Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 062b

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Lección 062
Mathematik auf Deutsch - 12

BM551 - BM560[editar]

BM551

Distributivgesetz
Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:
(a + b) * c = a * c + b * c
Und wegen des Kommutativgesetzes gilt auch:
c * (a + b) = c * a + c * b
---
Distributivgesetz veranschaulicht 927.svg
Beispiel:
Rechenweg 1:
(5 + 4) * 2 = 9 * 2
(5 + 4) * 2 = 19
Rechenweg 2:
(5 + 4) * 2 = 5 * 2 + 4 * 2
(5 + 4) * 2 = 10 + 8
(5 + 4) * 2 = 18


---
Wenn in einem Produkt eine Summe als Faktor auftritt, so gilt es für die Rechnung zwei Möglichkeiten:
Man kann zuerst die Summe berechnen und dann multiplizeiren. (Rechenweg 1)
Man kann auch zuerst jeden Summanden multiplizieren und dann das Produkt addieren. (Rechenweg 2)


BM552

Das Distributivgesetz gilt auch für die Subtraktion.
Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:
(a - b) * c = a * c - b * c
---
Distributivgesetz veranschaulicht 928.svg
Beispiel:
Rechenweg 1:
(10 - 3) * 2 = 7 * 2
(10 - 3) * 2 = 14
Rechenweg 2:
(10 - 3) * 2 = 10 * 2 - 3 * 2
(10 - 3) * 2 = 20 - 6
(10 - 3) * 2 = 14


---
Wenn in einem Produkt eine Differenz als Faktor auftritt, gibt es wie beim Auftreten einer Summe in einem Produkt für die Rechnung zwei Möglichkeiten:
Man kann zuerst die Differenz berechnen und dann multiplizeiren. (Rechenweg 1)
Man kann auch zuerst den Faktor mit dem Minuenden, dann den Faktor mit dem Subtrahenden multiplizieren und dann die Produkte subtrahieren. (Rechenweg 2)


BM553

Multiplizieren von Vielfachen von 10
--
Bei der Aufgabe 547 * 60 wendet man das Assoziativgesetz an.
Man rechnet:
547 * 60 = 547 * 6 * 10
Man multipliziert zuerst 547 mit 6:
547 * 6
   3282
Dann multipliziert man mit 10:
   3282 * 10
      32.820
Also: 547 * 60 = 32.820
Danach wird eine Kontrolle mittels Überschlag mit Näherungswerten durchgeführt.
547 * 60
Überschlag:
500 * 60 = 500 * 6 * 10
500 * 60 = 3.000 * 10
500 * 60 = 30.000
Nun vergleicht man das Ergebnis vom Überschlag mit dem genauen Ergebnis:
32.820 ≈ 30.000
Es stimmt also.


BM554

6.783 * 50
Man rechnet:
6.783 * 5 * 10
Man multipliziert zuerst 6.783 mit 5:
6.783 * 5
    33.915
Dann multipliziert man mit 10:
33915 * 10
    339.150
Also: 6.783 * 50 = 339.150
Kontrolle durch Überschlagsrechnung:
7.000 * 5 * 10 = 35.000 * 10
7.000 * 5 * 10 = 350.000
Zum Schluss vergleicht man das Ergebnis vom Überschlag mit dem genauen Ergebnis:
339.150 ≈ 350.000
Passt!


BM555

Multipliziere schriftlich!
---
62 * 20
37 * 80
132 * 20
246 * 40
764 * 20
40 * 13.789
345.682 * 80
90 * 36.582


BM556

Multiplizieren mit zweisteligen Zahlen
---
325 * 37 = x
325 * 37 = 325 * (30 + 7)
325 * 37 = 325 * 30 + 325 * 7
325 * 37 = 9.750 + 2.275
325 * 37 = 12.025
---
Anwendung des schriftlichen Verfahrens:
Zuerst wird 3 * 325 gerechnet. Die 5 steht genau unter der 3.
325 * 37
    975
Dann wird 7 * 325 gerechnet. Die 5 steht genau unter der 7.
325 * 37
    975
    2275
Zum Schluss wird 975 mit 2275 addiert:
325 * 37
    975
    2275
   12025


Das Ergebnis ist 12.025
Kontrolle mittels Überschlag:
300 * 40 = 12.000
12.025 ≈ 12.000
Passt!
---
300 * 40 kann man auch ganz einfach auchrechnen, indem man rechnet:
3 * 4 = 12
Dann zählt man alle Nullen in „300 * 40“. Es sind 3 Nullen (zwei in der 300 und eine in der 40.)
Diese 3 Nullen hängt man an die 12 ran.
12 und drei Nullen, macht 12.000
300 * 40 = 12.000


BM557

Achte auf richtiges Untereinanderschreiben!
3 2 5 * 3 7
9 7 5
2 2 7 5
1 2 0 2 5


3 2 5 * 3 7
9 7 5 0
2 2 7 5
1 2 0 2 5
Bei richtiger Untereinanderschreibung ändert sich das Ergebnis nicht, wenn man die blaue Null weglässt.


BM558

6,85 Euro * 53
Überschlag: 50 * 7 Euro = 350 Euro (Man rechnet 5*7=35 und hängt die eine Null von der 50 ran.)
Es gibt 2 Lösungswege:
---
1. Rechenweg: Euro ins Cent umrechnen
6,85 Euro ➸ 684 Cent
6 8 5 * 5 3
3 4 2 5
2 0 5 5
3 6 3 0 5
36.305 Cent ➸ 363,05 Euro
---
2. Rechenweg:
6, 8 5 * 5 3
3 4 2 5
2 0 5 5
3 6 3, 0 5
Zum Schluss der Vergleich mit dem Überschlag:
363,05 Euro ≈ 350 Euro


BM559

Rechne schriftlich!
---
7.915 * 76
8.473 * 82
6.464 * 52
43 * 41
21 * 53
36 * 42
8.396 * 31
6.521 * 47
92 * 49
75 * 8.903


BM560

Welches Ergebnis gehört zu welcher Aufgabe?
1) 4.686
2) 4.108
3) 2.646
4) 3.936
5) 1.610
---
a) 63 * 42
b) 79 * 52
c) 71 * 66
d) 82 * 48
e) 35 * 46

BM561 - BM570[editar]

BM561

Multiplizieren mit mehrstelligen Zahlen
---
532 * 400 = x
Zuerst multipliziert man 532 mit 4
5 3 2 * 4 0 0
2 1 2 8
Dann multipliziert man mit 100. (Man hängt einfach die beiden Nullen von der 100 an das Ergebnis hinten ran.)


5 3 2 * 4 0 0
2 1 2 8 0 0
Ergebnis:
532 * 400 = 212.800


BM562

532 * 416 = x
1. Schritt: 4 * 532 ausrechnen
Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6
2 1 2 8
 
 
 
---
2. Schritt: 1 * 532
Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6
2 1 2 8
5 3 2
 
 
---
3. Schritt: 6 * 532
Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6
2 1 2 8
5 3 2
3 1 9 2
 
---
4. Schritt: Die drei Zwischenergebnisse werden zusammengerechnet.
Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6
2 1 2 8
5 3 2
3 1 9 2
2 2 1 3 1 2
Ergebnis: 532 * 416 = 221.312


BM563

65.347 * 4.782 = x
---
1. Schritt: rechne 4 * 65.347
Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2
2 6 1 3 8 8
 
 
 
 
---
2. Schritt: rechne 7 * 65.347
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2
2 6 1 3 8 8
4 5 7 4 2 9
 
 
 
---
3. Schritt: 8 * 65.347
Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2
2 6 1 3 8 8
4 5 7 4 2 9
5 2 2 7 7 6
 
 
---
4. Schritt: 2 * 65.347
Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2
2 6 1 3 8 8
4 5 7 4 2 9
5 2 2 7 7 6
1 3 0 6 9 4
 
---
5. Schritt: Die vier Zwischenergebnisse werden zusammengerechnet.
Achte darauf, dass du bei der Addition nicht mit den Spalten durcheinander kommst!
Deshalb ist es gut auf kariertem Papier zu rechnen.
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2
2 6 1 3 8 8
4 5 7 4 2 9
5 2 2 7 7 6
1 3 0 6 9 4
3 1 2 4 8 9 3 5 4
Ergebnis:
65.347 * 4.782 = 312.489.354
Überschlag:
60.000 * 5.000
6 * 5 = 30 und hinten sieben Nullen anhängen
60.000 * 5.000 = 30 0000000
300.000.000
Vergleich des Ergebnisses mit dem Überschlag:
312.489.354 ≈ 300.000.000 (300 Mill.)


BM564

Für das schriftliche Verfahren der Multiplikation gibt es verschiedene gleichwertige Schreibweisen.
Erkläre die Unterschiede!
a)
42 * 27
    84
    294
   1134
b)
42 * 27
    294
    84
   1134
c)
42 * 27
84
294
1134
d)
 42 * 27
 84
 294
1134


BM565

Rechne so wie in Übung BM5614 Punkt b)!
---
368 * 728 = x
Lösung BM5615
3 6 8 * 7 2 8
2 9 4 4
7 3 6
2 5 7 6
2 6 7 9 0 4


BM566

729 * 163 = x
Da im zweiten Faktor (163) eine 1 auftaucht, braucht man in dieser Zeile die 729 nur abschreiben ohne zu rechnen. (blau hervorgehoben)
Eventuell vertauscht man die beiden Faktoren, damit die 1 im zweiten Faktor steht.
163 * 729 = 729 * 163


7 2 9 * 1 6 3
7 2 9
4 3 7 4
2 1 8 7
1 1 8 8 2 7


BM567

423 * 708 = x
Wenn der zweite Faktor eine 0 enthält, dann muss man in dieser Zeile nicht groß rechnen.
4 2 3 * 7 0 8
2 9 6 1
0 0 0
3 3 8 4
2 9 9 4 8 4
Es reicht auch, wenn man nur eine Null schreibt.


BM568

a2 (lies: a hoch 2)
a2 (lies: a Quadrat)
a5 (lies: a hoch 5)
an (lies: a hoch n)
ac (lies: a hoch c)
a2
a und eine hoch gestellte Zahl
Hochzahl
a2
Die 2 ist hier die Hochzahl.
---
b1 (lies: b Eins)
x1 * x2 * x3
xn
x1 + x2 + x3 + ... + xn-1 + xn
x1 bis xn
die Zahlen (oder Buchstaben) sind ein Index, ein kleines tief nachgestelltes Zeichen
---
53
Die 3 ist eine Hochzahl. (Hochzahl = Exponent)
Die 3 ist der Exponent.
Die 5 ist die Basis.
---
Hochzahl
Wie schreibe ich eine Hochzahl wie bei C14 mit meiner Tastatur?
Fußnoten werden in Texten1 manchmal mit Hochzahlen markiert.


BM569

Potenzen
potenzieren
---
Vervollständige
10 * 10 = 102
10 * 10 * 10 = ...
10 * 10 * 10 * 10 = ...
---
102 = 10 * 10
103 = ...
104 = ...
105 = ...
---
Die Potenzschreibweise kann man auch für alle anderen Produkte natürlicher Zahlen mit gleichen Faktoren verwenden.
2 * 2 = 22
2 * 2 * 2 = 23
2 * 2 * 2 * 2 = 24
---
3 * 3 = 32
3 * 3 * 3 = 33
3 * 3 * 3 * 3 = 34
---
99 = 387.420.489


BM570

Verwende die Potenzschreibweise!
5 * 5 *5
7 * 7 * 7 * 7
12 * 12
8 * 8 * 8 * 8 * 8 *

BM571 - BM580[editar]

BM571

Berechne die Potenz 25!
---
25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2
Rechne:
2 * 2 = 4
4 * 2 = 8
8 * 2 = 16
16 * 2 = 32
---
Also:
25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32


BM572

Berechne die Potenz 613!
Lösung BM572
6 1 * 6 1
3 6 6
6 1
3 7 2 1
612 = 61 * 61 = 3.721


3 7 2 1 * 6 1
2 2 3 2 6
3 7 2 1
2 2 6 9 8 1
613 = 61 * 61 * 61 = 226.981



BM573

Berechne die Potenz 3282!
Lösung BM573
3 2 8 * 3 2 8
9 8 4
6 5 6
2 6 2 4
1 0 7 5 8 4
3282 = 328 * 328 = 107.584


BM574

Berechne!
---
26
35
353
132
5762
---
44
93
273
152
7342
---
Kontrolliere mit dem Taschenrechner!
Die Taste für die Eingabe am Taschenrechner hat meist die Beschriftung „ab
Um 353 mit dem Taschenrechner zu rechnen musst du erst „35“ eintippen, dann die Taste „ab“ tippen, dann die „3“
---
Im Internet wid ein „^“ für das Potenzeiren verwendet. (Das Zeichen ist oben links auf der Tastatur.)
Um 353 zu rechnen musst du 35^3 eingeben.
Du kannst natürlich auch 35 * 25 * 35 eingeben.


BM575

Berechne die folgenden Potenzen und merke dir das Ergebnis!
---
102
112
122
132
142
152
202
302
402
1002


BM576

Die folgenden Zahlen sind Produkte gleicher Faktoren. Schreibe sie als Potenzen!
---
25
36
81
100
125
16
32
625
10.000


Lösung BM576
25 = 52
36 = 62
81 = 92
100 = 102
125 = 53
16 = 42
32 = 25
625 = 54
10.000 = 1002 (Die "100" hat zwei Nullen. "100 * 100" hat vier Nullen, also hat das Ergebnis vier Nullen = "10.000".)
Übrigens: Solche Aufgben kannst du mit https://www.wolframalpha.com/ lösen. Einfach z. B. 625 eingeben und als Antwort kommt u.&nbsp.a (unter anderem) 54, aber auch die Darstellung als römische Zahl (DCXXV), als Binärzahl (100111100012), als Summe von Quadratzahlen (625 = 72 + 242 = 152 + 202) unn weitere mathematische Spielereien.


BM577

Das älteste Rätsel aus Ägypten ist auf einer Papyrusrolle verzeichnet, die im Jahre 1858 in Luxor von dem schottischen Ägyptologen Alexander Henry Rhind erworben wurde, dem später nach ihm benannten Papyrus Rhind. Der Verfasser dieser Papyrusrolle trug den Namen Ahmes (auch Ahmose). Das Dokument selbst entstand um 1550 vor Christus. In einer Notiz am Rande merkt der Verfasser an, dass er aus einer anderen – wahrscheinlich über zwei Jahrhunderte älteren – Quelle abgeschrieben habe, womit das Rätsel über 3800 Jahre alt sein dürfte. Die heute im British Museum aufbewahrte Schriftrolle gibt die auch als Katzen-und-Mäuse-Rätsel bekannt gewordene (79.) Aufgabe an: „Es gibt sieben Häuser, in jedem Haus wohnen sieben Katzen. Jede Katze fängt sieben Mäuse, von denen jede sieben Kornähren gefressen hat. In jeder Ähre sind sieben Samen.“
a) Wie viel Samen wurden gefressen?
b) Wie viel Katzen und Mäuse wurden gab es insgesamt?
Lösung BM577
a)
75 = 16.807
Das kann man sich auch von https://www.wolframalpha.com/ ausrechnen lassen: einfach 7^5 eingeben.
---
b)
73 + 74 = 343 + 2.401 = 2.744


BM578

Potenzieren
---
Das Potenzieren (von lat. potentia, ‚Vermögen, Macht‘, das in der antiken Geometrie spätestens seit Platon auch die Bedeutung ‚Quadrat‘ hatte) ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird (6+6+6+6), so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert (6*6*6*6).
---
„:=“ (lies: ist definiert als)
Die Abwandlungen := oder =: werden in der Mathematik benutzt, um eine Definition einer Seite durch die andere Seite darzustellen. Dabei stehen die Doppelpunkte immer bei dem zu definierenden Objekt. Das früher dafür verwendete ≡ soll in diesem Sinne nicht mehr verwendet werden.
---
Die Potenz an ist definiert als:
an := a * a * a * ... * a // (n Faktoren)
Man spricht diese Rechenoperation als „a hoch n“, „a zur n-ten Potenz“ oder kurz „a zur n-ten“. Im Fall n = 2 ist auch „a zum Quadrat“ oder „a Quadrat“ üblich.
a heißt Basis (oder Grundzahl), n heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz an. Das Ergebnis ist der Wert der Potenz.
---
a1 = a
a0 = 1
Beispiel:
31 = 3
30 = 1
---
Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt“, also:
an = 1 * a * a * a * ... * a // (n Faktoren)
Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.
a2 = 1 * a * a = a * a
a1 = 1 * a = a
a0 = 1
---
Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist verwendet man oft die Schreibweise a^b.
---
Glatte Potenzen von 10 bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems. Als Potenz geschrieben, z. B. 1011 für 100 Milliarden, werden sie in den Naturwissenschaften zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner positiver Zahlen verwendet.


BM579

Flächeneinheit
---
Auf Millimeterpapier sind Quadrate gezeichnet (Bild 1).
Die ganz kleinen Quadrate haben eine Seitenlänge von einem Millimeter
Die großen Quadrate haben eine Seitenlänge von einem Zentimeter.
Alle 5 Millimeter sind die Linien auch etwas stärker gezeichnet, damit man besser abzählen kann.
---
Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Zentimeter hat einen Flächeninhalt von einem Quadratzentimeter. (Bild 2: rotes Quadrat)
1 cm2
---
Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Millimeter hat einen Flächeninhalt von einem Quadratmillimeter. (Bild 3: das winzige blaue Quadrat)
1 mm2
---
Bild 4 zeigt einen Größenvergleich zwischen Quadratzentimeter (rot) und Quadratmillimeter (blau).
Beachte, dass bei diesen Bildern der Maßstab nicht stimmt. Die Bilder haben unterschiedliche Maßstäbe.
Quadratmillimeter und Quadratzentimeter sind Einheiten der Fläche
1 cm2 = 100 mm2
1 cm2 = 10 * 10 mm2 = 100 mm2


BM580

3 cm * 2 cm
Es soll der Flächeninhalt eines Rechtecks ermittel werden.
Dieses Rechteck ist 3 cm lang und 2 cm breit.
Dieses Rechteck enthält 6 Quadrate. Diese haben alle eine Seitenlänge von 1 cm. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt deshalb 6 cm2.
---
Welchen Flächeninhlat hat ein Quadrat von 3 cm Seitenlänge?

BM581 - BM590[editar]

BM581

Wenn ein Quadrat eine Seitenlänge von 1 m hat, so sagt man: Ein Quadrat mit der Seitenlänge von einem Meter hat einen Flächeninhalt von einem Quadratmeter.
1 m2
Quadratmeter ist eine Einheit der Fläche
---
Flächeneinheiten:
Quadratmillimeter mmm2
Quadratzentimeter cmm2
Quadratmeter mm2
---
1 mm2
1 cm2 = 100 mm2
1 m2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
---
1 m = 100 cm
1 m2 = 100 cm * 100 cm = 10.000 cm2
---
1 m = 100 cm; 1 cm = 10 mm
1 m = 1.000 mm
1 m2 = 1.000 mm * 1.000 mm = 1.000.000 mm2 = 1 Mill. mm2


BM582

Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 36 cm2.
Welche Seitenlänge hat das Quadrat?
---
Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von 60 m2.
Welche Seitenlänge hat das Rechteck? (Es gibt mehrer Lösungen. Gib alle Lösungen an! Es sind nur Seitenlängen von ganzen Metern erlaubt.)


Lösung BM582
Seitenlänge: 6 cm
6 cm * 6 cm = 36 cm2
---
1 m * 60 m = 60 m2
2 m * 30 m = 60 m2
3 m * 20 m = 60 m2
4 m * 15 m = 60 m2
5 m * 12 m = 60 m2
6 m * 10 m = 60 m2
Und alle Zahlen noch mal mit vertauscher Länge und Breite:
10 m * 6 m = 60 m2
12 m * 5 m = 60 m2
15 m * 4 m = 60 m2
20 m * 3 m = 60 m2
30 m * 2 m = 60 m2
60 m * 1 m = 60 m2
Übrigens: Der Vorteil des Zahlensystems mit der Basis 60 gegenüber dem Zahlensystem mit der Basis 10 ist, dass es sich ohne Rest durch 2; 3; 4; 5 und 6 dividieren lässt. Unser Deszimalsystem (Zahlensystem mit der Basis 10) lässt sich ohne Rest nur durch 2 und 5 dividieren.
Das Sexagesimalsystem (= Hexagesimalsystem = Sechziger-System) ist ein Stellenwertsystem zum Wert 60. Es wurd schon um 3300 v. Chr. von den Sumeren verwendet. Im Bereich der Zeitmessung hat sich das Sexagesimalsystem noch erhalten. Eine Stunde hat 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden. Auch bei geografischen Längen- und Breitenangaben wird das Sechziger-System noch heute verwendet.


BM583

Wie viel Quadratmeter könen auf einer quadratischen Fläche, deren Seiten 34 m lang sind, mit Gras besät werden?
---
In einem Leichtathletiktrainingszentrum gibt es eine Laufhalle mit einer 110-Meter-Laufbahn. Die Bahn wird hauptsächlich für 100-Meter-L#ufe verwendet und nur selten für 110-Meter-Hürdenläufe. Sie besteht aus 6 Laufbahnen, die jeweils 122 cm breit sind. Die Laufbahnen sollen mit einem neuen Tartanbelag (Kunststoffbahn) versehen werden. Am Startraum werden zusätzlich 3 m ausgelegt und am Auslauf 17 m. Zusätzlich kommen an beiden Seiten noch 90 cm dazu.
Wie viel Quadratmeter Tartanbelag werden benötigt?
Lösung BM583
34 m * 34 m = 1.156 m2
---
Länge: 110 m + 3 m + 17 m = 130 m
Breite: 6 * 122 cm + 2 * 90 cm = 732 cm * 180 cm = 912 cm = 9,12 m
Fläche: 130 m * 9,12 m = 1185,6 m2
---
ODER:
Länge: 130 m = 13.000 cm
Breite: 912 cm
Fläche: 13.000 cm * 912 cm = 11.856.000 cm2
1 m2 = 10.000 cm2
11.856.000 cm2 : 10.000 = 1185,6 m2


BM584

Gebäude 1
Gebäude 2
Berechne die Gesamtfläche der Gebäudegrundrisse! Entnimm die Maße den Skizzen! Beachte, dass die Skizzen nicht maßstabsgerecht sind, es sind eben nur Skizzen und keine genauen Zeichnung.
a) Gebäude 1
b) Gebäude 2
c) Gebäude 1 und 2 zusammen
(Rechne schriftlich und mit Skizzen!)




Lösung BM584
Gebäude 1:
(17 * 20) + ([55 - 17 - 12] * 17) + (12 * 50) = 1.382
340 + 442 + 600 = 1.382 m2
---
Gebäude 2:
(16 * 47) + ([43 - 16 - 9] * [47 - 32]) + (9 * 47) = 1.445
752 + 270 + 423 = 1.445 m2
---
Gebäude 1 + 2:
1.382 m2 + 1.445 m2 = 2.827 m2


BM585

Teile 68 Konservendosen in 4 gleich große Stapel!
---
Man rechnet:
68 : 4 = x
Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, kann man auch schreiben:
4 * x = 68
---
Man rechnet:
68 : 4 = (40 + 28) : 4
68 : 4 = (40 : 4) + (28 : 4)
68 : 4 = 10 + 7
68 : 4 = 17
x = 17
---
Kontrolle:
4 * 17 = 4 * (10 + 7)
4 * 17 = 40 + 28
4 * 17 = 68
Antowrt: Auf jeden Stapel müssen 17 Konservendosen.


BM586

(a + b) : c
In diesem Quotienten tritt als Dividend eine Summe auf.
Beispiel:
(80 + 12) : 4
Für die Rechnung gibt es in einem solchen Fall zwei Möglichkeiten:
Rechenweg 1:
(80 + 12) : 4 = (80 : 4) + (12 : 4)
(80 + 12) : 4 = 20 + 3
(80 + 12) : 4 = 23
---
Rechenweg 2:
(80 + 12) : 4 = 92 : 4
(80 + 12) : 4 = 23


BM587

Rechne!
---
72 : 3 = (60 + 12) : 3
96 : 4 = (80 + 16) : 4
273 : 3 = (270 + 3) : 3
497 : 7 = (490 + 7) : 7
258 : 6 = (240 + 18) : 6
574 : 7 = (560 + 14) : 7


BM588

Dividiere jede der folgenden Zahlen durch 10!
---
350
190
830
1.100
2320
7.480
24.360
9.080
345.670


BM588

Dividiere jede der folgenden Zahlen durch 100!
---
400
900
1.200
4.000
60.700
250.000
830.600
4.620.400


BM589

Rechne mündlich!
---
Beispiel:
600 : 200
600 : 2 = 300; 300 : 100 = 3
---
800 : 400
1.200 : 300
2.400 : 600
4.200 : 700
---
5.000 : 200
7.000 : 200
12.000 : 200
36.000 : 200
48.000 : 200
---
360.000 : 300
720.000 : 800
630.000 : 700
540.000 : 900
560.000 : 200
---
500.000 : 500
600.000 : 300
640.000 : 400
810.000 : 300
240.000 : 100


BM590

Um 5 Uhr wurden Sporttauben aufgelassen. Die ersten kamen um 14 Uhr an. Sie hatten 630 km zurückgelegt.
Wie viel Kilometer sind sie in einer Stunde geflogen?
Lösung BM590
630 km : 9 h = 70 km/h

BM591 - BM600[editar]

BM591

a)
Die Entfernung von der Erde zum Mond beträgt 384.400 km. Wie viel Stunden bräuchte ein ICE, der in jeder Stunde 230 km zurücklegt, um diese Entfernung zu durchfahren? Wie viel Tage wären das?
---
b)
Die Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt 149.504.000 km. Wie viel Stunden bräuchte ein Flugzeug, das in jeder Stunde 800 km zurücklegt, um diese Entfernung zu durchfahren? Wie viel Tage wären das? Wie viel Monate (zu je 30 Tagen) wären das? Wie viel Jahre (1 Jahr = 365 Tage) wären das?


Lösung BM591
a)
384.400 : 230 ≈ 1.671 Stunden
1.671 : 24 ≈ 70 Tage
---
b)
149.504.000 : 800 ≈ 186.880
186.880 : 24 ≈ 7.787 Tage
7.787 : 30 ≈ 260 Monate
7.787 Tage : 365 ≈ 21 Jahre


BM592

Teebeutel
a)
Zwei Tonnen grüner Tee werden in Beutel zu je 100 g abgefüllt.
Berechne die Anzahl der Beutel!
---
b)
Drei Tonnen hagebuttentee werden in Beutel zu je 2 g abgefüllt.
Berechne die Anzahl der Beutel!
Lösung BM592
a)
1 t = 1.000 kg; 1 kg = 1.000 g;
1 t = 1.000 * 1.000 = 1.000.000 g
2 t ≙ 2.000.000 g (lies: 2 t entsprechen 2.000.000 g)
2.000.000 g : 100 g = 20.000 Beutel (á 100 g)
---
b)
3 t ≙ 3.000.000 g
3.000.000 g : 2 g = 1.500.000 Beutel


BM593

a)
1.680 Gummibärchen werden an 4 unterschiedlich große Kinder verteilt.
Das erste Kind erhält den 6. Teil.
Das zweite Kind erhält den 7. Teil.
Das dritte Kind den 4. Teil.
Wie viel Gummibärchen bekommt jedes Kind?
---
b)
2.400 Euro werden für 4 Kurzurlaube aufgeteilt.
Für den ersten Urlaub der 3. Teil.
Für den zweiten Urlaub der 5. Teil.
Für den dritten Urlaub der 8. Teil.
Und für den vierten Kurzurlaub der Rest.
Wie viel Geld steht für jeden Kurzurlaub zur Verfügung?


Lösung BM593
a)
1. Kind: 1.680 : 6 = 280
2. Kind: 1.680 : 7 = 240
3. Kind: 1.680 : 4 = 420
4. Kind: 1.680 - 280 - 240 - 420 = 740
---
1. Urlaub: 2.400 : 3 = 800
2. Urlaub: 2.400 : 5 = 480
3. Urlaub: 2.400 : 8 = 300
4. Urlaub: 2.400 - 800 - 480 - 300 = 820


BM594

Schriftliche Division
mit einstelligem Divisor
---
222 : 6
---
222 : 6 = 37
18
--
 42
 42
 --
  0
Man rechnet:
22 : 6 = 3, Rest 4 (denn: 3 * 6 = 18; 18 + 4 = 22)
42 : 6 = 7 (denn 7 * 6 = 42)


BM595

348 : 4 = x
---
1. Schritt:
Von links eine einstellig Zahl wählen.
3 : 4 = 0 Rest 3
Wir müssen also im 2. Schritt von links eine zweistellige Zahl wählen.
3 4 8 : 4 =    
 
 
 
 
---
2. Schritt:
34 : 4 = 8 Rest 2; (4*8=32)
Die 32 schreiben wir exakt unter die 34.
3 4 8 : 4 = 8  
3 2
 
 
 
---
3. Schritt:
Einen Strich unter der 32 ziehen und die Differenz zwischen 34 und 32 bilden. (34-32=2)
3 4 8 : 4 = 8
3 2
  2
 
 
---
4. Schritt:
Die 8, die oben steht, schreiben wir unten noch mal neben die 2.
3 4 8 : 4 = 8  
3 2
2 8
 
 
---
5. Schritt:
28 : 4 = 7; (4*7=28)
3 4 8 : 4 = 8 7
3 2
2 8
  2 8
 
---
6. Schritt:
Einen Strich unter der 28 ziehen und die Differenz zwischen 28 und 28 bilden. (28-28=0)
Die Differenz ist natürlich Null, es gibt also keinen Rest mehr. Und damit sind wir fertig.
3 4 8 : 4 = 8 7
3 2    
2 8
2 8
0
---
7. Schritt:
Zum Schluss wird das Ergebnis doppelt unterstrichen. (Das geht in dieser Tabelle am PC schlecht zu machen.)
3 4 8 : 4 = 8 7
3 2    
2 8
2 8
0


BM596

4484 : 4 = x
---
1. Schritt:
4 : 4 = 1
4 4 8 4 : 4 = 1      
 
 
 
 
 
---
2. Schritt:
Weil der Rest Null ist müssen wir keine Differenz bilden. Man kann gleich die nächste Ziffer, also die nächste 4, runterziehen.
4 : 4 = 1
4 4 8 4 : 4 = 1 1    
4
 
 
 
 
 
---
3. Schritt:
Weil auch hier der Rest Null ist brauchen wir auch hier keine Differenz bilden. Man kann also gleich die nächste Ziffer, also die 8, runterziehen.
8 : 4 = 2
4 4 8 4 : 4 = 1 1 2  
4
  8
 
 
 
 
---
4. Schritt:
Die nächste Ziffer wird runtergezogen, also die 4.
4 : 4 = 1
4 4 8 4 : 4 = 1 1 2 1
4
  8
  4
 
 
 
Fertig!
4.484 : 4 = 1.121
Diese Aufgabe war eindeutig zu einfach, weil zufälligerweise überhaupt keine Differenzen gebildet werden mussten. Denn es gab keine Rest bei den einzelnen Divisionen.


BM597

5676 : 4 = x
Aber jetzt gibt es einen Rest und deshalb auch Differenzen.
---
1. Schritt:
5 : 4 = 1 Rest 1; (4*1=4)
Die 4 schreiben wir exakt unter die 5.
5 6 7 6 : 4 = 1      
4
 
 
 
 
---
2. Schritt:
Einen Strich unter der 4 ziehen und die Differenz zwischen 5 und 4 bilden. (5-4=1)
5 6 7 6 : 4 = 1      
4
1
 
 
 
---
3. Schritt:
Die nächste Ziffer wird runtergezogen, also die 6.
16 : 4 = 4
5 6 7 6 : 4 = 1 4    
4
1 6
 
 
 
---
4. Schritt:
Weil es keinen Rest gibt brauchen wir keine Differenz. Wir könenn also gleich die nächste Ziffer, also die 7, runterziehen.
7 : 4 = 1 Rest 3; (4*1=4)
Die 4 schreiben wir exakt unter die 7.
5 6 7 6 : 4 = 1 4 1 9
4
1 6
  7
  4
 


---
5. Schritt:
Dann einen Strich drunter und die Differenz bilden: 7 - 4 = 3
5 6 7 6 : 4 = 1 4 1  
4
1 6
  7
  4
  3


---
6. Schritt:
Jetzt wird die nächste Ziffer runtergezogen, also die 6.
Zum Schluss rechnen wir 36 : 4 = 9
Die 9 schreiben wir hin.
Und weil keine Rest übrig bleibt (4 * 9 = 36) sind wir fertig.
5 6 7 6 : 4 = 1 4 1 9
4
1 6
  7
  4
  3 6
Ergebnis:
5676 : 4 = 1419
Das Ergebnis bitte immer doppelt unterstreichen.
---
Wenn bei der Division kein Rest übrigt bleibt, dann sagt man:
„Die Divison geht auf.“ oder „125 lässt sich glatt durch 25 teilen.“


BM598

Rechne!
---
7779 : 7
2463 : 2
6686 : 6
8467 : 4
3683 : 3
8706 : 4
7823 : 7
6946 : 6
5243 : 3
8852 : 6
9556 : 8


BM599

Rechne!
---
25964 : 4
72726 : 6
55307 : 7
72960 : 8
44016 : 8
55413 : 9
21749 : 7


BM600

Teilbarkeit
---
Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.
---
So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt.
---
Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12.
---
Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem
  • Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
  • Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
  • Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
---
Quersumme
  • Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
---
Welche der folgenden Zahlen sind durch 3 teilbar?
342
631
8824
7674
6813
397414
4556004
---
Sind folgende Zahlen durch 9 teilbar?
716
422
123003
1512


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