, das können wir. Das ist erlaubt und würde dann so aussehen.
4x - 3y = -x + 2y
Es macht nur keinen Sinn, weil wir in der so erhaltenen Gleichung immer noch 2 Unbekannte haben (x und y).
Die Gleichsetzung von 4=4 hat uns nichts gebracht, denn wir setzen gleich, damit dadurch das y in beiden Gleichungen erst einmal komplett verschwindet.


BM2773

geg.: LGS
x - 3y = 11
y = 4x
Welches Verfahren bietet sich hier als Lösungsweg an?
1. Lösung BM2773
Das Einsetzungsverfahren, denn in der 2. Gleichung ist y allein auf einer Gleichungsseite.
Also los!
Natürlich hätten wir uns auch das grafische Lösungsverfahren auswählen können, aber mit 11 und 3 in der 1. Gleichung wäre das nicht ganz einfach geworden und der Schnittpunkt wäre sicherlich auch nicht eindeutig ablesbar.
2. Lösung BM2773
x - 3y = 11
y = 4x
Einsetzen
x - 3*(4x) = 11
x - 12x = 11
-11x = 11
x = - 11/11
x = -1
Nun müssen wir den Wert für x in eine der Gleichungen des LGS einsetzen. Wir nehmen einfach die 1. Gleichung
3. Lösung BM2773
x - 3y = 11
x = -1
-1 - 3y = 11 || + 1
- 3y = 12 || : (-3)
y = - 12/3
y = -4


P (-1; -4)
Den Test nicht vergessen!
4. Lösung BM2773
P (-1; -4)
x - 3y = 11
-1 - 3*(-4) = 11
-1 + 12 = 11
11 = 11
1. Gleichung Probe bestanden
---
y = 4x
-4 = 4* (-1)
-4 = -4
2. Gleichung Probe bestanden

BM2774

LGS:
3x - 5y = 8
x = 4y - 2
Welches Lösungsverfahren wenden wir an?
1. Lösung BM2774
Das Einsetzungsverfahren, weil die 2. Gleichung bereits nach x aufgelöst ist, setzen wir die rechte Seite der 2. Gleichung an die Stelle von y in der 1. Gleichung.
2. Lösung BM2774
3x - 5y = 8
x = 4y - 2
Einsetzen
3*(4y - 2) - 5y = 8
12y - 6 - 5y = 8 || +6
12y - 5y = 14
7y = 14
y = 14/7
y = 2
Das setzen wir zur Abwechslung mal in die 2. Gleichung des LGS ein, denn diese Berechnung könnte etwas leichter werden.
3. Lösung BM2774
x = 4y - 2
y = 2
Einsetzen
x = 4*2 - 2
x = 8 - 2
x = 6


P (6; 2)
Den Test nicht vergessen!
4. Lösung BM2774
P (6; 2)
1. Gleichung:
3x - 5y = 8
3*6 - 5*2 = 8
18 - 10 = 8
8 = 8
OK
---
2. Gleichung:
x = 4y - 2
6 = 4*2 - 2
6 = 8 - 2
OK
Der Punkt P (6; 2) liegt also auf beiden Geraden, folglich ist es unser Schnittpunkt, also die Lösungsmenge.
L = { (6|2) }


BM2775

Warum dürfen wir im Einsetzungsverfahren behaupten, dass das y der einen Gleichung gleich dem y der anderen Gleichung ist.
Beispiel:
x - 3y = 11
y = 4x
Lösung BM2775
Weil wir den Schnittpunkt der beiden Geraden suchen. Und deshalb suchen wir die Stelle, an der die beiden y-Werte identisch sind. Auch die beiden x-Werte sind an diesem Punkt identisch. Wir suchen gerade diese Stelle.
Es gibt auch andere Stellen mit unterschiedlichen y-Werte, aber die suchen wir nicht, denn dort ist garantiert nicht der Schnittpunkt.


BM2776

Und noch mal die Einsetzungsmethode
geg: LGS
x - y = 3
5x + y = 9
Zur besseren Übersicht und zur einfacheren Besprechung werden die Gleichungen oft nummeriert - mit römischen Zahlen, die ansonsten in Deutschland nicht so häufig verwendet werden. Die römischen Zahlen haben auch den Vorteil, dass sie nicht so einfach aus Versehen in die Gleichung "rutschen" können. Wir haben also:
geg: LGS
I) x - y = 3
II) 5x + y = 9
In Mathematikbüchern steht die Nummerierung auch oft hinter jeder Zeile. Etwas so:
x - y = 3 (I)
5x + y = 9 (II)
Um das hier gegebenen Gleichungssystem zu lösen, stellen wir (I) nach x um.
Es ginge auch anders, aber das schein auf den ersten Blick der einfachste Rechenweg zu sein.
Wir könnten auch (I) nach y um stellen, oder (II) nach y.
Also: Stelle nun (I) nach x um.
1. Lösung BM2776
I) x - y = 3 || +y
x = y + 3
Modifizierte Gleichungen werden gerne kenntlich gemacht, indem ein Kleinbuchstabe an die römische Zahl angefügt wird:
Ia) x = y + 3
So können wir leicht sehen, dass es sich um die modifizierte (in diesem Fall: umgestellte) erste Gleichung des LGS handelt.


Ia) x = y + 3
ist nur eine andere Schreibweise für
I) x - y = 3
Es handelt sich um die gleiche Gerade.
Mit
Ia) x = y + 3 und
II) 5x + y = 9
können wir nun das LGS mittels Einsetzungsverfahren lösen, so wie wir es gerade gelernt haben.
2. Lösung BM2776
Ia) x = y + 3
II) 5x + y = 9
(Ia) in (II) einsetzen.
Wir setzen hier für x ein. Aber das ist prinzipiell das Gleich wie für y.
5*(y + 3) + y = 9 || ausmultiplizieren
5y + 15 + y = 9 || -15
5y + y = -6
6y = -6 || :6
y = -1
Und wie weiter?
3. Lösung BM2776
y = -1 setzen wir in
I) x - y = 3 ein
Also los!
4. Lösung BM2776
y = -1 einsetzen in x - y = 3
x - (-1) = 3
x + 1 = 3
x = 2


L { (2|-1) }
Noch schnell die Kontrolle
5. Lösung BM2776
L { (2|-1) }
1. Gleichung
x - y = 3
2 - (-1) = 3
2 + 1 = 3
3 = 3
---
2. Gleichung
5x + y = 9
5*2 + (-1) = 9
10 - 1 = 9
9 = 9
OK


BM2777

geg: LGS
I) 7x - 2y = -6
II) -2x + y = 3
1. Lösung BM2777
Wir nehmen das Einsetzungsverfahren
Das y in der 2. Gleichung erscheint am einfachsten, weil davor nicht noch ein Faktor steht. Alle anderen Variablen sind etwas schwerder zu isolieren (7x; 2y; -2x)
Wir stellen als (II) nach y um.
Wir lösen (II) nach y auf.
In der 2. Gleichung isolieren wir y auf einer Seite.
Also los!
2. Lösung BM2777
II) -2x + y = 3 || +2x
IIa) y = 2x + 3
Und nun?
3. Lösung BM2777
Nun setzen wir die rechte Seite von (IIa) für das y in (I) ein
Also los!
4. Lösung BM2777
I) 7x - 2y = -6
IIa) y = 2x + 3
Wir erhalten:
7x - 2*(2x + 3)y = -6 || ausmultiplizieren
Vorher setzen wir noch Klammern, damit wir nicht schon beim Ausmultiplizieren das Minus mit beachten müssen
7x - [2*(2x + 3)] = -6
7x - [4x + 6] = -6 || die Klammer auflösen und dabei das Minus beachten
7x - 4x - 6 = -6 || +6
7x - 4x = 0 || die Variable x zusammenfassen
3x = 0 || :3
x = 0/3
x = 0
Weiter? Also los!
5. Lösung BM2777
Das y muss noch ermittelt werden.
Wir setzen x = 0 in
(II) -2x + y = 3 ein, denn das ist einfacher als das Einsetzen in (I)


-2*0 + y = 3
0 + y = 3
y = 3
L [ (0|3) }
Bitte immer mit Kontrolle!
6. Lösung BM2777
L { (0|3) }
I) 7x - 2y = -6
7*0 - 2*3 = -6
-6 = -6
OK
---
II) -2x + y = 3
-2*0 + 3 = 3
0 + 3 = 3
3 = 3
OK


BM2778

Der Vorteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass es leicht anzuwenden ist.
Der Nachteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass mindestens ein Gleichung nach einer Variablen aufgelöst sein muss.
Im nachfolgenden, gegebenen Linearen Gleichungssystem haben wir Brüche als Faktoren vor den Variablen. Diese Brüche kann man durch Umstellen nicht loswerden.
geg: LGS
I)
II)
Normalerweise würde man bei so einem LGS mit Brüchen auf das Eliminationsverfahren oder das Additionsverfahren zurückgreifen, die wir aber nicht nicht kennen gelernt haben.
Deshalb stürzen wir uns auch mit diesen Brüchen in der Einsetzungsverfahren.
Wie fangen wir am besten an?
1. Lösung BM2778
Am einfachsten könnte es sein (I) nach y umzustellen.
Also los!
2. Lösung BM2778
|| + y
|| + 1
|| Seiten vertauschen
(Ia)
Und wie weiter?
3. Lösung BM2778
Wir setzen (Ia) für das y in (II) ein.
Also los!
4. Lösung BM2778
Ia)
II)


|| Wir klammern noch zusätzlich. Das ist nicht verboten und hilft oft.
|| ausmultiplizieren
|| Klammer auslösen
|| x zusammenfassen
|| +1/2
|| : 9/4
|| Brüche werden dividiert, indem man den Kehrwert des Divisors multiplizeirt
|| Das Kürzen wird einfacher, wenn wir den Bruch in kleinere Faktoren zerlegen
|| wir kürzen die eine 2


Und wie weiter?
5. Lösung BM2778
setzen wir in (1) oder (2) ein, um noch y zu finden.
Da (I) etwas einfacher erscheint, werden wir y in (I) einsetzen


I)
6. Lösung BM2778
I)


|| +y || -1 || und Seiten tauschen
|| das können wir mindestens noch mit 2 kürzen, denn 28 und 18 sind beides gerade Zahlen
|| zum Schluss noch die Eins addiert, aber vorher Neuntel daraus machen
|| 9-14 = -5
P = { (28/9 | -5/9) }


Man sieht schon, dass das Einsetzungsverfahren sehr aufwendig und deshalb auch fehleranfällig werden kann, wenn Brüche mit ins Spiel kommen.
Ohne Test geht hier gar nichts. Schon allein weil sich Rechenfehler eingeschlichen haben könnten.
7. Lösung BM2778
Kontrolle:
---
I)
|| 5/9 mit 2 erweitern, um Achtzehntel zu erhalten, damit es zu 28/18 passt
|| -28+10 = 10-28 = -18
|| kürzen
OK
---
II)
|| Die Brüche auf der linken Gleichungsseite müssen wir gleichnamig machen.
|| 112+5 = 117
|| Ja, 117/18 lässt sich kürzen. Wir zerlegen 117 in Faktoren. Primfaktorzerlegung - Übung BM1004 - Lektion 071b
|| wir können 3*3 oben und unten kürzen
OK


BM2779

Wiederholung:
Teilbarkeitsregel - Übung BM600 - Lektion 062b
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Lang, lang ist's her. Es war nicht alles sinnloser Quatsch, was wir bis jetzt durchgenommen haben.
Frage:
Lässt sich der folgende Bruch kürzen?
Anders gefragt:
18 ist durch 2 und durch 9 teilbar.
Die Zahl 117 ist nicht durch 2 teilbar, weil es keine gerade Zahl ist.
Ist die Zahl 117 durch 9 teilbar?
Quersumme: 1 * 1 * 7 = 9
Also: Ja.
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Wir kürzen:


BM2780

Wiederholung:
In einem Linearen Gleichungssystem unterscheiden wir prinzipiell drei Fälle:
Fall 1: Die beiden Geraden kreuzen sich nicht, weil sie parallel liegen.
Fall 2) Die beiden Geraden kreuzen sich.
Fall 3) Die beiden Geraden sind identisch, sie liegen also aufeinander. Die Geraden "schneiden sich konstant".
Koordinatensystem LGS 3 Geraden b.svg
Koordinatensystem LGS 3 Geraden c.svg
Koordinatensystem LGS 3 Geraden e.svg
Nun wollen wir uns anschauen, wie diese 3 Fälle algebraisch aussehen.
Den 2. Fall, bei dem wir eine einzige Lösung erhalten, haben wir ja sozusagen als Normalfall schon eingehend abgehandelt.
Die Fälle, wo wir keine Lösung haben (parallele Geraden) bzw. wo wir ganz viele Lösungen haben, sehen auf den ersten Blick seltsam aus.
Beispiel:
geg: LGS
I)
II)
Wir wollen das noch mal mit dem Einsetzungsverfahren lösen, auch wenn wir später das Eliminationsverfahren oder Additionsverfahren prinzipiell bevorzugen werden.
Stell bitte (II) nach x um und setze für x in (I) ein!
1. Lösung BM2780
II) || -2y
|| :2
IIa)
Das setzen wir in (I) ein.
2. Lösung BM2780
I)
IIa)


|| y zusammenfassen
Oh, Wunder! - unser y ist verschwunden
Oh, Mist! - 6≠9
Und das, obwohl wir uns nicht verrechnet haben.
Das macht keinen Sinn.
Ist 6 jemals gleich 9?
Nein, nie!
Wir haben eine Nonsens-Antwort erhalten.
6 = 9 ist nie wahr.
Für 6 = 9 gibt es keine wahre Antwort.
Was können wir daraus für die Lage der Graphen zueinander schließen?
3. Lösung BM2780
Wenn es keine Lösung gibt, dann gibt es keinen Schnittpunkt. Es gibt also keinen Punkt, an dem beide Graphen gleichzeitig den gleichen x-Wert und y-Wert haben.
Die beiden Graphen schneiden sich nicht, sie liegen parallel zueinander.
Frage BM2780
1.) Können zwei Graphen, die parallel zueinander liegen, sich also nicht überschneiden, den gleichen x-Wert haben?
2.) Können zwei Graphen, die parallel zueinander liegen, sich also nicht überschneiden, den gleichen y-Wert haben?
4. Lösung BM2780
Ja, natürlich.
1.) ja
2.) ja
ABER, es gibt keinen Punkt, an dem sie gleichzeitig den gleichen x-Wert UND den gleichen y-Wert haben.
Beispiel: Beide Graphen haben den Wert x = 1. Beide Graphen haben den Wert y = -1. Aber es gibt keine Stelle, an der gleichzeitig der x-Wert und der y-Wert der beiden Graphen gleich ist. Das wäre nur am Schnittpunkt der Fall.

BM2781 - BM2790[editar]

BM2781

geg: LGS
I)
II)
Löse das Lineare Gleichungssystem mittels Substitutionsverfahren. Stelle dazu (I) nach b um und setze in (II) ein!
1 Lösung BM2781
|| + b
|| - 6
|| umdrehen
Das setzen wir in (II) ein
2 Lösung BM2781
Ia)
II)
|| a zusammenfassen
Oh, Wunder! - Unsere Variable ist verschwunden.
Das erinnert irgendwie an die vorige Übung.
Aber mit dem Unterschied, dass jetzt unsere Gleichung wahr ist.


Wie können wir dieses Ergebnis interpretieren?
3 Lösung BM2781
ist IMMER wahr.
Egal welches x wir haben. Weil wir den Wert für x nicht in die Gleichung einsetzen müssen.
Für x=1 ist : wahr.
ist auch für x=2 oder x=3,4 usw. wahr.
Gibt es überhaupt einen x-Wert, für den nicht wahr ist?
Wir haben unendlich viele Lösungen.
Die Linien liegen also genau aufeinander. Die Linien sind identisch


BM2782

Beweise, dass es sich bei
I)
II)
um identische Geraden handelt, indem du die Gleichung (I) in (II) umformst!
Oder noch besser: Löse beide Gleichungen jeweils nach b auf!
Lösung BM2782
I) || + b
|| - 6
|| umdrehen
(Ia)
---
II) || + 4a
|| :2
(IIa)
---
(Ia) und (IIa) sind identisch, also sind beide Gleichungen und ihre Graphen identisch.


BM2783

Wiederholung:
Parallele Geraden: keine Lösung, bei Rechnen verschwindet die Variable und es kommt eine Gleichung raus, die NIE wahr ist.
Identische Geraden: unendlich viele Lösungen, bei Rechnen verschwindet die Variable und es kommt eine Gleichung raus, die IMMER wahr ist.
Korrekte Schreibweise für die Lösungsmenge L:
Fall 2: Die Lösung ist genau ein Schnittpunkt. Mengen werden in geschweiften Klammern geschrieben. Punkt werden in runde Klammern geschrieben. Zwischen den x- und y-Wert ein senkrechter Strich oder ein Semikolon oder in eindeutigen Fällen auch ein Komma.
Wie aber schreiben wir, wenn es KEINE Lösung gibt?
Möglich wäre einfach ein Antwortsatz: „Das LGS hat keine Lösung.“
Aber wie schreiben wir das mit mathematischen Symbolen? - L steht für Lösungsmenge, also die Menge aller Lösungen.
L = O ist FALSCH, denn die Lösung ist nicht Null und nicht 4, sondern es gibt keine. Die Lösungsmenge ist leer. Wie schreiben wir die leere Menge?
Damit hatte wir uns schon mal früher, in Übung BM1411 beschäftigt (Lección 079b)
Zur Erinnerung eine kurze Auffrischung unseres verschütteten Wissens:
Wenn wir nun eine leere Menge darstellen wollen, dann schreiben wir einfach nichts zwischen die geschweiften Klammern:
B = { }
Für unsere leere Menge im Fall 1 schreiben wir also:
L = { }
Die zweite Möglichkeit eine leere Menge darzustellen ist das Zeichen    (ein durchgestrichenes schmales Oval - eine typographische Variante) oder ∅   // (ein durchgestrichener Kreis)
Die zweite Möglichkeit eine leere Lösungsmenge im Fall 1 darzustellen ist also:
L = ∅


BM2784

Bevor wir uns der Schreibweise für die Lösungsmenge im Fall 3 zuwenden, wenn die beiden geraden praktisch identisch sind und aufeinander liegen, wollen wir kurz etwas ausholen und die Zahlenbereiche wiederholen.
Zahlenbereiche
Wir waren bisher bei unseren Gleichungen nicht ganz vollständig.
Ein ordentlicher Mathematiker gibt für eine Gleichung immer alle Nebenbedingungen an:
Eine wichtige Nebenbedingung ist, für welchen Zahlenbereich die Gleichung gelten soll.
Sind nur natürliche Zahlen für x und y in unserer Gleichung erlaubt?
Sind nur ganze Zahlen für x und y in unserer Gleichung erlaubt?
Sind nur rationale Zahlen für x und y in unserer Gleichung erlaubt?
Sind nur reelle Zahlen für x und y in unserer Gleichung erlaubt?
Sind nur komplexe Zahlen für x und y in unserer Gleichung erlaubt?
Komplexe Zahlen kennen wir noch gar nicht. Außerdem kann man die gar nicht auf einem Zahlenstrahl darstellen, sondern braucht dazu eine Ebene.
Kurz: Bei den Geradengleichungen versteht es sich eigentlich, dass sie für den Zahlenbereich der reellen Zahlen zugelassen sind.
Reelle Zahlen umfassen auch die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen.
Wenn man eine Gleichung angibt, sollte man also ganz korrekt schreiben:
;
in Worten: x und y sind Element der reellen Zahlen.


BM2785

Zurück zum eigentlichen Thema: Fall 3, wie haben zwei Geradengleichungen, bei denen die Geraden aufeinander liegen.
Deshalb haben wir ganz viele Lösungen. Wir haben unendlich viele Lösungen.
Wie schreiben wir die Lösungsmenge?
Es gibt mehr als eine Lösung, mehr als 2 Lösungen. Es gibt sehr viele Lösungen. Da der Zahlenstrahl wegen der rationalen Zahlen (gebrochene Zahlen) und wegen der reellen Zahlen unendlich viele Punkte enthält, enthält auch jede unserer beiden Geraden unendlich viele Punkte?
Gehören alle Punkte im gesamten Koordinatensystem zu unserer Lösungsmenge?
Sind wirklich alle beliebigen Kombinationen von x und y erlaubt?
Bild 1: y = 2x + 1
Beispiel:
I) y = 2x + 1
II) y - 1 = 2x
Diese beiden Gleichungen sind identisch, wir haben lediglich die Eins von links (I) nach rechts (II) genommen.
Die beiden Geraden liegen also aufeinander.
Logischerweise kommen wir dann zu einer Lösung, die immer wahr ist.
(2x + 1) -1 = 2x
2x = 2x
2 = 2
Das ist immer wahr.
Bild 1 zeigt den Graphen von
I) y = 2x + 1 und
II) y - 1 = 2x
Auf den beiden Graphen liegen unendlich viele Punkte (hier in grün gezeichnet), die alle zur Lösungsmenge gehören, da sie gleichzeitig auf beiden Graphen liegen.
Es gibt aber auch unendlich viele Punkte, die nicht zur Lösung gehören (hier in blau gezeichnet), weil sie NICHT auf den Linien liegen, also gar keine der beiden Gleichungen erfüllen.
Wir haben also als Lösung zwar unendlich viele x-Werte, aber zu jedem dieser x-Werte passt nur genau ein y-Wert, der eine bestimmte Bedingung erfüllen muss, nämlich dass die beiden werte (x und dazugehöriger y-Wert) die Gleichung (I) und damit automatisch auch die Gleichung (II) erfüllen muss:
Das scheiben wir so:
L={ (x|y) | y = 2x + 1}
Lies: Die Lösungsmenge L besteht aus den Punktepaaren x und y, FÜR DIE GILT, dass y = 2x + 1 ist.
Oder Lies: Die Lösungsmenge L besteht aus den geordneten Werten x und y, FÜR DIE y = 2x + 1 GILT.
Wir haben wieder die uns bekannte Mengenklammer, die geschweifte Klammer. Bei dieser Mengenangabe zählen wir aber nicht alle Elemente einzeln auf, sondern geben nur die Variablen und und dahinter - durch einen senkrechten Strich abgetrennt, die Bedingung für die Variablen.
Genau genommen sollten wir als Bedingung auch noch schreiben, dass x und y zur Menge der reellen Zahlen gehören.
|| x und y Element der reellen Zahlen
L={ (x|y) | y = 2x + 1 und x, y \in \R}
Lies: Die Lösungsmenge L besteht aus den geordneten Werten x und y, FÜR DIE y = 2x + 1 GILT, wobei x und y zur Menge der reellen Zahlen gehören.
oder Lies: Die Lösungsmenge L besteht aus den geordneten Werten x und y, FÜR DIE y = 2x + 1 GILT, UND x und y gehören zur Menge der reellen Zahlen.
Aber oft lässt man das weg.


BM2786

Bild 2: Schnittmenge (rot)
Da wir unsere Lösungen als Menge angeben, wollen wir uns kurz erinnern, dass man Mengen auch als Mengendiagramm zeichnen kann.
Der Kreuzungspunkt (besser: Schnittpunkt) der beiden Geraden, dessen Koordinaten wir ermitteln, ist die Schnittmenge (= Durchschnittsmenge) der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen.
Soll heißen: Es gibt ganz viele geeordnete Zahlenpaare, die die eine Gleichung erfüllen, und es gibt viele geeordnete Zahlenpaare, die die andere Gleichung erfüllen. Aber es gibt nur ein einziges geordnetes Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt.
Schnittmenge? - Klingelt es da? - Schon vergessen? - Übung BM1413 in Lektion 079b!
In Bild 2 ist die Schnittmenge rot dargestellt. Diese Schnittmenge enthält im Fall unseres LGS nur ein einziges Element, nämlich den Schnittpunkt, genauer, das geordnete Zahlenpaar x, y, also die Koordinaten des Schnittpunktes.
Was liegt außerhalb der Schnittmenge, also in dem Teil des Kreises (rechts und links), der hier nicht rot hervorgehoben ist?
Sagen wir, wir haben das Lineare Gleichungssystem
I) y = x + 1
II) y = 2x - 1
Wie lautet die Lösung?
1. Lösung BM2786
x + 1 = 2x - 1 || -1
x = 2x -2 || -2x
-x = -2 || *(-1)
x = 2;
y = x + 1
y = 2 + 1
y = 3
L = { (2|3) }
Wie würde man das dann in allen 3 Feldern des Venn-Diagramms (Mengendiagramm) in Bild 1 eintragen?
2. Lösung BM2786
Die Schnittmenge hat als einziges Element den Punkt (2|3)
Der eine restliche Kreis (sagen wir der linke) hat als Elemente die Punkte, die die Gleichung (I) erfüllen, ABER ohne den Schnittpunkt.
Also: { (x|y) | y = x + 1 \ (2|3) }
\ (2|3) bedeutet: MINUNS das nachfolgende Element. Lies: OHNE Punkt (2|3).
Der rechte restliche Kreis (ohne die rote Schnittmenge) hat als Elemente die Punkte (oder Zahlenpaare), die die Gleichung (II) erfüllen.
Also: { (x|y) | y = 2x - 1 \ (2|3) }
Lies: die Menge der Punkte mit den x-y-Werten, für die gilt: y = 2x - 1, ABER OHNE das Zahlenpaar (2|3)
Lösungsmenge des LGS als Venn-Diagramm


BM2787

Wie sähe das Mengendiagramm aus, wenn die beiden Geraden parallel laufen und es deshalb keine Lösung gäbe?
1. Lösung BM2787
Wir hätten zum einen die Menge der Punkte, die (I) erfüllen und zum anderen die Menge der Punkte, die (II) erfüllen.
Diese Mengen überlappen sich aber nicht. Sie bilden keine Schnittmenge.
Wie nennet man zwei mengen, die sich NICHT überlappen, die also keine Schnittmenge bilden. Die Schnittmenge dieser menge ist leer. Die Schnittmenge dieser Menge ist die leere Menge.
Wie nennt man solche Mengen?
Wie kann man das zeichnen?
2. Lösung BM2787
Disjunkte Mengen
---
Wenn Mengen keine gemeinsame Elemente enthalten, so sind sie disjunkt.
---
In der Mengenlehre heißen zwei Mengen A und B disjunkt (lateinisch disjunctus = ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.
---
Zwei Mengen und sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:
Die leere Menge ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
Könnte man das Mengendiagramm noch anders zeichnen?
Disjunkte Mengen überlappen sich nicht. Ihre Schnittmenge ist leer. Das entspricht unserem Fall 1 (parallele Geraden).
3. Lösung BM2787
Man könnte ein Mengendiagramm mit Schnittmenge zeichnen, aber an die Schnittmenge schreiben, dass diese LEER ist.
Zwei Mengen und sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:
Die Schnittmenge (rot) ist leer!

BM2788

Ist ein Fall denkbar, bei dem ein LGS mit parallelen Geraden doch eine Lösung hat?
Lösung BM2788
Das Wort "eine" ist im Deutschen zweideutig, denn es bedeutet einerseits "1" und andererseits "es gibt (irgendein)".
Beispiel: ich habe einen Bleistift: 1. Das bedeutet nicht, dass ich nicht noch mehr habe.
So bedeutet "ein" in der Mathematik oft: "ein oder mehrere" im Sinne von "es gibt mindestens eins".
Meist konkretisiert der Mathematiker und sagt: "genau ein", wenn "1" meint.
Deshalb ist die Frage: "Gibt es doch eine Lösung für ein LGS mit Parallelen?" so zu verstehen, ob es "mindestens eine (oder mehrere)" Lösungen gibt.


Antwort: Ja!
Wenn die beiden Geraden genau aufeinander liegen, dann liegen sie gleichzeitig auch parallel zueinander. und dann gibt es eine Lösung, sogar unendlich viele Lösungen.
Man muss also in der Mathematik sprachlich viel genauer formulieren:
Wenn zwei Geraden parallel zueinander liegen UND NICHT genau aufeinander liegen, dann gibt es KEINE Lösung für das LGS.


BM2789

Wiederholung
Lineare Gleichungssysteme haben
  • genau eine Lösung, wenn sich die Geraden schneiden
  • keine Lösung, wenn die Geraden parallel zueinander liegen UND NICHT genau aufeinander liegen
  • unendlich viele Lösungen, wenn die Geraden genau aufeinander liegen.
Bisher haben wir als Lösungsverfahren für LGS kennen gelernt:
  • das grafische Lösungsverfahren
  • das Gleichsetzungsverfahren und
  • das Einsetzungsverfahren
Noch nicht gelernt haben wir das Eliminationsverfahren und das Additionsverfahren.


BM2790

Ausblick
Bisher haben wir nur über den einfachsten Fall von Linearen Gleichungssystemen gesprochen.
Aber ein lineares Gleichungssystem kann durchaus auch mehr als 2 Gleichungen (also Geraden) haben.
Schon wenn wir drei Geraden haben, sind einige zusätzlich Varianten denkbar.
Wenn sich alle 3 Geraden eines LGS in genau einem Punkt treffen, dass hat es eine Lösung (Bild 1)
Wenn alle 3 Geraden parallel zueinander liegen (und nicht aufeinander), dann gibt es keine Lösung (Bild 2).
Aber auch wenn die Geraden nicht parallel zueinander liegen, kann es sein, dass es keine Lösung gibt, weil sich nicht alle 3 Gerden in einem einzigen Punkt treffen (Bild 3).
Sonderfälle wären dann noch, wenn sie nur paarweise parallel zueinander liegen oder paarweise aufeinander (Bild 4-6).
Bild 1
Bild 2
Bild 3
Bild 4
Bild 5
In welchem Fall hat ein Lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen mehr als eine Lösung?
Lösung BM2789
Wenn alle 3 Geraden genau aufeinander liegen, gibt es unendlich viele Lösungen (Bild 6).
Wenn sich die 3 Geraden jedoch an 3 verschiedenen Punkten kreuzen, dann haben wir gar keine Lösung und nicht etwa 3 Lösungen. Denn von einer Lösung können wir nur sprechen, wenn der Lösungs-Punkt ALLE Geraden des Gleichungssystems erfüllt (Bild 7).
Bild 6
Bild 7
Noch interessanter wird es, wenn unser Gleichungssystem nicht mehr linear ist, wenn die Gleichung nicht mehr eine Gerade als Grapehn ergibt, sondern einen Bogen oder eine Welle.
In Bild 8 besteht das Gleichungssystem aus einer Geraden und einem gebogenen Graphen.
Bild 9 und 10 vermittelt die vielleicht eine Vorstellung, wie schwer es sein kann die Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen, also den Schnittpunkt der Graphen zu ermitteln.
Bild 8
Bild 9
Bild 10
Noch einen Schritt weiter geht es, wenn die Gleichungen des Gleichungssystems nicht mehr Linien, sondern Flächen darstellen, wenn wir uns also nicht mehr wie bisher im zweidimensionalen x-y-Koordinatensystem bewegen, sondern im x-y-z Koordinatensystem bewegen, also im dreidimensionalen Raum. Dann wird das Lösen eines solchen Gleichungssystems erst richtig interessant.
Bild 11: Gleichungssystem mit 2 Ebenen
Bild 13: Gleichungssystem mit 3 Ebenen
Da geht noch was: Wenn die Flächen, die sich durchdringen nicht gerade, sondern gekrümmt sind. Wenn das Gleichungssystem also aus Gleichungen besteht, die gekrümmt Flächen darstellen. Schon allein die Flächen können sehr interessante Formen annehmen (Bild 1 - 3), und wenn die sich dann erst durchdringen fängt das Rechnen an.
Da fängt man meist mit einem einfach geformten Kegel an, der von einer ebenen Fläche geschnitten wird. Also "nur" ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen (Bild 17).
Bild 14
Bild 15
Bild 16
Bild 17
Bild 18
Bild 19
Bild 20
Bild 21
 
Nach oben hin gibt es keine Grenze.
Aber das soll erst mal nur ein kleiner Ausblick sein, um klar zu machen, dass Lineare Gleichungssystemen nicht ganz unwichtig sind.
Wozu man das braucht? - In der Praxis für sehr vieles.
Bekannt ist die Dachkonstruktion des Opernhauses in Sydney: 1959 begannen die Bauarbeiten, 1973 war das Gebäude fertig. Die gekrümmten Schalen des Daches bereiteten jedoch große Probleme, da sie nur schwer zu berechnen waren. Allein die komplexe Geometrie am Dach wurde in sechs Jahren über zwölfmal neu entworfen. Mit Lochkarten gesteuerte Computer brauchten 18 Monate, um die Krümmungen und die Statik aller Dächer zu berechnen. Es wurden 44 Zeichner damit beschäftigt, um mehr als 1700 Pläne der Dachkonstruktion zu erstellen. Heute geht das mit Computern wesentlich schneller.
DAS waren Gleichungssysteme. Nicht unsere popligen LGS mit zwei Geraden.
Bild 22
Bild 23
Bild 24
Bild 25

BM2790

Anwendungen für lineare Gleichungssysteme
Textaufgabe:
Ein Junge und ein Mädchen haben insgesamt 57 Freunde.
Das Mädchen hat doppelt so viele Freunde, wie der Junge.
Wie viele Freunde hat jeder von beiden?
Als Variablen nehmen wir:
j = Anzahl der Freunde des Jungen
m = Anzahl der Freunde des Mädchens
Stelle nun für diese Textaufgabe das dazugehörige lineare Gleichungssystem auf!
1. Lösung BM2790
Ein Junge und ein Mädchen haben insgesamt 57 Freunde.
j + m = 57
---
Das Mädchen hat doppelt so viele Freunde, wie der Junge. ODER Das Mädchen hat zwei mal so viele Freunde, wie der Junge.
m = 2j
---
I) j + m = 57
II) m = 2j
Finde nun die Lösung der Textaufgabe, indem du das LGS löst! Bitte die Kontrolle des Ergebnisses und den Antwortsatz nicht vergessen!
2. Lösung BM2790
I) j + m = 57
II) m = 2j
Wir setzen die rechte Seite von (II) für das m in (I) ein.
j + 2j = 57
3j = 57 || : 3
j = 19
Dieses j = 19 setzen wir in (II) ein, um m auszurechnen.
m = 2j
m = 2*19
m = 38
Kontrolle es Ergebnisses und Antwortsatz:
3. Lösung BM2790
m = 38
j = 19
---
I) j + m = 57
38 + 19 = 57
57 = 57
OK
---
II) m = 2j
38 = 2 * 19
38 = 38
OK
Antwort:
Das Mädchen hat 38 Freunde und der Junge hat 18 Freunde.

BM2791 - BM2800[editar]

BM2791

Rechteck
Textaufgabe:
Ein Rechteck ist ist 10 cm länger als breit.
Der Umfang des Rechtecks ist 72 cm.
Für die Länge des Rechtecks nehmen wir die Variable a.
Für die Breite des Rechtecks nehmen wir die Variable b.
Der Umfang des Rechtecks ist 72 cm.
Wie sieht die Gleichung zu diesem Satz aus?
1. Lösung BM2791
2a + 2b = 72
Ein Rechteck ist ist 10 cm länger als breit. (Länge a; Breite b)
Wie sieht die Gleichung zu diesem Satz aus?
2. Lösung BM2791
10 cm länger als breit
Ich muss also zur Breite 10 cm dazugeben, um auf die Länge zu kommen.
Das Rechteck ist länger als breit.
Also wie nun?
3. Lösung BM2791
a = b + 10
Und schon haben wir unser Gleichungssystem:
I) 2a + 2b = 72
II) a = b + 10
Löse es hurtig!
4. Lösung BM2791
Der schnellste Weg ist wohl, wenn wir die rechte Seite von (II) für das in in (I) einsetzen.
5. Lösung BM2791
I) 2a + 2b = 72
II) a = b + 10
---
2*(b + 10) + 2b = 72
2b + 20 + 2b = 72 || - 20
2b + 2b = 52
4b = 52 || :4
b = 13
Das b = 13 setzen wir in (II) ein.
6. Lösung BM2791
II) a = b + 10
b = 13
---
a = 13 + 10
a = 23
Kontrolle!
7. Lösung BM2791
a = 23
b = 13
---
I) 2a + 2b = 72
2*23 + 2*13 = 72
46 + 26 = 72
72
OK
---
II) a = b + 10
23 = 13 + 10
23 = 23
OK
Antwortsatz:
8. Lösung BM2791
Das Rechteck ist 23 cm lang und 13 cm breit.
Oder kurz: L = { (23|13) }


BM2792

Mischungsrechnen mit linearen Gleichungssystemen
Mischungsrechnen hatten wir schon mal vor 5 Lektionen, in Lektion 101b, aber irgendwie vergessen alle das immer wieder ganz schnell, wenn man das nicht jeden Tag im Beruf anwendet.
Aber hier wollen wir jetzt eine Mischungsaufgabe mit einem LGS lösen.
Aufgabe:
Wir brauchen 4 Liter einer 40%-igen Frostschutzlösung - für die Kühlflüssigkeit eines Motors oder für den Scheibenwischer.
Momenten sind 4 Litern Frostschutzlösung im Kühlwasserreservoir des Motors, allerdings hat diese nur noch eine Konzentration von 25%, da gelegentlich mit Wasser aufgefüllt wurde. Der Motor ist alt und irgendwo leckt das System leicht.
Nun soll zur Vorbereitung auf den Winter die vorgeschriebenen Konzentration von 40% Frostschutzmittel wieder genau aufgefüllt werden.
Dazu soll eine 100%-ige Lösung Frostschutzmittel eingefüllt werden. Vorher muss natürlich die entsprechende Menge der alte (25%-igen) Frostschutzlösung abgelassen werden.
Wie viel Frostschutzmittel muss abgelassen bzw. aufgefüllt werden?
Bevor wir versuchen das Gleichungssystem für diese Aufgabe aufzustellen, legen wir uns eine Tabelle an.
Die Tabelle hat 3 Zeilen.
In der 1. Zeile ist die 25%-ige Lösung eingetragen, die momentan noch im Reservoir ist.
In der 2. Zeile ist die 100%-ige Lösung eingetragen, mit der wir das Reservoir auffüllen wollen.
In der 3. Zeile ist die 40%-ige Lösung eingetragen, die wir letztendlich im Reservoir haben wollen.
In der 1. SPALTE stehen der Mengen der jeweiligen Lösungen aus Wasser und einem gewissen Anteil Frostschutzmittel
In der 2. Spalte steht, wie viel Frostschutzmittel in der Lösung ist. Sozusagen wie viel 100%-iges Frostschutzmittel in dieser konkreten Menge und dieser konkreten Verdünnung enthalten ist.
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% (a) (d)
100 % (b) (e)
40% (C) (f)
(a) + (b) ergibt (c). Die untereinanderstehenden Felder eine Spalte addieren sich zu Zeile 3.
(d) + (e) ergibt (f)
Die untereinanderstehenden Felder eine Spalte addieren sich jeweils zum Feld in Zeile 3.
Ein aus der Luft gegriffenes Beispiel:
Wenn ich 100 Liter einer 25%-igen Lösung habe (a) und dazu 50 Liter einer 100-igen Lösung (b), dann habe ich insgesamt 150 Liter (c). Allerdings werden diese 150 Liter nur dann genau eine 40%-ige Lösung, wenn ich ein richtiges Verhältnis wähle.
Ebenso ist es in der 3. Spalte: Wenn die Menge des reinen Frostschutzmittels in den 100 Litern der 25%-igen Lösung 25 Liter ist (d) und die Menge des reinen Frostschutzmittels in den 50 Litern der 100%-igen Lösung 50 Liter ist (e), dann haben wir in (f) 75 Liter (= 25 + 50 Liter). Natürlich stimmt jetzt wahrscheinlich die Konzentration nicht, weil das Beispiel nur aus der Luft gegriffen war, um die Logik hinter dieser Mischungstabelle zu erläutern.


Das erste Feld in der Tabelle können wir schon mal ausfüllen. Was schreiben wir da rein? In welches Feld?
1. Lösung BM2792
Tipp: Wir wollen zum Schluss 4 Lite einer 40%-igen Lösung haben.
2. Lösung BM2792
Die 4 Liter tragen wir in die 1. Spalte, 3. Zeile ein.
4 Liter einer 40%-igen Lösung aus Frostschutzmittel in Wasser gelöst.
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25%    
100 %    
40% 4  
Die 4 Liter tragen wir NICHT in die 1. Zeile, 1. Spalte ein. Wir haben zwar momentan dort unsere 4 Liter 25%-ige Lösung, aber wir wollen ja mit dieser Tabelle eine neue Mischung ausrechnen. Wir suchen also nicht den jetzigen Zustand.
Was wissen wir noch? Was können wir noch eintragen?
3. Lösung BM2792
Wir wissen noch nicht sehr viel.
4. Lösung BM2792
Für unsere Mischung brauchen wir eine noch unbekannte Menge x der 25%-igen Lösung
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x  
100 %    
40% 4  
Was tragen wir in die 2. Zeile, 1. Spalte ein? Unter x und über der 4.
5. Lösung BM2792
Wir wissen, dass sich die Menge x der 25%-igen Lösung und die Menge der 100%-igen Lösung zu 4 ergänzen muss.
x + (4-x) = 4
Wir können in die 1. Spalte, 2. Zeile ein (4-x) eintragen.
Beispiel: x = 1 Liter, dann muss dadrunter (= darunter) eine 3, damit die Addition 1 + 3 dann die 4 Liter der Zielmenge ergibt.
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x  
100 % 4-x  
40% 4  
Diese Überlegungen hatten wir schon vor 5 Lektionen beim Mischungsrechnen angestellt.
So haben wir nur eine einzige Variable x.
Jetzt aber verwenden wir ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen.
Wenn wir 2 Gleichungen haben, dann dürfen wir auch 2 Variablen haben. Nicht mehr mehr nur ein x, sondern ein x und ein y.
Deshalb schreiben wir statt (4-x) ein y in die Tabelle. Das ist letztendlich bequemer.
6. Lösung BM2792
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x  
100 % y  
40% 4  
Was könnten wir noch eintragen.
In Zeile 3, Spalte 2 müssen wir eintragen, wie viel Frostschutzmittel in 4 Litern einer 40%-igen Lösung ist.
7. Lösung BM2792
1% von 100 ist 1
40% von 100 ist 40*1
1% von 004,000 ist 0,04. Das heißt: in 4 Litern einer 1%-igen Lösung sind 0,04 Liter Frostschutzmittel drin.
1% von 4 ist 4/100. Lies: vier Hundertstel, Prozent heißt nichts anderes als "von Hundert" oder "Hundertstel". Das sind genau 0,04
40% von 4 ist 40 mal so viel, also 40*4/100.
40*4/100
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x  
100 % y  
40% 4 40*4/100
Auch die 1. Zeile, 3. Spalte können wir nun ausfüllen.
Wenn in 4 Litern einer 40%-igen Lösung genau 40*4/100 Liter Frostschutzmittel enthalten sind, wie viel Frostschutzmittel
sind in x Litern einer 25-igen Lösung enthalten?


8. Lösung BM2792
Wenn in 4 Litern einer 40%-igen Lösung genau 40*4/100 Liter Frostschutzmittel enthalten sind, wie viel Frostschutzmittel
sind in x Litern einer 25-igen Lösung enthalten?
Das können wir nach dem gleichen Schema lösen:
Statt 40*4/100 schreiben wir 25*x/100
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x 25*x/100
100 % y  
40% 4 40*4/100
Und was schreiben wir ins letzte freie Feld? (3. Spalte, 2. Zeile)
Wir schreiben nicht 40*4/100 und auch nicht 25*x/100, sondern?
9. Lösung BM2792
Nicht 40*4/100 und auch nicht 25*x/100 sondern
100*y/100
Das können wir aber kürzen:
100*y/100 = y
Da hätten wir auch durch Nachdenken drauf kommen können.
Beispiel: 80 Liter einer 100%-igen Frostschutzlösung enthält genau 80 Liter Frostschutzmittel, weil überhaupt kein Wasser drin ist.
Folglich enthalten y Liter einer 100%-igen Frostschutzlösung genau y Liter Frostschutzmittel.
Wir schreiben also in das letzte Feld ein y.
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x 25*x/100
100 % y y
40% 4 40*4/100
Nun können wir unser Gleichungssystem aufstellen.
Also los!
10. Lösung BM2792
Tipp:
Wir nutzen unser Wissen, dass die erste Spalte nach unten aufsummieren lässt und ganz unten die Summe steht.
Denn wir mischen (addieren) eine 25%-ige Lösung mit einer 100-igen und erhalten zum Schluss als Resultat eine 40%-ige Lösung.
Das gilt sowohl für die 1. Spalte (daraus bilden wir unsere erste Gleichung des LGS), als auch für die 2. Spalte (daraus bilden wir die 2. Gleichung des LGS).
11. Lösung BM2792
I) x + y = 4
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x 25*x/100
100 % y y
40% 4 40*4/100
Und wie lautet die 2. Gleichung?
12. Lösung BM2792
I) x + y = 4
II) (25*x/100 ) + y = 40*4/100
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x 25*x/100
100 % y y
40% 4 40*4/100
Jetzt müssen wir noch das aufgestellte Gleichungssystem lösen.
Da wir noch nicht das Eliminationsverfahren und das Additionsverfahren kennen, müssen wir in den sauren Apfel beißen und das Einsetzungsverfahren anwenden.
Löse bitte (I) nach y auf und setze in (II) ein!
13. Lösung BM2792
I) x + y = 4
Ia) y = - x + 4
II) (25*x/100 ) + y = 40*4/100
Bevor wir in (II) einsetzen wollen wir (II) leicht modifizieren, um die Rechnung zu vereinfachen.
(25*x/100 ) + y = 40*4/100 || * 100
IIa) 25x + 100y = 40*4
Jetzt setzen wir (Ia) in (IIa) ein:
25x + 100*(-x + 4) = 40*4
25x - 100x + 400 = 160 || - 400
25x - 100x = 160 - 400
-75x = -240 || *(-1)
75x = 240 || :75
x = 240/75 || durch 25 lässt sich das nicht kürzen, aber mindestens durch 5
x = 48/15 = 3,2
Jetzt suchen wir noch y, indem wir 3,2 in (I) einsetzen.
14. Lösung BM2792
I) x + y = 4
x = 3,2
y = 4 - x
y = 4 - 3,2
y = 0,8
Und wie lautet der Antwortsatz? Wie ist das Ergebnis zu interpretieren?
x = 3,2
y = 0,8
Menge (Wasser+Frostschutzmittel) Menge (Frostschutzmittel)
25% x = 3,2 25*x/100
100 % y = 0,8 y
40% 4 40*4/100
Wie lautet der Antwortsatz?
15. Lösung BM2792
Wir müssen 0,8 Liter von der 100%-igen Frostschutzlösung dazukippen. Vorher müssen wir natürlich 0,8 Liter von der 25%-igen Frostschutzlösung ablassen (und vorschriftsmäßig und umweltfreundlich in einer Sammelstelle entsorgen).
Von der 25%-igen Frostschutzlösung können 3,2 Liter im Reservoir verbleiben.


BM2793

I)
II)
Nach einer anderen mathematischen Notation (= Schreibweise) werden die Gleichungen des Linearen Gleichungssystems nicht nummeriert, sondern links und rechts durch senkrechte Striche zusammengefasst, um kenntlich zu machen, dass sie zusammengehören, also ein Gleichungssystem bilden
Wir wollen hier aber bei der Schreibweise mit nummerierten Gleichungen bleiben, damit wir uns im Erklärungstext leichter auf die jeweilige Gleichung beziehen können.
Bisher hatten wir als Lösungsmethoden für LGS:
  • das grafische Lösungsverfahren
  • das Gleichsetzungsverfahren
  • das Einsetzungsverfahren
Nun wollen wir das Eliminationsverfahren kennen lernen. Ein anderer Name dafür ist: Additionsverfahren.
Das Einsetzungsverfahren bietet sich meist an, wenn eine der gegebenen Gleichungen des LGS bereits nach einer Variable aufgelöst ist oder wenn sich eine Gleichung relativ leicht nach einer Variable auflösen lässt.
Sonst ist das Eliminationsverfahren meist einfacher, schneller und effektiver.


BM2794

I)
II)
Wir haben 2 Gleichungen gegeben. In jeder Gleichung sind 2 Variablen.
Mit dem Eliminationsverfahren wollen wir nur eine Variabel komplett aus dem Gleichungssystem eliminieren (= beseitigen, löschen, rauswerfen).
Dieses Eliminieren geschieht (= erfolgt, macht man, realisiert man), indem man die beiden Gleichungen geschickt addiert. Daher auch der Name: Additionsverfahren.
Als Vorbereitung müssen wir die Gleichungen in ein bestimmt äußere Form überführen.
Auf der einen Seite stehen die Variablen (dazu wählen wir normalerweise die linke Gleichungsseite) und auf der anderen Gleichungsseite müssen die Konstanten (also die Zahlen ohne Variablen) stehen.
Das sieht dann z. B. so aus.
3x - y = -5
Links die Variablen (meist x und y), in alphabetischer Reihenfolge, mit den Koeffizienten davor (2*x; 1*y; wobei wir die Eins nicht mitschreiben).
Rechts die Zahl ohne Variablen.
Eventuell müssen wir die gegebenen Gleichung umstellen, um diese erforderliche Gleichungsform für das Eliminationsverfahren zu erhalten.
-2x + y - 6 = 4 || Das müssten wir noch umstellen, denn da steht rechts noch eine -6.
-2x + y - 6 = 0 || Das müssten wir noch umstellen, denn da steht rechts noch eine -6.
-2x + y + x = 4 || Da müssten wir erst noch "-2x" und "+x" zusammenfassen.
-4x - y = 0 || Das geht, denn Null ist auch eine Zahl. Dass x den Koeffizienten Minus 4 hat stört nicht.
Wir können das -y in Der Gleichung auch als + (-1*y) betrachten. Also den Koeffizienten vor y als -1 betrachten. Die Gleichung wäre dann nur eine Summe, aber mit möglichen negativen Koeffizienten:
(-4x) + (-y) = 0
Allgemein könnte man die erforderliche Form der Gleichungen auch so beschreiben:
Ax + By = C
Dabei sind x und y die Variablen und A, B und C sind Zahlen. Diese Zahlen dürfen auch negativ sein oder Brüche oder reelle Zahlen.
Kurz: || Lies: A, B und C sind Element der reellen Zahlen.


BM2795

In der Mathematik arbeiten wir pausenlos mit den Variablen x und y.
Wie lautet der Plural dieser beiden Buchstaben?
y - 2x + 4 + 5y -x = y
In dieser Gleichung steht mehrmals die Variable x und y.
In dieser Gleichung steht mehrmals x und y.
(Setze für die 3 Punkte die Pluralform von x und y ein!)
1.) In dieser Gleichung stehen mehrere ... und ...
2.) Die Koeffizienten vor den ... und ... dürfen nicht negativ sein.
3.) Fasse die ... und ... zusammen!
4.) Du musst die ... und ... in den Gleichungen genauer ausrichten.
5.) Die Größe der ... und ... passt nicht zu den übrigen Zahlen.
Lösung BM2795
x und y sind keine Wörter und schon gar keine Nomen (= Substantive), deshalb gibt es auch keinen Plural davon.
Buchstaben werden in gutem Deutsch nicht gebeugt. Das gilt für die x, die y, ebenso für den Familiennamen Pfeiffer mit drei f und überhaupt.
Wir schreiben also unverändert x und y, auch wenn wir mehrere davon meinen.
1.) In dieser Gleichung stehen mehrere x und y.
2.) Die Koeffizienten vor den x und y dürfen nicht negativ sein.
3.) Fasse die x und y zusammen!
4.) Du musst die x und y in den Gleichungen genauer ausrichten.
5.) Die Größe der x und y passt nicht zu den übrigen Zahlen.
Noch besser wäre es ein passendes zusätzliches Wort einzufügen, um kenntlich zu machen, dass es sich um mehrere x und y handelt.
Also:
1.) In dieser Gleichung stehen mehrere x und y. ➔ In dieser Gleichung stehen die Variablen x und y gleich mehrfach.
2.) Die Koeffizienten vor den x und y dürfen nicht negativ sein. ➔ Die Koeffizienten vor den Variablen x und y dürfen nicht negativ sein.
3.) Fasse die x und y zusammen! ➔ Fasse die Koeffizienten der Variablen x und y zusammen!
4.) Du musst die x und y in den Gleichungen genauer ausrichten. ➔ Du musst die Buchstaben x und y in den Gleichungen genauer ausrichten.
5.) Die Größe der x und y passt nicht zu den übrigen Zahlen. ➔ Die Größe der Buchstaben x und y passt nicht zu den übrigen Zahlen.
Um sprachlich noch deutlicher zu machen, dass es sich um mehrere x handelt, kann man zusätzliche Wörter wie alle, jedes, beide oder jeweils einfügen.
Bei einer Gleichung wie y - 2x + 4 + 5y -x = y handelt es sich streng genommen um das selbe x bzw. das selbe y. Wir haben also eine Gleichung mit zwei Unbekannten und nicht mit mehreren x und y.
Korrekt wäre demnach etwa:
1.) In der Gleichung steht x und y gleich mehrfach.
2.) Die Koeffizienten vor den Variablen x und y dürfen jeweils nicht negativ sein.
3.) Fasse die x und y zusammen!
4.) Du musst alle x und y in den Gleichungen genauer ausrichten.
5.) Die Größe der beiden x und y passt nicht zu den übrigen Zahlen.
Weitere Beispiele:
Die Menge aller x für die ... gilt, und die Menge aller y für die ... gilt.
Für große x gilt ...


BM2796

Dieses gegebenen LGS hat bereits die erforderlich Form
I)
II)
Übersichtlicher und weniger fehleranfällig wird das Eliminationsverfahren, wenn man die Koeffizienten, Variablen, Pluszeichen und Gleichheitszeichen schön ordentlich ausgerichtet untereinander schreibt. Etwa so:
Nachdem wir im ersten Schritt die Gleichungen in die erforderliche Forme Ax + By = C umgewandelt haben und ordentlich ausgerichtet untereinander geschrieben haben, gilt es nun im 2. Schritt eine Variable zu identifizieren, die in beiden Gleichungen den gleichen Koeffizienten hat aber gleichzeitig ein anderes Vorzeichen.
In unserem Gleichungssystem ist das das y. In (I) steht "-y" in (II) steht (+y). So was suchen wir.
Anders Beispiel:
I) -2x - 3x = 8
II) 2x + 4y = 3
Hier sind "-2x" in (I) und "+2x" in (II) identisch. Sie unterscheiden sich lediglich durch das Vorzeichen.
Es müssen nicht gleichzeitig die x UND y identisch sein. Das ist nur der Fall, wenn wir KEINE Lösung haben oder unendlich VIELE Lösungen. Das kommt aber erst etwas später.
Sollte es kein x oder y mit gleichem Koeffizienten und unterschiedlichen Vorzeichen vor dem x oder y geben, dann müssen wir die Gleichung auf beiden Seiten eventuell mit einer Zahl multiplizieren, um diesen Zustand herzustellen. Dazu kommen wir aber erst in einer späteren Übung.
Im 3. Schritt addieren wir jetzt die Gleichung (I) mit der Gleichung (II).
Praktisch gehen wir dabei so vor, dass wir die jeweils untereinanderstehenden Ausdrücke addieren.
Also:
(3x) + (-2)
(-y) + (y)
(-5) + (4)
Das ist ungefähr so, als wenn wir unter einander geschriebenen Zahlen addieren und das Ergebnis unten drunter schreiben.
  3 4 5
+ 6 1 2
  9 5 7
Nur, dass wir dieses Mal die einzelnen untereinander geschriebenen Teile der Gleichung addieren und genau ausgerichtet unter beide Gleichungen schreiben:
I) 3x -y = -5
II) -2x +y = 4
I + II) x +0 = -1
Wenn wir also (I) und (II) nach unserer Regel addieren, dann erhalten wir
x + 0 = -1
Oder schöner geschrieben:
x = -1
Wie durch ein kleines Wunder ist das y aus der Gleichung gefallen.
Wir haben die Gleichungen extra so gewählt, dass sich "-y" und "+y" zu Null addieren, dass also das y eliminiert wird.
Daher der Name Eliminationsverfahren. Weil wir die Gleichungen addieren können wir auch Additionsverfahren sagen.
Wir wollen noch schnell das dazugehörige y ausrechnen, um die komplette Lösung des LGS zu erhalten:
1. Lösung BM2797
I)
II)
|| in (I) einsetzen
Ia)
|| +3
|| *(-1)
L = { (-1|2) }


BM2797

Dürfen wir einfach so 2 Gleichungen eines LGS nehmen, sie in passender Form untereinander schreiben und miteinander addieren?
Warum dürfen wir zwei wildfremde Gleichungen addieren?
Wenn es wir eine Gleichung auf beiden Seiten mit einer Zahl addieren, beispielsweise
3x - y = - 5 || *2
2 * (3x - y) = 2*5
Das ist erlaubt, weil wir auf beiden Seiten einer Gleichung das gleiche machen dürfen, ohne dadurch das Gleichgewicht (also die Gleichung) zu stören:
Aber dürfen wir zwei unterschiedliche Gleichungen addieren?
Warum dürfen wir das?
1. Lösung BM2797
I)
II)
---
Das ist fast so wie beim Einsetzungsverfahren, das wir ja schon kennen.
Der Kernpunkt ist, das die Gleichungen ja nicht wildfremd sind, sondern zu einem Gleichungssystem gehören.
Und in diesem Gleichungssystem suchen wir den Schnittpunkt, also die Lösung bei der die x in beiden Gleichungen identisch sind, und ebenso die y.
Deshalb stellen wir beim Einsetzungsverfahren beispielsweise (I) nach y um und setzen dann in (II) ein.
Etwa so:
I) || -3x || *(-1)
II)
Ia)
II)


Nun zum Eliminationsverfahren:
Wir dürfen mit (II) auf beiden Seiten das gleiche machen. Beispielsweise 5 addieren
II) || +5
IIa)
Wir dürfen auch bei (II) auf beiden Seiten mehr addieren. Beispielsweise 2x.
II) || + 2x
IIa)
Wir dürfen auch auf beiden Seiten von (II) den Ausdruck (3x - y) addieren. Den haben wir jetzt nicht zufällig gewählt. Das ist der Ausdruck, der in (I) auf der linken Seite steht. Wir dürfen das:
II) || + (3x - y)
IIa) || das wollen wir mal ausrechnen. Eigentlich interessiert uns nur die linke Seite der Gleichung. Wir stellen erst mal nur um und beseitigen die Klammern.
IIb)
Oh, Wunder. Auch hier löst sich "+y" und "-y" in Wohlgefallen auf und verschwindet:
IIb) || Aber die rechte Seite ist so komisch.
Deshalb noch mal von vorne:
I)
II)
Wir dürfen auch auf beiden Seiten von (II) den Ausdruck (3x - y) addieren.
Gleichzeitig wissen wir aus der Gleichung (I), daß (3x - y) das gleiche bedeutet, den gleichen Wert hat, wie "-5". Schließlich ist es eine Gleichung. In einer Gleichung hat die eine Seit (hier: 3x - y) den gleichen Wert, wie die anderes Seite (hier: "-5").
Wir dürfen auch auf beiden Seiten von (II) den Ausdruck (3x - y) addieren. Wir können aber auch sagen, dass wir die rechte Seite der Gleichung mit etwas addieren wollen, was den gleichen Wert hat, wie der Ausdruck (3x - y), nämlich "-5".
Wir addieren also (II) auf der linken Seite mit der rechten Seite von (I) und gleichzeitig addieren wir (II) auf der rechten Seite mit der rechten Site von (I).
So erhalten wir:
|| das rechnen wir aus
Wer so rechnen möchte - bitte sehr, der kann das gerne tun.
Aber übersichtlicher ist es, wenn man für diese Rechnung die Addition in senkrechten Spalten ausführt, wo wie wir das schon von der ganz einfachen Addition von in Spalten untereinander geschriebenen Zahlen kennen.
I) 3x -y = -5
II) -2x +y = 4
I + II) x +0 = -1
Warum dürfen wir also die beiden Gleichungen addieren?
Weil die linke und die rechte Seite von (I) den gleichen Wert haben.
Und weil ich zu (II) auf beiden Seiten gleichzeitig den gleichen Wert addieren darf.
Das Untereinanderschreiben der Gleichungen erleichtert uns lediglich das kolonnenweise addieren.


BM2798

Der Trick beim Eliminationsverfahren (auch Additionsverfahren genannt) ist, dass wir die beiden Gleichungen geschickt in eine Form bringen, bei der sich durch die Addition ein Variable aufhebt. Das ist der Fall wenn diese Variable in beiden Gleichungen unterschiedliche Vorzeichen hat und ansonsten den gleichen Koeffizienten.
Den Koeffizienten "1" müssen wir uns denken, da die Eins normalerweise nicht mitgeschrieben wird.
I) x + y = 5 || Hier haben x und y den Koeffizienten Eins
II) x + 3y = 2 || Hier hat x den Koeffizienten Eins
Was ist mit dem folgenden Gleichungssystem? Welchen Koeffizienten hat y in der Gleichung (II)?
I) 4x + 11y = 100
II) 4x = 200
1. Lösung BM2798
Der Koeffizient von y in (II) kann als Null betrachtet werden.
I) 4x + 11y = 100
II) 4x + (0*y)= 200
Und wie addiert man die beiden Gleichungen im Eliminationsverfahren?
I) 4x + 11y = 100
II) 4x = 200
2. Lösung BM2798
I) 4x +11y = 100
II) 4x   = 200
I + II)        
Das können wir nicht einfach addieren, denn "4x" hat in beiden Gleichungen das gleiche Vorzeichen. Das Vorzeichen muss sich aber unterscheiden, damit "4x" und "-4x" durch die Addition eliminiert werden.
Und nun?
3. Lösung BM2798
Wir machen in (I) aus dem "4x" ein "-4x", indem wir (I) auf beiden Seiten mit "-1" multiplizieren. Dadurch kehrt sich das Vorzeichzen um.
I) 4x + 11y = 100 || * (-1)
II) 4x + (0*y)= 200
Ia) (-1) * (4x + 11y) = -100
Ib) -4x -11y = -100
So, nun sollte es auch mit der Addition von (I) und (II) klappen.
4. Lösung BM2798
I) -4x -11y = -100
II) 4x   = 200
I + II)   -11y = 100
-11y = 100
y = - 100/11 = - 9,0909
Hätte man das Problem auch anders lösen können, statt mittels Multiplikation von (I) mit "-1"?
5. Lösung BM2798
Ja, es gibt meist mehrere Rechenwege, die alle zum gleichen Ergebnis führen, jedenfalls wenn man sich nicht verrechnet.
Mathelehrer sagen gern: „Viele Wege führen nach Rom.“, soll heißen: viele Wege führen zum Ergebnis.
Man hätte (I) und (II) voneinander subtrahieren können, statt die Gleichungen zu addieren.
Am besten wäre (I - II):
I) 4x +11y = 100
II) 4x   = 200
I - II) (4x - 4x) +11 =; -100
Aber dazu später mehr.
Übrigens spricht man trotzdem vom Additionsverfahren, obwohl auch eine Subtraktion möglich ist.
Eine Subtraktion kann man als Sonderform einer Addition betrachten.
Eine Subtraktion ist nichts anderes, als die Addition einer negativen Zahl:
Beispiel:
10 - 5
10 + (-5)


BM2799 - tt53 7

geg.: LGS
I) 2m - n = 5
II) -2m + 3n = -3
Natürlich könnten wir das auch irgendwie mit dem Einsetzungsverfahren lösen, aber wir wollen jetzt ja das Eliminationsverfahren üben.
Außerdem ist das Eliminationsverfahren (= Additionsverfahren) prinzipiell einfacher und schneller und deshalb immer zu vervorzugen.
Was ist der 1. Schritt beim Eliminationsverfahren?
1. Lösung BM2799
Die Gleichungen müssen in der Form Ax + B x = C vorliegen.
Also los!
2. Lösung BM2799
Die Gleichungen liegen doch schon in der Form vor.
Um so besser, denn dann können wir uns den 1. Schritt sparen.
I) 2m - n = 5
II) -2m + 3n = -3
Was ist der 2. Schritt?
3. Lösung BM2799
Die Gleichungen müssen untereinander geschrieben werden, spaltenweise ausgerichtet, so dass gleiche Variablen jeweils untereinander stehen.
I) 2m -n = 5
II) -2m +3n = -3
Bei zwei Variablen und zwei Gleichungen erfolgt das fast automatisch.
Aber bei größeren Gleichungssystemen mit mehr Variablen und Gleichungen, die später drankommen, muss man evtl. hier und da eine Lücke lassen und umsortieren, um die Variablen in alphabetischer Reichenfolge anzuordnen.
I) -2x - 3y - z + 2w = -2
II) x + 3z + 1w = 6
III) -3y - z + 2x + 3w = -3
IV) y - 2w + z = 4
Hier braucht man schon einen kurzen Moment, um die Variablen genau untereinander anzuordnen, besonders wenn in einigen Gleichungen eine der Unbekannten nicht vorkommt:
I) -2x -3y -z +2w = 2
II) +x   +3z +w = 6
III) +2x -3y -z +3w = -3
IV)   +y +z -2w = 4
Ob man bei der ersten Unbekannten jeder Gleichung das positive Vorzeichen das positive Vorzeichen mitschreibt ist Geschmacksache. Es erleichtert bei der nachfolgenden spaltenweisen Addition etwas die Übersichtlichkeit, wenn man es mitschreibt.
Das negative Vorzeichen muss man jedenfalls mitschreiben.
Nun aber zurück zu unserem ursprünglichen Gleichungssystem:
I) 2m -n = 5
II) -2m +3n = -3
Was ist der nächste Schritt?
4. Lösung BM2799
Wir überzeugen uns, dass es mindestens ein Paar untereinanderstehender Variablen mit dem gleichen Koeffizienten gibt, wobei aber das Vorzeichen unterschiedlich sein muss.
Das ist hier der Fall:
In (I) steht "+2m" und in (II) steht "-2m". Das Plus-Vorzeichen müssen wir uns eventuell denken, wenn es nicht explizit (= ausdrücklich) am Anfang der Gleichung steht.
I) +2m -n = 5
II) -2m +3n = -3
Und wie weiter?
5. Lösung BM2799
Jetzt addieren wir beide Gleichungen, um eine Variable zu eliminieren, in unserem Fall das "m":
I) +2m -n = 5
II) -2m +3n = -3
I + II)   2n = 2
Es ist besser, wenn wir vor das Ergebnis der Addition schreiben, was wir gemacht haben - also: (I + II).
Denn bei größeren LGS mit mehr Gleichungen wird es dann komplizierter und es schleichen sich gerne einfache Rechenfehler ein. Beim Nachrechnen zwecks Fehlersuche hilft es dann sehr, wenn wir wissen, was wir gerade gerechnet haben, denn die Addition muss eventuell mehrmals und mit verschiedenen Zeilen erfolgen. Zwischendurch müssen manche Zeilen multipliziert werden oder sie werden subtrahiert. Dann sollte jede dieser Zeilenberechnungen ganz kurz aufgeschrieben werden. Bei einem LGS mit 5 Gleichungen etwas so:
I + V
IV - II
3III + 2Ia
Das kommt alles aber erst später dran.
Zurück zum Hauptthema:
2n = 2
Rechne bitte noch schnell die Lösung aus!
6. Lösung BM2799
2n = 2 || :2
n = 1
---
I) 2m - n = 5
II) -2m + 3n = -3
n = 1 in (I) einsetzen:
2m - 1 = 5
2m = 6
m = 3
L = { (3|1) }


BM2800 - tt53 22

geg.: LGS
I)
II)
Bitte mit dem Eliminationsverfahren lösen!
Was machen wir zuerst
1. Lösung BM2800
Die Form der Gleichung muss stimmen.
Dann schreiben wir die Gleichungen untereinander, so dass gleiche Variablen untereinander angeordnet sein.
Hier müssen wir in (II) y und x zusammen mit dem Koeffizienten austauschen, damit die alphabetische Reihenfolge stimmt und es zur Gleichung (I) passt.
I)
II)
I) 2x +6x = -5
II) 7x -6x = -4
      =  
Rein "zufällig" passt "+6x" zu "-6x".
Wir können also mit dem nächsten Schritt fortfahren.
2. Lösung BM2800
Beide Gleichungen addieren:
I) 2x +6x = -5
II) 7x -6x = -4
I + II) 9x   = -9
9x = -9 || :9
x = -1
In (II) einsetzen:
I)
II)


|| +2
|| :6
L = { (-1|-0,5) }
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